应用不动点方法求解一类新算子的矩阵差分方程

摘要

本文的目标是给出一类满足Prešić型有理数的新算子η-通常度量空间设置中的收缩条件。对于这些算子，也得到了新的不动点结果。我们的结果推广、扩展和统一了这方面的许多论文。此外，还导出了两个示例来支持和记录我们的理论结果。最后，为了加强本文的研究及其对应用的贡献，研究了一类矩阵差分方程的一些收敛性结果。

1导言和序言

1922年，巴纳赫[1]提出了他的原则：自我映射ℶ定义在完备度量空间上\（（\ mho，\ varpi）\）具有唯一的不动点（FP），即。，\（\ zeta^{\ ast}\ in \ mho\）,\（\泽塔^{\ast}=\beth\zeta^{\asp}\），提供ℶ是一个收缩，也就是说，对于一个常数\（\alpha\in（0,1）\），我们有

$$\varpi（\beth\zeta_{1}，\beth\seta_{2}）\leq\alpha\varpi（\zeta_1}，\ zeta_2}），\quad\forall \zeta_{1}，\zeta_2}in \mho$$

由于这一原理及其本质的易用性与数学各个分支的许多应用有关，许多研究人员创造了各种补充和补充。例如，请参见[2–8]。

从现在起到我们的手稿结束，我们将考虑z（z）作为正整数，并且\（（\ mho，\ varpi）\）作为一个完整的度量空间。

1965年，Prešić对Banach FP定理进行了扩展[9]. 他使用他的结果来确保特定类型序列的收敛性，如下所示：

定理1.1

([9])

让 \（\贝丝：\ mho^{z}\右箭头\ mho\） 是满足以下条件的映射:

$$开始{对齐}和\varpi\bigl（\beth（\zeta_{1}，\zeta_2}，\ dots，\zeta _{z}），\beth zeta{3}）+\cdots+\gamma{z}\varpi（\zeta{z}，\zeta}z+1}）\end{aligned}$$

(1.1)

为所有人 \（\泽塔{1}，\点，\泽塔}{z+1}\ in \ mho\）,哪里 \（\gamma_{1}、\gamma_2}、\点、\gama_{z}） 是非负常数，因此 \（总和{j=1}^{z}\gamma{j}<1）.然后有一个独特的观点 \（\ zeta^{\ ast}\ in \ mho\） 以便 \（\beth（\zeta^{\ast}，\dots，\zeta_{\ast{）=\zeta_（\ast}\）.此外，如果,对于任何选择的点 \（\泽塔{1}，\点，\泽塔}） 在里面 ℧ 和用于 \（l\in\mathbb{N}\）,

$$\zeta_{l+z}=\beth（\zeta_2{l}，\zeta_3{l+1}，\点，\zeta _{l~+z-1}）$$

（1.2）

然后是序列 \（{\zeta_{l}\}\） 是收敛的，并且 \（泽塔^{\ast}=\lim_{l\rightarrow\infty}\zeta_{l}=\beth（\lim_{l\右箭头\infty}\zeta{l}，\lim_a{l\rightarrow \infty-}\泽塔{l}，\dots，\lim _{l\ rightar罗w\inffy}\泽塔{1}）.

备注1.2

来自定理1.1，我们注意到以下几点：

• 操作员\（\贝丝：\ mho^{z}\右箭头\ mho\）满足(1.1)据说是Prešić操作员；

• A分\（在\ mho中\ zeta ^｛\ ast｝\）称为的FPℶ如果\（\beth（\zeta^{\ast}，\dots，\zeta_{\ast{）=\zeta_（\ast}\）;

• 如果我们把\（z=1），我们直接得到了巴拿赫收缩原理（BCP）。

普雷什奇的结果[9]被奇·伊里奇和普雷什维奇推广[10]如下：

定理1.3

([10])

假设 \（\贝丝：\ mho^{z}\右箭头\ mho\） 满足

$$开始{对齐}和\varpi\bigl（\beth（\zeta_{1}，\zeta_2}，\ dots，\zeta _{z}），\beth 3}），\dots，\varpi（\zeta{z}，\zeta_{z+1}）\bigr\}，\ end{aligned}$$

（1.3）

对于任何 \（\泽塔{1}，\点，\泽塔}{z+1}\ in \ mho\）,哪里 \（\gamma\in（0,1）\）.然后就有了 \（\ zeta^{\ ast}\ in \ mho\） 以便 \（\beth（\zeta^{\ast}，\dots，\zeta_{\ast{）=\zeta_（\ast}\）.进一步,对于任何选择的点 \（\泽塔{1}，\圆点，\泽塔}\ in \ mho\）,顺序 \（{\zeta_{l}\}\） 中描述的(1.2)是收敛的，并且

$$\lim_{l\rightarrow\infty}\zeta_{l}=\beth\Bigl$$

阿尔索,如果

$$\varpi\bigl（\beth\bigle（\zeta^{ast}，\dots，\zeta_{ast}\bigr），\beth\ bigl$$

为所有人保留 \（\ zeta ^｛\sast｝，\ zeta ^｛\prime｝｝\ in \ mho） 具有 \（\泽塔^{\ast}\neq\zeta^{\prime}}\）,那么FP在 ℧.

帕库拉[11]能够提出Prešić–Kannan收缩的收敛定理。关于这一研究方向的更多细节，我们请读者参阅[12–14]。

定理1.4

([11])

假设 \（\贝丝：\ mho^{z}\右箭头\ mho\）.如果有 \（\gamma\in\mathbb{R}\） 具有 \（\gamma z（1+z）\in（0,1）\） 使得不平等

$$\varpi\bigl（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta_{z}），\beth$$

(1.4)

每个人都满意 \（（泽塔{1}，点，泽塔{z+1}）,然后

• ℶ 拥有唯一的FP \（\ zeta^{\ ast}\ in \ mho\）,

• 对于任何选择的点 \（\泽塔{1}，\圆点，\泽塔}\ in \ mho\）,顺序 \（{\zeta_{l}\}\） 中描述的(1.2)收敛到 \（\泽塔^{\ast}\）.

2014年，Jleli和Samet强调了对BCP扩展的新贡献[15]. 他们提出了一种新型收缩，称为η-收缩，并在适当的条件下得到了推广的结果。

定义1.5

([15])

让\（\ta:（0，\infty）\rightarrow（1，\infcy）\）是这样的映射：

\（（\eta_{1}）\）:

η不会减少；

\（（\eta_{2}）\）:

对于每个\（{r_{l}\}\subseteq\mathbb{r}^{+}\）,\（\lim_{l\rightarrow\infty}\eta（r_{l}）=1\）若（iff）\（\lim_{l\rightarrow\infty}r_{l}=0\）;

\（（\eta_{3}）\）:

有\（\ell\in（0,1）\）和\（u \ in（0，\ infty）\）以便\（\lim_{r\rightarrow0^{+}}（\frac{\eta（r）-1}{r^{ell}}）=u\）.

