具有保角分数阶导数的分数阶Lane–Emden方程的两种有效解法

摘要

本文介绍了求解一类分数阶Lane–Emden方程的保角分数阶导数（CL-M）的两种可靠有效的近似方法，即所谓的保角同伦–Adomian分解方法（CH-a）和保角剩余幂级数方法（CRP）。此外，所提出的方法将CL-M非线性情况的解表示为分数收敛级数，在该级数中可以方便地计算其分量。最后，通过图表给出了CL-M在不同值下的每种情况的结果α以证明其准确性、适用性和效率。

介绍

分数阶微积分是经典整数阶微积分（导数和积分）的推广，由于其在科学和工程中的重要作用，一直受到许多作者和研究人员的关注[1——5]. 对分数阶微积分领域感兴趣的读者知道，分数阶导数有许多定义，它们被用于描述许多科学领域中的几个实际问题；最重要和最著名的是黎曼-刘维尔、格伦瓦尔德-莱特尼科夫和卡普托衍生品[1,2,6——10]. Riemann–Liouville和Caputo在其构造中使用积分，特别是修改后的Cauchy积分公式。因此，有时我们需要复杂的计算来获得黎曼-刘维尔和卡普托意义上的分数导数。此外，它们不满足乘积、商和链式规则等非线性导数规则。最近，引入了分数导数的一个新定义，即所谓的共形分数导数，并引起了许多研究人员的注意，因为它包含了许多与常用导数相对应的特征，特别是莱布尼茨规则[11——16]. 该定义非常简单，比其他分数定义更受欢迎，因为它受到了很多关注，许多应用和现象可以基于CFD建模，它具有许多有趣的优点，例如：它是一种模拟正态导数的局部导数，因为它依赖于公式中的极限，它推广了普通微积分的所有概念，可以在所有情况下求解不同的分数阶微分方程。除此定义外，还有另一类局部导数，称为不可变换分数导数，为此，作者指出了出版物[17——22]. 近年来，许多作者处理并研究了Lane–Emden方程，因为它们被用来描述物理学和天体物理学中的许多现象[23——28].

本文的目的是利用共形同伦-Adomian分解法（CH-A）和共形剩余幂级数法（CRP）求具有共形分数阶导数（CL-M）的分数阶Lane–Emden方程的近似解；这两种方法对于求解非线性CL-M都是有效且易于使用的，无需线性化或离散化。与其他方法相比，这些技术的优点是可以通过为初始猜测近似值选择合适的值来直接对给定问题进行处理，并且它们还减少了复杂项计算中出现的困难[29——36].

本文的结构如下：在“前期工作第节，对保角分数阶导数进行了初步介绍。在“求解CL-M的CH-A第节，我们介绍了求解CL-M的CH-A求解CL-M的CRP“第节。最后得出结论。

前期工作

在本节中，将简要介绍保形分数导数的定义和性质[11,12,37——40].

定义1

给定一个函数\（y:[0，+\infty）\到\mathbb{R}\），然后是订单的CFDα属于年由以下人员提供：

$$C{{D}^{\alpha}}（y）（x）=\underset{\in\ to 0}{\mathop{\lim}}\，\frac{y（x+\ in{x}^{1-\alpha{}}）-y（x）}{\in}$$

(1)

为所有人x个>0,α∈(0,1). 如果年是α-在某些（0，一),一>0和\（\将{x\设置为0}{\mathop{\lim}}\，{{y}^{（\alpha）}}（x）\）存在，然后定义\（{{y}^{（\alpha）}}（0）=\underset{x\ to 0}{\mathop{\lim}}\，{y}（\alpha）{}（x）\）.

定义2

保角阶积分α定义如下：

$$CI_{t}^{\alpha}（y）（t）=\int\limits_{a}^{t}{y（x）{x}^{alpha-1}}dx}，\，a\ge 0$$

(2)

其中积分是通常的黎曼反常积分α∈(0,1).

