Fluctuations of two-dimensional stochastic heat equation and KPZ equation in subcritical regime for general initial conditions

Shuta Nakajima; Makoto Nakashima

doi:10.1214/22-EJP885

2023 一般初始条件下二维随机热方程和KPZ方程在亚临界区的涨落

中岛修塔,中岛真本

作者关联+

电子。J.概率。 28: 1-38 (2023). DOI:10.1214/22-jp885

摘要

通过Cole-Hopf变换求解Kardar-Parisi-Zhang方程（KPZ方程） $h=\log u$ ，其中u个是乘法随机热方程（SHE）的解。在[CD20，CSZ20，G20]中，他们通过解来考虑二维KPZ方程的解 ${u_{\varepsilon }}$ SHE具有平坦的初始条件和在空间尺度上缓和的噪声ε它的力量被削弱了 ${\beta _{\varepsilon }}=\hat{\beta }\sqrt{\frac{2\uppi }{-\log \varepsilon }}$ 他们证明了 $\hat{\beta }\in (0,1)$ , $\frac{1}{{\beta _{\varepsilon }}}(\log {u_{\varepsilon }}-\mathbb{E}[\log {u_{\varepsilon }}])$ 在分布上作为随机场收敛于Edwards-Wilkinson方程的解。

本文考虑一个随机热方程 ${u_{\varepsilon }}$ 具有一般初始条件 ${u_{0}}$ 及其转换 $F({u_{\varepsilon }})$ 对于F类在一类函数中 $\mathfrak{F}$ ，其中包含 $F(x)={x^{p}}$ ( $0\textless p\le 1$ )和 $F(x)=\log x$ 然后，我们证明 $\frac{1}{{\beta _{\varepsilon }}}(F({u_{\varepsilon }}(t,\cdot ))-\mathbb{E}[F({u_{\varepsilon }}(t,\cdot ))])$ 作为随机场在分布上收敛到有限多个中心高斯场 $F\in \mathfrak{F}$ ,t吨，以及 ${u_{0}}$ 特别地，我们证明了随机热方程和KPZ方程解的涨落共同收敛于依赖于 ${u_{0}}$ .