我们研究∑形式的随机指数和_k个=1^n个X（X）_k个经验{我(λ_k个⁽¹⁾吨₁+⋯+λ_k个^(秒)吨_秒)}，其中{X（X）_n个}是随机变量序列{λ_n个^(我):1≤我≤秒}是实数序列。对于独立中心，我们获得了此类和的一致估计（在紧集上）{X（X）_n个}或有界{X（X）_n个}满足一些混合条件。这些结果概括了Weber最近的结果[数学。不平等。申请。 三（2000）443–457]以及Fan和Schneider[Ann.Inst.H.PoincaréProbab公司。统计师。 39（2003）193–216]多个方向。作为应用，我们导出了这些和在紧集上一致收敛的条件。我们还获得了概率空间中有限多个交换保测点变换的随机遍历定理。最后，我们展示了我们的一些结果如何导出Wiener–Wintner属性（由Assani介绍[遍历理论动态。系统 23（2003）1637–1654]），用于某些动力系统上的某些函数。