具有不可拉伸纤维的大应变各向异性材料的有限元公式

摘要

具有不可拉伸纤维的各向异性材料在数学公式中引入了约束。当纤维在某一方向上具有高刚度，并且有相对较弱的基体材料支撑这些纤维时，通常会出现这种情况。在有限元法等数值求解方法中，与矩阵相比，在这种情况下，约束的存在与可能的光纤不可拉伸性有关，从而导致所谓的锁定现象。这可以通过特殊的插值方案来克服，对于体积约束（如不可压缩性和接触约束），已经进行了广泛的讨论。对于各向异性材料行为，最严重的情况与不可拉伸纤维有关。本文开发了一种混合方法，可以处理具有不可拉伸纤维的各向异性材料，这些纤维可以松弛为可拉伸纤维。为此，采用了一种从体积约束建模中得知的经典安萨茨（ansatz），它是可用于有限应变区的主要稳定单元。

背景

在过去的十年中，发展了许多不同的方法来建立具有不可拉伸纤维的各向异性材料的有限元。问题是纤维和基体材料之间的高刚度比，在不可拉伸纤维的极限情况下，该比趋于无穷大。这在物理上与精确满足与纤维在某些方向上的不可拉伸性相关的运动约束有关。

通常，拉格朗日乘子方法为满足小变形和有限变形的此类约束提供了可能性。本文采用拉格朗日乘子法模拟有限应变下的各向异性材料行为。此外，还使用了一种放松的形式，即扰动拉格朗日公式来模拟可伸长纤维。采用标准位移插值的有限元方法无法解决包含极端约束的边值问题。这导致了众所周知的锁定现象。

锁定问题的主要来源是数学公式必须处理约束，或者设置为近似满足约束，如惩罚或其他相关方法。对于体积约束情况下的几何线性问题，对这些问题进行了很好的分析，参见例如[4,13,28,30]. 他们很早就在数学界进行了调查，参见[三,7]，并且现在已经很好地理解了导致Babuska–Brezzi（BB）状况的原因。它可以用来研究线性范围内混合有限元的稳定性行为。在非线性问题中，BB条件只能用于分析的某些阶段，参见例如[9].

过去几年，计算力学采用了不同的策略来规避锁定效应。很明显，用一阶形状函数（双线性或三线插值）插值单元内变形或位移场的单元ansatz函数，在应用于不可压缩性或明显各向异性材料行为等约束问题时，不能正确收敛。因此，研究了不同的变分公式，以构建可用于约束问题的有限元。方法包括减少集成和稳定，参见例如[31]对于线性情况。在文献中可以找到许多变体。结果表明，简化积分必须与稳定化一起使用，并且可以扩展到非线性问题，如[6,17]导致一般情况下，元件不会因不可压缩变形而锁定。此外，由于集成度降低，这些元素非常有效。然而，稳定元件依赖于人工稳定参数，因此在某些情况下，数值解可以依赖于这些参数。

基于混合变分原理的公式胡瓦祖，例如参见Simo及其同事，他们首先为几何线性引入了增强应变元件，例如参见[24]然后对于大变形[22,23]. 然而，这些元素描述了某些变形状态下的非物理不稳定性。

其他稳定的混合有限元公式在小变形和各向同性的框架中表现良好，例如参见[5,8]. 中讨论了有限变形问题的扩展[1,2]对于不可压缩的情况。对于有限应变各向异性材料行为，找到好的有限元公式更为复杂。许多为纤维增强材料设计的经典方法描述了非物理行为，参见例如[12,27]. 关于各向异性行为数学模型的正确公式的讨论可以在例如[11,18]. 这些作者指出，所有与纤维相关的项都必须由完整变形张量而不是其等容部分在能量中提供。

使用特殊稳定性的简化积分方案已成功应用于复合增强材料的模拟，参见Hamila和Boisse[10]. 此外，特殊插值消除了复合材料的锁定行为，参见ten Thjie和Akkerman[26]. 仍然有许多研究人员使用基于Hu-Washizu的位移、膨胀和压力公式，这些公式是由[25]，对于具有高刚性纤维的几乎不可压缩材料（如动脉壁），请参见[29]以及其中的参考文献。然而，对于具有不可拉伸纤维的强各向异性材料，这些方法的性能有限，尤其是在有限应变下。

