使用的一些收敛结果K（K）中的迭代过程\（\mathit{CAT}（0）\）空格

摘要

本文证明了Suzuki广义非扩张映射在\（\mathit{CAT}（0）\）空间使用K（K）迭代过程。我们还举了一个例子来说明K（K）迭代过程。我们的结果是不动点理论文献中许多著名结果的推广、改进和推广\（\mathit{CAT}（0）\）空格。

1介绍

著名的巴拿赫收缩定理使用Picard迭代过程来逼近不动点。在适当的几何框架下，适当类压缩映射的不动点的数值计算是当前一个活跃的研究领域[1–三]. 已经开发了许多迭代过程来近似不同类型映射的不动点。一些著名的迭代过程是曼恩的迭代过程[4]，石川[5]阿加瓦尔[6]，努尔[7]，阿巴斯[8]，SP[9]，S^∗[10]、CR[11]，标准S[12]，皮卡德·曼[13]、皮卡德-S[14]，Thakur新[15]这些过程在一般变分不等式或平衡问题以及分解可行性问题中有广泛的应用[16–19]. 最近，Hussain等人[20]引入了一个新的三步迭代过程，称为K（K）并证明了与上述所有迭代过程相比，该算法收敛速度快。他们使用一致凸Banach空间作为基空间，并证明了强收敛定理和弱收敛定理。另一方面，我们知道每个Banach空间都是\（\mathit{CAT}（0）\）空间。

基于上述动机，本文首先给出了铃木广义非扩张映射的一个非扩张例子。我们比较了K（K）迭代过程包括两步S-迭代和三步Picard-S-迭代。最后，我们证明了Suzuki广义非扩张映射在\（\mathit{CAT}（0）\）空格。

2前期工作

有关以下方面的详细信息\（\mathit{CAT}（0）\）空间请参见[21]. 这里回顾了一些结果\（\mathit{CAT}（0）\）空间X（X）.

引理2.1

([7])

对于 \（x中的x，y\） 然后让 \（\xi\在[0,1]\中）,有一个独特的点 \（[x，y]\中的“s”） 哪里 \（[x，y]\） 线段是否连接 x个 和 年,这样的话

$$d（x，s）=\xid（x、y）\quad\textit{和}\quad d（y，s）=（1-\xi）d（x和y）$$

(1)

符号\（（（1-xi）x\oplus\xi y））用于唯一点秒令人满意的(1).

引理2.2

([13，引理2.4]）

对于 \（x，y，z\在x\中） 和 \（[0,1]\中的xi\）,我们有

$$d\bigl（z，\xi x\oplus（1-\xi）y\bigr）\leq\xi d（z，x）+（1-\xi）d（z、y）$$

(2)

让C类是的非空闭凸子集\（\mathit{CAT}（0）\）空间X（X），并让\（{x{n}）是中的有界序列X（X）。对于\（x中的x），我们设置

$$r\bigl（x，\{x_{n}\}\bigr）=\limsup_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，x）$$

的渐近半径\（{x{n}）相对于C类由提供

$$r\bigl（C，\{x_{n}\}\bigr）=\inf\bigl\{r\bigle（x，\{x_{n{}\}\ biger）：x\在C\bigr\}中$$

和的渐近中心\（{x{n}）相对于C类是布景吗

$$A\bigl（C，\{x_{n}\}\bigr）=\bigl\{x\ in C:r\bigl$$

就像在一致凸Banach空间中一样，众所周知\（A（C，\{x_{n}\}）\）只包含完整的一个点\（\mathit{CAT}（0）\）空间。

定义2.3

在\（\mathit{CAT}（0）\）空间X（X），一个序列\（x｛n｝\｝\）称为Δ-收敛于\（X中为s）如果秒是的唯一渐近中心\（{u{x}）对于每个子序列\（{u{x}）属于\（{x{n}）。在这种情况下，我们写\（\Delta\text{-}\lim_{n} x_{n} =秒\）然后打电话秒这个\（\增量\文本{-}\lim\）属于\（{x{n}）.

