的不动点定理F类-展开映射

摘要

最近，Wardowski（不动点理论应用，2012:94，2012)引入了一个新的概念F类-并证明了推广巴拿赫压缩原理的不动点定理。按照这一研究方向，本文给出了一些新的不动点结果F类-展开映射，尤其是在一个完整的G公司-公制空间。

1介绍

让\（（X，d）\）是一个度量空间。地图\（T:X\右箭头X\）如果

$$\forall_{x，y\in x}\quad d（Tx，Ty）\geqslated\lambda d（x，y），\quad\mbox{where}\quad\\lambda>1$$

(1)

条件\（λ>1）很重要，功能\（电话：\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）由定义\（Tx=x+e^{x}\）满足条件\（\vert Tx-Ty\vert\geqslated\vert x-y\vert）为所有人\（x，y\in\mathbb{R}\）、和T型没有固定点。

对于展开图，以下结果是众所周知的。

定理1.1

让 \（（X，d）\） 是一个完备的度量空间,然后让 \（T:X\右箭头X\） 浮躁而膨胀.然后 T型 是双射的并且有一个唯一的不动点.

它遵循巴拿赫收缩原理和以下非常简单的观察结果。

引理1.2

如果 \（T:X\右箭头X\） 是阴沉的,那么存在一个映射 \（T^{*}:X\右箭头X\） 这样的话 \（大约T ^｛*｝\） 身份图在上面吗 X（X）.

证明

对于任何一点\（x中的x），让\（y_{x}\在x\中）在任何一点上\（类型{x}=x\）.让\（T^{*}x=y_{x}\）为所有人\（x中的x）.然后\（（循环T^{*}）（x）=T（T^{x}x）=Ty_{x}=x\）为所有人\（x中的x）. □

本文引入了一类新的扩张映射。

定义1.3

让\（\mathcal{F}\）成为所有功能的家族\（F:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）这样的话

(F类1):

F类正在严格增加，即\（在（0，+\infty）中为alpha，beta\），如果\（α<β），然后\（F（\α）<F（\β）\）;

(F类2):

对于每个序列\（{\alpha_{n}\}\子集（0，+\infty）\），如下所示：

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=0\quad\mbox{当且仅当}\quad\\lim{n\riftarrow\finfty{F（\alpha_{n}）=-\infty$$

(F类3):

存在\（k\英寸（0,1）\）这样的话\（\lim_{\alpha\rightarrow 0_{+}}\alpha^{k} F类（阿尔法）=0.

定义1.4

让\（（X，d）\）是一个度量空间。地图\（T:X\右箭头X\）被称为F类-如果存在，则进行扩展\（F\in\mathcal{F}\）和\（t>0）这样所有人\（x中的x，y\）,

$$d（x，y）>0\quad\Rightarrow\quad F\bigl$$

(2)

当我们考虑(2)映射的不同类型\（F\in\mathcal{F}\）然后我们得到了各种扩展映射。

示例1.5

让\（F_{1}（\alpha）=\ln\alpha\）很明显\（F_{1}\）满足(F类1), (F类2), (F类3） 对于任何\（k\英寸（0,1）\）.每个映射\（T:X\右箭头X\）令人满意的(2)是一个\（F_{1}\）-展开地图，以便

$$d（Tx，Ty）^{t} d日（x，y）\quad\mbox{表示全部}\quad x，y\在x中，~d（x，y）>0$$

很明显，对于\（x中的x，y\）这样的话\（x=y），不平等\（d（Tx，Ty）^{t} d日（x，y）\）也适用。

示例1.6

如果\（F{2}（\alpha）=\ln\alpha+\alpha\）,\（阿尔法>0），然后\（F_{1}\）满足(F类1), (F类2） 以及(F类3） 、和条件(2)形式为

$$d（Tx，Ty）e^{d（Tx-Ty）-d（x，y）}\geqslate e^{t} d日（x，y）\quad\mbox｛for all｝\quad x，y\在x中$$