年提出了一种新的配方[21]世卫组织介绍了一种特别针对各向异性材料开发的新型有限元公式，该公式基于各向同性张量函数，如[19,20]. 在那里，与各向异性相关的约束由附加变形测量控制。通过一个不连续的ansatz引入了二阶张量拉格朗日乘子。这种方法提供了降低各向异性部分插值顺序的机会，因此能够放松各向异性引起的约束。该公式为解决各向异性材料承受大应变的问题提供了一种稳定的方法。

本文采用了不同的方法。这里，纤维方向的不可拉伸性约束被表示为约束，也被表示为极限情况。为此，在拉格朗日乘子方案中引入了约束方程。这允许为纤维方向的位移场以及纤维力选择安萨茨函数。此外，引入了扰动拉格朗日公式来放松约束条件，并能够引入真实的纤维刚度。由于纤维在受到压缩力时可能会发生局部弯曲，因此引入了一种特殊形式的约束，这种约束仅适用于张力状态。此外，该配方可用于增强纤维方向的应变状态，该应变状态可能与生物力学应用中的肌肉收缩或纤维中的特定压电效应有关。

使用基准问题将开发的元素配方的性能与现有配方进行比较。所有数值结果都是使用在[14–16].

具有不可拉伸纤维的各向异性材料在大应变下的行为

本节总结了有限弹性各向异性响应问题的连续介质力学背景。该公式被简化为在AceGen中计算问题所需的必要方程式。由于使用了自动微分，因此省略了许多推导。所有公式都是关于初始配置的。该公式采用混合方法解释了横向各向同性材料的行为。假设材料在给定的纤维方向上不可延伸\（{\mathbf{a}}\）.

连续介质力学

让我们介绍一下变形\（{\varvec{\varphi}}（{\mathbf{X}}，t）\）将初始配置的点映射到当前或变形配置。可以使用初始配置和位移场的坐标计算该变形：\（{\varvec{\varphi}}（{\mathbf{X}}，t。使用此变形贴图，可以将变形梯度计算为

$$\begin{aligned}{\mathbf{F}}=\text{Grad}\，{\varvec{\varphi}}（{\mathbf{X}}，t）=\text}Grad}，（{\mathbf{X{}}+{\math2f{u}}$$

(1)

哪里\（｛\mathbf｛H｝｝＝\text｛Grad｝\，｛\mathbf｛u｝｝（｛\mathbf｛X｝｝，t）\）注意，音量变化J定义为变形梯度的行列式：\（J=\det{\mathbf{F}}\）.

基于变形梯度，柯西-格林张量可以表示为

$$\开始{aligned}{\mathbf{C}}={\mathbf{F}}^T\，{\mat血红蛋白{F}}。\结束{对齐}$$

(2)

基于这些运动学量，可以建立超弹性材料的应变能函数。以下各向同性应变能函数\（W^{iso}\）可用于描述材料各向同性部分的行为：

$$\begin{aligned}W^{iso}（{\mathbf{u}）=\frac{\mu}{2}（\，\text{tr}\，{\mathbf{C}}-3-2\，\log J\，）+\frac{\lambda}{4}（\，J^2-1\log J，），\end{alinged}$$

(3)

哪里\（\mu\）和\（λ）是Lame常数，参见例如[28]. 也可以选择描述超弹性材料行为的任何其他应变能函数。

运动学各向异性约束

强制执行约束，以确保材料不会向该方向延伸\（{\mathbf{a}}\）导致以下情况

$$\开始{aligned}{\mathbf{a}}\cdot{\mathbf{E}}\，{\mat血红蛋白{a}=0，\end{aligned}$$

(4)

哪里\（{\mathbf{E}}\）是格林-拉格朗日应变张量

$$\开始{aligned}{\mathbf{E}}=\frac{1}{2}\，（{\mathbf{F}}^T{\mathdf{F{}}-{\mat血红蛋白{1}}）=\frac{1}{2}，（{\ mathbf{C}}-}）。\结束{对齐}$$