A分第页称为映射的不动点吨如果\（T（p）=p\）、和\（F（T）\）表示映射的所有固定点的集合吨.让C类是的非空子集\（\mathit{CAT}（0）\）空间X（X）.

地图\（T:C\右箭头C\）如果存在则称为收缩\（在（0,1）中为xi）这样的话

$$d（Tx，Ty）\leq\xi d（x，y）$$

为所有人\（x，y\在C\中）.

地图\（T:C\右箭头C\）称为非膨胀，如果

$$d（Tx，Ty）\leq d（x，y）$$

为所有人\（x，y\在C\中）.

2008年，铃木[22]在映射上引入了一个新条件，称为条件\（（C）\）比非扩展性弱。地图\（T:C\右箭头C\）据说满足条件\（（C）\）如果是所有人\（x，y\在C\中），我们有

$$\frac｛1｝{2} d日（x，Tx）\leq d（x，y）\quad\text{表示}\quad d（Tx，Ty）\leqd（x、y）$$

(3)

满足条件的映射\（（C）\）称为铃木广义非扩张映射。下面是铃木广义非扩张映射的一个例子，它不是非扩张映射。

例2.4

定义映射\（T:[0,1]\右箭头[0,1]/）通过

$$Tx=\left\{\textstyle\begin{array}{l@{\quad}l}1-x&\text{if}x\in[0，\frac{1}{10}），\\frac{x+1}{2}&\text}if}x\ in[\frac}1}{0}，1]。\结束{array}\displaystyle\right$$

我们需要证明吨是铃木广义非扩张映射，但不是非扩张映射。

如果\（x=\压裂{1}{11}\）,\（y=\frac｛1｝｛10｝\）我们看到了

$$\开始{对齐}d（Tx，Ty）&=\vert Tx-Ty\vert\\&=\biggl\vert 1-\frac{1}{11}-\压裂{11}{20}\biggr\vert\\&=\压裂{79}{220}\\&>\压裂{1}{110}\\&=d（x，y）。\结束{对齐}$$

因此吨不是非扩展映射。

要验证这一点吨是铃木广义非扩张映射，请考虑以下情况：

案例一：让\（x\在[0，\frac{1}{10}中）\），然后\（\压裂{1}{2} d日（x，Tx）=\压裂{1-2x}{2}\ in（\压裂{2}{5}，\压裂{1}{2{]\）。对于\（\压裂{1}{2} d日（x，Tx）\leq d（x，y）\）我们一定有\（压裂{1-2x}{2}\leq y-x\）即。，\（压裂{1}{2}\leqy），因此\（y\在[\frac{1}{2}，1]\中）.我们有

$$d（Tx，Ty）=\biggl\vert\frac{y+1}{2}-（1-x）\biggr\vert=\biggl\vert\frac{y+2x-1}{2}\biggr\vert<\frac{1}{10}$$

和

$$d（x；y）=\vert x-y\vert>\biggl\vert\frac{1}{10}-\压裂{1}{2}\biggr\vert=\压裂{2}{5}$$

因此\（\frac｛1｝{2} d日（x，Tx）\leq d（x，y）\Longrightarrow d（Tx，Ty）\leqd（x、y）\）.

案例二：让\（x\在[\压裂{1}{10}，1]\中），然后\（\frac｛1｝{2} d日（x，Tx）=\frac{1}{2}\vert\frac{x+1}{2} -x个\vert=\frac{1-x}{4}\在[0，\frac}{9}{40}]\）。对于\（\压裂{1}{2} d日（x，Tx）\leq d（x，y）\）我们一定有\（压裂{1-x}{4}\leq\vert-y-x\vert\），提供了两种可能性：

（a）.让\（x<y），然后\（压裂{1-x}{4}\leqy-x\Longrightarrowy\geq\frac{1+3x}{4]\Longrightarrow y\in[\frac}13}{40}，1]\子集[\frac{1}{10}，2]\）.所以

$$d（Tx，Ty）=\biggl\vert\frac{x+1}{2}-\压裂{y+1}{2}\biggr\vert=\frac{1}{2} d日（x，y）\leq d（x，y）$$

因此\（\frac｛1｝{2} d日（x，Tx）\leq d（x，y）\Longrightarrow d（Tx，Ty）\leqd（x、y）\）.