示例1.7

考虑\（F_{3}（\alpha）=\ln（\alpha^{2}+\alpha）\）,\（阿尔法>0）.\（F_{3}\）满足(F类1), (F类2） 和(F类3） 、和用于\（F_{3}\）-膨胀T型，以下条件成立：

$$d（Tx，Ty）\cdot\frac{d（Tx-Ty）+1}{d（x，y）+1}\geqslate e^{t} d日（x，y）\quad\mbox{代表所有}\quad x，y\in x$$

示例1.8

考虑\（F_{4}（\alpha）=\arctan（-\frac{1}{\alpha}）,\（\alpha>0\）.\（F_{4}\）满足(F类1), (F类2） 和(F类3） 、和用于\（F_{4}\）-膨胀T型，以下条件成立：

$$d（Tx，Ty）\geqsland\biggl[\frac{1+\frac}{d（x，y$$

这里，我们得到了一种特殊类型的非线性扩张映射\（d（Tx，Ty）\geqslated\varphi（d（x，y））d（x、y）\）.

其他功能属于\（\mathcal{F}\）例如，\（F（alpha）=\ln（alpha^{n}）,\（n\in\mathbb{n}\）,\（阿尔法>0）;\（F（\alpha）=\ln（\arctan\alpha）\）,\（阿尔法>0）.

现在我们回顾以下内容。

定义1.9

让\（（X，d）\）是度量空间。地图\（T:X\右箭头X\）是一个F类-收缩X（X）如果存在\（F\in\mathcal{F}\）和\（t>0）这样所有人\（x中的x，y\）,

$$d（Tx，Ty）>0\quad\Rightarrow\quad t+F\bigl$$

(3)

对于这种映射，沃多夫斯基[1]证明了以下定理。

定理1.10

让 \（（X，d）\） 是一个完整的度量空间，并且 \（T:X\右箭头X\） 成为 F类-收缩.然后 T型 具有唯一的固定点 \（X中的u） 并且对于每个 \（x中的x）,一个序列 \（{x_{n}=T^{n} x个\}\) 收敛于 单位.

2结果

在本节中，我们给出了一些不动点定理F类-展开地图。

定理2.1

让 \（（X，d）\） 是一个完整的度量空间，并且 \（T:X\右箭头X\） 满脸愁容 F类-扩大.然后 T型 具有唯一的固定点.

证明

从引理1.2，存在映射\（T^{*}:X\右箭头X\）这样的话\（循环T^{*}\）身份映射在上吗X（X）.让\（x中的x，y\）任意点，以便\（x\neq y\），并让\（z=T^{*}x\）和\（w=T^{*}y\）（显然，\（z\neq w\）). 通过使用(2)应用于z（z）和w个，我们有

$$F\bigl（d（Tz，Tw）\bigr）\geqslead F\bigle（d，z）\biger）+t$$

自\（Tz=T（T^{*}x）=x\）和\（Tw=T（T^{*}y）=y\），然后

$$F\bigl（d（x，y$$

所以\（T^{*}:X\右箭头X\）是一个F类-收缩。通过定理1.10,\（T^{*}\）具有唯一的固定点\（X中的u）特别是，单位也是一个固定点T型因为\（T ^{*}u=u \）意味着\（Tu=T（T^{*}u）=u\）.