(5)

因为使用右柯西-格林张量更简单\（{\mathbf{C}}={\mathbf{F}}^T{\mat血红蛋白{F}{\）这个约束可以写成

$$\开始{aligned}2\，{\mathbf{a}}\cdot{\mathbf{E}}\，{\mathbf{a}}={\mat血红蛋白{a}{cdot（{\mathpf{C}}-{\math2f{1}}）}\，\，\Vert{\mathbf{a}}\Vert=1\end{aligned}$$

（6）

此外，我们可以通过替换结构张量来书写M（M）,

$$\开始{对齐}{\mathbf{a}}\cdot{\mathbf{C}}\，{\mathpf{a{}}={\mat血红蛋白{C}{\cdot}\mathbf{M}}=\text{tr}[\，{\ mathbf}C}}{\mathbf{M}{\，]\quad\text{with}\，\，{\\mathbf\M}}={\mathbf{a}}\otimes{\mat乙肝f{a}}。\结束{对齐}$$

(7)

很容易证明\（\text{tr}[\，{\mathbf{C}}{\mathbf{M}}\，]\）产生以下方向的拉伸\（{\mathbf{a}}\）.因此

$$\begin{aligned}\lambda_c^2=\text{tr}[\，{\mathbf{c}}{\mathbf{M}}\，]\end{aligned}$$

(8)

如果光纤在\（{\mathbf{a}}\）导致\（λ_c^2=1\）.

拉格朗日乘数公式

基于这些运动学关系，可以制定拉格朗日乘子法的不同约束和相关形式：

• 一个约束。拉格朗日乘数项与材料的约束有关，该材料在方向上不可延伸\（{\mathbf{a}}\）收益率(7)

  $$\开始{对齐}W^{tiL}（{\mathbf{C}}，\sigma_C）=\sigma-C\，（\text{tr}[\，{\mat血红蛋白{C}{\mathbf{M}}\，]-1）\end{aligned}$$

  (9)

  哪里\（西格玛{c}）是拉格朗日乘数，物理上表示与约束相关的纤维应力。

• 几个约束。对于多个约束方向，可以引入\（n_c\）附加方向单位矢量\（{\mathbf{a}}_i\）和相关的结构张量\（{\mathbf{M}}_{i}\）并重新制定(9)

  $$\开始{对齐}W^{tiL}（{\mathbf{C}}，\sigma{C\，i}）=\sum_{i=1}^{n_C}\sigma{C\、i}\，（\text{tr}[\，{\mathbf{C{}}{\mathpf{M}}_{i}，]-1）\end{aligned}$$

  (10)

• 仅针对张力的约束。如果纤维系统的响应仅在张力状态下发生(9)可以使用Macauley括号重新写入：\（\langle x\rangle=\frac{1}{2}（x+\Vert x\Vert）\）。此选择产生

  $$\begin{aligned}W^{tiL}（{\mathbf{C}}，\sigma_C）=\sigma-C\，\langle\text{tr}[\，{\mat血红蛋白{C}{\mathbf{M}}\，]-1\rangle^\alpha\end{alinged}$$

  (11)

  哪里\（\字母\）是可以在范围内选择的正整数\（（1，\ldots，4））.

• 给定拉伸的约束。如果拉伸\（\bar{\lambda}_c\）是按照一定的方向规定的\（{\mathbf{a}}\），然后可以使用(8)，约束

  $$\开始{对齐}W^{tiL}（{\mathbf{C}}，\sigma_C）=\sigma-C\，（\，\text{tr}[\，{\mat血红蛋白{C}{\mathbf{M}}\，]-\bar{\lambda}_C^2\，）。\结束{对齐}$$

  （12）

现在是\（W^{tiL}（{\mathbf{C}}，\sigma_C）\），可以用于公式化应变能的最终形式

$$\begin{aligned}W（{\mathbf{C}}（{\mathbf{u}}），\sigma）=W^{iso}（}\mathbf{C}））+W^{tiL}（[{\mat血红蛋白{C}]（{\mathbf{u}}，\simma_C）。\结束{对齐}$$

(13)

所有添加内容\（W^{tiL}（{\mathbf{C}}，\sigma_C）\）应变能(三)由于位移场未知，导致纯混合形式\（{\mathbf{u}}\）和纤维应力\（σc）.

