在本文中，我们考虑了一些经典积分几何公式的概率相似性：Weyl–Steiner管公式和Chern–Federer运动学基本公式。概率构建块是光滑的实值随机场，由流形上中心的单位方差光滑高斯场的i.i.d.副本构建而成米具体来说，我们考虑表单的随机字段（f）_第页=F类(年₁(第页),…,年_k个(第页))的F类∈C类²(ℝ^k个;ℝ) 和(年₁,…,年_k个)向量C类²以i.i.d.为中心的单位变量高斯场。

Weyl–Steiner公式的类似物高斯相关场涉及管的高斯体积而非勒贝格体积的幂级数展开：即与场的边际分布相关的幂级数展式（f）管的高斯体积的形式展开具有独立的几何意义。

与经典的Weyl–Steiner公式一样，这些展开式中的系数显示在预期欧拉特性的运动学公式中，χ，个偏移集米∩（f）⁻¹[u个,+∞)=米∩年⁻¹(F类⁻¹[u个，+∞））（f）。

研究预期欧拉特性的动机来自众所周知的近似$\mathbb{P}[M}f（P）\gequ]\simeq\mathbb{E}[\chi（f^{-1}[u，+\infty））]$。