Lipschitz continuity of probability kernels in the optimal transport framework

E. Dolera; E. Mainini

doi:10.1214/23-AIHP1389

2023年11月最优传输框架中概率核的Lipschitz连续性

E.多拉,E.美因尼

作者关联+

Ann.Inst.H.PoincaréProbab公司。统计师。 59(4): 1778-1812 （2023年11月）。 DOI:10.1214/23-ihp1389

摘要

在贝叶斯统计中，关于可观测变量的后验分布的连续性至关重要，因为它表达了良好的状态，即相对于数据测量误差的稳定性。本质上，这需要分析概率核的连续性，或者等价地分析条件概率分布相对于条件变量的连续性。

在这里，我们从理论角度解决这个问题。让 $(X（X）, {d日}_{X（X）})$ 是一个度量空间，让 $B类 ({R（右）}^{d日})$ 表示Borelσ-上的代数 ${R（右）}^{d日}$ .让 $π (\cdot | \cdot) : B类 ({R（右）}^{d日}) \times X（X） \to [0, 1]$ 是支配概率核，即形式 $π (d日 θ | x个) = 克 (x个, θ) π (d日 θ)$ 用于某些合适的功能 $克 : X（X） \times {R（右）}^{d日} \to [0, + \infty)$ .我们提供了确保映射的Lipschitz连续性的一般条件 $X（X） ∋ x个 \mapsto π (\cdot | x个) \in P（P） ({R（右）}^{d日})$ 当概率测度空间 $P（P） ({R（右）}^{d日})$ 在 $({R（右）}^{d日}, B类 ({R（右）}^{d日}))$ 被赋予最佳运输框架内产生的度量，如Wasserstein度量。特别地，我们根据Fisher信息泛函和加权Poincaré常数证明了Lipschitz常数的显式上界，该上界是通过利用最优输运的动力学公式获得的。

最后，我们给出了一些值得注意的概率核类的例子，并将主要结果应用于改进贝叶斯统计中的一些开放性问题，处理后验分布的混合逼近和后验一致性。

在统计方面，巴耶西恩，连续性原则下的分配是一个后验概率的关系，变量的观察者是关键的puisque'elle exprime le caractère bien posédu blème，c'est-á-dire la stabilityépar raport aux erreurs de mesure dans les donnees。Celaécessite essentiellement d’analyzer la continuitéd’un noyau de probabilityéou，de manièreéequivalente，d’une distribution de probablicéconditionnelle par raporta la variable de-conditionnement分析软件。

我想，我的孩子们遇到了一个问题。Soit公司 $(X（X）, {d日}_{X（X）})$ 联合国espace métrique等 $B类 ({R（右）}^{d日})$ 滨海论坛 ${R（右）}^{d日}$ .Soit公司 $π (\cdot | \cdot) : B类 ({R（右）}^{d日}) \times X（X） \to [0, 1]$ 多明尼加，最可怕的形式 $π (d日 θ | x个) = 克 (x个, θ) π (d日 θ)$ 发布适当功能 $克 : X（X） \to [0, + \infty)$ .Nous fornisson des conditions générales assurant la continuitélipschitzienne de l’application=无条件保证 $x个 \in X（X） \mapsto P（P） ({R（右）}^{d日})$ 概率度量的洛斯克空间 $P（P） ({R（右）}^{d日})$ 苏尔 $({R（右）}^{d日}, B类 ({R（右）}^{d日}))$ 最重要的是公共交通问题，告诉Wasserstein公共交通问题。更特别的是，我们明确地指出，在运输最佳化的过程中，我们利用了配方动力学。

Enfin，nous donnons quelques illuminations sur des classes remarquables de noyaux de probabilityé，et nous appliques nos results nos reportats principal pour améliorer certaines questaines questics ouvertes en statistic bayésienne，tratant de l’approximation de distributions a posteriori par des mélanges et la consistence a pos。

资金筹措表

作者感谢MIUR-PRIN项目2017TEXA3H的支持。E.M.感谢INdAM-GNAMPA 2019项目的支持“Trasporto ottimo per dinamiche con interazione”根据第817257号赠款协议，E.D.获得了欧洲研究理事会（ERC）根据欧盟地平线2020研究和创新计划提供的资金。E.D.感谢意大利教育、大学和研究部（MIUR）2018-2022年的“Dipartimenti di Eccellenza”资助。