我们在全测地线叶理的背景下研究了亚黎曼布朗运动的径向部分。对于与黎曼距离近似的径向过程，证明了它的公式。我们推导出亚黎曼布朗运动的非常一般的随机完备性准则。在Sasakian叶理和H型群的背景下，可以进一步推动分析，利用最近证明的亚拉普拉斯比较定理，可以比较亚黎曼距离到一维模型扩散的径向过程。作为几何应用，我们证明了次黎曼度量球的Dirichlet特征值的Cheng型估计，这个结果即使在海森堡群中也是新的。