非线性方程及其系统全部根估计的迭代技术及其在微分方程中的应用

摘要

本文构造了一类求非线性方程单根的迭代方法，并推广了这类同时求非线性方程所有根的迭代算法。我们进一步扩展了求解非线性方程组的根估计方法家族。收敛性分析表明，对于非线性方程组和单根查找方法，收敛阶为3，对于同时确定非线性方程的所有离散根和多根，收敛阶是5。计算成本、吸引域、效率、残差对数和数值试验实例表明，与文献中的现有方法相比，新构造的方法更有效。

1介绍

解非线性方程

$$f（x）=0$$

(1)

是一般科学，特别是数学中最古老的问题。这些非线性方程在科学和工程的许多领域都有不同的应用(1)，我们着眼于迭代方案，它可以进一步分类为近似单个根和所有根(1). 文献中存在另一类求解非线性系统的迭代方法。在本文中，我们将研究所有这三种类型的迭代方法。文献中已经有很多迭代方法来求非线性方程及其不同收敛阶的系统的根（参见[1–12]). 上述方法用于一次近似一个根。但数学家也对寻找(1)同时。这是因为同步迭代方法由于其更大的收敛范围而非常流行，与单次寻根方法相比更稳定，并且实现了并行计算。有关同时测定所有根的更多详细信息，请参阅[13–25]以及其中引用的参考文献。

本文的主要目的是构造一组最优三阶迭代方法，然后将它们转换为同时迭代方法，以找到非线性方程的所有不同根和多个根(1). 我们进一步扩展了求解非线性方程组的迭代方法家族。文中还给出了单次寻根方法的吸引基，以证明迭代方法的收敛性。

2单根方法族的构造及收敛性分析

这里，我们介绍了一些已知的三阶迭代方法。

Singh等人[4]提出了以下最优三阶方法（缩写为E1）：

$$\textstyle\开始{cases}y^{（k）}=x^{（k）}）}。\结束{cases}$$

Huen等人[26]给出了如下三阶优化方法（缩写为E2）：

$$\textstyle\开始{cases}y^{（k）}=x^{+\frac{3}{f^{prime}（y^{（k）}）}。\结束{cases}$$

Amat等人[5]（2007）给出了以下三阶优化方法（缩写为E3）：

$$\textstyle\begin{cases}y^{（k）}=x^{。\结束{cases}$$

Chun等人[27]给出了如下三阶优化方法（缩写为E4）：

$$\textstyle\开始{cases}y^{（k）}=x^{分形{f（x^{（k）}）}{f^{\素数}。\结束{cases}$$

Kou等人[28]给出了如下三阶最优方法（缩写为E5）：

$$\textstyle\begin{cases}y^{（k）}=x^{。\结束{cases}$$

Chun等人[27]给出了以下三阶优化方法（缩写为E6）：

$$\textstyle\begin{cases}y^{（k）}=x^{^{2} -f^{\prime}（x^{（k）}）f^{\prime}（y^{。\结束{cases}$$

在这里，我们提出了以下迭代方法家族（缩写为Q1）：

$$\textstyle\开始{大小写}y^{（k）}=x^{+（2-\alpha）f^{素数}（x^{（k）}）}$$

(2)

哪里\（\alpha\in\mathbb{R}\）.对于迭代方案(2)，我们利用CAS Maple 18和中定义的迭代格式的误差关系得到了以下收敛定理(2).

定理1

让 \（I中的\ zeta\） 是一个充分微分函数的简单根 \（f:I\subseteq R\longrightarrow R\） 在开放区间I.如果 \（x{0}\） 非常接近 ζ,那么迭代方法族的收敛阶(2)为3，误差方程如下所示

$$e^{（k+1）}=\biggl（2c{2}^{2}+\frac{1}{2} c（c）_{3}-\alpha c_{2}^{2}\biggr）\bigl（e^{（k）}\bigr）^{3}+O\bigle（\bigl-（e^}（k$$

(3)

哪里 \（c{m}=\frac{f^{m}（\zeta）}{m！f^{prime}（\ zeta）{）,\（m\geq 2）.