让我们观察一下T型至多有一个固定点。如果\（u，v在X中）和\（Tu=u\neq v=Tv\）然后我们就会得到矛盾

$$\begin{aligned}和F\bigl（d（Tu，Tv）\bigr）\geqsland F\bigle$$

所以不动点T型是独一无二的。□

备注2.2

如果T型不是满语，之前的结果是假的。例如，让\（X=[0，\infty）\）被赋予了度量标准\（d（x，y）=垂直x-y为所有人\（x中的x，y\），并让\（T:X\右箭头X\）由定义\（Tx=2x+1）为所有人\（x中的x）.然后T型满足条件\（d（Tx，Ty）\geqsleat 2d（x，y）\）为所有人\（x中的x，y\）和T型是无定点的。

三应用于G公司-度量空间

2006年穆斯塔法和西姆斯（见[2]以及其中的引用）引入了G公司-度量空间并研究了此类空间的拓扑。这个G公司-度量空间如下。

定义3.1

让X（X）做一个非空的集合。A函数\（G:X\乘以X\乘以X\向右箭头[0，\infty）\）满足以下公理：

(\（G_{1}\）):

\（G（x，y，z）=0）如果\（x=y=z）,

(\（G_{2}\）):

\（G（x，x，y）>0）为所有人\（x中的x，y\）具有\（x\neq y\）,

(\（G_{3}\）):

\（G（x，x，y）为所有人\（x中的x、y、z）具有\（z\neq y\）,

(\（G_{4}\）):

\（G（x，y，z）=G（x、z、y）=G（所有三个变量对称），

(\（G_{5}\）):

\（G（x，y，z）\leq斜面G（x、a、a）+G（a，y，z）\）为所有人\（x中的x，y，z，a）,

称为G公司-上的公制X（X），和这对\（（X，G）\）称为G公司-公制空间。

最近，Samet等人[三]观察到一些不动点定理G公司-度量空间可以从拟度量空间的存在性结果中得出。特别是，以下定理是定理的简单推论1.10.

定理3.2

让 \（（X，G）\） 是一个完整的 G公司-度量空间,然后让 \（T:X\右箭头X\） 满足以下条件之一:

• （a） T型 是一个 F类-I型收缩 G公司-度量空间 X（X）,我.e（电子）.,存在 \（F\in\mathcal｛F｝\） 和 \（t>0） 这样所有人 \（x中的x，y\）,

  $$G（Tx，Ty，Ty）>0\quad\Rightarrow\quad t+F\bigl$$

  (4)

• （b） T型 是一个 F类-第二类收缩 G公司-度量空间 X（X）,我.e（电子）.,存在 \（F\in\mathcal{F}\） 和 \（t>0） 这样所有人 \（x中的x、y、z）,

  $$G（Tx，Ty，Tz）>0\quad\Rightarrow\quad t+F\bigl$$

  (5)

然后 T型 具有唯一的固定点 \（X中的u）,以及任何 \（x中的x）,一个序列 \（{x_{n}=T^{n} x个\}\) 是 G公司-收敛到 单位.

前面的想法也导致了类似的不动点定理F类-展开映射G公司-公制空间。

定义3.3

映射\（T:X\右箭头X\）来自G公司-度量空间\（（X，G）\）据说是

• （a） F类-在上扩展类型IG公司-度量空间X（X）如果存在\（F\in\mathcal{F}\）和\（t>0）这样所有人\（x中的x，y\）,

  $$G（x，y，y）>0\quad\Rightarrow\quad F\bigl（G（Tx，Ty，Ty）\bigr$$

  (6)

• （b） F类-在a上扩展类型IIG公司-度量空间X（X）如果存在\（F\in\mathcal{F}\）和\（t>0）这样所有人\（x中的x、y、z）,

  $$G（x，y，z）>0\quad\Rightarrow\quad F\bigl（G（Tx，Ty，Tz）\bigr）\geqslant F\bigl（G（x，y，z）\bigr）+t$$

  (7)

定理3.4

让 \（（X，G）\） 是一个完整的 G公司-度量空间和 \（T:X\右箭头X\） 是一个满不在乎的人 F类-I型展开映射(或II型).然后 T型 具有唯一的固定点.

