Banach空间中一种新的复合隐式迭代序列的稳定性和收敛性

摘要

本文的目的是在任意实Banach空间中利用一种新的复合隐式迭代过程研究渐近伪压缩映射的稳定性和强收敛性。本文的结果改进和推广了文献中的相应结果。

1介绍

在本文中，我们假设E类是一个任意的实Banach空间\（电子^{*}\）表示的对偶空间E类.归一化对偶映射\（J:E\到2^{E^{*}}\）由定义

$$Jx:=\bigl\｛u^｛*｝\在E^｛*｝中：\bigl\langle x，u^｛*｝\bigr\rangle=\|x\|^｛2｝；\bigl\Vert u^{*}\bigr\Vert=\|x\|bigr\}$$

哪里\（\langle\cdot，\cdot\rangle\）表示元素之间的广义对偶配对E类和\（电子^{*}\）.如果\（电子^{*}\）是严格凸的，那么J型是单值的。

我们首先回顾一些定义和结论。

定义1.1

让\（T:D（T）\子集E\到E\）成为一个映射。

• (1) T型称为渐近非扩张（参见[1])如果存在序列\（{k_{n}\}\子集[1，\infty）\）,\（lim{n\to\infty}k{n}=1）这样的话

  $$\bigl\垂直T^{n} x-T型^{n} 年\bigr\Vert\leq k_{n}\|x-y\|，对于所有x，y\in D（T），n\geq1$$

• (2) T型称为渐近伪收缩（参见[2])带序列\（{k_{n}\}\子集[0，\infty）\），当且仅当\（lim{n\to\infty}k{n}=1），对于所有人\（第1页）,\（D（T）中的x，y）并且存在\（j（x-y）\以j（x-y）为单位\）这样的话

  $$\bigl\langle T美元^{n} x-T型^{n} 年，j（x-y）\bigr\rangle\leqk{n}\x-y\^{2}$$

• (3) T型称为严格渐近伪压缩序列\（\｛k_{n｝\｝\subet[0，\infty）\），当且仅当\（lim_{n\to\infty}k_{n}=k\在（0，1）中），对于所有人\（第1页）,\（D（T）中的x，y）并且存在\（j（x-y）\以j（x-y）为单位\）这样的话

  $$\bigl\langle T^{n} x-T型^{n} 年，j（x-y）\bigr\rangle\leqk{n}\x-y\^{2}$$

• (4) T型据说是一致的L（左）-Lipschitzian（参见[三])如果存在常数\（L>0\）这样的话

  $$\bigl\垂直T^{n} x-T型^{n} 年\bigr\Vert\leq L\|x-y\|quad\mbox{表示所有}x，y\in D（T），n\ge1$$

很容易看出，每个渐近非扩张映射都是一致的L（左）-Lipschitzian和渐近伪收缩。在[4]，Rhoades构造了一个例子来证明这类渐近伪压缩映射恰当地包含了这类渐近非扩张映射。

几位作者研究了这类渐近伪压缩映射（参见[2,4–7]以及其中引用的参考文献）[8])和修改后的石川迭代过程（参见[9]). 舒[5]证明了以下定理。

定理SC

让 H（H） 是希尔伯特空间,\（K\子集H\） 非空有界闭凸,\（L>0\）,\（T:K\至K\） 完全连续的,均匀地 L（左）-Lipschitzian与序列的渐近伪压缩 \（{k_{n}\}\子集[1，\infty）\）,\（q{n}=2k_{n} -1个\),\（对于所有n\ge1）,\（sum_｛n=1｝^｛\fty｝（q_｛n｝^{2}-1)<\infty\）.\（{\alpha_{n}\}\子集[0，1]\）,\（\epsilon<\alpha_{n}\le b\）,\（对于所有n\ge1）,还有一些 \（位于（0，L^{-2}[（1+L^{2}）^{1/2}-1]）中）,\（x_{1}\以K\表示）,为所有人 \（第1页）,定义

$$x{n+1}=（1-\alpha{n}）x{n}+\alpha_{n} T型^{n} x个_{n} ●●●●$$

(1.1)

然后 \（{x{n}） 收敛到某个不动点 T型.

递归公式(1.1)是对众所周知的Mann迭代过程的修改（参见，例如, [8]).

最近，Chang[6]扩展定理联合国安全理事会到实一致光滑Banach空间，并证明了以下定理。

定理CH

让 E类 是一个实一致光滑的Banach空间,K（K） 非空有界闭凸子集 E类,\（T:K\至K\） 具有序列的渐近伪压缩映射 \（{k_{n}\}\子集[1，\infty）\）,\（\lim_｛n｝to infty｝k_｛n｝=1\）,和 \（F（T）={x\in K:Tx=x\}\neq\emptyset\）.让 \（{\alpha_{n}\}\子集[0，1]\） 满足以下条件：（i）\（\lim_{n\to\infty}\alpha_{n}=0\），（ii）\（\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}=\infty）.对于任意 \（x_{0}\以K\表示）,让 \（{x{n}） 由迭代定义(1.1).如果存在严格递增函数 \（\phi:[0，\infty）\至[0，\ infty,\（φ（0）=0） 这样的话 \（语言T^{n} x个_{n} -x个^{*}，j（x_{n} -x个^{*}）范围k_{n}垂直x_{n} -x个^{*}\r垂直^{2}-\φ（垂直x_{n} -x个^{*}\r垂直）\）,\（所有n\ge 1）,然后 \（F（T）中的x_{n}到x^{*}）.