证明

让ζ是…的简单根（f）和\（x^{（k）}=\泽塔+e^{.通过泰勒级数展开\（f（x^{（k）}）\）围绕\（x^{（k）}=\泽塔\），采取\（f（\ζ）=0\），我们得到

$$f\bigl（x^{（k）}\bigr）=f^{{prime}}（\zeta）\bigle（e^{^{5}\biger）$$

(4)

和

$$f^{\prime}\bigl（x^{（k）}\bigr）=f^{{\prime}}（\zeta）（1+2c_{2}\bigle（e^{\更大）$$

(5)

划分(4)由(5)，我们有

$$\frac｛f（x^｛（k）｝）｝｛f^｛\prime｝（x^｛（k）｝）｝=e^｛（k）｝-c^｛2｝\bigl（e^｛（k）｝\bigr）^｛2｝+\bigl（2c_｛2｝^{2} -2c个_{3} \biger）\bigl（e^{（k）}\bigr）^{3}+O\bigle（\bigl（e ^{$$

(6)

和

$$\开始{对齐}&y^{（k）}=c_{2}\bigl（e^{）}\bigr$$

(7)

$$开始{对齐}&f^{\prime}\bigl（y^{（k）}\bigr）=1+2c_{2}^{2}\bigle（e^{）}\bigr）^{2{2}+2c_}2}\bigl（-2c_{2}^{2}+2c_{3}\biger）\ bigl。\结束{对齐}$$

(8)

我们有

$$\frac{f^{\prime}（x^{（k）}）-f^{\prime}^{2}-\压裂{3}{2} c（c）_{3}-\alpha c_{2}^{2}\biggr）\bigl（e^{（k）}\bigr）^{3}+\cdots$$

(9)

从第二步(2)，我们有

$$开始{对齐}&e^{（k+1）}=y^{}，\结束{对齐}$$

(10)

$$\开始{对齐}&e^{（k+1）}=\biggl（2c{2}^{2}+\frac{1}{2} c（c）_{3}-\alpha c_{2}^{2}\biggr）\bigl。\结束{对齐}$$

(11)

因此，这证明了三阶收敛性。□

三联立方法的推广

假设非线性方程(1)有n个根。然后\（f（x）\）和\（f^{prime}（x）\）可以近似为

$$f（x）=\prod_{j=1}^{n}（x-x{j}）\quad\text{和}\quad f^{prime}（x）=\sum_{k=1}^}n}\underset{j=1{j\neqk}}{\overset{n}{{n}}（x-x{j{）$$

(12)

这意味着

$$\frac{f^{prime}（x）}{f（x）{=\sum_{j=1}^{n}\biggl（\frac{1}{（x-x{j}）}\bigr）=\frac{1}{\frac{1}}{x-x{i}}-\sum{\overset{j=1{j\neqi}}^{n}（\frac 1}{{（x{j{）}）$$

(13)

这就是阿尔伯特·埃利希方法[29]

$$y_{i}^{（k+1）}=x_{i{^{$$

(14)

哪里\（N（x{i}）=\分形{f（x{i}^{（k）}）}{f^{素数}和\（i，j=1,2,3，\ldot，n）。现在从(13)，近似值为\（分数{f（x{i}^{（k）}）}{f^{素数}（x{i}^{（k）{）}\）通过替换而形成\（x{j}^{（k）}\）具有\（z{j}^{（k）}\）如下：

$$\frac{f（x_{i}^{（k）}）}{f^{prime}（x_}i}^}（k}）}$$

(15)

使用(15)英寸(14)，我们有

$$y_{i}^{（k+1）}=x_{i{^{$$

(16)

如果有多个根，

$$y_｛i｝^｛（k+1）｝=x_｛i｝^｛（k）｝-\frac｛\sigma\ i｝｝｛\frac｛1｝｛N（x_｛i｝^｛（k）｝）｝-\sum_｛\overset｛j=1｝｛j\neq i｝｝^｛N｝$$

(17)

哪里\（z{j}^{（k）}=y{j}^{}^{（k）}）}{f^{素数}（x{j}^{（k）{）}和\（y{j}^{（k）}=x{j}^{因此，我们得到了以下新的同步迭代方法家族，用于提取非线性方程的所有离散根和多根(1)缩写为SM1。Zhang等人[30]提出了以下五阶联立方法：

$$x{i}^{（k+1）}=x{i{^{\sqrt{\textstyle\begin{array}{c}（1+\sum_{underset{j=1}{j\neqi}}^{n}\frac{w{j}（x{j}^{（k）}）}{x{i}^{{（k）}-x{j{}^{k}）{j\neqi}}^{n}\frac{w{j}（x{i}^｛（k）｝）｝（x_｛i｝^｛（k）｝-x｛j｝^｛（k）｝）（x_｛i｝^｛（k）｝-w_｛i｝（x_｛i｝^｛（k）｝）｝\end｛array｝\displaystyle｝｝$$

