铃木和凸型收缩的最佳近似结果

摘要

本文的目的是引入新的铃木压缩和凸型压缩，并证明在度量空间中这些压缩的新的最佳逼近结果。作为应用，我们推导了偏序度量空间中此类压缩的类似结果，并导出了新的铃木型不动点结果。这里提供了一个示例来强调我们的发现。

1导言和序言

关于（有序）度量空间、Banach空间和模糊度量空间中的最佳邻近理论和相关不动点理论的背景文献非常丰富；例如，请参见[1–6]以及其中的参考。

度量空间中任意两个非空集A和B\（（X，d）\），重点\（A\中的p\）称为映射的最佳接近点\（T:A\至B\）如果\（d（p，Tp）=d（A，B）\），其中\（d（A，B）=\inf\{d（x，y）：x\在A中，y\在B\}\中）。我们将表示T型通过\（\操作员姓名{Bpp}（T）\）。有关更多详细信息，我们请读者参阅[7–11]和[4–6,12–31].

我们定义

$$\begin{aligned}&A_{0}=\bigl\{p\ in A:d（p，q）=d（A，B）\text{表示B\bigr\}中的某些}q\，\\&B_{0{=\bigle\{q\ in B:d（p，q）=d（A、B）\text{表示A\bigr中的一些}p\。\结束{对齐}$$

(1.1)

定义1.1

[20]

对于非空子集A类,B类度量空间的\（（X，d）\）具有\（A_{0}\neq\emptyset\），我们说这对\（（A、B）\）满足

• （a） 这个P（P）-属性if

  $$\textstyle\begin{cases}d（x_{1}，y_{1{）=d（A，B），&\\d（x_2}，y_{2}）=d（A，B），&\end{cases}\displaystyle\quad\Longrightarrow\quad d（x_1}，x_2}）=d$$

  为所有人\（A\中的x_{1}，x_{2}\）和\（y_｛1｝，y_｛2｝\在B\中）,

• （b） 弱者P（P）-财产[22,26]如果有\（A{0}中的x{1}，x{2}）和\（B_｛0｝\中的y_｛1｝，y_｛2｝\）,

  $$d（x_{1}，y_{1}）=d（A，B）\quad\mbox｛and｝\quad d（x_{2}，y_{2}）=d（A，B）\quad\Rightarrow\quad d（x_{1}，x_{2}）\leq d（y_{1}，y_{2}）$$

  (1.2)

我们将使用\（\Psi=\{\Psi:[0，+\infty）\到[0，+/infty，其中ψ是非递减函数。

现在我们引入了近端映射的新概念，有关更多详细信息，请参见[5].

定义1.2

如果\（\alpha:A\乘以A\到[-\infty，\infty）\），那么\（T:A\至B\）称为近端\（\字母^{+}\）-允许，如果

$$\textstyle\begin{cases}\alpha（x_{1}，x_{2}）\geq0，&\\d（u_{1{，Tx_1}）=d（A，B），&\\ d（u_2}，Tx_2}）=d$$

为所有人\（A\中的x{1}，x{2}，u{1}，u{2}\）.

定义1.3

映射\（T:A\至B\）被称为铃木类型\（\alpha^{+}\psi\）-近端收缩，如果

$$\压裂{1}{2} d日^{*}（x，Tx）\leq d（x，y）\quad\Rightarrow\quad\\alpha（x、y）+d（Tx，Ty）\leq\psi\bigl（M（x，y）\bigr）$$

(1.3)

为所有人\（x，y\在A\中），其中\（d^｛*｝（x，Tx）=d（x，Tx）-d（A，B）\）,\（\alpha:A\乘以A\到[-\infty，\infty）\）,\（\psi\in\psi\）、和

$$M（x，y）=\max\biggl\{d（x，y），\frac{d（x，Tx）+d（y，Ty）}{2} -d日（A，B），\压裂{d（x，Ty）+d（y，Tx）}{2} -d日（A，B）\biggr \}$$

在这份手稿中，我们提出了新类型的铃木图和凸近似图，以证明最佳近似结果。我们在有序度量空间中也得到了类似的结果。这里给出了我们得到的结果的几个有趣的结果。

2铃木型\（α^｛+｝\磅/平方英寸）-近端地图

现在我们证明了我们的第一个主要结果。

定理2.1

假设 A类 和 B类 是完备度量空间的非空闭子集 X（X） 具有 \（A_{0}\neq\emptyset\）.让 \（T:A\至B\） 满足(1.3)以及以下断言:

• （i） \（T（A_{0}）\子结构B_{0{） 和 \（（A、B）\） 满足弱者 P（P）-财产,

• （ii） T型 是近距离的 \（\字母^{+}\）-可接受的,

• （iii） 存在 \（A{0}中的x{0},x{1}\） 这样的话

  $$d（x_{1}，Tx_{0}）=d（A，B）\quad\textit{和}\quad\\alpha（x_}0}，x_{1}）\geq0$$

• （iv） T型 是连续的,或

• （v） A类 是 α-有规律的,那就是,如果 \（{x{n}） 是中的序列 A类 这样的话 \（\alpha（x{n}，x{n+1}）\geq0） 和 \（A\中的x_{n}\到x\） 作为 \（到英寸）,然后 \（\alpha（x{n}，x）\geq0） 为所有人 \（n\in\mathbb{n}\）.

然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 非空.

证明

自\（T（A_{0}）\子结构B_{0{），我们有\（A_｛0｝\中的x_｛2｝\）这样的话

$$d（x{2}，Tx{1}）=d（A，B）$$

作为T型满足（iii）且接近\（\字母^{+}\）-可接受，我们得到\（\alpha（x{1}，x{2}）\geq0\）也就是说，

$$d（x{2}，Tx{1}）=d（A，B），\qquad\alpha（x{1{，x{2{）\geq0$$

再一次，因为\（T（A_{0}）\子结构B_{0{），存在\（A_{0}中的x_{3}\）这样的话

$$d（x_{3}，Tx_{2}）=d（A，B）$$

因此，我们有

$$d（x_{2}，Tx_{1}）=d（A，B），\quad d（x_{3}，Tx_{2}）=d（A，B），\quad\alpha（x_{1}，x_{2}）\geq0$$

从那以后T型是近距离的\（\字母^{+}\）-可以接受，所以\（\alpha（x{2}，x{3}）\geq0\）因此，

$$d（x{3}，Tx{2}）=d（A，B），\qquad\alpha（x{2{，x{3{）\geq0$$

我们继续这个过程

$$d（x_{n+1}，Tx_{n}）=d（A，B），\qquad\alpha（x__{n+1}，x_{n}）\geq0\quad\mbox{代表所有}n\in\mathbb{n}\cup\{0\}$$

(2.1)