让K（K）是的非空闭凸子集E类和\（{T_{i}\}_{i=1}^{r}\）是非扩张映射的有限族K（K）融入自身(即,\（垂直T_{i} x-T型_{i} 年\rVert\le\lVert x-y\rVert\）对于\（x，y\以K\表示）和\（i=1，2，\ldot，r）). 2001年，Xu和Ori[10]介绍了以下隐式迭代过程。对于任意\（x_｛0｝\在K\中）和\（{\alpha_{n}\}_{n=1}^{\infty}\子集[0，1）\），序列\（{x{n}{n=1}^{infty}）生成如下：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}x{1}=（1-\alpha{1}）x{0}+\alpha_{1} T型_{1} x个_{1} ，\\x{2}=（1-\alpha{2}）x{1}+\alpha_2}T_{2} x个_{2} ，\\vdots\\x{r}=（1-\alpha{r}）x{r-1}+\alpha_{r} T型_{r} x_{r} ，\\x_{r+1}=（1-\alpha_{r+1}）x_{r}+\alpha_{r+1}T_{1} x个_{r+1}，\\vdots\end{array}\displaystyle\right$$

该方案可以用以下公式表示为紧凑形式

$$x{n}=（1-\alpha{n}）x{n-1}+\alpha_{n} T型_{n（\operatorname{mod}r）}x{n}，\quadn\geq1$$

(1.2)

通过这个迭代，他们证明了\（{x{n}）弱收敛到非扩张映射有限族的公共不动点\（{T_{i}\}_{i=1}^{r}\）在一定条件下，在希尔伯特空间中。此后，许多作者通过隐式迭代算法对非扩张映射、严格伪压缩映射和其他一些映射的不动点的构造进行了广泛的研究（参见，例如, [10–16]以及其中引用的参考）。当没有显式方案可用时，通常需要隐式过程。这种过程通常被用作建立显式格式收敛性的“工具”。

2006年，Chang等。[13]引入了另一个有错误的隐式迭代过程。在某种意义上[13]，有限族渐近非扩张映射的带误差隐式迭代过程\（{T_{i}\}_{i=1}^{r}\）由任意\（x_{0}\以K\表示）通过

$$x_{n}=\alpha_{n} x个_{n-1}+（1-\α_{n}）T^{k（n）}_{i（n）{x{n}+u_{n{，对于所有n$$

(1.3)

哪里\（n=（k（n）-1）r+i（n）\）具有\（i（n）\in \{1,2，\ldot，r\}\）和\（k（n）\in\mathbb{n}\）（正整数集）和\（k（n）到infty），作为\（n \到\信息\）.\（{\alpha_{n}\}_{n=1}^{infty}\）是合适的顺序$[0,1]$和\（{u_{n}\}\子集K\）是这样的\（\sum_{n=1}^{\infty}\|u_{n}\|<\infty）。他们扩展了[10]从Hilbert空间到更一般的一致凸Banach空间，从非扩张映射到渐近非扩张映射。

很明显，即使K（K）是的非空凸子集E类和\（{u_{n}\}\子集K\）是这样的\（\sum_{n=1}^{\infty}\|u_{n}\|<\infty），则隐式迭代序列在意义上具有误差[13]不需要很好地定义，即,\（{x{n}{n=1}^{infty}）可能无法进入K（K）更确切地说，施加在误差项上的条件与误差发生的随机性不兼容。

在[16]，Thakur针对有限族渐近非扩张映射提出了另一种改进的复合隐式迭代过程，如下所示：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}x{n}=（1-\alpha{n}）x{n-1}+\alpha_{n} T型^{k（n）}{i（n）{y}，\\y{n}=（1-\beta{n}）x{n-1}+\beta_{n} 吨^{k（n）}{i（n）{x{n}，结束{array}\displaystyle\right。\四元\{\alpha_{n}\}，\{\beta_{n{}\}\子集[0，1]，\forall n\ge1$$

哪里\（n=（k-1）n+i）,\（i=i（n）在{1,2，\ldots，n\}中）,\（k=k（n）\ge1）是某个正整数，并且\（k（n）到infty）作为\（到英寸）.

受这些事实的启发和启发，我们为渐近伪压缩映射引入了一个新的改进复合隐式迭代过程，如下所示：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}x_{1}\in K，\\x_{n+1}=（1-\alpha_{n}）x_{n}+\alpha_{n} T型^{n} 年_{n} ，\\y_{n}=（1-\beta{n}）x{n}+\beta_{n} T型^{n} x个_{n+1}，\end{array}\displaystyle\right。\四元\{\alpha_{n}\}，\{\beta_{n{}\}\子集[0，1]，\forall n\ge1$$

(1.4)

不同于具有以下错误的迭代方法[13]，我们的迭代过程(1.4)总是定义明确的，即，\（{x{n}）总是在K（K）如果K（K）是的凸子集E类.

如果\（\{\beta_{n}\}=\{0\}\）为所有人\（第1页）, (1.4)成为如下显式形式：

$$x{n+1}=（1-\alpha{n}）x{n}+\alpha_{n}T^{n} x个_{n} ●●●●$$

(1.5)

方程式(1.5)是修正的Mann迭代过程（参见，例如, [8]).

文献中提供了在度量空间、赋范线性空间和Banach空间中建立的稳定性结果。在研究不动点迭代过程的稳定性方面，有几个作者的贡献具有巨大价值：Imoru和Olatinwo[17]Olatinwo和Postolache[18]、阿奎和奥基[19].