(18)

3.1收敛性分析

在本节中，一系列联立方法的收敛性分析(17)以以下定理的形式给出。显然，方法的收敛性(17)当根的重数很简单时，将遵循定理（2）中方法（SM1）的收敛性。

定理2

(2)

让 \（\zeta_{1}}，\ldots，\zeta_{n}\） 是具有重数的单根的n个数 \（\sigma{{1}}、\ldots、\sigma{n}） 非线性方程的(1).如果 \（x{1}^{（0）}，\ldot，x{n}^{（0）{） 分别是根的初始近似值，并且与实际根非常接近,方法的收敛阶(性虐待1)等于五.

证明

让

$$开始{aligned}&\epsilon_{i}=x{i}^{（k）}-\zeta{i}\quad\text{和}\end{aligned}$$

(19)

$$开始{aligned}&\epsilon{i}^{prime}=y_{i}^{（k+1）}-\zeta{i}\end{aligned}$$

(20)

是中的错误\（x{i}^{（k）}\）和\（y_{i}^{（k+1）}\）近似值。考虑到（SM1），我们有

$$y_{i}^{（k+1）}=x_{i{^{k）}）}$$

(21)

哪里

$$N\bigl（x_{i}^{（k）}\bigr）=\biggl（\frac{f（x_}i}^}（k$$

(22)

显然，对于不同的根，我们有

$$\frac｛1｝｛N（x_｛i｝^｛（k）｝）｝=\biggl（\frac｛f^｛\prime｝（x_｛i｝^｛（k）｝）｝｛f（x_｛i｝^｛（k）｝）｝\biggr）=\sum _｛j=1｝^｛N｝\biggl（\frac｛1｝（x_ i｝^｛（k）｝-\zeta _｛i｝）｝+\sum_｛\dunderset｛j=1｝｛j\neq i｝｝^｛N｝\biggl（\frac｛1｝｛（x_｛i｝^｛（k）｝-\zeta _｛j｝）｝\biggr）$$

(23)

因此，对于多个根，我们从(17)

$$开始{对齐}和y{i}^{（k+1）}=x{i}^{（k）}-\zeta{j}）}）-\sum{\underset{j=1}{j\neqi}}^{n}（\frac{\sigma{j}}{（x{i}^{（k）{-z{j}^{（k））}，\end{aligned}$$

（24）

$$\开始{对齐}&y{i}^{（k+1）}-\泽塔{i}=x{i}^{_{我}-\frac{\西格玛{i}}{\ frac{\sigma{i}{（x{i}^{（k）}-\zeta{i}）}+\sum{\underset{j=1}{j\neqi}}^{n}{i}^{（k）}-\泽塔{j}）$$

(25)

$$\开始｛对齐｝&\ε_｛i｝^｛\prime｝=\ε_{我}-下集{j=1}{j\neqi}}^{n}-z{j}^{（k）}）}，\结束{对齐}$$

(26)

$$\开始{aligned}&\hphantom{\epsilon_{i}^{\prime}}=\epsilen_{我}-\frac{\sigma{i}\epsilon{i}}{\simma{i}+\epsilen{i}\sum{\underset{j=1}{j\neqi}}^{n}-z{j}^{（k）}）}，\结束{对齐}$$

(27)

$$\开始{aligned}&\hphantom{\epsilon_{i}^{\prime}}=\epsilen_{我}-\压裂{\西格玛{i}。\ε_｛i｝｝｛\sigma _｛i｝+\ε_｛i｝\sum_｛\dunderset｛j=1｝｛j\neq i｝｝^｛n｝（E_｛i｝\ε_｛j｝^｛4｝）｝，\结束｛对齐｝$$

(28)

哪里\（z{j}^{（k）}-\zeta{j}=\epsilon{j}^{3}）来自(三)以及\（E_{i}=（分数{-\sigma{j}}{（x{i}^{（k）}-\zeta{j}）.