证明

让T型成为F类-从引理展开I型映射1.2，存在映射\（T^{*}:X\右箭头X\）这样的话\（循环T^{*}\）身份映射在上吗X（X）.让\（x中的x，y\）任意点，以便\（x \ neq y \），并让\（\xi=T^{*}x\）和\（eta=T^{*}y\）显然，\（\xi\neq\eta\）和\（G（\xi，\eta，\eta）>0\）。通过使用(6)应用于ξ和η，我们有

$$F\bigl（G（T\xi，T\eta，T\esta）\bigr）\geqslead F\bigle（G$$

自\（T\xi=T（T^{*}x）=x\）和\（T\eta=T（T^{*}y）=y\），然后

$$F\bigl（G（x，y，y）\bigr）\geqslide F\bigle$$

所以\（T^{*}\）是一个F类-I型收缩G公司-度量空间\（（X，G）\）.定理3.2保证\（T^{*}\）具有唯一的固定点\（X中的u）.要点单位也是一个固定点T型因为\（Tu=T（T^{*}u）=u\）.

现在，我们证明了不动点的唯一性。假设v（v）是的另一个固定点T型不同于单位:\（Tu=u\neq v=Tv\）.这意味着\（G（u，v，v）>0），所以(6)

$$0<t\leqslead F\bigl（G（Tu，Tv，Tv）\bigr）-F\bigl-（G（u，v，v）\bigr）=0$$

这是一个矛盾，因此\（u=v）.

对于F类-扩展类型II的映射，需要\（z=y）并将证据应用于F类-I型扩张映射□

作为定理的推论3.4，采取\（F_{1}\在\mathcal{F}\中），参见示例1.5，我们得到以下结果。

推论3.5

[2]，推论9.1.4

让 \（（X，G）\） 是一个完整的 G公司-度量空间和 \（T:X\右箭头X\） 满脸愁容,让它存在 \（λ>1） 这样的话

$$G（Tx，Ty，Ty）\geqslead\lambda G（x，y，y）\quad\textit{代表所有}\quad x，y\ in x$$

或

$$G（Tx，Ty，Tz）\geqsleat\lambda G（x，y，z）\quad\textit{代表所有}\quad x，y和z\x$$

然后 T型 具有唯一的固定点.

备注3.6

如果T型不是猜测，之前的结果是错误的。考虑\（X=（-\infty，-1]\杯[1，\infty]）被赋予G公司-公制\（G（x，y，z）=\垂直x-y\垂直+\垂直x-z\垂直+\垂直y-z\垂直）为所有人\（x中的x、y、z）和映射\（T:X\右箭头X\）由定义\（Tx=-2x\）.然后\（G（Tx，Ty，Tz）\geqsleat 2G（x，y，z）\）为所有人\（x中的x、y、z）和T型没有固定点。

现在，我们将改进书中的一些结果[2]. 我们将使用以下观察结果：如果\（T:X\右箭头X\）是基于每个\（x\中的x_{0}\），存在一个序列\（x｛n｝\｝\）这样的话\（Tx{n+1}=x{n}\）为所有人\（n\geqsleat 0）一般来说，序列\（{x{n}）验证上述条件不一定是唯一的。

定理3.7

让 \（（X，G）\） 是一个完整的 G公司-度量空间,然后让 \（T:X\右箭头X\） 是一个满射映射.假设存在 \（F\in\mathcal{F}\） 和 \（t>0） 这样所有人 \（x中的x，y\）,

$$G（x，Tx，y）>0\quad\Rightarrow\quad F\bigl（G\bigl-（Tx，T^{2} x，Ty\biger）\bigr）\geqslide F\bigl（G（x，Tx，y）\birgr）+t$$

(8)

然后 T型 具有唯一的固定点.

证明

让\（x\中的x_{0}\）随心所欲。自T型是悲观的，存在\（x中的x_{1}\）这样的话\（Tx_｛1｝=x_｛0｝\）。通过继续此过程，我们可以找到一个序列\（{x{n}=Tx{n+1}）为所有人\（n=0,1,2，\ldots\） . 如果存在\（n_{0}\in\mathbb{n}\cup\{0\}\）这样的话\（x{n{0}}=x{n}0}+1}\），然后\（x{n{0}+1}\）是的固定点T型.