摄动拉格朗日公式

此外，还可以使用所谓的摄动拉格朗日公式，如下所述

$$\开始{对齐}W（{\mathbf{C}}，\sigma）=W^{iso}（{\mathbf{C}}）+W^{tipL}（}\mathbf{C}，\sigma）。\结束{对齐}$$

（14）

具有

$$\开始{对齐}W^{tipL}（{\mathbf{C}}，\sigma_C）=\sigma-C\，（\text{tr}[\，{\mathbf{C{}}{\mathcf{M}}\，]-1）-\frac{1}{2\，C_C}\，\simma_C^2\end{aligned}$$

(15)

又来了\（C_C\）是一个惩罚参数。对于\（C_C\rightarrow\infty\）(15)减少到(13). 扰动拉格朗日公式将连续形式引入惩罚方法，但对于不同的安萨茨空间\（西格玛C）和位移场\（{\mathbf{u}}\）它可以导致不同的有限元格式。

扰动拉格朗日公式也可用于引入与纤维物理行为相关的纤维刚度。在这种情况下\（抄送）具有物理意义。

处罚规定

惩罚方法提供了一种公式，可以通过引入与约束相关的惩罚项来近似约束方程。相关公式包括约束(8)应变能如下

$$\开始{对齐}W^p（{\mathbf{C}}）=W^{iso}（{\mathbf{C}}，）+W^{pen}（}）。\结束{对齐}$$

(16)

具有

$$\开始{对齐}W^{笔}（{\mathbf{C}}）=\frac{C_C}{2}\，（\text{tr}[\，{\mathbf{C{}}{\mathcf{M}}\，]-1）^2\end{对齐{$$

(17)

在这里\（抄送）是一个惩罚参数。对于\（C_C\rightarrow\infty\）(15)可以看出，约束得到了精确的满足。¹惩罚公式也可用于引入与纤维物理行为相关的特定纤维刚度。在这种情况下\（C_C\）具有物理意义。

混合元素配方

对于混合插值，选择并比较了四面体和六面体单元。对于这两种单元公式，位移场的二次插值\（{\mathbf{u}}\）以及混合变量的线性插值\（σc）已选中。这一选择的动机是不可压缩约束的经典混合公式。对于具有非拉伸纤维的各向异性材料，变量\（σc）是与约束相关的应力分量，例如\（{\mathbf{a}}\）.

注意，在带有约束的不可压缩性的混合形式中\（（J-1）\），与行列式有关\（{\mathbf{F}}\），变形梯度分量的三次函数描述了该约束。在约束的情况下(9)对于各向异性材料，该函数只是变形梯度分量的二次形式。因此，不明显的是，相同的插值选择\（σc）就足够了。²

对于混合有限元的公式，我们从公式(9). 因此必须计算结构张量\（{\mathbf{M}}\）这取决于矢量\（{\mathbf{a}}\）提供各向异性的方向。矢量\（{\mathbf{a}}\）定义为单位向量

$$\开始{aligned}{\mathbf{a}}=\{a_x，a_y，a_z\}\，/\，\sqrt{a_x^2+a_y^2+a-z^2}。\结束{对齐}$$

(18)

现在安萨茨函数用于位移场和拉格朗日乘数（纤维应力）\（σc）必须制定。近似位移场的二次形状函数

$$\开始{aligned}{\mathbf{u}}_{e}=\sum_{I=1}^{n_u}\，n_I（\xi，\eta，\zeta）\，{\mathbf{uneneneep}_{I}\end{aligned}$$

（19）

如下所示

• 对于10个节点的四面体(\（n_u=10）)

  $$\开始{aligned}N_1=&{}（2\xi-1）\xi，\，，N_2=（2\eta-1）\eta，\，\，N_3=（2\\zeta-1）\zeta，\ N_9=4\eta\kappa，\，\，N_{10}=4\zeta\kappa\end{aligned}$$

