主成分分析（PCA）是统计学和机器学习中的一种强大工具。虽然现有的主成分分析研究侧重于主成分及其相关特征值的恢复，但很少有对单个主成分得分进行精确表征，从而产生低维嵌入样本。这妨碍了各种光谱方法的分析。在本文中，我们首先开发了一个${\mathrm{<trans\; data-src="\ell ">\ell </trans>}}_{\mathit{<trans\; data-src="p">对</trans>}}$Hilbert空间中空心PCA的扰动理论，在异方差噪声的存在下，该理论改进了vanilla PCA。通过一本小说${\mathrm{<trans\; data-src="\ell ">\ell </trans>}}_{\mathit{<trans\; data-src="p">对</trans>}}$通过对特征向量的分析，我们研究了主成分得分向量的入口行为，并表明它们可以用Gram矩阵的线性泛函来近似${\mathrm{<trans\; data-src="\ell ">\ell </trans>}}_{\mathit{<trans\; data-src="p">对</trans>}}$规范，包括${\mathrm{<trans\; data-src="\ell ">\ell </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}$和${\mathrm{<trans\; data-src="\ell ">\ell </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\infty ">\infty </trans>}}$作为特殊情况。对于亚高斯混合模型对给出最佳边界取决于信噪比，这进一步保证了频谱聚类的最佳性。对于上下文社区检测${\mathrm{<trans\; data-src="\ell ">\ell </trans>}}_{\mathit{<trans\; data-src="p">对</trans>}}$理论上，简单的谱算法可以实现精确恢复的信息阈值和最佳误分类率。