Harder和Hicks[20]提到迭代格式稳定性的研究对于理论和数值研究都是有用的。因此，一些作者研究了各种类型非线性映射的迭代格式的稳定性（参见，例如, [20–25]以及其中引用的参考）。

本文的目的是研究任意实Banach空间中渐近伪压缩映射的复合隐式迭代序列的稳定性和收敛性。

让K（K）是的非空凸子集E类和\（T:K\至K\）成为映射，\（x_{0}\以K\表示）和\（{x_{n}\}\子集K\）由定义

$$x_{n+1}=f（T，x_{n}）$$

(1.6)

哪里（f）是一个连续映射。假设\（F（T）\neq\emptyset\）和\（F（T）中的x_{n}到p\）.让\（{s_{n}\}\）是中的任何有界序列K（K）和\（{\varepsilon_{n}\}\）中的序列\（[0，\infty）\）由定义

$$\varepsilon\｛n｝=\bigl\lVerts_｛n+1｝-f（T，s_｛n｝）\bigr\rVert，\quad n\ge0$$

(1.7)

如果\（\varepsilon_{n}\to0）意味着\（s_{n}\到p\），然后迭代序列\（{x{n}）由定义(1.6)据说是T型-稳定的.如果\（\sum_｛n=1｝^｛\infty｝\varepsilon\｛n｝<\infty）意味着\（s_{n}\到p\），然后是序列\（{x{n}）由定义(1.6)据说是几乎 T型-稳定的中的示例[25]表示一个迭代序列T型-稳定但不稳定T型-稳定。

2准备工作

在续集中，\（F（T）={x\在K中：Tx=x\}\）表示的固定点集T型.我们给出了序列的稳定性定义\（{x{n}）由定义(1.4).

定义2.1

让\（{x{n}）是由定义的序列(1.4)这样的话\（F（T）中的x_{n}到p\）.让\（{s_{n}\}\）是中的任何有界序列K（K）.定义序列\（{\varepsilon_{n}\}\）通过

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}\varepsilon_{n}=\lVerts_{n+1}-（1-\alpha_{n{）s_{无}-\阿尔法_{n} T型^{n} z（z）_{n} \r垂直，\\z_{n}=（1-\beta_{nneneneep）s_{n{+\beta_{n} T型^{n} 秒_{n+1}，\end{array}\displaystyle\right。\四线组n\ge1$$

(2.1)

如果\（\varepsilon\｛n｝\to0\）意味着\（s_{n}\到p\），然后是序列\（{x{n}）据说是T型-稳定的.如果\（\varepsilon{n}/\alpha{n}\to0）意味着\（s_{n}\到p\），然后是序列\（{x{n}）据说是弱 T型-稳定的.如果\（\sum_｛n=1｝^｛\infty｝\varepsilon\｛n｝<\infty）意味着\（s_{n}\到p\），然后是序列\（{x{n}）据说是几乎 T型-稳定的.

证明我们的主要结果需要以下引理。

引理2.2

（引理2[26])

让 \（{a{n}）,\（{b{n}）,\（c{n}） 是满足下列条件的非负实数序列:

$$a_｛n+1｝\le（1-t_｛n｝）a_｛n｝+b_{n} t吨_{n} +c_{n}，对于所有n\ge0$$

哪里 \（{t_{n}） 是中的序列 $[0, 1]$ 这样的话 \（\sum_{n=1}^{\infty}t_{n}=\infty）,\（lim_{n\to\infty}b_{n}=0\） 和 \（\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}<\infty）.然后 \（a{n}\to0）(\（到英寸）).

我们表示Φ：={\（\phi\mid\phi:[0，\infty）\到[0，\ infty，\）是一个非递减函数，以便\（φ（t）=0）当且仅当\（t=0\）}.

引理2.3

（引理2.1[27])

让 \（{\theta_{n}\}\） 是一个非负实数序列,\（\{\lambda_{n}\}\） 是一个令人满意的真实序列

$$0\le\lambda_{n}\le1，\quad\sum_{n=0}^{infty}\lambda _{n}=infty$$

然后让 \（\ phi \ in \ phi \）.如果存在正整数 \（n_{0}\） 这样的话

$$\theta_{n+1}^{q}\le\theta_{n}^{q}-\lambda{n}\phi（\theta{n+1}）+\lambda{n}\sigma{n}$$

对一些人来说 \（q>1）,全部的 \（n \ ge n｛0｝\） 和 \（\lim_{n\to\infty}\sigma_{n}=0\）,然后 \（\lim_{n\to\infty}\theta_{n}=0\）.

引理2.4

（引理1.1[28])

让 E类 成为一个真正的巴拿赫空间,\（T:E\至E\） 地图,和 λ 任何正实数.那么对于任何 \（x，y\在E\中） 和 \（k>0）,

$$\l垂直x-y\r垂直\le\bigl\l垂直x-y+\lambda\bigl[（I-T-kI）x-（I-T-kI）y\bigr]\bigr\r垂直$$

无论何时

$$\bigl\langle（I-T-kI）x-$$

引理2.5

让 E类 那么就是一个赋范线性空间 \（E中的x，y\） 以及所有人 \（j（x+y）\在j（x+y）中\）,以下不等式成立:

$$\l垂直x+y\rVert^{2}\le\lVertx\rVert_{2}+2\bigl\langle y，j（x+y）\bigr\rangle$$

首先我们给出两个辅助引理。

引理2.6

让 K（K） 是任意实Banach空间的非空凸子集 E类 和 \（T:K\至K\） 一个渐近伪压缩映射 \（{k_{n}\}\子集[0，\infty）\） 然后让 \（F（T）\neq\emptyset\）.如果 \（{x{n}） 是由定义的迭代序列(1.4)和 \（F（T）中的p）,然后

$$\l垂直x_{n} -第页\rVert\le（1+k_｛n｝\alpha_｛n｝）\bigl（1-\alpha_｛n｝+\alpha_｛n｝^｛2｝\bigr）\lVert x_{n-1}-p\rVert+\alpha_{n} b条_{n} $$

