我们研究了Vietoris-Rips的Euler特性的近似定理和Tech滤波。过滤是从临界状态下的泊松或二项式采样方案中获得的。我们将我们的结果应用于Euler特征的平滑自举，并确定其在Kantorovich-Wasserstein距离和Kolmogorov距离中的收敛速度。