  (20)

  具有\（\ kappa=1-\xi-\eta-\zeta\）和

• 有27个节点的六面体(\（n_u=27）)

  $$\begin{aligned}N_I（\xi，\eta，\zeta）=N_I$$

  (21)

  具有\（I=1，\ldots，27）.\（N_I）\）顶点节点由

  $$\begin{aligned}N_I（s）=\frac{1}{2}（1-s_I）[s（s-1）]+\frac}{2{（1+s-I）[s+1）]\end{alinged}$$

  对于秒要么\（\xi，\eta\）或\（\泽塔\）.在这里\（SI\）与参考坐标空间中六面体顶点节点的特定坐标有关\（（\xi，\eta，\zeta）\）具有\（\xi_I=\{-1，+1\}\）,\（\eta_I=\{-1，+1\}\）和\（\泽塔_I=\{-1，+1\}\），见图。1对于中间节点，形状函数\（N_I）\）由提供

  $$\开始{aligned}N_I=（1-s^2）\结束{aligned}$$

  具有\（xi=0）,\（eta_I=0\）和\（\泽塔_I=0\）.

图1

二次四面体和六面体单元的节点

此外，拉格朗日乘子插值的线性形状函数\（σc）是相对于四个边节点为四面体定义的(\（n{\sigma}=4\）)

$$\begin{aligned}N_{\sigma\，1}=\xi，\quad N_{\sigma\，2}=\eta，\ quad N_{\sigma \，3}=\zeta，\quad-N_{\ sigma\，4}=\kappa\end{alinged}$$

(22)

以及相对于八个边节点的六面体(\（n{西格玛}=8）和\（K=1，\ldots，8\）)作为

$$开始{对齐}N_{\sigma\，K}=\frac{1}{8}（1+\xi\，\xi_K）（1+\ eta\，\eta_K）$$

(23)

这些将用于插值拉格朗日乘数（纤维应力）\（{\西格玛c}\）与元素内的约束相关

$$\开始{aligned}\sigma_c=\sum_{K=1}^{n_{\sigma}}\，n_{\sigma\，K}（\xi，\eta，\zeta）\，\sigma_K.\end{aligned}$$

（24）

此外，我们需要定义有限元内的坐标，以形成等参映射。使用\（\pmb｛\zeta｝=（\xi，\eta，\zeta）\）它如下

$$开始{对齐}{\mathbf{X}}_{e}=\sum_{J=1}^{n_u}\，n_{J}（\pmb{\zeta}）。\结束{对齐}$$

(25)

基于此ansatz函数，元素内的变形梯度e（电子）通过计算得出

$$\开始{aligned}{\mathbf{F}}_{e}={\mathbf{1}}+\text{Grad}\，{\mat血红蛋白{u}}_}=\sum_{I=1}^{n_u}{\mathbf{u}{I}\otimes{\mathpf{J}}{e}^{-T}\，\nabla_\zeta\，n_I\end{aligned}$$

(26)

用等参映射的雅可比矩阵

$$\开始{aligned}\mathbf{J} （_e）=\sum_{I=1}^{n_u}{\mathbf{X}}{{I}\otimes\nabla_\zeta\，n_I.\end{aligned}$$

现在是雅各布斯\（J_e\）变形梯度的\（{\mathbf{F}}_{e}\）在元素内通过以下方式获得\（J_e=\det\，{\mathbf{F}}_{e}\）此外，Cauchy-Green张量\（{\mathbf{C}}_{e}\）以及\（{\mathbf{C}}_{e}\，{\mathbf{M}}\）然后可以在元素级别进行计算。需要后一个数量来表示约束(7).

在这个贡献中，我们将使用工具AceGen公司生成有限元代码。利用所有这些运动学量，上述应变能之一，例如(14)可以公式化。当使用AceGen来推导元素剩余向量和切线矩阵时，这就足够了。AceGen代码的基本部分与扰动拉格朗日公式有关，如图所示。2.