哪里

$$b_{n}=\bigl\lVert T^{n} x个_{n+1}-T^{n} 年_{n} \bigr\rVert+\alpha_{n}（k_{n{+1）\bigl\lVert x_{n} -T型^{n} 年_{n} \bigr\r垂直$$

(2.2)

证明

自T型是一个渐近伪压缩映射\（{k_{n}\}\子集[0，\infty）\），存在\（j（x_{n+1}-p）在j（x_}n+1}/p）中对于\（x_{n+1}\以K\表示）和\（F（T）中的p）这样的话

$$\bigl\langle T美元^{n} x个_｛n+1｝-p，j（x_｛n+1｝-p）\bigr\rangle\le k_｛n｝\lVert x_｛n+1｝-p\r Vert ^｛2｝$$

那么我们有

$$\bigl\langle\bigl（I-T^{n}+（k_{n} -1个)大）x_{n+1}-\bigl（I-T^{n}+（k_{n} -1个)I \biger）p，j（x_{n+1}-p）\bigr\rangle\ge0$$

因此它遵循引理2.4那个

$$\lVertx_{n+1}-p\rVert\le\biggl\lVert x_{n+1}-p+\frac{\alpha_{n}}{1+\alpha_{n}}\bigl\{bigl[I-T^{n}+（k_{n} -1个)I\bigr]x_{n+1}-\bigl[I-T^{n}+（k_{n} -1个)I\bigr]p\bigr\}\biggr\r垂直$$

(2.3)

它源自(1.4)那个

$$\开始{aligned}x{n}=&x{n+1}+\alpha_{n} x个_{无}-\阿尔法_{n} T型^{n} 年_{n} \\=&（1+\alpha_{n}）x_{n+1}+\alba_{nneneneep \bigl[I-T^{n}+（k_{n} -1个)I\bigr]x_{n+1}+\alpha_{n}\bigl（T^{n} x个_{n+1}-T^{n} 年_{n} \bigr）\\&{}-\alpha_{n} k个_{n} x个_{n} +\alpha{n}^{2}（k{n}+1）\bigl（x_{n} -T型^{n} 年_{n} \更大）。\结束{对齐}$$

(2.4)

自\（F（T）中的p），我们有

$$p=（1+\alpha_{n}）p+\alha_{n{bigl[I-T^{n}+（k_{n} -1个)I \bigr]p-\alpha_{n}k_{n} 第页。 $$

(2.5)

发件人(2.4)和(2.5)，我们有

$$\开始{对齐}\lVert x_{n} -p个\rVert\ge&（1+\alpha{n}）\biggl\Vertx{n+1}-p+\frac{\alpha_{n}}{1+\alpha_{n}}\bigl[\bigl（I-T^{n}+（k_{n} -1个)大）x_{n+1}\\&{}-\bigl（I-T^{n}+（k_{n} -1个)I \bigr）p\bigr]\biggr\Vert-\alpha_{n} k个_{n} \l垂直x_{n} -第页\rVert\\&{}-\alpha_{n}\bigl\lVert T^{n} x个_{n+1}-T^{n} 年_{n} \bigr\rVert-\alpha_{n}^{2}（k_{n{+1）\bigl\lVert x_{n} -吨^{n} 年_{n} \bigr\r垂直。\结束{对齐}$$

(2.6)

因此，从(2.3)我们有

$$\开始{对齐}\lVert x_{n} -第页\rVert\ge&（1+\alpha_{n}）\lVertx_{n+1}-p\rVert-\alpha_{n} k个_{n} \l垂直x_{n} -第页\rVert\\&{}-\alpha_{n}\bigl\lVert T^{n} x个_{n+1}-T^{n} 年_{n} \bigr\rVert-\alpha_{n}^{2}（k_{n{+1）\bigl\lVert x_{n} -T型^{n} 年_{n} \bigr\rVert，\end{对齐}$$

即,

$$开始{对齐}（1+\alpha_{n}）\lVertx_{n+1}-p\rVert\le&（1+\ alpha_}n}k_{n{）\l垂直x_{n} -第页\rVert+\alpha_｛n｝\bigl\lVert T版本^{n} x个_{n+1}-T^{n} 年_{n} \bigr\rVert\\&{}+\alpha_{n}^{2}（k_{n{+1）\bigl\lVert x_{n} -T型^{n} 年_{n} \bigr\r垂直。\结束{对齐}$$

(2.7)

自\（（1+\alpha_｛n｝）^｛-1｝\le1\）和\（（1+\alpha{n}）^{-1}\le1-\alpha_n}+\ alpha_{n}^{2}\），来自(2.7)，我们有

$$\lVertx_{n+1}-p\rVert\le（1+\alpha_{n}k_{n{）\bigl（1-\alpha_n}+\alfa_{nneneneep ^{2}\biger）\lVert x_{n} -第页\rVert+\alpha_{n} b条_{n} $$

(2.8)

哪里\（b_{n}=\l垂直T^{n} x个_{n+1}-T^{n} 年_{n} \r垂直+\字母{n}（k_{n}+1）\l垂直x_{n} -吨^{n} 年_{n} \r垂直\）。这就完成了证明。□

三主要成果

定理3.1

让 K（K） 是任意实Banach空间的非空凸子集 E类 和 \（T:K\至K\） 成为一个统一的利普希茨主义者(具有利普希茨常数 \（L>0\）)序列的严格渐近伪压缩映射 \（{k_{n}\}\子集[0，\infty）\）,\（（0，1）中的k{n}到k\）,然后让 \（F（T）\neq\emptyset\）.假设 \（{x{n}）,\（{y_{n}\}\） 序列定义为(1.4),\（{\alpha_{n}\}，\{\beta_{n{}\}\子集[0，1]\） 满足以下条件:

$$（\mathrm{i}）\\alpha_{n}\to0，\qquad\beta_{nneneneep \to0\quad（n\to\infty）；\qquad（\mathrm{ii}）\\sum{n=1}^{\infty}\alpha{n}=\infty$$

如果 \（{x{n}） 在中有界 K（K）,然后

• (1) \（{x{n}） 强收敛于唯一公共不动点 对 属于 T型;

• (2) \（{x{n}） 都差不多了 T型-稳定且较弱 T型-稳定的.