现在假设\（x{n}\neqx{n+1}）为所有人\（n\geqsleat 0）.然后\（G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n}）>0\）为所有人\（n\geqsleat 0）、和来自(8)带有\（x=x{n+1}\）和\（y=x_｛n｝\），我们都有\（斜面1）,

$$开始{对齐}F\bigl^{2} x个_｛n+1｝，Tx_｛n｝\bigr）\bigr）\\&&\geqslant F\bigl（G（x_｛n+1｝，Tx_｛n+1｝，x_｛n｝）\bigr）+t=F\bigl（G（x_｛n+1｝，x_｛n｝，x_｛n｝）\bigr）+t，\end｛aligned｝$$

因此

$$t+F\bigl（G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n}）\bigr）\leqslate F\bigle（G$$

(9)

使用(9)，以下适用于每个\（斜面1）:

$$开始{对齐}F\bigl（x{1}，x{0}，x{0}）\bigr）-nt.\end{aligned}$$

(10)

发件人(10)我们获得

$$\lim_{n\rightarrow\infty}F\bigl（G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n）\bigr）=-\infty$$

其中包括(F类2） 给予

$$\lim_{n\rightarrow\infty}G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n）=0$$

(11)

发件人(F类3） 存在\（k\英寸（0,1）\）这样的话

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\bigl[G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n）\bigr]^{k} F类\bigl（G（x{n+1}，x{n}，x{n}）\bigr）=0$$

(12)

签署人(10)，以下内容适用于所有人\（斜面1）:

$$\开始{对齐}&\bigl[G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n）\bigr]^{k} F类\bigl（G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n}）^{k} F类\bigl（G（x_{1}，x_{0}，x_{0{）\biger{n}，x{n}]^{k} F类\bigl（G（x{1}，x{0}，x{0}）\bigr）=-\bigl[G。\结束｛对齐｝$$

(13)

出租\（n\rightarrow\infty\）在(13)和使用(11), (12)，我们获得

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\bigl[G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n}）\bigr]^{k}\cdot n=0$$

(14)

现在，让我们从(14)存在\（n{1}\geqslide 1）这样的话

$$\bigl[G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n}）\bigr]^{k}\cdotn\leqslate 1\quad\mbox{代表所有}\quadn\geqslaten n_1}$$

因此，我们

$$G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n}）\leqsleat\frac{1}{n^{1/k}}\quad\mbox{for-all}\quadn\geqslead\n{1}$$

自从系列\（\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{1/k}}\）收敛，对于任何\（\varepsilon>0\），存在\（n{2}斜面1）这样的话\（sum_{i=n_{2}}^{infty}\frac{1}{i^{1/k}}<\varepsilon\）为了证明这一点\（{x{n}）是一个柯西序列，我们认为\（m>n>\最大\{n{1}，n{2}\}\）.来自[2]，引理3.1.2（4），我们得到

$$开始{对齐}G（x_{m}，x_{n}，x_{n{）&\leqsleat\sum_{j=n}^{m-1}G（x{j+1}，x{j}，x{j}）\leqslated\sum{j=n}^{infty}G（x{j+1}1/k}}<\varepsilon。\结束｛对齐｝$$

因此[2]、引理3.2.2和公理\（（G_{4}）\）,\（{x{n}）是Cauchy在G公司-度量空间\（（X，G）\）.从完整性\（（X，G）\），存在\（X中的u）这样的话\（{x_{n}\}\右箭头u\）.作为T型是悲观的，存在\（X中为w\）这样的话\（u=Tw\）.来自(8)带有\（x=x{n+1}\）和\（y=w \），我们都有\（斜面1）,

$$开始{对齐}F\bigl（G（x_{n}，x_{n-1}，u）\bigr）^{2} x个_｛n+1｝，Tw\bigr）\&&\geqslant F\bigl（G（x_｛n+1｝，Tx_｛n+1｝，w）\bigr）+t=F\bigl（G（x_｛n+1｝，x_｛n｝，w）\bigr）+t，\end｛aligned｝$$

