我们证明了当随机游动处于稳定定律的吸引域时，无论是在离散环境还是在绝对连续环境中，条件为保持正的随机游动桥的不变性原理。这包括作为一种特殊情况，对于零均值、有限方差随机游动，随机游动漂移在扩散重标度下向标准化布朗漂移收敛。该证明利用了Vatutin、Wachtel和Doney最近获得的条件为保持正的随机游动的合理绝对连续关系和一些局部渐近估计。我们回顾并扩展这些关系到绝对连续的设置。