映射\（\beth:\mho\rightarrow\mho\）被称为η-收缩，如果\（存在于（0,1）中）和一个函数η令人满意的\（（\eta_{1}）\）–\（（\eta_{3}）\）以便

$$\beth\zeta\neq\beth\ vartheta\quad\Longrightarrow\quad\\eta\bigl（\varpi（\beth\seta，\beth\fartheta）\bigr）\leq\bigl[\eta\ bigl[（\varpi（\zeta，\vartheta）\ bigr$$

所有映射的集合\（\ta:（0，\infty）\rightarrow（1，\infcy）\）将用表示∇.

定理1.6

([15])

操作员 \（\beth:\mho\rightarrow\mho\） 具有唯一的FP，前提是 ℶ 是一个 η-收缩.

许多学者讨论了η-收缩，以及重要的理论和实践发现已经被证明可以在不同空间约束下的非线性分析中使用FP。我们建议读者查看[16,17]了解更多详细信息。

在[18]Ran和Reurings研究了两类矩阵方程，如下所示：

$$\xi=\Game\pm\sum_{j=1}^{m}\wp_{j}^{ast}\xi\wp_{j}$$

（1.5）

哪里⅁是一个\（n次n次）正定矩阵和\（\wp_{j}\）都是武断的\（n次n次）矩阵。在一些假设下，他们确定了(1.5). Duan等人[19]广义系统(1.5)进行如下小改动：

$$\xi=\Game\pm\sum_{j=1}^{m}\wp_{j}^{ast}\xi^{rho_{j{}}\wp _{j}$$

哪里\（0<\vert\rho_{j}\vert<1\）他们基于混合单调映射的不动点定理研究了此类方程正定解的存在唯一性。这种形式的矩阵方程经常出现在各种领域，包括梯形网络[20,21]，动态编程[22,23]，控制理论[24,25]等。

在设置中η-收缩方程和矩阵方程，我们的论文组织如下。章节1致力于从对理解我们的手稿有用的定义和理论方面为我们研究的问题提供以前的贡献。在Sect。 2Presíc型有理函数迭代序列的收敛性η-讨论了完备度量空间中的压缩映射。此外，还获得了一些重要的例子来支持理论结果。最终，在门派。 三作为一种应用，将所得结果应用于一类矩阵差分方程的收敛性。

2主要成果

我们从以下定义开始本部分：

定义2.1

我们说一个映射\（\贝丝：\ mho^{z}\右箭头\ mho\）是Prešić型有理数η-收缩，收缩(客运专线 η-C类，简称）如果有\（伽马\in（0,1）\）以便

$$\eta\bigl（\varpi\bigle（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta_{z}），\beth zeta{j+1}）}:1\leqj\leqz\biggr\}\biggr）\biggr\}^{\gamma}$$

(2.1)

对于每个\（（泽塔{1}，点，泽塔{z+1}）具有\（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta_{z}）\neq\beth.

应该注意，如果\（\t（r）=e^{\sqrt{r}}\），然后客运专线 η-C类减少到

$$\varpi\bigl（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta_{z}），\beth 1\leq j\leq z\biggr\}\biggr）$$

(2.2)

对于每个\（（泽塔{1}，点，泽塔{z+1}）,\（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta_{z}）\neq\beth.

此外，如果\（（泽塔{1}，点，泽塔{z+1}）是这样的\（\beth（\zeta_{1}，\dots，\zeta_{z}）=\beth（\zeta_{2}，\dots，\zeta_{z+1}）\），然后是条件(2.2)比(1.3)，所以映射ℶ英寸(2.2)扩展并统一了Cirić–Prešić收缩。

备注2.2

每客运专线 η-C类 ℶ是Prešić映射\（（\eta_{1}）\）和(1.4)也就是说，

$$\begin{aligned}\varpi\bigl（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta_{z}），\beth qj\leqz\biggr\}\\&<max\bigl\{varpi（\zeta{j}，\zeta_{j+1}）：1\leqj\ leqz\ bigr\}。\结束{对齐}$$

对于每个\（（泽塔{1}，点，泽塔{z+1}）具有\（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta_{z}）\neq\beth因此，每个客运专线 η-C类 ℶ是一个连续函数。

现在，我们的第一个结果如下：

定理2.3

假设 \（\贝丝：\ mho^{z}\右箭头\ mho\） 是PTR η-C类.然后对于任何选择的点 \（\泽塔{1}，\圆点，\泽塔}\ in \ mho\）,顺序 \（{\zeta_{l}\}\） 中描述的(1.2)收敛于 \（\ zeta^{\ ast}\ in \ mho\） 和 \（\泽塔^{\ast}\） 是的FP ℶ.此外,如果 \（\beth（\zeta^{\ast}，\dots，\zeta_{\ast{）\neq\beth 具有

$$\eta\bigl（\varpi\bigle（\beth\bigl-（\zeta^{ast}，\dots，\zeta_{ast}\bigr），\beth\ biglγ}$$

对于 \（\ zeta ^｛\sast｝，\ zeta ^｛\prime｝｝\ in \ mho） 这样的话 \（\泽塔^{\ast}\neq\zeta^{\prime}}\）,然后是重点 \（\泽塔^{\ast}\） 是独一无二的.

