我们对定义在流形上的实值高斯随机场的几何性质感兴趣。我们的流形$M$属于类$C^3$，而随机域$f$是光滑的。我们对这些场的兴趣集中在它们的偏移集$f^｛-1｝[u，+\infty）$和它们的几何性质上。特别地，我们导出了光滑高斯随机场的偏移集的预期欧拉特征$\Ee[\chi（f^｛-1｝[u，+\infty））]$。部分原因在于$\Ee[\chi（f^{-1}[u，+\infty））]$将$M$的全局属性与$f$的协方差结构相关的几何体相关联。进一步令人感兴趣的是水平$u$以上的漂移集的预期欧拉特性与$\Pp[\sup_{p\inM}f（p）\gequ]$之间的关系。我们的证明依赖于$\Rr^n$上随机场的结果以及微分几何和黎曼几何。