因此

$$F\bigl（G（x_{n}，x_{n-1}，u）\bigr）>F\bigle$$

(15)

由(F类1） 来自(15)，我们有

$$G（x{n}，x{n-1}，u）>G（x_{n+1}，x{n}，w）\quad\mbox{forall}\quadn\geqsleat1$$

(16)

使用函数G公司每个变量都是连续的([2]，定理3.2.2），取极限为\（n\rightarrow\infty\）在上述不等式中，我们得到

$$G（u，u，w）=\lim_{n\rightarrow\infty}G（x_{n}，x_{n-1}，u）=0$$

也就是说，\（u=w）.然后单位是的固定点T型因为\（u=Tw=Tu\）.

为了证明唯一性，假设\（u，v在X中）是两个固定点。如果\（Tu=u\neq v=Tv\），然后\（G（u，u，v）>0）因此，通过(8),

$$\begin{aligned}F\bigl（G（u，u，v）\bigr）&=F\bigle（G\bigl（Tu，T）^{2} u个，Tv\biger）\bigr）\\&\geqsleat F\bigl（G（u，Tu，v）\biger$$

这是一个矛盾，因为\（t>0）因此，\（u=v）. □

拿\（F_{1}\在\mathcal{F}\中），参见示例1.5，我们得到以下结果。

推论3.8

[2]，定理9.1.2

让 \（（X，G）\） 是一个完整的 G公司-度量空间和 \（T:X\右箭头X\） 是一个满射映射.假设存在 \（λ>1） 这样的话

$$G\bigl（Tx，T^{2} x，Ty\bigr）\geqslead\lambda G（x，Tx，y）\quad\textit{表示所有}\quad x，y\in x$$

然后 T型 具有唯一的固定点.

下一个结果不能保证不动点的唯一性。

定理3.9

让 \（（X，G）\） 是一个完整的 G公司-度量空间,然后让 \（T:X\右箭头X\） 是一个满射映射.假设存在 \（F\in\mathcal{F}\） 和 \（t>0） 这样所有人 \（x，y\在x\中）,

$$G\bigl（x，Tx，T^{2} x\bigr）>0\quad\Rightarrow\quad F\bigl（G\bigl（Tx，Ty，T^{2} 年\bigr）\bigr^{2} x\较大）\较大）+t$$

(17)

然后 T型 有一个固定点.

证明

让\（x\中的x_{0}\）随心所欲。自T型是悲观的，存在\（x中的x_{1}\）这样的话\（x_{0}=Tx_{1}\）。通过继续此过程，我们可以找到一个序列\（{x{n}=Tx{n+1}）为所有人\（n\geqsleat 0）.如果存在\（n_{0}\geqslide 0\）这样的话\（x_｛n_｛0｝｝=x_｛n_｛0｝+1｝\），然后\（x{n{0}+1}\）是的固定点T型.

现在，假设\（x{n}\neqx{n+1}）为所有人\（n \ geqslant 0\）.来自(17)带有\（x=x{n+1}\）和\（y=x{n}\），我们有\（G（x_{n+1}，Tx_{n+1}，T^{2} x个_{n+1}）=G（x{n+1，x{n}，x{n-1}）>0\）和

$$开始{对齐}F\bigl（G（x_{n}，x_{n-1}，x_{n-2}）^{2} x个_{n} \biger）\biger^{2} x个_{n+1}\bigr）\biger）+t=F\bigl（G（x_{n+1}，x_{n}，x _{n-1}）\bigr）+t，\end{对齐}$$

