我们建立了适当归一化的自举平均分布函数收敛的充要条件。事实证明，为了实现收敛，采样分布必须处于正态分布的吸引域中，或者具有缓慢变化的尾部。在第一种情况下，极限是正常的；后者是泊松。在轻尾和极重尾这两个极端之间，平均值的自举分布函数在概率上不收敛到非退化极限。然而，它可能在分布上收敛。我们表明，当概率不收敛时，少数极值样本值决定了bootstrap分布函数的行为。这一结果被发展并用于解释阿特里亚最近的工作。