引理1

让α∈（0,1]和（f）,克 b条e（电子） α-在一点上可微t吨>0，然后：

$$\开始{array}{*{20} 我}&1.\C{{D}^{alpha}}{{x}^{p}}=p{x}^{p-\alpha}}\\&2.\如果\，in，加法\，f，is，可微，则\，C{{D}^{alpha}f（x）={x}^{1-\alpha}}\frac{df}{dx}\end{array}$$

$$\开始{array}{*{20} 我}&3.\，C{{D}^{\alpha}}（\lambda）=0，\，对于\，all，标量\，函数\，y（x）=\lambda\\&4.\C{{I}^{\ alpha}（{x}^{mu}}）=\frac{\Gamma对于n\\&5.\C{{I}^{alpha}}（C{{D}^{alpha}}y（x））=y（x”）-\sum\limits_{k=0}^{n}{frac{{y}^{k}}}}\结束{数组}$$

求解CL-M的CH-A

在本节中，我们将介绍用于求解CL-M的CH-A；CH-A是一种混合方法，它结合了HAM和Adomian分解方法（ADM）。该技术中涉及的计算比标准HAM更容易，尤其是当CL-M中的非线性项使用Adomian多项式进行分解时。首先，让我们考虑订单的CL-M的一般形式α>0:

$$C{{D}^{2\alpha}}y+\frac{2\alpha}{{x}^{alpha}{}+C{{D}^{alpha}}y+f（y）=0$$

(3)

哪里x个>0和0<α≤1。

为了使用CH-A解决这个问题，首先，重写方程(三)，如下所示：

$$C{{D}^{\alpha}}[{{x}^{2\alpha}{C{{D}^{alpha}y]=-{x}^{2_alpha}f（y）$$

(4)

然后，积分方程式(4)两次关于x个，所以方程的一般分式解(三)由以下人员提供：

$$y（x）={{c}_{2} }+\int{{{c}_{1} }{{x}^{-2\alpha}}{{d}_{\alpha}}x-[\int{{x}^{-2\alpha{}}[\int}{x}^{2\alpha}f（y）{{d}_{\alpha}}x]{{d}_{\alpha}}x]}}}$$

(5)

哪里c（c）₁和c（c）₂是常数和d日_αx个=x个^1−αd日x个.

为了解方程(5)通过HAM，我们需要寻找辅助线性算子：

$$\mathcal{L}[\Phi（x，q）]=\Phi$$

(6)

我们现在将非线性算子定义为：

$$N[\Phi（x，q）]=\Phi-{{c}_{2} }-\int{{{c}_{1} }{{x}^{-2\alpha}}{{d}_{\alpha}}x+[\int{{x}^{-2\alpha{}}[\int}{x}^{2\alpha}{f（y）}}}{{d}_｛\alpha｝x]{{d}_{\alpha}}x]$$

(7)

因此米四阶(米≥1）变形方程可用Adomian多项式表示为：

$$ [{{y}（y）_{m} }-{{\text{}\！\！\chi\！\！\文本{}}{m}}{{y}（y）_{m-1}}]=\hbar H{{右}_{m} }（{{\覆盖{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{y}}{m-1}}）$$

(8)

哪里

$$美元{{右}_{m} }（｛\overset｛\scriptscriptstyle\rightharpoonup｝｛y｝｝_｛m-1｝）={{y}（y）_{m-1}}-（1-{{text{}\！\！\ chi\！\？text{}}_{m}}）({{c}_{2} }+\int{{{c}_{1} }{{x}^{-2\alpha}}{{d}_{\alpha}}x-[\int{{x}^{-2\alpha{}}[\int}{x}^{2\alpha}}{{答}_{m} }}}{{d}_{\alpha}}x]{{d}_{\alpha}}x]）$$

(9)

因此

$$ {{y}（y）_{m} }={{\text{}\！\！\chi\！\！\文本{}}{m}}{{y}（y）_{m-1}}+\hbar H{{右}_{m} }（{{\覆盖{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{y}}{m-1}}）$$

(10)

从初始近似值开始：

$$ {{y}（y）_{0}}={{c}_{2} }+\int{{{c}_{1} }{{x}^{-2\alpha}}{{d}_{\字母}}x}$$

(11)

因此，我们有：

$$美元{{y}（y）_{m+1}}（x）=-[\int{{x}^{-2\alpha}}}[\int}{x}^{2\alpha}{}{{答}_{m} }}{{d}_{\alpha}}x]{{d}_{\alpha}}x]，\，\，，\，m=0,1,2，…\，\$$