证明

让\（\泽塔{1}，\点，\泽塔}）武断z（z）中的元素℧和用于\（l\in\mathbb{N}\）顺序\（{\zeta_{l}\}\）在中定义(1.2). 如果是一些\（l_{0}=\{1,2，\dots，z\}\）一个有\（泽塔{l{0}}=\泽塔{1{0}+1}\），然后

$$\zeta_{l_{0}+z}=\beth（\zeta_2{l_0}}，\zeta_3{l_0{0}+1}，\ dots，\zeta _{l_0}+z-1}）=\besh（\zeta _{l_}0}+z}，\fzeta__{l_2{0}+z}，\sdots，\fzeta _$$

也就是说\（\泽塔{l{0}+z}\）是的FPℶ不需要进一步的证据。因此，我们认为\（泽塔{l+z}\neq\泽塔{1+z+1}\）为所有人\（l\in\mathbb{N}\）.放置\（\gimel{l+z}=\varpi（\zeta{l+z}，\zeta}l+z+1}）和

$$\phi=\max\biggl\{\frac{\varpi（\zeta_{1}，\zeta_2}）}{1+\varpi（\zeta _{1{，\zeta _{2}）{，\ frac{\ varpi{z+1}）}{1+\varpi（\zeta{z}，\zeta_{z+1{）}\biggr\}$$

那么，对所有人来说\（l\in\mathbb{N}\）和\（φ>0），我们有\（\gimel_｛l+z｝>0\）因此，对于\（l \leq z），我们获得

$$\begin｛aligned｝1&<\eta（\gimel_{z+1｝）\\&=\eta\bigl（\varpi（\zeta_{z+1｝，\zeta_{z+2｝）\bigr）\\&=\eta\bigl（\varpi\bigl（\beth（\zeta_{1｝，\zeta_{2｝，\dots，\zeta_{z｝），\beth（\zeta_{2｝，\zeta_{3｝，\dots，\zeta_{z+1｝）\bigr）\\&&\leq\biggl[\eta\biggl（\max\biggl\｛\frac｛\varpi（\zeta_{j}，\zeta_{j+1}）}{1+\varpi（\zeta{j}，\zeta_{j+1}）}:1\leqj\leqz\biggr\}\biggr）\biggr]^{gamma}\\&=\bigl[\eta（\phi）\bigr]^{gamma}。\结束{对齐}$$

也，

$$\开始{对齐}1&<\eta（\gimel_{z+2}）\\&=\eta\bigl（\varpi（\zeta_{z=2}，\zeta_{z+3}）\bigr）\\&=\eta\ bigl ta{z+2}）\bigr）\&\leq\biggl[\eta\biggl（\max\biggl/{frac{\varpi（\zeta{j}，\zeta_{j+1}）}{1+\varpi（\zeta{j}，\zeta_{j+1}）}:2\leqj\leqz+1\biggr\}\biggr）\biggr]^{gamma}\\&=\bigl[\eta（\phi）\bigr]^{gamma^{2}}。\结束{对齐}$$

以相同的模式继续\（1），我们得到

$$\开始{对齐}1&<\t（\gimel_{z+l}）2}，\dots，\zeta_{l+z}）\bigr）\&\leq\bigl[\eta（\phi）\bigr]^{\gamma^{l}}。\结束{对齐}$$

(2.3)

拿\（l\rightarrow\infty\）在(2.3)和使用\（（\eta_{2}）\），我们有

$$\lim_{l\rightarrow\infty}\eta（\gimel_{z+l}）=1\quad\Longleftrightarror\quad\lim_}l\right arrow\ infty{\gimel _{z+l}=0$$

基于\（（\eta_{3}）\），有\（\ ell\ in（0,1）\）和\（u \ in（0，\ infty）\）以便

$$\lim_{l\rightarrow\infty}\biggl（\frac{\eta（\gimel_{z+l}）-1}{\gimel-{z+l}^{\ell}}\bigr）=u$$

假设\（u<\infty）和\（v=\压裂{u}{2}>0\）根据限额的定义，有\（l_{1}\在\mathbb{N}\中）这样的话

$$\biggl\vert\frac{\eta（\gimel_{z+l}）-1}{\gimel _{z+l}^{\ell}}-u\biggr\vert\leqv，\quad\forall l>l_{1}$$

由此可见

$$\frac{\eta（\gimel_{z+l}）-1}{\gimel-{z+l}^{\ell}}\gequ-v=\frac{u}{2}=v，\quad\forall l>l{1}$$

设置\（压裂{1}{v}=q\），然后

$$l\gimel_{z+l}^{\ell}\leq-lq\bigl（\eta（\gimel _{z+1}）-1\bigr），\quad\对于所有l>l_{1}$$

假设\（u=信息\）和\（v>0）根据限额的定义，有\（l_｛1｝\in\mathbb｛N｝\）这样的话

$$v\leq\frac{\eta（\gimel_{z+l}）-1}{\gimel _{z+l}^{ell}}，\quad\forall l>l_{1}$$

这意味着服用后\（压裂{1}{v}=q\）那个

$$l\gimel_{z+l}^{\ell}\leq-lq\bigl（\eta（\gimel _{z+1}）-1\bigr），\quad\对于所有l>l_{1}$$

因此，在这两种情况下，都有\（l_{1}\在\mathbb{N}\中）和\（q>0）以便

$$l\gimel_{z+l}^{\ell}\leq-lq\bigl（\eta（\gimel _{z+1}）-1\bigr），\quad\对于所有l>l_{1}$$

正在应用(2.3)，我们得到

$$l\gimel_{z+l}^{ell}\leq-lq\bigl（\bigl[\eta（\phi）\bigr]^{gamma^{l}}-1\bigr），\quad\forall l>l_{1}$$

以及，当\（l\rightarrow\infty\），有

$$\lim_{l\rightarrow\infty}l\gimel_{z+l}^{ell}=0$$

因此，有\（l_{2}\在\mathbb{N}\中）和\（q>0）这样的话

$$l\gimel_{z+l}^{ell}\leq1，\quad\对于所有l>l{2}$$

因此我们可以写

$$\gimel_{z+l}\leq\frac{1}{l^{\frac}{\ell}}}，\quad\forall l>l{2}$$

现在，我们澄清一下\（{\zeta_{l}\}\）是一个柯西序列。对于\（b>l>l{2}\），一个人可以写

$$开始{对齐}\varpi（\zeta_{z+l}，\zeta_{z+b}）={}&\varpi\bigl），\beth（\zeta{l+1}，\dots，\zeta_{z+l}）\bigr）\\&{}+\varpi\bigl（\beth，\beth（\zeta{l+2}，\dots，\zeta_{z+l+1}）\bigr）\\&{}+\cdots+\varpi\bigl（\beth+\varpi（泽塔{z+l+1}，泽塔{z+l+2}）+\cdots+\varπ（泽塔{z+b-1}，泽塔{z+b}）\\={}&\gimel{l+z}+\gimel+z+1}+\cdots+\gimel{z+b-1}\\={}&\sum{s=l}^{b-1}\gimel{s+z}<\sum{s=l}^{\infty}\gi梅尔{s+z}\leq\sum{s=l}^{\effty}$$

因此可以得出以下结论\（{\zeta_{l}\}\）是中的Cauchy序列\（（\mho，\varpi）\）.完整性℧收益率\（\ zeta^{\ ast}\ in \ mho\）这样的话

$$\lim_{l，b\rightarrow\infty}\varpi（\zeta_{l}，\zeta_{b}）=\lim_{l\rightarrow\infty}\varpi\bigl（\zeta_{1}，\ zeta^{ast}\bigr）=0$$