（b）.让\（x>y），然后\（\frac{1-x}{4}\leqx-y\Longrightarrowy\leqx-\frac{1-x{4}=\frac{5x-1}{4{Longright arrowY\in[-\fracc{1}{8}，1]\）.自\（y\在[0,1]\中），所以\（y\leq\frac{5x-1}{4}\Longrightarrowx\in[\frac}{5}，1]\）所以情况是\（x\在[\frac{1}{5}，1]\中）和\（y\在[0,1]\中）.

现在\（x\在[\frac{1}{5}，1]\中）和\（y\在[\frac{1}{10}，1]\中）已包含在（a）中。所以让我们\（x\在[\frac{1}{5}，1]\中）和\（y\在[0，\frac{1}{10}中）\），然后

$$\开始{aligned}d（Tx，Ty）&=\biggl\vert\frac{x+1}{2}-（1-y）\biggr\vert\\&=\biggl\vert\frac{x+2y-1}{2}\biggr\vert。\结束{对齐}$$

为了方便起见，首先我们考虑\（x\在[\压裂{1}{5}，\压裂{7}{8}]\中）和\（y\在[0，\frac{1}{10}中）\），然后\（d（Tx，Ty）\leq\frac｛3｝｛80｝\）和\（d（x，y）>\压裂{1}{10}\）.因此\（d（Tx，Ty）\leq d（x，y）\）.

下一步考虑\（x\在[\frac{7}{8}，1]\中）和\（y\在[0，\frac{1}{10}中）\），然后\（d（Tx，Ty）\leq\frac{1}{10}\）和\（d（x，y）>\压裂{72}{80}\）.因此\（d（Tx，Ty）\leq d（x，y）\）.所以\（\压裂{1}{2} d日（x，Tx）\leq d（x，y）\Longrightarrow d（Tx，Ty）\leqd（x、y）\）.

因此吨是铃木广义非扩张映射。

我们现在列出一些基本结果。

提议2.5

让 C类 是一个非空子集 \（\mathit｛CAT｝（0）\） 空间 X（X） 和 \（T:C\右箭头C\） 是任何映射.然后:

• （i） [22,提议1]如果 吨 那么是非扩张性的 吨 是铃木广义非扩张映射.

• （ii） [22,提议2]如果 吨 是铃木广义非扩张映射，并且有一个不动点,然后 吨 是一个准-非扩张映射.

• （iii） [22,引理7]如果 吨 是铃木广义非扩张映射,然后

  $$d（x，Ty）\leq3d（Tx，x）+d（x、y）$$

  为所有人 \（x，y\在C\中）.

引理2.6

([22，定理5]）

让 C类 是弱紧凸子集 \（\mathit{CAT}（0）\） 空格X.让 吨 是上的映射 C类.假设 吨 是铃木广义非扩张映射.然后 吨 有一个固定点.

引理2.7

([23，引理2.9]）

假设 X（X） 是一个完整的 \（\mathit{CAT}（0）\） 空间和 \（x中的x）.\（{t_{n}） 是中的序列 \（[b，c]\） 对一些人来说 \（b，c\在（0，1）\中） 和 \（{x{n}）,\（{y_{n}\}\） 序列在中吗 X（X） 这样的话,对一些人来说 \（第0页）,我们有

$$开始{聚集}\lim_{n\rightarrow\infty}\sup d_{n} x_{n} \oplus（1-t{n}）y{n}，x\bigr）=r；\结束{聚集}$$