因此

$$开始{对齐}F\bigl（G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n-1}）bigl（G（x{2}，x{1}，x{0}）\bigr）-（n-1）t.\end{aligned}$$

(18)

发件人(18)，我们获得

$$\lim_{n\rightarrow\infty}F\bigl（G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n-1}）\bigr）=-\infty$$

其中包括(F类2） 给予

$$\lim_｛n\rightarrow\infty｝G（x_｛n+1｝，x_｛n｝，x_｛n-1｝）=0$$

模仿定理证明3.7，我们获得

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\bigl[G（x_{n+1}，x_{n}，x_{n-1}）\bigr]^{k}\cdot（n-1）=0$$

因此，存在\（n{1}\geqslide 1）这样的话

$$G（x{n+1}，x{n}，x{n-1}）\leqsleat\frac{1}{（n-1）^{1/k}}\quad\mbox{表示全部}\quadn>n{1}$$

自从系列\（\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{1/k}}\）收敛，对于任何\（\varepsilon>0\），存在\（n{2}斜面1）这样的话\（sum_{i=n_{2}}^{infty}\frac{1}{i^{1/k}}<\varepsilon\）为了证明这一点\（{x{n}）是一个柯西序列，我们认为\（m>n>\最大\{n{1}，n{2}\}\）。来源[2]，引理3.1.2（4）和公理(\（G_{3}\）),\（（G_｛4｝）\），我们得到

$$开始{对齐}G（x_{m}，x_{n}，x_{n{）&\leqsleat\sum_{j=n}^{m-1}G（x{j+1}，x{j}，x{j}）\leqslated\sum{j=n}^{infty}G（x{j+1}、x{j{，x_j}）\&\ leqslead\sum{j=n}^{infty}G（x_{j+1}，x{j},x{j-1}）j^{1/k}}\leqslated\sum{j=n{2}}^{infty}\frac{1}{j^{1/1k}}<\varepsilon。\结束｛对齐｝$$

因此，通过[2]，引理3.2.2，\（{x{n}）是Cauchy在G公司-度量空间\（（X，G）\）.从完整性\（（X，G）\），存在\（u\在X\中）这样的话\（{x_{n}\}\右箭头u\）.作为T型是悲观的，存在\（X中为w\）这样的话\（u=Tw\）.来自(17)带有\（x=w）和\（y=x{n+1}\），我们有

$$F\bigl（G（u，x_{n}，x__{n-1}）\bigr）=F\bigle（G\bigl-（Tw，Tx_{n+1}，T^{2} x个_{n+1}\biger）\biger^{2} w个\较大）\较大）+t$$

所以

$$F\bigl（G^{2} w个\bigr）\bigr$$

使用(F类1） ，我们有

$$G\bigl（w、Tw、T^{2} w个\bigr）<G（u，x_{n}，x_}n-1}）\quad\mbox{for-all}\quad_n\geqsleat1$$

使用函数G公司每个变量都是连续的([2]，定理3.2.2），取极限为\（n\rightarrow\infty\）在上述不等式中，我们得到

$$G\bigl（w、Tw、T^{2} w个\较大）=\lim_{n\rightarrow\infty}G（u，x_{n}，x_}n-1}）=0$$

也就是说，\（w=Tw=T^{2} w个\)因此，\（u=Tu\）. □

拿\（F_{1}\在\mathcal{F}\中），参见示例1.5，我们得到以下结果。

推论3.10

[2]，定理9.1.3

让 \（（X，G）\） 是一个完整的 G公司-度量空间和 \（T:X\右箭头X\） 是一个满射映射.假设存在 \（λ>1） 这样的话

$$G\bigl（Tx、Ty、T^{2} 年\bigr）\geqslated\lambda G\bigl（x，Tx，T^{2} x\biger）\quad\textit{代表所有}\quad x，y\以x表示$$

然后 T型 有,至少,固定点.