因为ℶ是连续的，我们有

$$\开始{aligned}\hbar&=\lim_{l\rightarrow\infty}\zeta_{l+z}\\&=\lim_{l\ rightarror\infty}\beth（\zeta_{l}，\zeta_a{l+1}，\ dots，\zeta _{z+l-1}）\\&=\ beth\Bigl点，\lim_{l\rightarrow\infty}\zeta_{z+l-1}\Bigr）\\&=\beth\Bigl（\zeta^{\ast}，\zeta^{\ast}，\dots，\zeta ^{\ast}\biger）。\结束{对齐}$$

对于唯一性，假设\（\泽塔^{\ast}\）和\（\泽塔^{{\素数}}\）是映射的两个不同FPℶ即。，\（\zeta^{\ast}=\beth（\zeta ^{\ast}，\zeta `{\ast{，\dots，\zeta`{\asp}）\）和\（\zeta^{{prime}}=\beth具有\（\泽塔^{\ast}\neq\zeta^{\prime}}\）因此，通过假设(2.1)，我们可以写

$$\begin{aligned}\eta\bigl（\varpi\bigle（\zeta^{\ast}，\zetaca^{\prime}}\bigr）\biger）&=\eta\ bigl zeta^{{prime}}\biger）\biger）\biger素数}}\bigr）\biger）\bigr]^{\gamma}，\end{aligned}$$

矛盾，如\（伽马\in（0,1）\）因此，\（\泽塔^{\ast}=\泽塔{{\prime}}\）证明到此结束。□

以下示例支持定理2.3.

例2.4

让\（{\zeta_{l}\}\）序列定义如下：

$$\textstyle\begin{cases}\zeta{1}=3，\\zeta{2}=3+7，\\vdots\\\zeta_{l}=3+7+11+\cdots+（4l-1）=l（2l+1）。\结束{cases}$$

假设\（\mho=\{\zeta_{l}:l\in\mathbb{N}\}\）和\（\varpi（\widetilde{\zeta}，\widehat{\ze塔}）=\vert\widetilde{\zeta}-\wideheat{\ze塔}\vert\）显然，\（（\mho，\varpi）\）是一个完整的度量空间。定义映射\（\贝丝：\ mho ^｛3｝\右箭头\ mho）通过

$$\beth（\zeta_{l}，\widetilde{\zeta}_{l{，\wedehat{\ze塔}_{1}）=\textstyle\begin{cases}\frac{\zeta _{l-1}+\widetelde{\zerta}_}+\wide hat{\zeta{{l-1{3}，当}l>1时，&\text{{1}+\widehat{\zeta}{1}}{3}，&\text{otherwise.}\end{cases}$$

对于\（l>5\），我们有

$$开始{对齐}和\varpi\bigl{l-3}+\zeta{l-2}+\zeta{l-1}{3}\biggr）\\&\quad=\frac{1}{3+\bigl\vert\bigl（（1-5）（2-1-9）+（1-4）（2-l-7）+（l-3）（2l-5）\biger）\\&\qquad{}-\bigl（（l-3）（2l-5）+（l-2）（21-3）+（1-1）（21-1）\biger^{2} -45升+88磅以上）-磅（6磅^{2} -21升+22\biger）\bigr\vert\\&\quad=\frac{1}{3}\vert24l-66\vert=8l-22，\end{aligned}$$

和

$$\begin{aligned}和\max\bigl\{\varpi\bigl（（\zeta_{l-4}，\zeta_{l-3}，\ zeta__{l-2}）3）（2l-5）-（l-1）（2l-1）\bigr\vert，\bigl\vert（l-2）（21-3）-l（2l+1）\biger\vert\end{B矩阵}\\&\quad=最大值\bigl\{（8l-22），（8l-14），（6l-6）\bigr\}=（8l-14）。\结束{对齐}$$

现在，

$$\lim_｛l\rightarrow\infty｝\frac｛\varpi（\beth（\zeta_{l-4｝，\zeta_{l-3｝，\zeta_{l-2｝），\beth（\zeta_{l-2｝，\zeta_{l-1｝，\zeta_{l｝））｝｛\max\｛\varpi（（\zeta_{l-4｝，\zeta_{l-3｝，\zeta_{l-2｝），（\zeta_{l-2｝，\zeta_{l-1｝，\zeta_{l｝））｝＝\lim_｛l\rightarrow\infty｝\frac｛8l-22｝｛8l-14｝＝1$$

因此，

$$\varpi\bigl（\beth（\zeta_{l-4}，\zeta_2}，\ zeta__{l-2}），\beth 1}，\zeta_{l}）\biger）\bigr\}$$

不适用于\（伽马\in（0,1）\），这意味着该假设(1.1)定理的1.1未实现。现在，定义映射\（\ta:（0，\infty）\rightarrow（1，\infcy）\）通过\（eta（s）=e^{\frac{se^{s}}{1+s}}\）。我们可以很容易地验证\（纳布拉语中的）和ℶ是客运专线 η-C类事实上，不平等

$$\开始{对齐}和e^{\sqrt{\varpi（\beth（\zeta{i}，\zeta_{i+1}，\ zeta_}i+2}），\beth{i+2}，\泽塔{i+3}，\zeta{i+4}）}{1+\varpi,\zeta _{i+4} ) ) }}} \\ &\quad \leq e^{\gamma \sqrt{\varpi ( ( \zeta _{i},\zeta _{i+1}, \zeta _{i+2} ) , ( \zeta _{i+2},\zeta _{i+3},\zeta _{i+4} ) ) \frac{e^{\varpi ( ( \zeta _{i},\zeta _{i+1},\zeta _{i+2} ) , ( \zeta _{i+2},\zeta _{i+3},\zeta _{i+4} ) ) }}{1+\varpi ( ( \zeta _{i},\zeta _{i+1},\zeta _{i+2} ) , ( \zeta _{i+2},\zeta _{i+3}，\泽塔{i+4}）}}}，\结束{对齐}$$

(2.4)

等待\（\beth（\zeta{i}，\zeta}i+1}，\ zeta{i+2}）\neq\beth,\（i=1,2，\点\），对一些人来说\（伽马\in（0,1）\）.不平等(1.1)相当于

$$开始{对齐}和\varpi\bigl i+2}，\泽塔{i+3}，\zeta{i+4}）}{1+\varpi（（泽塔{i}，泽塔{i+1}，泽塔{i+2}）。\结束{对齐}$$