然后

$$\lim_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，y_{n{）=0$$

让\（n\geq0）和\（\{\xi_{n}\}\）和\（{\zeta_{n}\}\）在中是实数序列$[0,1]$Hussain等人[20]引入了一个新的迭代过程，即K（K）迭代过程，因此：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}x_{0}\在C中，\\z_{n}=（1-\zeta_{n{）x_{nneneneep+\zeta_{n} Tx（发送）_{n} ，\\ y_｛n｝=T（（1-\ xi_｛n｝）Tx_｛n｝+\ xi_{n} Tz公司_{n} ），\\x_{n+1}=Ty_{n}。\结束｛array｝\displaystyle\right$$

(4)

他们还证明了K（K）通过一个数值例子，迭代过程比Picard-S和S-迭代过程更快。为了显示K（K）我们使用的迭代过程示例2.4具有\（x{0}=0.9）并获取表1图中给出了图形表示1。我们可以很容易地看到K（K）迭代过程。

图1

由生成的迭代序列的收敛性K（K）（红线）、Picard-S（蓝线）和S公司映射不动点1的（绿线）迭代过程吨示例中定义2.4

表1生成的序列K（K）、Picard-S和S-迭代过程

三铃木广义非扩张映射的收敛性结果

在本节中，我们证明了由K（K）Suzuki广义非扩张映射的迭代过程\（\mathit{CAT}（0）\）空间。这个K（K）语言中的迭代过程\（\mathit{CAT}（0）\）空间由以下公式给出

$$\begin{collected}x_{0}\在C中，\\z_{n}=（1-\zeta_{n{）x_{nneneneep \oplus\zeta_{n} Tx（发送）_{n} ，\\y_{n}=T\bigl（（1-\xi_{n{）Tx_{nneneneep \oplus\xi_{n} Tz公司_{n} \较大），\\x_{n+1}=Ty_{n}。\结束{聚集}$$

(5)

定理3.1

让 C类 是完备的非空闭凸子集 \（\mathit{CAT}（0）\） 空间 X（X） 和 \（T:C\右箭头C\） 是铃木广义非扩张映射 \（F（T）\neq\emptyset\）.对于任意选择 \（C\中的x_｛0｝\）,让序列 \（{x{n}） 由生成(5)然后 \（\lim_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，p）\） 存在于任何 \（F（T）中的p）.

证明

让\（F（T）中的p）和\（z\在C\中）.自吨是铃木广义非扩张映射，

$$\压裂{1}{2} d日（p，Tp）=0\leq d（p，z）\quad\text{表示}\quad d（Tp，Tz）\leq d（p，z）$$

因此，根据提议2.5（ii），我们有

$$\开始{对齐}[b]d（z_{n}，p）&=d\bigl（\bigl_{n} Tx（发送）_{n} \bigr），p\biger）\\&\leq（1-\zeta_{n}）d（x_{n{，p）+\zeta_{n} 天（Tx_{n}，p）\\&\leq（1-\zeta_{n{）d（x_{n}，p）+\zeta_{n} d日（x{n}，p）\\&=d（x{n}，p）。\结束{对齐}$$

(6)

使用(6)我们得到

$$\begin{aligned}[b]d（y_{n}，p）&=d\bigl（\bigl_{n} Tz公司_{n} \bigr），p\biger）\&\leq d\bigl（\bigl_{n} Tz公司_{n} \bigr），p\biger）\\&\leq（1-\xi_{n}）d（Tx_{n{，p）+\xi_{n} d日（Tz_{n}，p）\\&\leq（1-\xi_{n{）d（x_{nneneneep，p）+\xi_{n} d日（z{n}，p）\\和\leq（1-\xi{n}）d（x{n}，p）+\xi_{n} d日（x{n}，p）\\&=d（x{n}，p）。\结束{对齐}$$

(7)