通过使用上述观察结果，我们可以写出

$$\开始{aligned}\frac{1}{2} d日^{*}（x{n-1}，Tx{n-1}）&=\frac{1}{2}\bigl[d（x{n-1}，Tx{n-1}）-d（A，B）\bigr]\\&\leq\frac}{1}{2}\bigl[d（x{n-1{，x{n}）+d{2} d日（x{n-1}，x{n}。\结束{对齐}$$

那就是，

$$\压裂{1}{2} d日^{*}（x{n-1}，Tx{n-1}）\leq d（x{n}，x{n-1}）$$

现在从(1.3)我们得到

$$d（Tx{n-1}，Tx{n}）\leq\alpha（x{n-1}，x{n{）+d（Tx{n-1{，Tx{n}）\ leq\psi\bigl（M（x{n-1}，x{n{）\bigr）$$

(2.2)

通过简单计算，我们得出（有关详细信息，请参见[2,5]),

$$开始{对齐}[b]M（x_{n-1}，x_{n}）={}&\max\biggl\{d（x_}n-1}，x_}n}{2} -d日（A，B），\\&{}压裂{d（x_{n-1}，Tx_{n}）+d（x_{n}，Tx_{n-1{）}{2} -d日（A，B）\biggr\}\\leq{}&\max\bigl\{d（x{n-1}，x{n}），d（x_{n}，x{n+1}）\bigr\}。\结束{对齐}$$

(2.3)

由弱者P（P）-财产和(2.1)一个人获得

$$d（x{n}，x{n+1}）\leq d（Tx{n-1}，Tx{n{）\quad\mbox{代表所有}n\in\mathbb{n}$$

方程式(2.2)和(2.3)暗示

$$d（x{n}，x{n+1}）\leq\psi\bigl$$

(2.4)

如果\（x{n{0}}=x{n}0}+1}\）对一些人来说\（n_{0}\in\mathbb{n}\），来自(2.1)一个人获得

$$d（x_{n_{0}}，Tx_{n_{0{}}）=d（x_$$

也就是说，\（x_{n_{0}}\在\运算符名称{Bpp}（T）\中）因此，我们假设

$$d（x{n+1}，x{n}）>0\quad\mbox{forall}n\in\mathbb{n}\cup\{0\}$$

(2.5)

如果，\（最大值\{d（x{n-1}，x{n}），d，然后(2.4)暗示

$$d（x{n}，x{n+1}）\leq\psi\bigl$$

这是一个矛盾。因此，

$$d（x{n}，x{n+1}）\leq\psi\bigl$$

(2.6)

应用的单调性ψ通过归纳，它是由(2.6),

$$d（x{n}，x{n+1}）\leq\psi^{n}\bigl（d（x_{1}，x{0}）\ biger）\quad\mbox{表示所有}n\in\mathbb{n}\cup\{0}$$

假设ϵ是任何正实数。然后就有了\（N\in\mathbb{N}\）这样的话

$$\sum_{n\geqN}\psi^{n}\bigl（d（x_{0}，x_{1}）\bigr）<\epsilon\quad\text{forall}n\in\mathbb{n}$$

如果\（m，n\in\mathbb{n}\）具有\（m>n \geq n）.我们应用三角形不等式得到

$$d（x{n}，x{m}）\leq\sum{k=n}^｛m-1｝天（x{k}，x{k+1}）\leq\sum_k=n}^{m-1}\psi^{k}\bigl（d（x{0}，x{1}）$$

因此\（lim{m，n，to+\infty}d（x{n}，x{m}）=0），这意味着\（{x{n}）是柯西序列。通过以下内容的完整性X（X）,\（x中的x_{n}\到z\）如果（iv）成立，则\（Tx{n}\至Tz\）作为\（n \到\信息\）和

$$d（A，B）=\lim_｛n\to\infty｝d（x_｛n+1｝，Tx_｛n｝）=d（z，Tz）$$

根据需要。接下来，假设（v）成立。然后\（\alpha（x{n}，z）\geq0）.

如果以下不等式成立：

$$\压裂{1}{2} d日^{*}（x{n}，Tx{n{）>d（x{n}，z）\quad\text{和}\quad_frac{1}{2} d日^{*}（x{n+1}，Tx{n+1}）>d（x{n+1}，z）$$

对一些人来说\（n\in\mathbb{n}\），然后使用(2.6)和定义\（d^{*}\），我们得到以下矛盾：

$$开始{对齐}d（x{n}，x{n+1}）\leq&d（x_{n}，z）+d（x}n+1}，z（x{n}，Tx{n{）+d（x{n+1}，Tx{n+1}）-2d（A，B）\bigr]\\=&d（x_{n}，x{n+1}）。\结束{对齐}$$

因此，对于任何\（n\in\mathbb{n}\），或者

$$\压裂{1}{2} d日^{*}（x{n}，Tx{n{）\leq d（x{n}，z）\quad\text{或}\ quad\frac{1}{2} d日^{*}（x{n+1}，Tx{n+1}）\leq d（x{n+1}，z）$$

持有。因此，我们可以选择一个子序列\（{x{n{k}}）属于\（x｛n｝\｝\）这样的话

$$\压裂{1}{2} d日^{*}（x{n{k}}，Tx{n}k}）$$

为所有人\（k\in\mathbb{N}\）.签署人(1.3)我们得到

$$d（Tx_{n_{k}}，Tz）\leq\psi\bigl（M（x_{n-{k}，z）\bigr）$$

(2.7)

请注意

$$\开始{对齐}M（x_{n_{k}}，z）=&\max\biggl\{d（x__{n{k}，z）{2} -d日（A，B），\\&{}压裂{d（x_{n_{k}}，Tz）+d（z，Tx_{n_{k{}）}{2} -天（A，B）\biggr\｝\\leq&\max\biggl\｛d（x_｛n_｛k｝｝，z），\frac｛d（x_｛n_｛k｝，x_｛n_｛k｝+1｝）+d（x_｛n_｛k｝+1｝，Tx_｛n_｛k｝）+d（z，Tz）｝{2} -d日（A，B），\\&{}压裂{d（x{n{k}}，z）+d（z，Tz）+d（z，x{n_k}+1}）+d{2} -d日（A，B）最大值{2} -d日（A，B），\\&{}\分形{d（x_{n_{k}}，z）+d（z，Tz）+d（z，x_{n_{k{+1}）+d{2} -d日（A，B）\biggr \}，\end{对齐}$$

这意味着

$$开始{aligned}\lim_{k\to\infty}M（x_{n_{k}}，z）\leq\frac{d（z，Tz）-d（A，B）}{2}。\结束{对齐}$$

(2.8)

此外，

$$开始{对齐}d（z，Tz）和\leq d$$

它给出了

$$\开始{aligned}d（z，Tz）-d（z，x_{n_{k}+1}）-d。\结束{对齐}$$

(2.9)

作为\（k \ to \ infty \）英寸(2.9)我们推断

$$\开始{aligned}d（z，Tz）-d（A，B）\leq\lim_{k\to\infty}d（Tx_{n_{k}}，Tz）。\结束{对齐}$$

(2.10)

