我们考虑具有随机i.i.d.势$\partial_t u=\kappa\Delta u+\xi u$的$（0，\infty）\times\mathbb｛Z｝^d$上的抛物型Anderson问题$\partial_t u=\kappa\Delta u+\xi u$和初始条件$u（0，\cdot）\equiv 1$。我们的主要假设是$\mathrm{esssup}\xi（0）=0$。根据分布$\mathrm｛Prob｝（\xi（0）\in\cdot）$接近其本质上确界的厚度，我们根据变分问题将$u（t，0）$的矩的渐近性和$u（t，0）$的几乎确定的渐近性识别为$t\to\infty$。作为一个副产品，我们为随机薛定谔算子$-\kappa\Delta-\xi$的谱底部建立了Lifshitz尾。在我们的$\xi$分布类中，Lifshitz指数的范围从$d/2$到$\infty$；幂律通常伴随着低阶修正。