图2

的一部分AceGen公司基于横向各向异性材料摄动拉格朗日公式的混合元代码

示例

通过几个数值算例，说明了新公式在不同载荷情况下的性能。在这些示例中，比较了以下离散化方案：

• 约束公式的四面体元素(9), (10), (11)和(12)使用二次安萨兹函数(21)有关变形和线性模拟，请参见(23)，对于拉格朗日乘数\（σc）这些元件在下文中被标记为T2-A1。

• 摄动拉格朗日公式的四面体单元(15)使用二次安萨兹函数(20)有关变形和线性模拟，请参见(22)，对于拉格朗日乘数\（σc）这些元素在下文中标记为T2-A1-P。

• 约束公式的六面体元素(9), (10), (11)和(12)使用二次安萨兹函数(20)有关变形和线性模拟，请参见(22)，对于拉格朗日乘数\（σc）这些元素在下文中标记为H2-A1。

• 摄动拉格朗日公式的六面体元(15)具有二次变换函数(21)有关变形和线性模拟，请参见(23)，对于拉格朗日乘数\（σc）这些元素在下文中标记为H2-A1-P。

出于比较原因，制定了标准位移元素以及基于惩罚方法的元素(16). 这些元素是

• 基于二次安萨茨函数的四面体单元(20)用于变形。这些元素被标记为T2，而相关的惩罚元素则标记为T2-P。

• 基于二次ansatz函数的六面体单元(21)用于变形。这些元素标记为H2，相关的惩罚元素为H2-P。

所有示例均承受导致有限变形应变状态的载荷。

库克膜问题

一个将显示出明显各向异性响应的例子是库克薄膜问题，它是一个固定在左端的锥形悬臂梁。结构物的右端承受恒定垂直荷载，如图所示。三.

图3

悬臂梁的初始配置

Lame常数的选定日期为\（\mu=500\）和\（λ=1000\）各向异性方向由下式给出\（{\mathbf{a}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\{1,1,1\}）为了在悬臂梁左端夹紧悬臂梁\（X=0）在中设置为零x个-,年-和z（z）-方向。总分布荷载为\（p_0=250\）它被应用于不同的加载步骤，稍后将进行讨论。

图4

悬臂梁的四面体网格\（N=2、4、8、16）

图5

悬臂梁的六面体网格\（N=2、4、8、16）

用于计算解的不同网格密度，见图。4对于四面体和图。5对于六面体。选择网格序列以使较细的网格包含在较粗的网格中。这使得收敛性研究能够描述公式的差异。数字N个表示网格划分，见表1.

表1网格密度

图6

荷载-位移曲线：\（\lambda\）相对于位移分量年-和z（z）-点（48,52,5）处的方向和最终配置处的变形形状

图7

收敛性研究，约束条件

图8

刚度参数的影响\（抄送）关于中的位移分量年-和z（z）-点（48,60,5）处的方向

图9

收敛性研究，惩罚与扰动拉格朗日，\（C_p=10^6）

在第一次计算中，使用\（N=16\）用于获得库克膜问题的荷载-位移曲线。用于此模拟的元素是H2-A1-P配方。荷载以10个均匀荷载增量施加\（\lambda\）具有\（Delta\lambda=0.25\）。扰动公式的参数选择为\（C_C=10^6）.

对于荷载-位移曲线的计算，中间节点的垂直位移\（（X，Y，Z）=（48,52,5）悬臂梁右端平面的选择与荷载方向的响应有关\（p_0\），见图。三荷载-位移曲线如图所示。6此外z（z）-绘制的方向显示了悬臂梁由于各向异性材料而产生的平面外变形。

图中右侧变形网格。6计算网格为\（16乘16乘8）总自由度为59058度的元件。最终配置的变形清楚地描述了变形形状中的扭曲，这是由于大变形时的各向异性约束造成的。通过几个加载步骤计算了该解。总共对图中报告的所有离散化应用了八个加载步骤。7收敛性能稳健，所有离散化都需要每个加载步骤六次迭代才能获得收敛。在这个求解过程中，观察到牛顿型收敛。当使用AceFEM的自动负载步进方案时，可以在五个负载步进中施加总负载，这将迭代的总次数减少到33次，从而导致计算时间减少约1.5倍。