因此，从(2.7), (2.8)、和(2.10)

$$\开始{对齐}d（z，Tz）-d（A，B）&\leq\lim_{k\to\infty}d。\结束{对齐}$$

（2.11）

现在，如果\（d（z，Tz）-d（A，B）>0），然后我们得到

$$d（z，Tz）-d（A，B）\leq\psi\biggl$$

(2.12)

矛盾。因此，\（d（z，Tz）=d（A，B）\）根据需要。□

示例2.1

假设\（X=\mathbb{R}^{2}\）配备了公制

$$d\bigl（（p_{1}，p_{2}），（q_{1}，q_{2}）\bigr）=\vert p_{1}-q_{1}\vert+\vert p_{2}-q_{2}\vert$$

为所有人\（（p_{1}，p_{2}），（q_1}，q_2}）\在X\中.让\（A_{1}={（p，q）|p=1，0\leq\leq\frac{1}{2}\}\）,\（A_{2}={（p，q）|p=4，q\geq5}\）,\（A_{3}={（p，q）p=5，q\geq4}\）,\（A_{4}={（p，q）|p=3，q\geq3}\）和\（A=A{1}\杯A{2}\杯A{3}\杯A{4}\）.进一步定义\（B_{1}={（p，q）|p=\压裂{1}{2}，压裂{1{2}\leq\leq1\}\）,\（B_{2}=\{（p，q）|p=0，q\leq4\}\）,\（B_{3}=\{（P，q）|P=4，q\leq0\}\）、和\（B=B_{1}\杯B_{2}\杯B_{3}\）.

请注意\（d（A，B）=1）,\（A_{0}=\{（p，q）|p=1，0\leq\leq\frac{1}{2}\}\）、和\（B_{0}=\{（p，q）|p=\frac{1}{2}，\frac{1'{2}\leq\leq1\}\）让，为了\（x{1}=（1，u{1}），x{2}=（1,u{2}）\在A{0}\中）和\（y{1}=（压裂{1}{2}，v{1}），y{2}=，我们有\（d（x_{1}，y_{1{）=d（A，B）=1\）和\（d（x_{2}，y_{2{）=d（A，B）=1\）。那么

$$\压裂{1}{2}+\垂直u_{1} -v型_{1} \vert=1$$

和

$$\压裂{1}{2}+\垂直u_{2} -v型_{2} \vert=1$$

等等\（\垂直u_{1} -v型_{1} \ vert=\ frac{1}{2}\）和\（\垂直u_{2} -v型_{2} \ vert=\ frac{1}{2}\）.自\（v{1}，v{2}\gequ{1}，u{2}\），我们有\（v{1}=\压裂{1}{2}+u{1}\）和\（v{2}=\压裂{1}{2}+u{2}\）。这表明\（d（x{1}，x{2}）.所以\（（A，B）\）满足弱者P（P）-属性。让\（T:A\至B\）由定义

$$T（p_{1}，p_{2}）=\textstyle\begin{cases}（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]）&\text{if}p_1}=p_2}，\\（p_1}，0）&\text{if}p_1}<p_2}，\\。\结束{cases}$$

请注意\（T（A_{0}）\子结构B_{0{）.

定义功能\（\psi:[0，+\infty）\rightarrow[0，+/infty和\（\alpha:A\乘以A\到[-\infty，\infty）\）通过

$$\psi（t）=\压裂{8}{9} t吨\quad\mbox{和}\quad\alpha（p，q）=\textstyle\begin{cases}0，&\mbox{if}p，q\in\{（1,0），（4,5），（5,4）\}，\\-infty，&\mpox{otherwise$$

假设\（\压裂{1}{2} d日^{*}（p，Tp）\leq d（p，q）\）和\（α（p，q），用于\（A中的p，q）。那么

$$\textstyle\begin{cases}p=（1,0），\qquad q=（4,5）&\mbox{或}\\p=（1,0）\结束{cases}$$

自\（d（Tp，Tq）=d（Tq，Tp）\）和\（M（p，q）=M（q，p）\）为所有人\（A中的p，q），我们可以假设

$$（p，q）=\bigl（（1,0），（4,5）\bigr）\quad\mbox{或}\quad（p，q）=\bigl（1,0，（5,4）\biger）$$

现在，我们讨论以下情况：

• （i） 如果\（（p，q）=（（1,0），（4,5））\），那么

  $$d\bigl（T（1,0），T（4,5）\bigr）=4\leq7=\frac{7}{8}\cdot8=\psi\bigl$$

• （ii） 如果\（（p，q）=（（1,0），（5,4）），那么

  $$d\bigl（T（1,0），T（5,4）\bigr）=4\leq\frac{7}{8}\cdot8=\psi\bigl$$

  因此，我们

  $$\压裂{1}{2} d日^{*}（p，Tp）\leq d（p，q）\quad\Rightarrow\quad d（Tp，Tq）\leq\psi\bigl（M（p，q）\biger）$$

  因此，定理的所有假设2.1感到满意并且\（\操作符名{Bpp}（T）=\{（1,0）\}\）.

下一个结果可以很容易地从定理中推导出来2.1.

定理2.2

让 X（X）,A类,\（A_{0}\）,和 B类 如定理所示 2.1.假设 \（T:A\至B\） 满足断言（i） -（v）在定理中 2.1 和

$$\alpha（p，q）+d（Tp，Tq）\leq\psi\bigl（M（p，q\bigr）$$

为所有人保留 \（A中的p，q）.然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 非空.

如果\（阿尔法=0）在A类，在定理中2.1，我们得到了以下新结果。

推论2.1

假设 X（X）,A类,\（A_{0}\）,和 B类 如定理所示 2.1 和 \（T:A\到B\） 满足以下假设:

• （i） \（T（A_{0}）\子结构B_{0{） 和 \（（A、B）\） 满足弱者 P（P）-财产,

• （ii） 为所有人 \（A中的p，q） 具有 \（\压裂{1}{2} 天^{*}（p，Tp）\leq d（p，q）\） 我们有

  $$d（Tp，Tq）\leq\psi\bigl（M（p，q）\bigr）$$

然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 非空.

三 \（\字母^{+}\）θ-近端映射

本节讨论铃木压缩的最佳逼近定理，铃木压缩涉及最近由Jleli和Samet引入的θ函数[27].

让\（\Delta_{\Theta}\）表示所有函数的集合\（\数据：（0，\infty）\右箭头[1，\infty）\）在以下条件下：

(\（Theta{1}）):

θ增加；

(\（Theta{2}）):

对于所有序列\（{\alpha_{n}\}\substeq（0，\infty）\）,\（\lim_{n\to\infty}\alpha_{n}=0\）当且仅当\（\lim_{n\to\infty}\Theta（\alpha_{n}）=1\）;

(\（Theta{3}）):

存在\（0<r<1）和\（\ ell\ in（0，\ infty]\）这样的话\（\lim_{n\到0^{+}}\frac{\Theta（t）-1}{t^{r}}=\ell\）.