证明

假设\（在F（T）\中的p_｛1｝，p_｛2｝\）.自T型是一个严格渐近伪压缩映射，存在\（j（p_{1} -第页_{2} ）\单位：J（p_{1} -第页_{2})\)这样的话

$$\l垂直p_{1} -第页_{2} \r垂直^{2}=\bigl\langle T^{n} 第页_{1} -T型^{n} 第页_{2} ，j（p_{1} -第页_{2} ）\bigr\rangle\le k_{n}\l垂直p_{1} -第页_{2} \r垂直^{2}$$

出租\（到英寸）我们有\（垂直p_{1} -第页_{2} \r垂直^｛2｝\le k\l垂直p_{1} -第页_{2} \r垂直^{2}\）,\（在（0，1）中为k\）。这意味着\（p{1}=p{2}\）.

通过严格渐近伪压缩性质T型，类似于(2.8)，我们有

$$\lVertx_{n+1}-p\rVert\le（1+\alpha_{n}k_{n{）\bigl（1-\alpha_n}+\alfa_{nneneneep ^{2}\biger）\lVert x_{n} -第页\rVert+\alpha_{n} b条_{n} $$

(3.1)

哪里\（b_{n}=\l垂直T^{n} x个_{n+1}-T^{n} 年_{n} \r垂直+\字母{n}（k_{n}+1）\l垂直x_{n} -T型^{n} 年_{n} \r垂直\）.自\（\alpha_{n}\to0\）,\（k_{n}\到k\in（0，1）\）、和

$$（1+\alpha{n}k{n}）\bigl（1-\alpha_{n}+\alba_{n{2}\bigr）\le\bigle（1-\ alpha_}n}（1-k_{无}-\alpha_{n}）\biger）$$

自\（[lim_{n\to\infty}（1-k_{无}-\α{n}）=1-k\ge\delta\ in（0，1-k）\），存在一个自然数\（n{1}\）这样的话\（1-k_{无}-\字母{n}）\ge\delta\）为所有人\（n_{1}）因此，我们有

$$（1+\alpha_{n}k{n}）\bigl（1-\alpha_n}+\alfa_n}^{2}\biger）\le1-\delta\alpha{n}，\quad\表示所有n\gen_{1}$$

(3.2)

替换(3.2)到(3.1)我们有

$$\l垂直x_{n} -第页\rVert\le（1-\delta\alpha_{n}）\lVert x_{n-1}-p\rVert+\alpha_{n} b_{n} ，对于所有n_gen_{1}$$

(3.3)

接下来我们将证明这一点\（b_{n}\to0）(\（到英寸）).

自\（T:K\至K\）统一为李普希兹常数\（L>0\），对于所有人\（x，y\单位为K\），我们有

$$\bigl\l垂直T^{n} x个_{n+1}-p\bigr\rVert\le L\lVert x_{n+1{-p\rVert，\quad\对于所有n\ge1$$

这意味着\（\{T^{n} x个_{n+1}\}\）在中有界K（K）自从\（{x{n}）有界。同样，\（\{T^{n} x个_{n} \}\）是有界序列K（K）。它源自(1.4)那个

$$\l垂直_{n} -x个_{n} \r垂直=\beta_{n}\bigl\lVert x_{n} -吨^{n} x个_{n+1}\bigr\rVert\le\beta_{n}\bigl（\lVertx_{n{rVert+\bigl\lVert T^{n} x个_{n+1}\bigr\rVert\bigr）\to0\quad（n\to\infty）$$

(3.4)

这意味着\（{y_{n}\}\）有界。因此，根据T型，我们有

$$\bigl\l垂直T^{n} 年_{n} \bigr\r垂直\le\bigl\l垂直T^{n} 年_{n} -T型^{n} x个_{n} \bigr\rVert+\bigl\lVert T^{n} x个_{n} \bigr\r垂直\le垂直_{n} -x个_{n} \r垂直+\bigl\l垂直T^{n} x个_{n} \bigr\r垂直$$

这意味着\（\{T^{n} 年_{n} \}\）也是有界的。发件人(1.4)和(3.4)，我们有

$$\begin｛aligned｝\lVert x_｛n+1｝-y_｛n｝\rVert=&&bigl\lVert（x_{n} -年_{n} ）+\alpha_{n}\bigl（x_{n} -T型^{n} 年_{n} \bigr）\bigr\r垂直\\le&\l垂直_{n} -x个_{n} \rVert+\alpha_{n}\bigl（\lVertx_{nneneneep \rVert+\bigl\lVert T^{n} 年_{n} \bigr\rVert\bigr）\to0\quad（n\to\infty）。\结束{对齐}$$

(3.5)

因此，我们有

$$\bigl\l垂直T^{n} x个_{n+1}-T^{n} 年_{n} \bigr\rVert\le L\lVert x_{n+1}-y_{n}\rVert\to0\quad（n\to\infty）$$