类似地，使用(7)我们有

$$开始{对齐}[b]d（x_{n+1}，p）&=d（Ty_{n}，p）\\&\leqd（y_{n}，b）\\&\ leqd。\结束{对齐}$$

(8)

这意味着\（d（x_｛n｝，p））对所有人来说都是有界且无增量的\（F（T）中的p）因此\（\lim_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，p）\）根据需要存在。□

定理3.2

让 C类,X（X）,吨 和 \（{x{n}） 如定理所示 3.1,哪里 \（\{\xi_{n}\}\） 和 \（{\zeta_{n}\}\） 是实数序列 \（[a，b]\） 对一些人来说 一,b 具有 \（0<a \leq b<1）.然后 \（F（T）\neq\emptyset\） 当且仅当 \（{x{n}） 有界且 \（\lim_{n\rightarrow\infty}d（Tx_{n}，x_{n}）=0\）.

证明

假设\（F（T）\neq\emptyset\）然后让\（p\在F（T）\中）然后，根据定理3.1,\（\lim_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，p）\）存在并且\（{x{n}）有界。放置

$$\lim_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，p）=r$$

(9)

发件人(6)和(9)，我们有

$$\limsup_{n\rightarrow\infty}d（z_{n}，p）\leq\limsup{n\right arrow\ infty{d（x_{nneneneep，p）=r$$

(10)

按命题2.5（ii）我们已经

$$\limsup_{n\rightarrow\infty}d（y_{n}，p）\leq\limsup{n\right arrow\ infty{d（x_{nneneneep，p）=r$$

(11)

另一方面，通过使用(6)，我们有

$$开始{对齐}d（x_{n+1}，p）&=d_{n} Tz公司_{n} \bigr），p\biger）\&\leq d\bigl（（1-\xi_{n}）Tx_{nneneneep \oplus\xi_{n} Tz公司_{n} ，p\biger）\\&\leq（1-\xi_{n}）d（Tx_{n{，p）+\xi_{n} d日（Tz_{n}，p）\\&\leq（1-\xi_{n{）d（x_{nneneneep，p）+\xi_{n} d日（z{n}，p）\\&=d（x{n}，p）-\xi_{n} 天（x{n}，p）+\xi_{n} d日（z_{n}，p）。\结束{对齐}$$

这意味着

$$\frac{d（x{n+1}，p）-d（x{n}，p）}{\xi{n}}\leqd（z{n}，b）-d$$

所以

$$d（x{n+1}，p）-d（x{n}，p）\leq\frac{d$$

意味着

$$d（x{n+1}，p）\leqd（z{n}，p）$$

因此

$$r\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}d（z_{n}，p）$$

(12)

发件人(10)和(12)我们得到

$$开始{对齐}[b]r&=\lim_{n\rightarrow\infty}d（z_{n}，p）\\&=\lim_{n\rightarror\infty}d\bigl（\bigl_{n} Tx（发送）_{n} \bigr），p\biger）。\结束{对齐}$$

(13)

发件人(9), (11), (13)和引理2.7，我们有\（\lim_{n\rightarrow\infty}d（Tx_{n}，x_{n}）=0\）.

相反，假设\（{x{n}）有界且\（\lim_｛n\rightarrow\infty｝d（Tx_｛n｝，x_｛n｝）=0\）.让\（p在A（C，{x_{n}）中）.按命题2.5（iii），我们有

$$\begin{aligned}r\bigl（Tp，\{x_{n}\}\bigr）&=\limsup_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，Tp）\\&\leq\limsup{n\right arrow\ infty{bigl&=r\bigl（p，\{x{n}\}\bigr）。\结束{对齐}$$

这意味着\（A（C，{x_{n}）中的Tp\）.自X（X）一致凸，\（A（C，\{x_{n}\}）\）是独生子，因此我们有\（Tp=p\）.因此\（F（T）\neq\emptyset\）. □

以下Δ-收敛定理的证明类似于[24，定理3.3]。

定理3.3

让 C类,X（X）,吨 和 \（{x{n}） 如定理所示 3.2 具有 \（F（T）\neq\emptyset\）.然后 \（x｛n｝\｝\）Δ-收敛到 吨.