定义3.1

地图\（T:A\至B\）被称为铃木类型\（\alpha^{+}\Theta\）-近端收缩\（x，y\在A\中）具有\（\压裂{1}{2} d日^{*}（x，Tx）\leq d（x，y）\）和\（d（Tx，Ty）>0）,

$$\Rightarrow\quad\alpha（x，y）+\Theta\bigl（d（Tx，Ty）\bigr）\leq\bigl[\Theta\ bigl$$

(3.1)

哪里\（\alpha:A\乘以A\到[-\infty，\infty）\）,\（0\leq k<1）、和\（\ Theta \ in \ Delta_｛\ Theta｝\）.

定理3.1

假设 X（X）,A类,\（A_{0}\）,和 B类 如定理所示 2.1 和 \（T:A\至B\） 满足(3.1)和断言（i） -（v）在定理中 2.1.然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 不是空的.

证明

如定理证明2.1，我们可以构建一个序列\（x｛n｝\｝\）令人满意的

$$d（x{n+1}，Tx{n}）=d（A，B），\qquad\alpha（x{n}，x{n+1}）\geq0，\quad\in\mathbb{n}\cup\{0\}$$

（3.2）

和

$$\压裂{1}{2} d日^{*}（x{n-1}，Tx{n-1}）\leq d（x{n}，x{n-1'）\quad\mbox{和}\quad d（x_{n}，x{n-1}）>0\ quad\mbox{代表所有}n\in\mathbb{n}$$

现在(3.1)暗示

$$\Theta\bigl（d（Tx{n-1}，Tx{n}）\bigr）\leq\alpha（x_{n-1{，x{n{）+\Theta\ bigl$$

(3.3)

在定理中2.1我们获得

$$M（x{n-1}，x{n}）\leq\max\bigl\{d$$

(3.4)

和

$$d（x{n}，x{n+1}）\leq d（Tx{n-1}，Tx{n{）\quad\mbox{代表所有}n\in\mathbb{n}$$

因此，从(3.3)和(3.4)我们得到

$$开始{对齐}[b]\Theta\bigl（d（x_{n}，x_{n+1}）\bigr{n-1}，x{n}），d（x{n{，x_{n+1}）\bigr\}\bigr）\bigr]^{k}\quad\mbox{代表所有}n\in\mathbb{n}。\结束{对齐}$$

(3.5)

现在如果\（最大值\{d（x{n-1}，x{n}），d，然后从(3.5)我们得到

$$\Theta\bigl（d（x_{n}，x_{n+1}）\bigr）\leq\bigl[\Theta\ bigl$$

这是一个矛盾。因此，

$$\Theta\bigl（d（x_{n}，x_{n+1}）\bigr）\leq\bigl[\Theta\ bigl$$

(3.6)

因此，

$$开始{对齐}1\leq&\Theta\bigl（d（x_{n}，x_{n+1}）\bigr{1}）更大）^{k^{n}}。\结束{对齐}$$

(3.7)

将限额视为\（到英寸）英寸(3.7)我们有

$$\lim_{n\to\infty}\Theta\bigl（d（x_{n}，x_{n+1}）\bigr）=1$$

从那以后\（\Theta\in\Delta_{\Theta}\）我们获得

$$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}d（x_{n}，x_{n+1}）=0。\结束{对齐}$$

(3.8)

从那以后\（\Theta\in\Delta_{\Theta}\），存在\（0<r<1）和\（0<\ell\leq\infty\）具有

$$开始{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{\Theta（d（x_{n}，x_{n+1}））-1}{[d（x_{n}，x_{n+1{）]^{r}}=\ell。\结束{对齐}$$

(3.9)

假设\（\ell<\infty\）.让\（C=\frac｛\ell｝｛2｝\）。因此存在\（n_{0}\in\mathbb{n}\）这样的话

$$\begin{aligned}\biggl\vert\frac{\Theta（d（x_{n}，x_{n+1}））-1}{[d（x_{n}，x_{n+1{）]^{r}}-\ell\biggr\vert\leq C\quad\mbox{代表所有}n\geq n_{0}，\end{alinged}$$

因此

$$\开始{对齐}\frac{\Theta（d（x_{n}，x_{n+1}））-1}{[d（x_{n}，x_{n+1{）]^{r}}\geq\ell-C=C\quad\mbox{forall}n\geqn_{0}，\end{aligned}$$

等等

$$开始{对齐}n\bigl[d（x_{n}，x_{n+1}）\bigr]^{r}\leq n d\bigl[\Theta\bigl（d（x_{n}，x_{n+1}）\ bigr）-1\bigr]\ quad\mbox{用于所有}n\geq n_{0}，\end{对齐{}$$

哪里\（D=\压裂{1}{C}\）.如果\（\ell=\infty\），那么就存在\（n_{0}\in\mathbb{n}\）,

$$\开始{对齐}\frac{\Theta（d（x_{n}，x_{n+1}））-1}{[d（x_{n}，x_{n+1{）]^{r}}\geq C\quad\mbox{forall}n\geq n_{0}，\end{aligned}$$

这意味着

$$开始{对齐}n\bigl[d（x_{n}，x_{n+1}）\bigr]^{r}\leq nD\bigl[\Theta\bigl（d（x_{n}，x_{n+1}）\ bigr）-1\bigr]\ quad\mbox{用于所有}n\geq n_{0}，\end{对齐{}$$

哪里\（D=\压裂{1}{C}\）因此，在所有情况下都存在\（D>0\）和\（n_{0}\in\mathbb{n}\）这样的话

$$开始{对齐}n\bigl[d（x_{n}，x_{n+1}）\bigr]^{r}\leq nD\bigl[\Theta\bigl（d（x_{n}，x_{n+1}）\ bigr）-1\bigr]\ quad\mbox{表示所有}n\geq n_{0}。\结束{对齐}$$

现在(3.7)暗示

$$开始{对齐}n\bigl[d（x_{n}，x_{n+1}）\bigr]^{r}\leq nD\bigl[\Theta\bigl（d（x_{0}，x_{1}）\ bigr）^{k^{n}}-1\bigr]\quad\mbox{表示所有}n\geq n_{0}，\end{对齐{}$$

以及出租\（到英寸）我们获得

$$开始{aligned}\lim_{n\to\infty}n\bigl[d（x_{n}，x_{n+1}）\bigr]^{r}=0。\结束{对齐}$$

(3.10)