使用拉格朗日乘子公式对完全约束情况进行了收敛性研究(9). 对元素配方H2-A1和T2-A1进行了比较。图7描述了点（48,60,0）处垂直位移的收敛。

可以观察到，六面体单元对粗网格的性能稍好。这里我们必须承认最粗的网格(\（N=2）)四面体单元的三角化是不对称的，因此会有一定的偏差。然而，最粗网格的位移接近最终结果，大约只有5%的偏差。

为了显示解对惩罚或纤维刚度参数的依赖性\（抄送）进行了一系列计算。扰动公式(14)使用了网格划分\（N=8）挑选出来的。

这里可以观察到一对惩罚参数不强制\（C_C\le 10）然后是纤维刚度改变变形状态的中间阶段。这与以下参数有关\（10\le C_C\le 10^5\）。最终来自\（C_C>10^5\）没有进一步的更改，因此参数足以实施约束。此外，我们注意到，对于\（C_C>10^7\）结果与纯拉格朗日乘子公式相同(9).

现在对扰动拉格朗日公式进行收敛性研究，见(14). 结果与惩罚公式进行了比较(16)对于的参数\（C_C=10^6）结果见图。9.

可以看出，惩罚公式并没有收敛到与扰动拉格朗日公式相同的解。这里使用的惩罚参数足以满足约束条件，见图。8因此，从图中可以清楚地看到。9惩罚公式锁定。此外，有趣的是，对于惩罚参数\（C_C>10^7\）当扰动拉格朗日公式H2-A1-P和T2-A1-P仍然稳健时，H2和T2元素的惩罚方法发散了。

梁的剪切变形

当夹持梁受到端部载荷时，梁通常会沿载荷方向弯曲。如果轴向运动受到约束，梁只能发生剪切变形。梁的长度为40，高度为4，厚度为2（在无量纲坐标中），见图。10.

图10

梁的未变形和变形配置

图11

荷载-挠度曲线，T2-A1-P，\（C_C=10^6）和变形梁

提供了拉梅常数的本构数据：\（\mu=500\）和\（λ=1000\）各向异性方向由下式给出\（{\mathbf{a}}=\{1,0,0\}\）在中强制实施约束x个-方向。使用边界条件将梁固定在左端：\（u_x=0）对于位于的所有节点\（x=0）,\（u_y=0）对于位于的所有节点\（x=0）和\（y=0）和\（u_z=0）对于位于的所有节点\（x=0）和\（z=0\）.梁承受恒定牵引力\（p_y=5）在右端。

现在将对图左侧所示的梁实施纯剪切状态10.加载时会出现小应变状态。这导致变形状态，如图右侧所示。10此处，变形按系数20进行缩放。梁右侧的位移为\（u_y=0.467）.由于梁的长度为\（长=40\）这种位移相当于\（γ=u_y/L=0.01168\）。使用经典梁理论可以很容易地检查此结果。这里的剪切变形是

$$\begin{aligned}\gamma_B=\frac{Q}{G\hat{A}}\end{aligned}$$

具有\（{A}=\压裂{5}{6}A\）,\（Q=p_y\，A\）,\（G=\mu\）和\（A=2乘以4=8）它如下\（伽马_B=0012）这与计算值非常接近\（伽玛射线）.

对于较大载荷，会发生局部屈曲。这是由于梁底部的高压缩应力造成的。图中的荷载-挠度曲线。11描述了T2-A1-P单元网格梁的非线性行为和最终变形。梁的变形配置（无缩放）清楚地显示出夹紧局部屈曲附近，最终导致梁的大挠度。这与局部屈曲触发的弯扭状态有关。

很明显，实际上纤维会发生内部局部屈曲，因此公式(11)必须应用。这导致梁弯曲而不发生局部屈曲，因为不再存在因压缩应力引起的纤维屈曲。然而，由于处于张力中的纤维无法延伸，因此挠度与(11)小于无约束弯曲梁的挠度。