所以，对一些人来说\（伽马\in（0,1）\），我们可以写

$$\frac{\varpi（\beth（\zeta{i}，\zeta_{i+1}，\ zeta{i+2}），\beth{i+3}，\zeta{i+4}）}{1+\varpi）}}{max\{varpi（（泽塔{i}，泽塔{1+1}，泽塔{i+2}），泽塔{i+3}，\zeta{i+4}））\}}}}\leq\gamma^{2}$$

现在，我们将讨论以下情况：

（i） 如果\（i=l=1\），我们得到

$$开始{对齐}和\frac{\varpi（\beth（\zeta{1}，\zeta}，\ zeta{3}），\beth{5}）}{1+\varpi（\beth（\zeta{1}，\zeta}，\ zeta{3}），\beth）}}{max\{varpi（（泽塔{1}，泽塔{2}，泽塔{3}），）{1+\max\{varpi（（\zeta{1}，\zeta}，\ zeta{3}））\}}}}\\&\quad=\frac{\varpi（\frac}\zeta{1}+\ zeta{2}+\泽塔{3}}{3}，\frac\\zeta{3}+\泽塔{4}+\ zeta{5}}{3}）e^{\frac{\varpi（\frac{\zeta}+\压裂{泽塔{3}+\泽塔{4}+\泽塔{5}}{3}）}{1+\varpi（\frac{\zeta{1}+\ zeta{2}+\ zeta{3}{3{，\frac}\zeta}+\}}{max\{varpi（（泽塔{1}，泽塔{2}，泽塔{3}））}{1+max\{varpi（（泽塔{1}，泽塔{2}，泽塔{3}），（泽塔}3}，\泽塔{4}，\ze塔{5}））\}}}}\\&\quad=\frac{\varpi}e^{{frac{max\{varpi（（3,10,21），（21,36,55））}}}}\\&\quad\leq\frac{26e^{26}}{34e^{34}}=\ frac{13}{17} e（电子）^{-8}<e^{-2}。\结束{对齐}$$

（ii）如果\（i=l>1），我们获得

$$开始{对齐}和\frac{瓦尔比2}，\泽塔{l+3}，\zeta{l+4}）}{1+\varpi{l+2}，\zeta{l+3}，\ zeta{1+4}）\}}{1+\max\{（\zeta_{l}，\fzeta{l+2}），（\fzeta_1+2}}}}}}\\&\quad=\frac{\varpi（\frac{\zeta{l-1}+\zeta_{l}+\zeta_{1}}{3}，\frac{\ zeta{{l+1}+\泽塔{l+2}+\泽塔{l+3}}{3}）e^{\frac}1}}{3}，\frac{\zeta{l+1}+\zeta}{l+2}+\zeta{l+3}}{3）}{1+\varpi+\泽塔{l+3}}{3}）}}{max\{varpi，\泽塔{l+4}）}}}}{3}-\压裂{6l^{2}+27l+34}{3}{3}-\压裂{6l^{2}+27l+34}{3}\vert}{1+vert\frac{6l|{2}+3l+4}{3}-\{6l^{2}+27l+34}{3}\vert}}}{max\{vert8l+10\vert，\vert81+18\vert、\vert9l+26\vert\}e^{max\vert7l+10\ vert，\ vert8l+18\ vert、\ vert 8l+26\ vert}{1+max\vert 8l+10\vert，\Vert8l+26 \vert{}}}}四元=frac{（8l+10）e^{压裂{（81+10）}{1+（8l+1）}}}{（18l+26）e^{压裂{（8l+26）}{1+（8l+66）}}}$$

具有\（\gamma=\frac｛1｝｛e｝\）因此，定理的所有要求2.3已实现，并且该点\（（1,1,1）\）是的唯一FPℶ.

例2.5

假设\（mho=[0,1]\）,\（\varpi（\widetilde{\zeta}，\widehat{\ze塔}）=\vert\widetilde{\zeta}-\wideheat{\ze塔}\vert\）、和\（\贝丝：\ mho^{z}\右箭头\ mho\）由描述

$$\beth（\zeta_{1}，\dots，\zeta_{l}）=\frac{\zeta_1}+\zeta{l}}{8l}，\ quad\forall \ zeta_}，\todts，\zeta_{l}\in\mho$$

让\（\ta:（0，\infty）\rightarrow（1，\infcy）\）是由定义的映射\（\t（s）=e^{\sqrt{\frac{s}{1+s}}}\）。自\（e^{\sqrt{\frac{s}{1+s}}}\leqe^{\sqrt{s}}\），我们可以从中看到[15]那个\（纳布拉语中的）。现在，为了\（泽塔{1}，泽塔{2}，圆点，泽塔}l+1}in），一个人可以写

$$\varpi\bigl（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta_{l}），\beth$$

和

$$开始{对齐}和\eta\bigl ta{l+1}）}{1+\varpi（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta}），\beth）}}}\\&\quad=e^{\sqrt{\frac{（\frac{1}{8l}）\vert（\zeta_{1}-\泽塔{2}）+（\泽塔_{l}-\zeta{l+1}）\vert}{1+\vert（\zeta_{1}-\泽塔{2}）+（\泽塔_{l}-\zeta{l+1}）\vert}}}\\&\quad=e^{（\frac{1}{2\sqrt{2l}}）\sqrt{\frac}\vert（\zeta_｛1｝-\泽塔{2}）+（\泽塔_{l}-\ζ_｛l+1｝）\vert｝｛1+\vert（\ζ_{1}-\泽塔{2}）+（\泽塔_{l}-\zeta{l+1}）\vert}}}\\&\quad\leqe^{（\frac{1}{\sqrt{2}}）\sqrt{\frac}\max\{\varpi（\zeta{1}，\zeta_{2}），\ varpi{l}，\zeta{l+1}）}}（\frac{1}{\sqrt{2}）}{1+\varpi（\zeta_{j}，\zeta_{j+1}）}:1\leq-j\leqz\}}\\&\quad=\biggl[\eta\biggl（\max\biggl/{frac{\varpi（\zeta _{j{，\泽塔_{j+1}）}\biggr）\biggr]^{\gamma}，\end{aligned}$$

