Spiked separable covariance matrices and principal components

Xiucai Ding; Fan Yang

doi:10.1214/20-AOS1995

摘要

我们研究了一类形式为 ${\widetilde{\mathcal{Q}}_{1}}:={\widetilde{A}^{1/2}}X\widetilde{B}{X^{\ast }}{\widetilde{A}^{1/2}}$ 在这里， $\widetilde{A}$ 和 $\widetilde{B}$ 是正定矩阵，其谱由体谱加上几个尖峰组成，即与体谱分离的较大特征值。从概念上讲，我们称之为 ${\widetilde{\mathcal{Q}}_{1}}$ 一加标可分离协方差矩阵模型一方面，该模型将峰值协方差矩阵作为特殊情况包括在内 $\widetilde{B}=I$ 另一方面，它允许数据集的更一般相关性。特别是对于时空数据集， $\widetilde{A}$ 和 $\widetilde{B}$ 分别表示空间和时间相关性。

本文研究加标可分协方差模型的离群特征值和特征向量，即主成分 ${\widetilde{\mathcal{Q}}_{1}}$ .我们证明了离群特征值的收敛性 ${\widetilde{\lambda }_{i}}$ 并且广义分量（即。， $\langle \mathbf{v},{\widetilde{\boldsymbol{\xi }}_{i}}\rangle$ 对于任何确定性向量v（v）)异常特征向量的 ${\widetilde{\boldsymbol{\xi }}_{i}}$ 具有最佳收敛速度。此外，我们还证明了非离群特征向量的离域性。我们以全面的概括性陈述了我们的结果，因为它们在所谓的BBP跃迁和退化异常值附近也成立。我们的结果突出了加标可分离协方差矩阵模型和加标协方差矩阵模式在(普罗巴伯。理论相关领域 164(2016) 459–552). 特别是，我们证明了 $\widetilde{A}$ 和 $\widetilde{B}$ 将导致特征值谱的异常值，而特征向量可以帮助选择与峰值相对应的异常值 $\widetilde{A}$ （或 $\widetilde{B}$ ).

引用

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丁秀才。范扬。 “尖峰可分离协方差矩阵和主成分。” 安。统计师。 49 (2) 1113 - 1138, 2021年4月。 https://doi.org/10.1214/20-AOS1995

问询处

收到日期：2019年7月1日;修订日期：2020年6月1日;发布日期：2021年4月

欧几里德项目首次推出：2021年4月2日

数字对象标识符：10.1214/20-AOS1995

受试者：

主要用户：15B52号,62E20型

次要：62小时99

关键词：BBP过渡,当地法律,主要成分,尖峰可分协方差矩阵

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