(12)

哪里

$${{chi}_{m}}=\left\{begin{array}{ll}0，&m\le1\\1，m>1\\end{arrays}\right.\\$$

和\（\左\{{{答}_{m} }\right\}_{m=0}^{+\infty}\）是的Adomian多项式集（f）(年)其定义如下：

$$美元{{答}_{m} }=\frac{1}{m！}\frac{{d}^{m}}{d{{theta}^{ms}}[f（\sum\limits{i=0}^{+\infty}{{theta}^{i}}{{y}（y）_{i} }）{{]}_{\theta=0}}，\，\，，m=0,1,2，…\，\$$

(13)

最后，方程的精确解(三)可通过以下公式计算：

$$y（x）=\sum\limits_{m=0}^{+\infty}{{{y}（y）_{m} }（x）}$$

(14)

和n个方程的四阶近似解(三)由以下人员提供：

$$ {{y}（y）_{n} }（x）=\sum\limits_{m=0}^{n}{{{y}（y）_{m} }（x）}$$

(15)

现在，我们检查一些已知的和迷人的案例，这些案例是由等式(三)如下：

案例1

设置（f）(年)=年^k个,k个=0,1,2,.... 在等式中(三)，然后为x个>0被调用：

$$C{{D}^{2\alpha}}y+\frac{2\alpha}{{x}^{\alpha}{}C{{D}^{alpha}y+{y}^{k}}=0，\，\，0<\alpha\le 1，\，，\，k=0,1,2，…\，\$$

(16)

第一类CL-M。

为了解决这个问题，我们应用公式(13)计算Adomian多项式集\（\左\{{{答}_{k} }\right\}_{k=0}^{+\infty}\）非线性函数的（f）(年)=年^k个.

因此，根据公式(14)，等式的一般分式解(16)如下所示：

$$\y（x）=\sum\limits_{m=0}^{+\infty}{{{y}（y）_{m} }（x）}$$

哪里年₀由等式给出(11)和年_米,米=1,2,3,..., 由等式给出(12).

问题1

设置初始条件年（0）=1和年^′（0）=0进入方程式(16)，则方程(16)根据Adomian多项式，由方程给出(11), (12)、和(14)分别是。

问题2

设置k个=0进入等式(16)，然后我们有：

$$C{{D}^{2\alpha}}y+\frac{2\alpha}{{x}^{alpha}{}C{{D}^{alpha}y+1=0，\，\，0<\alpha\le 1$$

（17）

根据问题1中给出的初始条件，通过两次积分，得到该方程的精确解（见图1)可通过以下方式获得：

$$y（x）=1-\frac{{x}^{2\alpha}}}{6{{alpha}^{2}}}$$

(18)

图1

方程式的CH-A解(17)

问题3

设置k个=等式中的1(16)并使用初始条件年（0）=1和年^′（0）=0，则我们有：

$$C{{D}^{2\alpha}}y+\frac{2\alpha}{{x}^{alpha}{}C{{D}^{alpha}y+y=0，\，\，0<\alpha\le 1$$

(19)

根据公式(11)和(12)，使用A类₀=年₀,A类₁=年₁,A类₂=年₂,e（电子）t吨c（c）.，然后是等式的解(19)是（见图2):

$$y（x）=1-\frac{{x}^{2\alpha}}}{6{{alpha}^{2}}+\frac}{{x{^{4\alpha}{120{{alfa}^{4}}}-\ frac{}{x}^{6\alpha{}}{5040{{alba}^{6}}}$$

(20)

图2

方程式的CH-A解(19)

问题4

设置k个=2到等式(16)并使用初始条件年（0）=1和年^'（0）=0，则我们有：

$$C{{D}^{2\alpha}}y+\frac{2\alpha}{{x}^{alpha}{}C{{D}^{\alpha}y+{y}^{2}}=0，\，\，0<\alpha\le 1$$

(21)