它源自(3.10)有\（n_{1}\in\mathbb{n}\）具有

$$\开始{aligned}n\bigl[d（x_{n}，x_{n+1}）\bigr]^{r}\leq1\end{aligned}$$

为所有人\（n>n{1}\）。这意味着

$$\开始{对齐}d（x{n}，x{n+1}）\leq\frac{1}{n^{1/r}}\end{aligned}$$

为所有人\（n>n{1}\）.如果\（m>n>n{1}\），那么

$$\开始{对齐}d（x{n}，x{m}）\leq\sum{i=n}^{m-1}天（x{i}，x{i+1}）\leq\sum{i=n}^{m-1}\frac{1}{i^{1/r}}。\结束｛对齐｝$$

自\（0<r<1\）,\（\sum_{i=n}^{\infty}\frac{1}{i^{1/r}}\）是收敛的。因此，\（d（x{n}，x{m}）\to0）作为\（m，n至infty），这表明\（{x{n}）是一个柯西序列。因此，有\（X中的z）这样的话\（x{n}\到z\）作为\（到英寸）假设（iv）成立。因此\（Tx{n}\至Tz\）作为\（到英寸），这意味着

$$d（A，B）=\lim_{n\to\infty}d（x_{n+1}，Tx_{n}）=d（z，Tz）$$

根据需要。接下来，假设（v）成立。如定理证明2.1我们可以推断出有一个子序列\（{x{n{k}}）属于\（{x{n}）令人满意的

$$\压裂{1}{2} d日^{*}（x{n{k}}，Tx{n}k}）$$

为所有人\（k\in\mathbb{N}\）.签署人(3.1)我们得到了

$$\Theta\bigl（d（Tx_{n_{k}}，Tz）\bigr）\leq\bigl[\Theta\ bigl$$

这意味着

$$d（Tx_{n_{k}}，Tz）\leqM（x_{n_{k{}，z）$$

如定理所示2.1我们获得

$$开始{aligned}\lim_{k\to\infty}M（x_{n_{k}}，z）\leq\frac{d（z，Tz）-d（A，B）}{2}\end{aligned}$$

和

$$\开始{对齐}d（z，Tz）-d（A，B）\leq\lim_{k\to\infty}d；\结束{对齐}$$

因此，

$$d（z，Tz）-d（A，B）\leq\frac{d（z、Tz）-d（A、B）}{2}$$

这是一个矛盾\（d（z，Tz）>d（A，B）\）所以，\（d（z，Tz）=d（A，B）\）也就是说，\（\操作员名称｛Bpp｝（T）\）非空。□

推论3.1

假设 X（X）,A类,\（A_{0}\）,和 B类 如定理所示 2.1 和 \（T:A\至B\） 满足断言（i） -（v）在定理中 3.1.如果

$$\alpha（p，q）+\Theta\bigl（d（Tp，Tq）\bigr）\leq\bigl[\Theta\ bigl$$

为所有人保留 \（A中的p，q） 哪里 \（\alpha:A\乘以A\到[-\infty，\infty）\） 和 \（\Theta\in\Delta_{\Theta}\）,然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 非空.

推论3.2

假设 X（X）,A类,\（A_{0}\）,和 B类 如定理所示 2.1 和 \（T:A\至B\） 满足以下断言:

• （i） \（T（A_{0}）\子结构B_{0{） 和 \（（A、B）\） 满足弱者 P（P）-财产;

• （ii） 为所有人 \（A中的p，q） 具有 \（\frac｛1｝{2} d日^{*}（p，Tp）\leq d（p，q）\） 我们有

  $$\Theta\bigl（d（Tp，Tq）\bigr）\leq\bigl[\Theta\figl（M（p，q）\bigr）\ bigr]^{k}$$

  哪里 \（\Theta\in\Delta_{\Theta}\）.

然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 非空.

备注3.1

• （a） 上述章节中证明的结果概括了Zhang的相应结果等。[26]，铃木[22]、侯赛因等。[2,三]以及其他许多人。

• （b） 通过对函数θ的更多选择，以及对α和\（\psi\in\psi\）在上述章节的结果中。

4凸型压缩的最佳逼近结果

我们讨论了两种新的和一般类型的近端凸收缩，并建立了相应的最佳逼近结果（另请参见[8]).

定义4.1

假设\（T:A\至B\）是一个映射，其中A类和B类是度量空间的两个非空子集X（X）。那么T型是一个

• (1) \（\字母^{+}\）-第一类if的凸近端收缩映射\（A中的x，y，u，u^{*}，v）,

  $$\左。\textstyle\begin｛array｝｛l｝\alpha（x，y）\geq0，\\d（u，Tx）=d（A，B），\\d（u^｛*｝，Tu）=d（A，B），\\d（v，Ty）=d（A，B），\\d（v^｛*｝，Tv）=d（A，B）\end｛array｝\displaystyle\right\｝\quad\Longrightarrow\quad d\bigl（u^｛*｝，v^｛*｝\bigr）\leqr_{1} d日（u，v）+r_{2} d日（x，y）$$

  (4.1)

  在何处保存\（r{1}，r{2}\geq0）,\（r{1}+r{2}<1）;

• (2) \（\字母^{+}\）-第二类凸近端收缩映射\（A中的x，y，u，u^{*}，v）,

  $$\开始｛对齐｝&\左。\textstyle\begin｛array｝｛l｝\alpha（x，y）\geq0，\\d（u，Tx）=d（A，B），\\d（u^｛*｝，Tu）=d（A，B），\\d（v，Ty）=d（A，B），\\d（v^｛*｝，Tv）=d（A，B）\end｛array｝\displaystyle\right\｝\\&&\quad\Longrightarrow\quad d\bigl（u^｛*｝，v^｛*｝\bigr）\leqr_{1} d日（x，u）+r_{2} d日\bigl（u，u^{*}\bigr）+r_{3} d日（y，v）+r_{4} d日\bigl（v，v^{*}\bigr）\end{aligned}$$

  (4.2)

  在何处保存\（r{1}，r{2}，r{3}，r{4}\geq0）,\（r{1}+r{2}+r{3}+r{4}<1）.

定理4.1

假设 X（X）,A类,\（A_{0}\）,和 B类 如定理所示 2.1 和 \（T:A\至B\） 满足(4.1)具有 \（T（A_{0}）\子结构B_{0{） 和条件（ii）-（iv）在定理中 2.1.然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 非空.此外,\（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 是单例，如果 \（\alpha（x，y）\geq0） 为所有人 \（x，y\in\运算符名称｛Bpp｝（T）\）.

