粗糙路径理论[15]提供了签名的概念，签名是一个分级的张量族，其特征是向量值数据的有序流，直至可忽略的等价类。在本文中，我们为签名渐近性、经验过程理论和Wasserstein距离之间的联系奠定了理论基础，开辟了第一个研究中第二个和第三个的前景和工具。我们的主要贡献是表明，签名的Hilbert-Schmidt范数可以重新解释为关于同一潜在分布样本的两个独立经验度量之间Wasserstein距离的渐近行为的声明。在这里研究的环境中，这些度量是从概率分布的样本中导出的，概率分布直接由潜在路径的几何特性决定。Bobkov和Ledoux最近的专著[2]深入研究了这些对象的收敛速度的一般问题。为了说明这个新的联系，我们展示了如何利用上述主要结果来证明Hambly和Lyons的原始渐近定理的更一般版本[19]。最后，我们提供了一种显式方法，用二阶微分方程计算该极限。