(3.6)

观察(3.6),\（{x{n}）,\（\{T^{n} 年_{n} \}\）以为界K（K）和\（\alpha_｛n｝\to0\）(\（到英寸）)，我们知道\（b_{n}\到0\）(\（到英寸）). 按引理2.2和(3.3)，我们有\（x{n}\到p\）(\（到英寸）). 证明了结论（1）。

接下来我们证明结论（2）。对于任何有界序列\（{s_{n}\}\子集K\）由定义(2.1)和\（F（T）中的p），我们有

$$\开始{对齐}\lVert s_{n+1}-p\rVert=&\bigl\lVerts_{n+1}-（1-\alpha_{n}）s_{无}-\字母{n}T^{n} z（z）_{n} +（1-\alpha_{n}）s{n}+\alpha_{n} T型^{n} z（z）_{n} -第页\bigr\rVert\\\le&\varepsilon\｛n｝+\lVert p版本_{n} -第页\r垂直，\end{对齐}$$

(3.7)

哪里

$$p_{n}=（1-\alpha{n}）s_{n{+\alpha_{n} T型^{n} z（z）_{n} ，对于所有n\ge1$$

(3.8)

它源自(3.8)那个

$$\开始{aligned}s_{n}=&p_{n{+\alpha_{n} 秒_{无}-\阿尔法_{n} T型^{n} z（z）_{n} \\=&（1+\alpha{n}）p_{n}+\alba{n}\bigl[I-T^{n}+（k_{n} -1个)I\bigr]p_{n}+\alpha_{nneneneep \bigl（T^{n} 第页_{n} -T型^{n} z（z）_{n} \bigr）\\&{}+\alpha_{n} k个_{n} 秒_{n} +\alpha_{n}^{2}（k_{n}+1）\bigl（s_{n} -T型^{n} z（z）_{n} \更大）。\结束{对齐}$$

通过使用与证明中给出的方法类似的方法(2.5)-(2.8), (3.2)，我们可以证明

$$\l垂直p_{n} -p个\r垂直（1-\alpha_{n}\delta）\l垂直_{n} -第页\r垂直+\alpha_{n} b条_{n} ，对于所有n个n_{1}$$

(3.9)

哪里\（b_{n}=\l垂直T^{n} 第页_{n} -T型^{n} z（z）_{n} \r垂直+\alpha_{n}（k_{n{+1）\l垂直_{n} -T型^{n} z_{n} \r垂直\）.自T型统一为李氏常数\（L>0\），我们有\（垂直T^{n} 秒_{n} -第页\r垂直\le垂直_{n} -第页\r垂直\）这意味着序列\（\{T^{n} 秒_{n} \}\）自以下日期起有界\（{s_{n}\}\）在中有界K（K）.采用与证明中相同的方法(3.4)-(3.6)，我们可以证明序列\（\{T^{n} z（z）_{n} \｝\）有界且\（垂直T^{n} 第页_{n} -T型^{n} z（z）_{n} \r垂直\to0\）(\（到英寸）). 因此，我们有\（b_｛n｝\to0\）(\（到英寸）). 替换(3.9)到(3.7)我们有

$$\lVert s_{n+1}-p\r垂直（1-\alpha_{n}\delta）\lVerts_{n} -第页\r垂直+\alpha_{n} b条_{n} +\varepsilon_{n}，\quad\表示所有n_gen_{1}$$

(3.10)

如果\（\sum_{n=1}^{\infty}\varepsilon_{n}<\infty），采取\（a_{n}=\l垂直_{n} -第页\r垂直\）,\（t_{n}=\alpha_{n}\delta\）,\（c{n}=varepsilon{n}）在引理中2.2，来自(3.10)，我们有\（s_{n}\到p\）(\（到英寸）),即,\（{x{n}）差不多了T型-稳定。

如果\（\varepsilon{n}/\alpha{n}\to0），采取\（a_{n}=\l垂直_{n} -第页\r垂直\）,\（t_{n}=\alpha_{n}\delta\）,\（c{n}=0\）在引理中2.2，来自(3.10)，我们有\（s_{n}\到p\）(\（到英寸）),即,\（{x{n}）身体虚弱T型-稳定。这就完成了证明。□

示例3.2

让\（E=R=（-\infty，\infty）\）按照通常的标准。采取\（K=[0,1]\）并定义\（T:K\至K\）通过

$$Tx=\textstyle\begin{cases}0&\text{if}x=0，\\frac{1}{4}&\text}if}x=1，\\x-\frac{1\{2^{n+1}}&\text{if}\frac}{1}}{2^}n+1}{lex<\fracc{1{2}}（\fracc}{1\f2^{n+1}}+\frac{1}），\\frac{1}{2^{n}}-x&\text{if}\frac{1}}{2}$$

为所有人\（第0页）.然后\（F（T）=\｛0\｝\）和T型在处不连续\（x=1）。我们可以验证

$$Tx\le\frac{1}{2} x个，K中的四个x$$

因此\（T^{2}\）在中连续K（K）和\（T^{2} K（K）\子集[0，2^{-n}]\）为所有人\（n \ ge1 \）.那么对于任何\（x\单位：K\），存在\（j（x-0）\单位为j（x-0）\）令人满意的

$$\bigl\langle T美元^{n} x-T型^{n} 0个，j（x-0）\bigr\rangle=T^{n} x个\cdot x\le\frac{1}{2}\lVert x\rVert^{2}$$

为所有人\（第1页）也就是说，T型是一个严格渐近伪压缩映射。

例3.3

让\（E=[0,1]\）.定义\（T:E\至E\）通过\（Tx=\压裂{x}{5}\），其中E类具有通常的规范。然后\（F（T）=\{0\}\）和T型是一个严格渐近伪压缩映射\（k_｛n｝=\frac｛1｝｛5｝\）.考虑以下条件：

$$\alpha{n}=\frac{1}{n+1}，\qquad\beta{n}=\frac}{n+2}，\ quad\forall n\ge1$$

让\（{x{n}）是由定义的序列(1.4). 所以

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}x_{1}=0.25，\\x_{n+1}=（1-\frac{1}{n+1{）x_{n}+\frac}{n+1}T^{n} 年_{n} ，\\y_{n}=（1-\frac{1}{n+2}）x_{n{+frac{1'{n+2{T^{n} x个_｛n+1｝，\end｛array｝\displaystyle\right。\所有n个ge1的四个$$

我们的结果见表1.