证明

遵循定理证明的技巧2.1，人们可以找到一个序列\（{x{n}）这样的话

$$d（x{n+1}，Tx{n}）=d（A，B），\qquad\alpha（x{n}，x{n+1}）\geq0\quad\mbox{代表所有}n\in\mathbb{n}\cup\{0\}$$

(4.3)

对于

$$x=x_{n-2}，\qquad u=x_}n-1}，\ qquad u^{*}=x_{n}，\fquad y=x__{n-1}$$

方程式(4.1)暗示

$$开始{对齐}d（x{n}，x{n+1}）\leq&\alpha（x{n-2}，x{n-1}）+d（x}n}、x{n+1}）\\leq&r_{1} d日（x{n-1}，x{n}）+r_{2} 天（x_{n-2}、x_{n-1}）。\结束{对齐}$$

通过采取\（\vartheta=d（x{2}，x{1}）+d（x}1}，x{0}）\）和\（r=r{1}+r{2}\）我们有

$$d（x{m}，x{m+1}）\leqr^{l}\vartheta$$

哪里\（m=2l）或\（m=2l+1）.让\（m=2l）.然后针对\（n=2p\）具有\（p>2）和\（1）和\（m<n）我们推断

$$开始{对齐}d（x{m}，x{n}）&\leq d_{2} 我，x{2l+1}）+d（x{2l+1}，x{2l+2}）+d（x_{2l+2}，x{2l+3}）+/cdots+d（x{2p-1}vartheta+2r^{l+1}\vartheta+\cdots+2r^}\vartheta\leq\frac{2r^{1}{1-r}\varheta。\结束{对齐}$$

同样，对于\（m=2l）和\（n=2p+1）具有\（第1页）和\（1）和\（m<n）我们得到

$$开始{aligned}d（x{m}，x{n}）\leq\frac{2r^{l}}{1-r}\vartheta。\结束{对齐}$$

现在，假设\（m=2l+1）.然后针对\（n=2p\）具有\（第二页）和\（1）和\（m<n）我们有

$$\开始{对齐}d（x{m}，x{n}）\leq&d（x_{m}，x{m+1}）+d（x_{m+1}，x{m+2}）+d（x{m+2}，x{m+3}）+/cdots+d（x _{n-1}，x2}）\\=&d（x_{2} 我，x{2l+1}）+d}\vartheta+2r^{l+1}\varheta+\cdots+2r^}\vartheta\leq\frac{2r^{1}{1-r}\varθ。\结束{对齐}$$

类似地，对于\（m=2l+1\）和\（n=2p+1）具有\（第1页）和\（1）和\（m<n）我们推断

$$开始{aligned}d（x{m}，x{n}）\leq\frac{2r^{l}}{1-r}\vartheta。\结束{对齐}$$

因此，对于所有人来说\（m，n\in\mathbb{n}\）具有\（m<n）我们有

$$\开始{aligned}d（x{m}，x{n}）\leq\frac{2r^{l}}{1-r}\vartheta，\end{aligned}$$

哪个出租\（本人至本人）暗示\（d（x{m}，x{n}）\to0）也就是说，\（{x{n}）是一个柯西序列，因此\（X中的z）这样的话\（x{n}\到z\）作为\（到英寸）.连续性T型暗示\（Tx{n}\至Tz\）作为\（到英寸）因此，

$$d（A，B）=lim_{n\to\infty}d（x_{n+1}，Tx_{n}）=d（z，Tz）$$

让\（w，z\in\运算符名称｛Bpp｝（T）\）具有\（w\neq z）。那么\（\alpha（w，z）\geq0）。现在使用

$$w=x=u=u^{*}，\qquad z=y=v=v^{*neneneep$$

(4.1)暗示

$$d（w，z）\leq\alpha（w，z）+d（w，z）\ leqr_{1} d日（w，z）+r_{2} d日（w，z）$$

这是一个矛盾，因此\（d（w，z）=0\）.即。,\（w=z）因此\（\操作员姓名{Bpp}（T）\）是独生子女。□

通过服用，\（α（x，y）=0），在上述定理中，我们推导出以下结果。

推论4.1

假设 X（X）,A类,\（A_{0}\）,和 B类 如定理所示 2.1 和 \（T:A\至B\） 第一类连续凸近端压缩映射满足 \（T（A_{0}）\子结构B_{0{）.然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 非空.

定理4.2

假设 X（X）,A类,\（A_{0}\）,和 B类 如定理所示 2.1 和 \（T:A\至B\） 是一个 \（\字母^{+}\）-第二类凸近端收缩映射 \（T（A_{0}）\子结构B_{0{） 和满足条件（ii）-（iv）在定理中 2.1.然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 不是空的.此外,\（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 是单例，如果 \（\alpha（x，y）\geq0） 为所有人 \（x，y\ in \运算符名称{Bpp}（T）\）.

证明

如定理所示2.1，人们可以找到一个序列\（{x{n}）这样的话

$$d（x{n+1}，Tx{n}）=d（A，B），\qquad\alpha（x{n}，x{n+1}）\geq0\quad\mbox{代表所有}n\in\mathbb{n}\cup0$$

(4.4)

对于

$$x=x{n-2}，\qquad u=x{n-1}，\squad u^{*}=x{n}，\ qquad y=x_{n-1}$$

具有\（r=r_｛1｝+r_｛2｝+r_｛3｝\）,\（η=1-r_｛4｝\）、和\（\vartheta=d（x{2}，x{1}）+d（x}1}，x{0}）\）, (4.2)暗示

$$开始{对齐}d（x{n}，x{n+1}）\leq&\alpha（x{n-2}，x{n-1}）+d（x}n}、x{n+1}）\\leq&r_{1} d日（x{n-2}，x{n-1}）+r_{2} d日（x{n-1}，x{n}）+r_{3} d日（x{n-1}，x{n}）+r_{4} d日（x{n}，x{n+1}）。\结束{对齐}$$

(4.5)

现在如果\（n=2），那么

$$\开始{aligned}d（x{2}，x{3}）\leq&r_{1} d日（x{0}，x{1}）+r_{2} d日（x{1}，x{2}）+r_{3} d日（x{1}，x{2}）+r_{4} d日（x{2}，x{3}）\\leq&r\vartheta+r_{4} d日（x_｛2｝，x_｛3｝），\结束｛对齐｝$$

这意味着\（（1-r{4}）d（x{2}，x{3}）也就是说，\（d（x{2}，x{3}）\leq\frac{r}{\eta}\vartheta\）。再次通过采取\（n=3）英寸(4.5)我们得到

$$\开始{对齐}d（x_{3}，x_{4}）\leq&r_{1} d日（x{1}，x{2}）+r_{2} d日（x_{2}，x_{3}）+r_{3} 天（x{2}，x{3}）+r_{4} d日（x{3}，x{4}）\\leq&r\vartheta+r_{4} d日（x{3}，x{4}），\结束{对齐}$$