也可以使用公式(11)和(12)，使用\({{答}_{0}}=y_{0}^{2}，\，\{{答}_{1}}=2{{y}（y）_{0}}{{y}（y）_{1}},\,\,{{答}_{2}}=2{{y}（y）_{0}}{{y}（y）_{2} ｝+y_｛1｝^｛2｝，\等\），则方程(21)是（见图三):

$$y（x）=1-\frac{{x}^{2\alpha}}}{6{{alpha}^{2}}+\frac}{x}^{4\alpha}{60{{alfa}^{4}}}-\frac{11{x}#6\alpha{}}{7560{{alpha}^6}}}$$

(22)

图3

方程式的CH-A解(21)

案例2

考虑（f）(年)=e（电子）^年如等式(三)，然后为x个>0被调用：

$$C{{D}^{2\alpha}}y+\frac{2\alpha}{{x}^{alpha}{}}C{{D}^{\alpha}y+{e}^y}=0，\，\，0<\alpha\le 1$$

(23)

第二类CL-M。

解决问题(23)使用CH-A并根据公式(11)和(12)，使用\({{答}_{0}}=1,\,\,{{答}_{1}}={{y}（y）_{1}},\,\,{{答}_{2}}={{y}（y）_{2} }+\压裂{1}{2} 年_{1}^{2},\,\,{{答}_{3}}={{y}（y）_{3}}+{{y}（y）_{1}}{{y}（y）_{2} }+\frac{1}{3！}y{1}^{3}，\，…，\）解决方案如下：

$$ {{y}（y）_{0}}=0,\,\,{{y}（y）_｛k+1｝｝（x）=-[\int｛｛x｝^｛-2\alpha｝｝｝{{答}_{k} }}{{d}_{\alpha}}x]{{d}_{\alpha}}x]，\，\，，\，k=0,1,2，…\，\$$

(24)

因此，一般分数幂级数解为（见图4)给出人：

$$y（x）=-\frac{{x}^{2\alpha}}}{6{{alpha}^{2}}+\frac}{{x{^{4\alpha}{120{{\alpha{4}}}-\frac{{xneneneep ^{6\alpha}}{1890{{\alpha}^6}}}$$

(25)

图4

方程式的CH-A解(23)

求解CL-M的CRP

CRP的实现将在本节中描述，以便获得由等式表示的CL-M的分数幂级数解(三)根据初始条件：

$$y美元({{x}_{0}}）=a，\，\，{y}'({{x}_{0}}）=b$$

(26)

等式的解(三)关于方程式(24)由CRP提出，作为关于初始点的分数幂级数展开x个=x个₀如下：

$$y（x）=\sum\limits_{m=0}^{+\infty}{{{y}（y）_{m} }（x）}$$

(27)

哪里年_米表示为\({{y}（y）_{m} }={{c}_{m} }\裂缝{{（x-{{x}_{0}}）}^{m\alpha}}}{{{alpha}^{m}}m！}，\，\，m=0,1,2，…\，\，.\）

显然，对于这个案例米=0,1，我们从方程(26)那个c（c）₀=一和c（c）₁=b条.

通过将总和截断为等式(27)，我们得到k个近似级数：

$${y}^{k}}（x）=\sum\limits_{m=0}^{k}{{{c}_{m} }\裂缝{{（x-{{x}_｛0｝｝）｝^｛m\alpha｝｝｝｛｛\alpha｝^｛m｝｝｝m！｝$$

(28)

对于分数幂级数方程的收敛性(28)，我们建议查看[41].

为了简化，在使用CRP之前，公式(三)可采用以下形式书写：

$${{x}^{\alpha}}C{{D}^{2\alpha}y+2\alpha C{{D}^{\ alpha}{y+{x}^{\alpha}f（y）=0$$

(29)

现在，要评估c（c）_米出现在等式给出的级数展开式中(28)，替换年^k个(x个)转化为等式(29)，我们得到以下结果k个第个剩余函数：

$$\开始{array}{*{20} 我}{{\operatorname{Res}}^{k}}（x）=&{{x}^{alpha}}\sum\limits_{m=2}^{k}{{\alpha}^{2}}m（m-1）{{c}_{m} }\裂缝{{（x-{{x}_{0}}）}^{（m-2）\α}}{{{\α}^{m}}m！}+2\alpha}\sum\limits_{m=1}^{k}\alpha m{{c}_{m} }\裂缝{{（x-{{x}_{0}}）}^{（m-1）\α}}{{{\α}^{m}}m！}\\&+{{x}^{\alpha}}f\left（\sum\limits_{m=0}^{k}{{{c}_{m} }\裂缝{{（x-{{x}_{0}}）}^{m\alpha}}}{{{\alpha{^{m}}m！}}\右）\end{array}$$

然后，\（{{\operatorname{Res}}^{\infty}}（x）=\underset{k\to\infty}{\mathop{\lim}}\，{{\operatorname}}^}}明确Res^∞(x个)=每个为0x个∈[x个₀,x个₀+一].

