设$\{xi_k:k\geqq1\}$是一个独立的同分布随机变量序列，其中$E\{xi_1}=0$和$E\xi_1^2\}=\sigma^2，0<\sigma ^2<\infty$。通过设置$S_0=0，S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n，n\geqq1$，形成随机游走$\{S_n:n\geqq 0\}$。设$T$表示集合$（-infty，0\rbrack$通过随机游动的击中时间。本文的主要结果是随机函数$S_{lbrack nt\rbrack}/\sigma n^{frac{1}{2}的函数中心极限定理}，0\leqq t\leqq 1$，条件是$t>n$。极限过程$W^+$是根据标准布朗运动确定的。对于随机部分和和更新过程，也得到了类似的结果。最后，在$E\{xi_1}=\mu>0$的情况下，证明了$（S_{lbrack-nt\rbrack}-\munt）/\sigma-n^{frac{1}{2}$的条件（在$T>n$上）和无条件弱极限是相同的，即布朗运动。