我们研究竞争界面在与最后一次渗流相关的增长模型中的两个增长集群之间。当初始未占用集近似为一个锥时，我们证明了该界面具有概率为1的渐近方向。此方向的行为取决于角度θ圆锥体的：用于θ≥180°，方向是确定的，而对于θ<180°，它是随机的，在某些情况下可以明确给出其分布。我们还获得了关于界面在其渐近方向上涨落的部分结果。增长模型中竞争界面的演变可以映射到二级粒子在完全不对称的简单排除过程中；从界面极限方向的存在性出发，我们得到了二级粒子位置在大时间内的强大数定律（可能具有随机极限）的一个新的、相当自然的证明。