此外，C类D类^(k个−1)α雷斯^k个(x个₀)=0,k个=1,2,3,...,k个它来自引理1（属性3），这是计算系数的基本规则c（c）_米,米=2,3,...,k个.

然而，发现c（c）_米求解代数表达式的要求：

$$C{{D}^{（k-1）\alpha}}{{\operatorname{Res}}^{k}}({{x}_{0}}）=0，\，x\英寸[{{x}_{0}},\,{{x}_{0}}+a]$$

(30)

以这种方式，所有期望的系数c（c）_米将被找到。

用于求解方程式(三)使用CRP，等式的不同情况(三)将讨论如下：

• 考虑等式(17)，以初始条件为准年（0）=1和年^′（0）=0，根据上面给出的初始条件，使用公式(30)因此，我们有\({{c}_{0}}=1,\,{{c}_{1}}=0,\,{{c}_{2} }=\压裂{-1}{3}，\{{c}_{m} }=0\，代表\，全部\，m\ge 3，\）将这些值代入公式(28)那么，这种情况下的一般分数级数解可以通过以下方式获得：

  $$\{y}^{infty}}（x）=1-\frac{{x}^{2\alpha}}}{6{{alpha}^{2}}}$$

  方程式CRP解的性质(17)如图所示1.

• 在这种情况下，考虑中的问题结合了公式(21)连同初始条件年（0）=1和年^′（0）=0也根据给定的初始条件和等式(30); 那么，我们有${{c}_{0}}=1,\,{{c}_{1}}=0,\,{{c}_{2} }=\压裂{-1}{3}，\{{c}_{3}}=0,\,{{c}_{4} }=\压裂{2}{5}，\{{c}_{5}}=0,\,...${c}_{0}}=1,\,{{c}_{1}}=0,\,{{c}_{2} }=\压裂{-1}{3}，\{{c}_{3}}=0,\,{{c}_{4} }=\压裂{2}{5}，\{{c}_{5}}=0,\,...\); 然后，分数幂级数解为：

  $$\{y}^{6}}（x）=1-\frac{{x}^{2\alpha}}}{6{\alpha}^{2}}}+\frac}{x}^{4\alpha{}}{60{\alfa}^{4}}}-\frac{11{x}|{6\alpha}}{7560{{$$

  此外，等式CRP解的性质(21)如图所示三.

• 考虑方程给出的问题(23)关于初始条件年（0）=0和年^′（0）=0，则在考虑初始条件后，采用公式(30)，我们得到${{c}_{0}}={{c}_{1}}=0,\,{{c}_{2} }=\压裂{-1}{3}，\{{c}_{3}}=0,\,{{c}_{4} }=\压裂{1}{5}，\{{c}_{5}}=0,\,...${c}_{0}}={{c}_{1}}=0,\,{{c}_{2} }=\压裂{-1}{3}，\{{c}_{3}}=0,\,{{c}_{4} }=\压裂{1}{5}，\{{c}_{5}}=0,\,...\); 因此，这种情况下的分数幂级数解是：

  $$\{y}^{6}}（x）=-\frac{{x}^{2\alpha}}{6{\alpha}^{2}}}+\frac}{x}^{4\alpha{}}{120{{\alfa}^{4}}}-\frac{{x{6\alpha}}{1890{{\alpha}^6}}}}$$

  等式CRP溶液的质量(23)如图所示4.

结论

本文应用CH-A和CRP求出了几类CL-M的无穷分数幂级数的近似解析解。提出的方法引入了一种简单的方法来计算快速收敛到精确解的解的分量。CH-A和CRP的结果证明，这些算法在CL-M的非线性情况下是高效和方便的，可以用于检验一类非线性分数阶数学模型。