设$A=（A_1，A_2，A_3，\ldots）$是最终为零的非负数的随机序列，其中$E[\sum A_i]=1$和$E\left[\sumA_{i}\log A_i\right]\leq 0$。考虑了相关平滑变换的非负不动点的唯一性。这些不动点是函数方程$\Phi（\psi）=E\left[\prod_{i}\Phi[\psi A_i）\right]的解，$其中$\Phi$是非负随机变量的拉普拉斯变换。该研究补充并扩展了$E\left[\sum A_｛i｝\log A_i\right]<0$情况下的现有结果。在边界条件下，得到了$E\left[\sumA_{i}\logA_i\right]=0$解在零附近渐近行为的新结果。