具有\（\gamma=\frac{1}{\sqrt{2}}\）此外，对于所有人\（\泽塔^{\ast}，\泽塔{\prime}\ in \mho\）具有\（\泽塔^{\ast}\neq\zeta^{\prime}\），我们获得

$$\varpi\bigl（\beth\bigle（\zeta^{\ast}，\zeta_{\ast{，\dots，\zeta ^{\est}\bigr$$

和

$$\begin{aligned}\eta\bigl（\varpi\bigle（\beth\bigl-（\zeta^{\ast}，\zeta_{\ast{，\dots，\zeta ^{\last}\bigr），\beth\ bigl素数}\vert}{8l}\biggr）\\&=e^{\sqrt{（\frac{\frac{vert\zeta^{ast}-\泽塔^{\prime}\vert}{8l}}{1+\frac{\vert\zeta^{\ast}-\zeta^}\\prime}\\vert}}{8l}}）}\\&\leqe^{（\frac}{1}{2\sqrt{2l}}}\vert}）}\&\leqe^{\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{（\frac}\vert\zeta^{\ast}-\zeta^}\prime}｛vert｝｛1+\vert\zeta^｛\ast｝-\zeta^｛\prime｝\vert｝）｝｝\&=\bigl[\eta\bigl（\varpi\bigl（\zeta^｛\ast｝，\zeta^｛\prime｝\bigr）\bigr]^｛\gamma｝，\end｛aligned｝$$

具有\（\gamma=\frac{1}{\sqrt{2}}\）因此，定理的所有假设2.3实现了。此外，对于一些选定的\（\泽塔{1}，\点，\泽塔_{l}\ in \ mho\），序列\（{\zeta_{l}\}\）定义于(2.3)收敛到\（\zeta^{\ast}=0\），它是的唯一FPℶ.

如果我们把\（\t（s）=e^{\sqrt{s}}\）在定理中2.3，我们得到以下结果。

推论2.6

考虑 \（\贝丝：\ mho^{z}\右箭头\ mho\） 是一个给定的映射，假设有 \（伽马\in（0,1）\） 这样的话

$$\varpi\bigl（\beth（\zeta_{1}，\dots，\zeta_{z}），\beth（\zeta_{2}，\dots，\zeta_{z+1}）\bigr）\leq\gamma^｛2｝\biggl（\max\biggl\{\frac｛\varpi（\zeta_{j}，\zeta_{j+1}）｝｛1+\varpi（\zeta_{j}，\zeta_{j+1}）｝：1\leq j\leq z\biggr\ biggr）$$

(2.5)

然后对于任何选定的点 \（\ζ_｛1｝，\ dots，\ζ_｛z｝\ in \ mho \）,顺序 \（{\zeta_{l}\}\） 中描述的(1.2)收敛到 \（\ zeta^{\ ast}\ in \ mho\） 和 \（\zeta^{\ast}=\beth（\zeta ^{\asp}，\dots，\zeta®{\ast}）.此外,如果

$$\varpi\bigl（\beth\bigle（\zeta^{ast}，\dots，\zeta_{ast}\bigr），\beth\ bigl$$

为所有人保留 \（\泽塔^{\ast}，\泽塔{{\prime}}\在\ mho\中） 具有 \（\泽塔^{\ast}\neq\zeta^{\prime}}\）,然后是重点 \（上一页） 是映射的唯一FP ℶ.

推论2.7

假设 \（\贝丝：\ mho^{z}\右箭头\ mho\） 是一个给定的映射，并且有非负常量 \（\gamma_{1}、\gamma_2}、\点、\gama_{z}） 具有 \（伽玛{1}+\gamma{2}+\cdots+\ga玛{z}<1） 这样的话

$$\开始{对齐}\varpi\bigl（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta_{z}），\beth \frac{\varpi（\zeta{2}，\zeta_{3}）}{1+\ varpi\frac{\varpi（\zeta{z}，\zeta_{z+1}）}{1+\varpi（\zeta{z}，\zeta _{z+1}）{，\end{aligned}$$

(2.6)

对于每个 \（（泽塔{1}，点，泽塔{z+1}） 具有 \（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta_{z}）\neq\beth.然后对于任何选择的点 \（\泽塔{1}，\圆点，\泽塔}\ in \ mho\）,顺序 \（{\zeta_{l}\}\）,由提供(1.2)收敛到 \（在\ mho中\ zeta ^｛\ ast｝\）,哪里 \（\泽塔^{\ast}\） 是唯一的FP ℶ.

证明

很明显(2.6)暗示(2.5)带有\（\gamma^{2}=\gamma_{1}+\gamma_2}+\cdots+\gama_{z}\）.

现在，假设\（\泽塔^{\ast}，\泽塔{{\prime}}\在\ mho\中）具有\（\zeta^{\ast}\neq\zeta\），基于(2.6)，可以获得

$$\begon｛aligned｝&\ varpi\bigl（\ beth\bigl（\ zeta^｛\ast｝，\ zeta^｛\ast｝，\ dots，\ zeta^｛\ast｝\bigr），\ beth\bigl（\ zeta^｛\prime｝｝，\ zeta^｛\prime｝｝，\ dots，\ zeta^｛\prime｝\bigr）\ bigr）\&&\ quad=\ varpi\bigl（\ beth\bigl（\ zeta^｛\ast｝，\ dots，\ zeta^｛\ast｝\bigr），\ beth\ bigl（\ζ^｛\ast｝，\ dots，\ζ^｛\ast｝，\ζ^｛\prime｝\biger）\bigr）\\&\qquad{}+\varpi\bigl h\bigl（\zeta^{\ast}，\dots，\zeta_{\prime}，\ zeta__{\prime}\bigr），\beth\bigl（\ zeta^｛\prime｝，\ dots，\ zeta^｛\prime｝，\ zeta^｛\prime｝\bigr）\\&&quad\leq（\ gamma｛z｝+\ gamma｛z-1｝+\ cdots+\ gamma｛z｝）\ frac｛\varpi（\ zeta^｛\sast｝，\ zeta^｛\prime｝）｝｛1+\ varpi（\ zeta^｛\sast｝，\ zeta^｛\prime｝）｝\\&&quad\leq \ gamma ^｛2｝\ varpi\bigh l（ζ^｛\ast｝，ζ^｛\prime｝\bigr）。\结束{对齐}$$

因此，推论的条件2.6保持。□

如果我们使用一大类函数∇例如，

$$\eta（s）=2-\frac{2}{\pi}\arctan\biggl（\frac{1}{s^{\theta}}\biggr）$$

哪里\（θ在（0,1）中）和\（s>0\），我们从定理中得到以下定理2.3.