这意味着\（d（x{3}，x{4}）\leq\frac{r}{\eta}\vartheta\）同样，\（d（x{4}，x{5}）\leq（\frac{r}{eta}）^{2}\vartheta\）和\（d（x{5}，x{6}）\leq（\frac{r}{eta}）^{2}\vartheta\）。通过继续此过程，我们获得\（d（x{m}，x{m+1}）\leq（\frac{r}{eta}）^{l}\vartheta\）什么时候\（m=2l）或\（m=2l+1）.让\（m=2l）.然后针对\（n=2p\）具有\（p>2）和\（1）和\（m<n）我们推断

$$\开始｛对齐｝d（x_｛m｝，x_｛n｝）\leq&d（x_｛m｝，x_｛m+1｝）+d（x_｛m+1｝，x_｛m+2｝）+d（x_｛m+2｝，x_｛m+3｝）+\cdots+d（x_ n-1｝，x_｛n｝）\\=&d（x_｛2l｝，x_｛2l+1｝）+d（x_｛2l+1｝，x_｛2l+2｝）+d（x_ 2l+2｝，x_｛2l+3｝）+\cdots+d（x_｛2p-1｝，x_｛2p｝）\\leq&\biggl（\frac｛r｝｛\eta｝\biggr）^｛l｝\vartheta+\biggl（\frac｛r｝｛\eta｝\biggr）^｛l｝\vartheta+\biggl（\frac｛r｝｛\eta｝\biggr）^｛l+1｝\vartheta+\cdots+\biggl（\frac{r}{\eta}\biggr）^{p-1}\vartheta\\=&2\biggl \vartheta\leq\frac{2（\frac{r}{\eta}）^{l}}{1-（\frac{r}{\eta}）}\vartheta。\结束{对齐}$$

同样，对于\（m=2l）和\（n=2p+1）具有\（p\geq1\）和\（1）和\（m<n）我们得到

$$开始{对齐}d（x{m}，x{n}）\leq\frac{2（\frac}r}{eta}）^{l}{1-（\frac{r}{eta}，）}\vartheta。\结束{对齐}$$

现在，假设\（m=2l+1）.然后针对\（n=2p\）具有\（第二页）和\（1）和\（m<n\）我们有

$$\开始｛对齐｝d（x_｛m｝，x_｛n｝）\leq&d（x_｛m｝，x_｛m+1｝）+d（x_｛m+1｝，x_｛m+2｝）+d（x_｛m+2｝，x_｛m+3｝）+\cdots+d（x_ n-1｝，x_｛n｝）\\=&d（x_{2} 我，x{2l+1}）+d \vartheta+\biggl（\frac{r}{\eta}\biggr）\biggr）^{l+1}\vartheta+\cdots+2\biggl（\frac{r}{\eta}\biggr。\结束{对齐}$$

同样，对于\（m=2l+1）和\（n=2p+1）具有\（第1页）和\（1）和\（m<n）我们推断

$$开始{对齐}d（x{m}，x{n}）\leq\frac{2（\frac}r}{eta}）^{l}{1-（\frac{r}{eta}，）}\vartheta。\结束{对齐}$$

因此，对于所有人来说\（m，n\in\mathbb{n}\）具有\（m<n）我们有

$$开始{对齐}d（x{m}，x{n}）\leq\frac{2（\frac}r}{eta}）^{l}{1-（\frac{r}{eta}，）}\vartheta。\结束｛对齐｝$$

出租\（本人至本人），我们得到\（d（x{m}，x{n}）\to0）也就是说，\（{x{n}）是一个柯西序列，所以有\（X中的z）这样的话\（x{n}\到z\）作为\（到英寸）.BY连续性T型,\（Tx{n}\至Tz\）作为\（到英寸）因此，

$$d（A，B）=lim_{n\to\infty}d（x_{n+1}，Tx_{n}）=d（z，Tz）$$

证明\（\操作员姓名{Bpp}（T）\）是单态的，与上述定理类似，因此省略。□

通过服用，\（α（x，y）=0），在上述定理中，我们推导出以下结果。

推论4.2

假设 X（X）,A类,\（A_{0}\）,和 B类 如定理所示 2.1 和 \（T:A\到B\） 是满足第二类连续凸近端压缩映射 \（T（A_{0}）\子结构B_{0{）.然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 是独生子女.

5部分有序集的结果

在这一节中，我们推导了部分序集中铃木映射和凸最近映射的最佳邻近定理。

定义5.1

[18]

让\（（X，d，\preceq）\）是部分有序的度量空间。一张地图\（T:A\至B\）称为近似订单预留\（A\中的x{1}，x{2}，u{1}，u{2}\）,

$$\开始{aligned}\textstyle\开始{cases}x{1}\precqx{2}，\\d（u{1}，Tx{1{）=d（A，B），\\d。\end{cases}\displaystyle\quad\Longrightarrow\quad u{1}\proceq u{2}。\结束{对齐}$$

定义5.2

地图\（T:A\至B\）据说是铃木式订购ψ-近端收缩，如果是\（x，y\在A\中）

$$\压裂{1}{2} d日^{*}（x，Tx）\leq d（x，y）\quad\mbox{和}\quad x\precq y\quad_Rightarrow\quad d（Tx，Ty）\leq\psi\bigl（M（x，y）\biger）$$

类似地，我们可以定义上面部分中讨论的其他映射的顺序版本。

定理5.1

让 A类 和 B类 是完备偏序度量空间的非空闭子集 \（（X，d，\preceq）\） 这样的话 \（A_{0}\） 非空且 \（T:A\至B\） 订购铃木型 ψ-满足以下断言的近端映射:

• （i） \（T（A_{0}）\子结构B_{0{） 和 \（（A，B）\） 满足弱者 P（P）-财产,

• （ii） T型 是近似排序的-保存,

• （iii） 有 \（x{0}\） 和 \（x{1}\） 在里面 \（A_{0}\） 这样的话

  $$d（x_{1}，Tx_{0}）=d（A，B）\quad\textit{和}\quad x_{0}\precq x_{1}$$

• （iv） T型 是连续的,或

• （v） 如果 \（{x{n}） 是中的递增序列 A类 具有 \（A\中的x_{n}\到x\） 作为 \（到英寸）,然后 \（x{n}\precqx\） 为所有人 \（n\in\mathbb{n}\）.

然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 非空.

证明

定义\（alpha:A\乘以A\到[-\infty，+\infty）\）通过

$$\alpha（x，y）=\textstyle\begin｛cases｝0，&&mbox｛if｝x\preciq y，\\-\infty，&&mbox｛otherwise｝。\结束{cases}$$