梁的卷起

本例涉及上部承受规定拉伸的梁。该问题与具有\（C_C=10^8）.一段\（\bar{\lambda}_c=1+\beta\，\epsilon_c\）具有\（εc=-0.05\）是在薄层的元素中规定的。拉伸在10个相等的载荷增量内增加(\（β=1，10）). 在梁的左端施加以下边界条件，以便在此侧夹紧梁：\（u_x=0）对于位于的所有节点\（x=0）,\（u_y=0\）对于位于的所有节点\（x=0）和\（y=0）和\（u_z=0）对于位于的所有节点\（x=0）和\（z=0），见图。12.

图12

H2-A1-P元件梁的未变形配置

选定的有限元网格如图左侧所示。13变形的最终状态如图右侧所示。13。它是针对荷载系数得出的\（β=10\）.

很明显，该公式可以施加大应变状态(12).

位移\（u_x\）和\（u_y\）绘制了与负载系数的关系图\（测试版）在图中。14。它是针对具有\（N=8）和T2-A1-P元件。

图13

梁的未变形和变形网格

图14

构件T2-A1-P的荷载-挠度曲线，\（C_C=10^8）

可以估计，使用公式对给定拉伸的积极执行(12)可以应用于根据方向向量的选择生成任意变形状态\（{\mathbf{a}}\）以及规定拉伸的幅度\（\bar{\lambda}_c\）.

偏差延伸试验

张力锁定的一个问题是纤维定向的拉伸试验\（下午45点左右）在初始配置中。该偏倚延伸试验用于十名Thjie和Akkerman[26]以及Hamila和Boisse[10]研究标准有限元公式和特殊插值技术的行为，以避免锁定。试验在矩形试样上进行，见图。15用于初始配置中的有限元网格。试样的长度为\（长=300\），其宽度为\（H=100\）试样的厚度为\（T=10\）试样两端夹紧，并用恒定位移拉动\（\bar{u} _x（x） =65\)为了获得二维平面应力状态，如Hamila和Boisse所用[10]，在厚度方向上设置为零的所有节点的位移\（Z=0）基体材料的材料特性由Lame常数描述\（λ=1）和\（\mu=1\）.纤维刚度为\（C_C=4000\）.

图15

试样的未变形网格

当试样从L（左）到\（L+\bar{u} _x（x）\)出现不同的面内剪切带，见Hamila和Boisse[10]. 如本文所述，使用标准单元公式进行计算，这里使用T2单元的纯位移公式，产生非物理变形状态，见图左侧。16另一方面，即使使用相对粗糙的网格，新的T2-A1元素也会产生正确的变形模式，如图右侧所示。16和哈米拉和博伊斯所描述的形式相同[10]. 最细网格的变形，见图。17实际上也显示了不同的剪切带。

图16

T2和T2-A1元素配方的变形状态

图17

使用40960个单元的T2-A1网格获得的不同剪切带

图18

位移的网格收敛\（u_y\）在标本中间

图中的图。18显示了T2-A1元素公式的网格收敛性，使用\（N=4,8,16,32）每侧64个元素。可以看出，结果对网格大小不敏感。的偏差\（N=4\）与网格无法模拟不同剪切带的事实有关，见图。17.

值得注意的是，对于所有网格尺寸，T2-A1元件可以在一个单一加载步骤中达到最终位移，而T2元件需要大约25个加载步骤才能达到最终配置。因此，对于这样的应用，新的T2-A1元件比T2元件鲁棒得多。

结论

本文建立了大应变各向异性行为的有限元模型。特别强调了一种能够精确使用约束公式对各向异性材料实施不可拉伸纤维延伸的公式。这导致了一种拉格朗日乘子方法，该方法具有不同的变形安萨茨空间和拉格朗基乘子（纤维应力）。混合方法显示出稳健的收敛行为，并且不会锁定。与标准二次元素的比较描述了通过惩罚项添加约束时这些元素的锁定行为。此外，混合方法在解决相关非线性问题所需的迭代过程中产生了更稳健的行为。