定理2.8

假设 \（\贝丝：\ mho^{z}\右箭头\ mho\） 是给定的映射.如果有映射 \（纳布拉语中的） 和常量 \（伽马，θ，单位（0,1）） 这样的话

$$开始{对齐}&2-\frac{2}{\pi}\arctan\biggl（\frac}1}{[\varpi（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta_{z}），\beth压裂{1}{[\max\{\frac{\varpi（\zeta{j}，\zeta_{j+1}}：1\leqj\leqz\}]^{theta}}\biggr）\biggr]^{gamma}，\end{aligned}$$

对于每个 \（（泽塔{1}，点，泽塔{z+1}） 具有 \（\beth（\zeta{1}，\dots，\zeta_{z}）\neq\beth,那么对于任何选定的点 \（\泽塔{1}，\圆点，\泽塔}\ in \ mho\）,顺序 \（{\zeta_{l}\}\）,由提供(1.2)收敛到 \（\ zeta^{\ ast}\ in \ mho\）.然后 \（\泽塔^{\ast}\） 是唯一的FP ℶ.此外,如果

$$\开始{对齐}和2-\frac{2}{\pi}\arctan\biggl（\frac}{[\varpi（\beth（\zeta^{\ast}，\dots，\zeta_{\ast{），\beth biggl（\frac{1}{（\varpi（\zeta^{ast}，\zeta_{prime}））^{theta}}\biggr）\biggr]^{gamma}，\结束{对齐}$$

持有 \（\泽塔^{\ast}，\泽塔{{\prime}}\在\ mho\中） 具有 \（\泽塔^{\ast}\neq\zeta^{\prime}}\）,然后是重点 \（\泽塔^{\ast}\） 是映射的唯一FP ℶ.

备注2.9

应注意：

• 我们的定理2.3统一并推广了中的定理1.3[10]和定理1.2[9]。

• 推论1英寸[15]可以直接从定理中得到2.3推杆\（伽马=1）忽略了收缩条件的分母(2.1).

• 如果我们采取\（伽马=1）忽略推论收缩性条件的分母2.6和2.7，我们得到BCP[1]。

三矩阵差分方程的应用

在本部分中，符号\（\字母（N）\）对于(\（编号2）),⅁,℘,\（\wp^{\ast}\）、和φ指的是\（N次N次）厄米特正定矩阵\（N次N次）厄米特半正定矩阵\（N次N次）非奇异矩阵的共轭转置℘，以及中的函数\（\字母（N）\）到\（\字母（N）\）分别是。

现在，平衡点的定义如下：

定义3.1

考虑\（\贝丝：\ mho^{z}\右箭头\ mho\）作为给定的映射。对于任何\（\泽塔{1}，\圆点，\泽塔}\ in \ mho\），定义递归序列\（{\zeta_{l}\}\）通过

$$\zeta_{l+z}=\beth（\zeta_2{l}，\zeta_3{l+1}，\点，\zeta _{l~+z-1}）$$

(3.1)

对于每个\（l\in\mathbb{N}\）.我们说这是一点\（\overline｛\zeta｝\in\mho\）是的平衡点(3.1)如果以下假设成立：

$$\overline{\zeta}=\beth（\overline{\zeta}，\overlline{\ze塔}，\ dots，\overrine{\泽塔}）$$

(3.2)

定义3.2

如果是所有人\（泽塔{1}，泽塔{2}，圆点，泽塔}在mho中）一个有\（\varpi（\zeta_{l}，\overline{\zeta}）\rightarrow0\）作为\（l\rightarrow\infty\）则平衡点称为全局吸引子。

在这里，我们探讨了以下递归序列的全局吸引性：

$$\zeta_{l+z}=\Game+\frac{1}{z}\sum_{j=0}^{z-1}\wp^{ast}\varphi\biggl（\frac{\zeta{l+j}}{1+\zeta_{l+j}}\biggr）\wp，\quad\forall l\geq 1$$

(3.3)

在应用理论结果之前，我们分析了Thompson度量ϖ在\（\字母（N）\），描述为

$$\varpi（\wp_{1}，\wp_2}）=最大\biggl\{\log W\biggl（\frac{\wp_1}}{\wp2}}\biggr）$$

对于\（\wp_{1}，\wp_{2}\在\aleph（N）\中），其中\（W（\frac{\wp{1}}{\wp{2}}）=\inf\{\Lambda>0:\wp_{1}\leq\Lambda \wp_2}\}=\Lambada^{+}也就是说，W公司是的最大特征值\（\wp{2}^{-\压裂{1}{2}}\wp_{1}^{\压裂{-1}{2{}}\wp{2}\）.在这里\（\wp_{1}\leq\wp_2}\）意味着\（\wp_{2}-\wp{1}\）是半正定的\（\wp{1}意味着\（\wp_{2}-\wp{1}\）是肯定的。

基于ϖ，定义为

$$\varpi（\wp_{1}，\wp_2}）=\bigl\Vert\ln\bigl（\wp_{1'^{-\frac{1}{2}}\wp_{2}\wp _{1}^{\fracc{-1}{2{}\bigr）\bigr\Vert$$

\（\字母（N）\）是一个完整的度量空间[26]，其中\（\Vert\cdot\Vert\）是光谱范数[27]。

现在，让我们从以下令人兴奋的特性开始ϖ，即对于任何非奇异矩阵W公司,

$$\varpi（\wp_{1}，\wp_2}）=\varpi\bigl（\wp_{1{^{-1}，\ wp_}2}^{-1{bigr）=\ varpi\bigl（W^{\ast}\wp_{1} W公司，W^{\ast}\wp_{2} W公司\更大）$$

(3.4)

第二个重要的结果是ϖ以…的形式

$$\varpi\bigl（\wp_{1}^{r}，\wp_2}^{r}\bigr）\leqh\varpi（\zp_{1'，\wp _{2}），\quad h\ in{}[0,1]$$

(3.5)

基于(3.4)和(3.5)，我们可以写

$$\varpi\bigl（W^{\ast}\wp_{1}^{r} W公司，W^{\ast}\wp_{2}^{r} W公司\biger）\leq\vert h\vert\varpi\bigl（\wp_{1}^{r}，\wp_2}^{r}\bigr），\quad h\in{}[-1,1]$$

为所有人\（\wp_{1}，\wp_{2}\在\aleph（N）\中）.

引理3.3

([28])

对于每个 \（\wp _｛1｝，\wp _｛2｝，\wp _｛3｝，\wp _｛4｝\in \aleph（N）\）,我们得到

$$\varpi（\wp_{1}+\wp_2}，\wp_3}+\vp_{4}）\leq\max\bigl\{\varpi$$

此外,对于所有正半定 \（\wp_{1}，\wp_2}，\ wp_3}\ in \ aleph（N）\）,我们有

$$\varpi（\wp_1}+\wp_2}，\wp_{1}+\wp_{3}）\leq\varpi（\wp2}，\ wp_3}）$$

考虑一下\（\varphi:\aleph（N）\rightarrow\aleph是一个η-收缩与ϖ。对于\（W{1}，W{2}，\点，W{z}\在\ aleph（N）\中），让\（{W_{l}\}\子集\ aleph（N）\）是由定义的序列(3.3).