表1具有初始值的迭代图 \（\pmb{x{1}=0.25}\）

因此，定理的条件3.1实现了。

定理3.4

让 K（K） 是任意实Banach空间的非空凸子集 E类,\（T:K\至K\） 成为一个统一的利普希茨主义者(具有Lipschitzian常数 \（L>0\）)序列的渐近伪压缩映射 \（{k_{n}\}\子集[1，\infty）\）,\（lim{n\to\infty}k{n}=1） 然后让 \（F（T）\neq\emptyset\） 和 \（F（T）中的p）.让 \（{x{n}）,\（{y_{n}\}\） 是由定义的序列(1.4).假设 \（{\alpha_{n}\}，\{\beta_{n{}\}\子集[0，1]\） 满足以下条件:

$$（\mathrm{i}）\\alpha_{n}\to0，\qquad\beta_{nneneneep \to0\quad（n\to\infty）；\qquad（\mathrm{ii}）\\sum{n=1}^{\infty}\alpha{n}=\infty$$

如果 \（{x{n}） 在中有界 K（K） 存在严格的递增函数 \（\phi:[0，\infty）\至[0，\ infty 具有 \（φ（0）=0） 这样的话

$$\limsup_{n\to\infty}\bigl\{bigl\langle T^{n} x个_{n+1}-p，j（x_{n+1}-p）\bigr\rangle-k_{n}\lVert x_{n+1}-p\rVert^{2}+\phi\bigl（\lVertx_{n+1}-p\r Vert\bigr）\bigr\}\le 0$$

哪里 \（j（x_{n+1}-p）在j（x_}n+1}/p）中.然后 \（{x{n}） 强收敛于 T型.

证明

自\（{x{n}）在中有界K（K），然后\（M=垂直x_{n} -p个\r垂直\}对于\（F（T）中的p）.它来自引理2.5和(1.4)存在\（j（x_{n+1}-p）在j（x_}n+1}/p）中这样的话

$$\开始{对齐}\lVert x_{n+1}-p\rVert^{2}=&\bigl\lVerth（1-\alpha_{n}）（x_{n} -p个)+\字母{n}\bigl（T^{n} 年_{n} -第页\bigr）\bigr\r垂直^{2}\\le&（1-\alpha_{n}）^{2{lVert x_{n} -第页\r垂直^{2}+2\alpha_{n}\bigl\langle T^{n} 年_{n} -第页，j（x_{n+1}-p）\bigr\rangle\\=&（1-\alpha_{n}）^{2}\l垂直x_{n} -第页\r版本^｛2｝+2\alpha_｛n｝\bigl\langle T^{n} x个_{n+1}-p，j（x_{n+1{-p）\bigr\rangle\\&{}+2\alpha_{n}\bigl\langle T^{n} 年_{n} -T型^{n} x个_{n+1}，j（x_{n+1}-p）\biger\rangle\\le&（1-\alpha_{n}）^{2}\lVert x_{n} -第页\r垂直^{2}+2\alpha_{n}\bigl\langle T^{n} x个_{n+1}-p，j（x{n+1}-p）\biger\rangle\\&{}+2\alpha_{n} M（M）垂直T^{n} 年_{n} -T型^{n} x个_{n+1}\bigr\rVert\\=&（1-\alpha_{n}）^{2}\lVert x_{n} -第页\r垂直^{2}+2\alpha_{n} d日_{n} \\&{}+2\alpha{n}\bigl[k{n}\垂直x{n+1}-p\r垂直^{2}-\phi\bigl（\lVertx_{n+1}-p\rVert\bigr）\bigr]+2M\alpha_{n}e_{n}，\end{aligned}$$

(3.11)

哪里\（d_{n}=langle T^{n} x个_｛n+1｝-p，j（x_｛n+1｝-p）\rangle-k｛n｝\lVert x_｛n+1｝-p\rVert ^｛2｝+\phi（\lVert x_｛n+1｝-p\rVert）\）,\（e_{n}=\l垂直T^{n} 年_{n} -T型^{n} x个_{n+1}\r垂直\）.来自(3.6)，我们有\（e_{n}\到0\）作为\（到英寸）。它来自(3.11)那个

$$开始{对齐}（1-2\alpha_{n}k_{n{）\lVertx_{n+1}-p\rVert^{2}\le&（1-\alpha_}n}）^{2neneneep \lVert x_{n} -第页\r垂直^{2}-2\alpha_{n}\phi\bigl（\lVertx{n+1}-p\rVert\bigr）\\&{}+2\alpha_}n}d_{n}+2M\alpha_{n} e（电子）_{n} ●●●●。\结束{对齐}$$