T型是近距离的\（\字母^{+}\）-容许映射如下。

$$\textstyle\begin{cases}\alpha（x，y）\geq0，\\d（u，Tx）=d（A，B），\\d$$

暗示

$$\textstyle\begin{cases}x\proceqy，\\d（u，Tx）=d（A，B），\\d。\结束{cases}$$

自T型是近距离订购的，\（前v）也就是说，\（阿尔法（u，v）此外，根据（ii），我们已经

$$d（x{1}，Tx{0}）=d（A，B）\quad\mbox{和}\quad\\alpha（x{0{，x{1{）\geq0$$

注意，如果\（x\程序y\），那么\（α（x，y）=0）否则，\（阿尔法（x，y）=-\infty）.自T型订购铃木型的吗ψ-近似映射，我们有以下不等式：

$$\frac｛1｝{2} 天^{*}（x，Tx）\leq d（x，y），\qquad\alpha$$

此外，让\（{x{n}）是一个序列，这样\（\alpha（x{n}，x{n+1}）\geq0）为所有人\（n\in\mathbb{n}\cup\{0\}\）具有\（x{n}\到x\）作为\（到英寸），那么\（x{n}\过程x{n+1}\）为所有人\（n\in\mathbb{n}\cup\{0\}\）具有\（x{n}\到x\）作为\（到英寸）也就是说，\（{x{n}）是递增序列\（x{n}\到x\）作为\（到英寸）所以从（v）我们得到\（x{n}\precqx\）为所有人\（n\in\mathbb{n}\cup\{0\}\）也就是说，\（\alpha（x{n}，x{n{）\geq0）为所有人\（n\in\mathbb{n}\cup\{0\}\）因此，定理的所有假设2.1保持并\（\操作员姓名{Bpp}（T）\）非空。□

类似地，我们可以证明以下定理。

定理5.2

假设 X（X）,A类,\（A_｛0｝\）,和 B类 如定理所示 5.1 和 \（T:A\至B\） 订购铃木型的吗Θ-假设条件下的近端收缩（i） -（v）定理的 5.1.然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 不是空的.

定理5.3

假设 X（X）,A类,\（A_｛0｝\）,和 B类 如定理所示 5.1 和 \（T:A\至B\） 是第一类有序凸近端压缩映射(或第二种类型)令人满意的 \（T（A_{0}）\子结构B_{0{） 和条件（ii）-（iv）定理的 5.1.然后 \（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 非空.此外,\（\操作员姓名{Bpp}（T）\） 是单例，如果 \（\alpha（x，y）\geq0） 为所有人 \（x，y\ in \运算符名称{Bpp}（T）\）.

6不动点理论的应用

在这里我们推导出铃木压缩和凸压缩的某些新的和一般的不动点结果。我们的结果适当地包含了铃木的主要定理[24]及其许多扩展[23]（另请参见[28]).

如果\（A=B=X），然后定义(1.2)减少为以下内容。

定义6.1

一张地图\（T:X\至X\），被称为\（\字母^{+}\）-允许，如果

$$\alpha（x，y）\geq0\quad\Longrightarrow\quad\alpha（Tx，Ty）\geq0$$

为所有人\（x，y\在x\中）.

定义6.2

地图\（T:X\至X\）被称为铃木类型\（\alpha^{+}\psi\）-收缩，如果

$$\压裂{1}{2} d日（x，Tx）\leq d（x，y）\quad\Rightarrow\quad\\alpha（x，y）+d（Tx，Ty）\leq\psi\bigl（M（x，y\ biger）$$

为所有人\（x中的x，y\）.

定义6.3

地图\（T:X\至X\）被称为铃木类型\（\alpha^{+}\Theta\）-收缩，如果

$$\压裂{1}{2} d日（x，Tx）\leq d（x，y）\quad\Rightarrow\quad\\alpha（x，y）+\Theta\bigl（d（Tx，Ty）\bigr）\leq\bigl[\Theta\ bigl$$

为所有人\（x中的x，y\）,\（\alpha:X\乘以X\到[-\infty，\infty）\）和\（\Theta\in\Delta_{\Theta}\）.

现在从定理开始2.1,2.2和3.1，我们导出了以下新的不动点定理。

定理6.1

假设 X（X） 是一个完整的度量空间，并且 \（T:X\至X\） 是铃木类型 \（\alpha^{+}\psi\）-与以下断言的缩写:

• （i） T型 是 \（\字母^{+}\）-可接受的,

• （ii） 有 \（x{0}\） 具有 \（\alpha（x_{0}，Tx_{0}）\geq0\）,

• （iii） T型 是连续的或,

• （iv） X（X） 是 α-有规律的.

然后 \（F（T）\） 非空.

定理6.2

假设 X（X） 是一个完整的度量空间，并且 \（T:X\至X\） 是铃木类型 \（\alpha^{+}\Theta\）-满足条件的收缩（i） -（iv）在定理中 6.1.然后 \（F（T）\） 非空.

定理6.3

假设 X（X） 是一个完整的度量空间，并且 \（T:X\至X\） 是一个 \（\字母^{+}\）-第一类的凸压缩映射(或者第二个)使用以下断言键入:

• （i） T型 是 \（\字母^{+}\）-可接受的,

• （ii） 存在 \（x{0}\） 这样的 \（\alpha（x_{0}，Tx_{0}）\geq0\）,

• （iii） T型 是连续的.

然后 \（F（T）\） 非空.

通过采取\（α（x，y）=0）为所有人\（x中的x，y\）在上述定理中，我们得到了Istrţescu的主要结果[29]作为推论。

定义6.4

映射\（T:X\到X\）被称为铃木型订购ψ-收缩，如果

$$\压裂{1}{2} d日（x，Tx）\leq d（x，y）\quad\mbox{和}\quad x\precq y\quad_Rightarrow\quad d（Tx，Ty）\leq\psi\bigl（M（x，y）\biger）$$

对于\（x中的x，y\）,\（\psi\in\psi\）.

定义6.5

地图\（T:X\至X\）被称为铃木类型的有序0-收缩，如果

$$\压裂{1}{2} d日（x，Tx）\leq d（x，y）\quad\mbox{和}\quad x\precq y\quad_Rightarrow\quad_ Theta\bigl（d（Tx，Ty）\bigr）\leq\bigl[\Theta\bigl（M（x，y）\biger）\biger]^{k}$$

对于\（x中的x，y\）和\（\Theta\in\Delta_{\Theta}\）.

定理6.4

假设 \（（X，d，\preceq）\） 是完全偏序度量空间，并且 \（T:X\至X\） 订购铃木型的吗 ψ-与以下断言的缩写:

• （i） T型 是一个不断增加的映射,

• （ii） 有 \（x_｛0｝\在x\中） 这样的话 \（x_{0}\进程Tx_{0}\）,

• （iii） T型 是连续的或,

• （iv） X（X） 是常规的.

然后 \（F（T）\） 非空.

定理6.5

假设 \（（X，d，\preceq）\） 是完全偏序度量空间，并且 \（T:X\至X\） 订购铃木型的吗θ-满足条件的收缩（i） -（iv）在定理中 6.4.然后 \（F（T）\） 非空.

定理6.6

假设 \（（X，d，\preceq）\） 是完全偏序度量空间，并且 \（T:X\至X\） 是第一个的有序凸压缩映射(或者第二个)使用以下断言键入:

• （i） T型 正在增加,

• （ii） 有 \（x{0}\） 这样的 \（x_{0}\进程Tx_{o}\）,

• （iii） T型 是连续的.

然后 \（F（T）\） 是单身.

备注6.1

使用函数θ的更多选择和/或一些其他的具体选择，可以获得更多的不动点定理α和\（\psi\in\psi\）.