考虑离散时间鞅$\｛X_｛t｝\｝$在Hilbert空间$\mathcal｛H｝$中取值。我们证明了，如果对于某些$L\geq1$，边界$\mathbb{E}[\|X{t+1}-X{t}\|{\mathcal{H}}^{2}\vertX{t{]=1$和$\|X_{t+1}-X_{t}\|_{\mathcal{H{}\leqL$在任何时候都满足，那么对于$1\geq0$，存在一个常数$c=c（L）$q\sqrt{t}$，

\[\mathbb{P}（\|X_{t} -X_｛0｝\|_｛\mathcal｛H｝｝\leq R）\leq c\frac｛R｝｛\sqrt｛t｝｝跟随Lee和Peres[Ann.遗嘱认证。 41（2013）3392–3419]，这个估计在顶点传递图上随机游动的小范围估计中有应用：我们证明了对于每个具有有界度的无限连通顶点传递图$G$，存在一个常数$C_{G}>0$，因此如果$\{Z_{t}$是$G$上的简单随机游动，然后，对于每个$\varepsilon>0$和$t\geq1/\varepsilon^{2}$，

\[\mathbb{P}（\mathsf{距离}_{G} （Z_{t}，Z_{0}）\leq\varepsilon\sqrt{t}）\leq C_{G}\varepsilon，\]其中$\mathsf{距离}_{G} $表示图形距离，单位为$G$。