我们考虑以下相互作用的粒子系统：存在一个由粒子组成的“气体”，每个粒子在ℤ上执行连续的简单随机行走^d日，具有跳转率D类_A类这些粒子称为A类-粒子之间相互独立移动。他们被视为不知道谣言或健康的人。我们假设启动系统时N个_A类(x个,0−)A类-粒子位于x个，并且N个_A类(x个,0−),x个∈ℤ^d日，是身份证，平均-μ_A类泊松随机变量。此外，还有B类-以跳跃速率执行连续时间简单随机行走的粒子D类_B类。我们从有限数量的B类-时间为0时系统中的粒子。B类-粒子被解释为听到某个谣言或被感染的个人。这个B类-粒子相互独立运动。唯一的交互作用是当B类-粒子和anA类-粒子重合，后者瞬间变成B类-粒子。

我们调查谣言或感染传播的速度。具体而言，如果B̃(t吨):={x个∈ℤ^d日：aB类-粒子访问x个[0期间，t吨]}和B类(t吨)=B̃(t吨)+[−1/2,1/2]^d日，然后我们研究了B类(t吨). 我们的主要结果表明，如果D类_A类=D类_B类（这样A类-和B类-粒子执行相同的随机行走），则存在常数0<C类_我<∞，几乎可以肯定$\mathcal{C}（C_{2} t吨)\子集B（t）\子集\数学{C}（C_{1} t吨)所有大的$t吨，其中$\mathcal{C}（r）=[-r，r]^{d}$。在下一篇论文中，我们将使用这里给出的结果来证明一个完整的“形状定理”，即t吨⁻¹B类(t吨)几乎肯定收敛到非随机集B类₀，以原点为内点，使B类(t吨)在中是线性的t吨.

如果D类_A类≠D类_B类，那么我们只能证明上界$B（t）\子集\mathcal{C}（C_{1} t吨)最终为$。