现在，我们可以陈述并证明这部分的主要定理。

定理3.4

方程式(3.3)具有全局吸引器 \（上横线{\zeta}\in\aleph（N）\）,这是一个独特的平衡点.

证明

定义运算符\（\beth:\aleph（N）^{z}\rightarrow\aleph通过

$$开始{对齐}和\beth（W_1}，W_2}，\dots，W_{z}）}\biggr）\wp+\cdots+\wp^{\ast}\varphi\biggl（\frac{W{z}}{1+W{z{}}\bigr）\wp\biggr]，\end{aligned}$$

为所有人\（W{1}，W{2}，\点，W{z}\在\ aleph（N）\中）.

让\（W{1}，W{2}，\点，W{z+1}\在\ aleph（N）\中）.根据引理3.3，我们获得

$$开始{对齐}和\varpi\bigl（\beth（W{1}，W{2}，\dots，W{z}），\beth{1+W{i}}\biggr）\wp，\Game+\frac{1}{z}\sum{k=2}^{z+1}\wp^{ast}\varphi\Biggl（\frac}W{k}}{1+W{k}{）\wp\Biggr）\\&\quad\leq\varpi\Biggl k}}{1+W{k}}\Biggr）\wp\Biggr}{1+W{i}}\biggr sqrt{z}}\wp\biggr）\biggr）。\结束{对齐}$$

设置\（\Delta=\frac{1}{\sqrt{z}}\wp\）.然后通过引理3.3，我们有

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{<trans\; data-src="\varpi ">\varpi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\beth ">\beth </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="\dots ">\dots </trans><trans\; data-src=",">,</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\beth ">\beth </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="\dots ">\dots </trans><trans\; data-src=",">,</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=")">)</trans>\\ & <trans\; data-src="\le ">\le </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\varpi ">\varpi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\underset{\mathrm{<trans\; data-src="j">j个</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}{\overset{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}{<trans\; data-src="\sum ">\sum </trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}}^{<trans\; data-src="\ast ">\ast </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\phi ">\phi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\underset{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}{\overset{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}{<trans\; data-src="\sum ">\sum </trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}}^{<trans\; data-src="\ast ">\ast </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\phi ">\phi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ & <trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\varpi ">\varpi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}}^{<trans\; data-src="\ast ">\ast </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\phi ">\phi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}}^{<trans\; data-src="\ast ">\ast </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\phi ">\phi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}<trans\; 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data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}}^{<trans\; data-src="\ast ">\ast </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\phi ">\phi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="32">32</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans><trans\; data-src="\cdots ">\cdots </trans><trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}}^{<trans\; data-src="\ast ">\ast </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\phi ">\phi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ & <trans\; data-src="\le ">\le </trans><trans\; data-src="max">最大值</trans><trans\; data-src="\{">\{</trans>\begin{array}{c}\mathrm{<trans\; data-src="\varpi ">\varpi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}}^{<trans\; data-src="\ast ">\ast </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\phi ">\phi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; 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data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\end{array}<trans\; data-src="\}">\}</trans>\\ & <trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="max">最大值</trans><trans\; data-src="\{">\{</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\varpi ">\varpi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}}^{<trans\; data-src="\ast ">\ast </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\phi ">\phi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}}^{<trans\; data-src="\ast ">\ast </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\phi ">\phi </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\}">\}</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\end{array}$$

(3.6)

对于\（k=1,2，\点，z）.因为℘是非奇异的，Δ也是非奇异的。使用(3.6)为所有人\（k=1,2，\点，z），我们可以写

$$\varpi\biggl（\Delta^{\ast}\varphi\biggl（\frac{W_{k}}{1+W_{k}}\biggr）\Delta，\Deltaqu{\ast{\varphi\ biggl}\biggr），\varphi\biggl（\frac{W{k+1}}{1+W{k+1}}\bigr）$$

自φ是一个η-收缩，所有\（k=1,2，\点，z），我们有

$$\eta\biggl（\varpi\biggl（\Delta^{\ast}\varphi\biggal（\frac{W_{k}}{1+W_{k}}\biggr）\Delta，\Delta_{\ast{\varphi\ biggl W{k}，W{k+1}）}{1+\varpi（W{k{，W_{k+1）}\biggr）\biggr]^{\lambda}$$

对一些人来说\（伽马\in（0,1）\）因此，我们得到

$$\begin{aligned}和\eta\bigl（\varpi\bigle（\beth（W_1}，W_2}，\dots，W_{z}），\beth varpi（W{k}，W{k+1}）}\biggr\}:1\leqj\leqz\biggr）\biggr]^{\gamma}，\end{aligned}$$

对于\（W{1}，W{2}，\点，W{z+1}\在\ aleph（N）\中）因此，根据定理2.3，存在映射的FPℶ，这是全局吸引子平衡点\（上横线{\zeta}\in\aleph（N）\）此外，对于\（W_{1}，W_{2}\在\ aleph（N）\中），因此\（\beth（W_{1}，W_{1}，\dots，W_}1}），一个人可以写

$$\begin{aligned}和\eta\bigl（\varpi\bigle（\beth（W_{1}，W_{1'，\dots，W_}），\beth}}\biggr）\wp，\Game+\wp^{\ast}\varphi\biggl（\frac{W{2}}{1+W{2{}}\biggr）\wp\biggr）\bigger）\\&\quad\leq\eta\biggl=\eta\biggl（\varpi\bigg1（\varphi\biggl（\frac{W{1}}{1+W{1{}}\biggr），\varphi\ biggl\biggr）\bigger）\\&\quad\leq\biggl[\eta\biggl（\varpi\biggal（\frac{W{1}}{1+W{1{}，\frac}W{2}}{1+W{2{}}）\bigr）\biggr]^{gamma}\\&\quid\leq \bigl[\eta \bigl较大]。\结束{对齐}$$

再次，基于定理2.3，平衡点是唯一的。□

4结论和未来工作

在本研究中，Prešić型有理函数的一个新概念η-引入了收缩映射，并讨论了这种收缩的迭代序列在完备度量空间中的收敛性。新理论改进和扩展了文献中已有的许多结果。已经提供了一些重要的示例来支持本文获得的结果。此外，还导出了一类矩阵差分方程的收敛性结果。作为未来的工作，作者正在寻找将这些结果推广到多值Prešić型有理数η-压缩映射和数值研究矩阵差分方程的收敛性。