请注意\（lim{n\to\infty}（1-2\alpha{n}k{n}）=1>0）在不失一般性的情况下，我们假设\（（1-2\alpha{n}k{n}）>0\）为所有人\（第1页）。因此，我们

$$开始{对齐}\lVertx_{n+1}-p\rVert^{2}\le&\frac{（1-\alpha_{n}）^{2{1-2\alpha_{n} k个_{n} }\l垂直x_{n} -第页\r垂直^{2}\\&{}-{2\alpha_{n}\over 1-2 \alpha_{n} k个_{n} }\phi\bigl（\lVertx_{n+1}-p\rVert\bigr）+{2\alpha_{n} d日_{n} \over 1-2\α_{n} k个_{n} }+{2M\alpha_{n}e_{n}\over 1-2\alpha_{n} k个_{n} }\\=&\l垂直x_{n} -第页\r垂直^{2}+{\alpha_{n}[2（k_{n} -1个)+\alpha{n}]\over 1-2\alpha_{n}k{n}}\lVert x_{n} -第页\rVert^{2}\\&{}-{2\alpha_{n}\over 1-2\alfa_{n{k{n}}\phi\bigl（\lVertx_{n+1}-p\rVert\bigr）+{2\alpha_{n} d日_{n} \超过1-2\阿尔法_{n} k个_{n} }+{2M\alpha_{n}e_{n}\over 1-2\alpha_{n} k个_{n} }\\le&\l垂直x_{n} -第页\r垂直^{2}-2\alpha_｛n｝\phi\bigl（\lVert x_｛n+1｝-p\rVert\bigr）+｛\alpha_｛n｝[2（k_{n} -1个)+\alpha{n}]\超过1-2\alpha_{n} k个_{n} }M^{2}\\&{}+{2M\alpha_{n} e（电子）_{n} \超过1-2 \α_{n} k个_{n} }+{2\字母_{n} d日_{n} \over 1-2\α_{n} k个_{n} ｛\fquad\bigl（\text｛since｝1-2\alpha_{n} k个_{n} \ in（0，1）\ biger）\\=&\lVert x_{n} -第页\r垂直^{2}-2\alpha_{n}\phi\bigl（\lVertx_{n+1}-p\rVert\bigr）+{\alpha_}n}\lambda_{n{'\over 1-2\alpha_{n} k个_{n} }+{2\字母_{n} d日_{n} \over 1-2\α_{n} k个_{n} }，\结束{对齐}$$

(3.12)

哪里\（λ{n}'=[2（k_{n} -1个)+\字母{n}]M^{2}+2e_{n} M（M）\).采取\（q=2）,\（θ{n}=l垂直x_{n} -第页\r垂直\）,\（\lambda_｛n｝=2\alpha_｛n｝\）,\（sigma{n}={lambda{n}'+2d{n}\超过2（1-2\alpha{n}k{n}）}\）在引理中2.3，来自(3.12)，我们有\（x{n}\到p\）作为\（到英寸）。这就完成了证明。□

如果\（\{\beta_{n}\}=\{0\}\）为所有人\（第1页）英寸(1.4)，它遵循定理3.4我们得到了以下结果。

定理3.5

让 K（K） 是任意实Banach空间的非空凸子集 E类,\（T:K\至K\） 成为一个统一的利普希茨主义者(具有利普希茨常数 \（L>0\）)序列的渐近伪压缩映射 \（{k_{n}\}\子集[1，\infty）\）,\（lim{n\to\infty}k{n}=1） 然后让 \（F（T）\neq\emptyset\） 和 \（F（T）中的p）,\（{x{n}） 是由定义的序列(1.5).让 \（{\alpha_{n}\}\子集[0，1]\） 满足以下条件：（i）\（\lim_{n\to\infty}\alpha_{n}=0\），（ii）\（\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}=\infty）.如果 \（{x{n}） 在中有界 K（K） 存在严格的递增函数 \（\phi:[0，\infty）\至[0，\ infty 具有 \（φ（0）=0） 这样的话

$$\limsup_{n\to\infty}\bigl\{bigl\langle T^{n} x个_{n+1}-p，j（x_{n+1}-p）\bigr\rangle-k_{n}\lVert x_{n+1}-p\rVert^{2}+\phi\bigl（\lVertx_{n+1}-p\r Vert\bigr）\bigr\}\le 0$$

哪里 \（j（x_{n+1}-p）在j（x_}n+1}/p）中,\（对于所有n\ge1）,然后 \（x{n}\到p\） 作为 \（到英寸）.

备注3.6

定理3.5扩展定理中国从实一致光滑Banach空间到任意实Banach空。要求K（K）定理中的有界闭中国比要求更强\（{x{n}）在定理中有界3.5.条件

$$\bigl\langle T美元^{n} x个_{n} -第页，j（x_{n} -p个)\bigr\rangle\le k_{n}\l垂直x_{n} -第页\r垂直^{2}+\phi\bigl（\lVert x_{n} -第页\r垂直\biger）$$

在定理中中国被替换为

$$\开始{aligned}\limsup_{n\to\infty}\bigl\{bigl\langle T^{n} x个_{n+1}-p，j（x_{n+1}-p）\bigr\rangle-k_{n}\lVert x_{n+1}-p\rVert^{2}+\phi\bigl（\lVertx_{n+1}-p\r Vert\bigr）\bigr\}\le 0\end{aligned}$$

在定理中3.5.

备注3.7

我们注意到，如果在(1.4)假设和是有界的，则本文的结果仍然成立。仔细阅读他库尔的作品[16]，我们发现在[16]. 在引理2.1的（2.2）和（2.3）中，人们无法推断\（\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{n}<\infty）从\（\sum_{n=1}^{\infty}\mu_{n}<\infty）,\（\sum_{n=1}^{\infty}d_{n}<\infty）因此，他的主要结果不成立。