对于区间删失模型的一个版本，在第二种情况下，允许观测区间任意小，我们考虑沿Hellinger可微路径可微泛函的估计。这类泛函的渐近信息下界可以表示为观测空间中正则梯度的平方$L_{2}$-范数。这个标准梯度有一个隐式表达式，作为不属于标准类型之一的积分方程的解。我们研究了积分方程的一个扩展版本，它也可以用于离散分布函数，如非参数极大似然估计量（NPMLE），并从积分方程解的性质导出了NPMLE的渐近正态性和效率。