接下来我们证明了强收敛定理。

定理3.4

让 C类,X（X）,吨 和 \（{x{n}） 如定理所示 3.2 这样的话 C类 是X的紧子集.然后 \（{x{n}） 强收敛到 吨.

证明

按引理2.6，我们有\（F（T）\neq\emptyset\）所以根据定理3.1我们有\（\lim_{n\rightarrow\infty}d（Tx_{n}，x_{n}）=0\）.自C类是紧的，存在子序列\（{x{n{k}}）属于\（{x{n}）这样的话\（{x{n{k}}）强收敛于第页对一些人来说\（C\中的p\）.按命题2.5（iii），我们有

$$d（x_{n_{k}}，Tp）\leq3d（Tx_{n_{k{}，x_{nC}}）+d（x{n_}k}，p）\quad\text{forall}n\geq1$$

出租\（k\rightarrow\infty\），我们得到\（Tp=p\）即。，\（F（T）中的p）.根据定理3.1,\（\lim_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，p）\）存在于每个\（F（T）中的p）因此\（x{n}\）强烈收敛于第页. □

一个强收敛定理的使用条件我Senter和Dotson介绍[25]如下所示。

定理3.5

让 C类,X（X）,吨 和 \（{x{n}） 如定理所示 3.2 具有 \（F（T）\neq\emptyset\）.如果 吨 满足条件 \（一）,然后 \（{x{n}） 强收敛到 吨.

证明

根据定理3.1，我们看到了\（\lim_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，p）\）对所有人都存在\（F（T）中的p）等等\（\lim_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，F（T））存在。假设\（\lim_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，p）=r\）对一些人来说\（第0页）.如果\（r=0）那么结果如下。假设\（r>0\），根据假设和条件\（一）,

$$f\bigle（d\bigl（x_{n}，f（T）\bigr）\biger）\leq d（Tx_{n}，x_{n}）$$

(14)

自\（F（T）\neq\emptyset\），根据定理3.2，我们有\（\lim_{n\rightarrow\infty}d（Tx_{n}，x_{n}）=0\）.所以(14)意味着

$$\lim_{n\rightarrow\infty}f\bigl（d\bigl，x_{n}，f（T）\bigr）\biger）=0$$

(15)

自（f）是一个非递减函数，从(15)我们有\（\lim_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，F（T））=0\）因此，我们有一个子序列\（{x{n{k}}）属于\（{x{n}）和一个序列\（{y_{k}\}\子集F（T）\）这样的话

$$d（x_{n_{k}}，y_{k{）<\frac{1}{2^{k}{quad\text{forall}k\in\mathbb{n}$$

所以使用(9)，我们得到

$$d（x_｛n_｛k+1｝｝，y_｛k｝）\leq d（x_｛n_｛k｝｝，y_｛k｝）<\frac｛1｝｛2^｛k｝｝$$

因此

$$开始{对齐}d（y{k+1}，y{k}）和\leq d第页。\结束{对齐}$$

这表明\（\｛y_｛k｝\｝\）是中的Cauchy序列\（F（T）\）所以它收敛到一个点第页.自\（F（T）\）已关闭，\（F（T）中的p）然后\（{x{n{k}}）强烈收敛于第页.自\（\lim_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，p）\）存在，我们有\（F（T）中的x_{n}\右箭头p\）. □

4结论

将不动点结果的线性形式推广到非线性区域有其自身的意义。为了实现用非线性域代替线性域的目标，高桥[26]引入了凸度量空间的概念，并在该框架下研究了非扩张映射的不动点结果，由此引发了对度量空间上不同凸结构的研究。这里我们将收敛结果的线性形式推广到满足条件的映射的不动点C类对于新引入的K（K）迭代过程[20]到非线性\（\mathit{CAT}（0）\）空格。