因此，

$$\epsilon_{i}^{{prime}}=\frac{\epsilen_{i{2}\sum_{underset{j=1}{j\neqi}}^{n}{j}^{3}）}$$

(29)

如果假设所有误差的绝对值\（\ε{j}\）(\（j=1,2,3，\ldots\）)顺序与，比如说\（\vert\epsilon_{j}\vert=O\vert\ epsilon\vert），然后从(29)我们有

$$\epsilon_{i}^{{prime}}=O（\epsilen_{i{）^{5}$$

(30)

因此定理成立。□

4非线性方程组的推广

在本工作中，我们考虑以下非线性方程组：

$$\mathbf{F（x）=}0$$

(31)

其中位于\（\mathbf{F（x）}=（F{1}（x），F{2}（x），\ldots，F{n}（x]）^{T}\）和功能\（f{1}（x），f{2}（x），\ldots，f{n}（x\））是的坐标函数[31].

求解非线性系统有多种方法(31). 求解非线性方程组的著名迭代方法之一是Newton–Raphson方法

$$\mathbf｛y｝^｛（k）｝=\mathbf｛x｝^｛（k）｝-\mathbf｛F｝^｛\prime｝\bigl（\mathbf｛x｝^｛（k）｝\bigr）^｛-1｝\mathbf｛F｝\bigl（\mathbf｛x｝^｛（k）｝\bigr）$$

哪里

$$\mathbf{<trans\; data-src="F">F类</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathbf{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathbf{<trans\; data-src="F">F类</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="\dots ">\dots </trans><trans\; data-src=",">,</trans>{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="\dots ">\dots </trans><trans\; data-src=",">,</trans>{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="\dots ">\dots </trans><trans\; data-src=",">,</trans>{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ <trans\; data-src="⋮">⋮</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="\dots ">\dots </trans><trans\; data-src=",">,</trans>{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans>$$

和

$${\mathbf{<trans\; data-src="F">F类</trans>}}^{<trans\; data-src="\prime ">\prime </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathbf{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{cccc}\frac{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}& \frac{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}& <trans\; data-src="\cdots ">\cdots </trans>& \frac{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}}\\ \frac{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}& \frac{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}& <trans\; data-src="\cdots ">\cdots </trans>& \frac{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}}\\ <trans\; data-src="⋮">⋮</trans>& <trans\; data-src="⋮">⋮</trans>& <trans\; data-src="⋮">⋮</trans>& <trans\; data-src="⋮">⋮</trans>\\ \frac{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}& \frac{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}& <trans\; data-src="\cdots ">\cdots </trans>& \frac{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}{\mathtt{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=".">.</trans>$$

(32)

在这里，我们给出了求解非线性方程组的一些著名的三阶迭代方法。

Darvisti等人[32]提出了以下三阶迭代法（简称EE1）：

$$\begin｛aligned｝&\mathbf｛y｝^｛（k）｝=\mathbf｛x｝^｛（k）｝-\mathbf｛F｝^｛\prime｝\bigl（\mathbf｛x｝^｛（k）｝\bigr）^｛-1｝\mathbf｛F｝\bigl（\mathbf｛x｝^｛（k）｝=\mathbf｛y｝^｛（k）｝-\mathbf｛F｝^｛\prime｝\bigl（\mathbf x｝^｛（k）｝\bigr）^｛-1｝\mathbf｛F｝\bigl（\mathbf｛y｝^｛（k）｝\bigr）。\结束{对齐}$$

梯形牛顿法[33]第三阶表示如下（缩写为EE2）：

$$\开始{对齐}&\mathbf{y}^{（k）}=\mathbf{x}^{（k）{-\mathbf1{F}^{\prime}\bigl-2\bigl[\mathbf{F}^{prime}\bigl（\mathbf{x}^{}\mathbf{\bigr）.}\end{aligned}$$

Khiralah等人[34]提出了以下三阶迭代法（简称EE3）：

$$\开始{对齐}&\mathbf{y}^{（k）}=\mathbf{x}^{（k）{-\frac{2}{3}\mathbf1{F}^{prime}\bigl（\mathbf2{x}^{）}=\mathbf{x}^{（k）}-\biggl[\mathbf{F}^{prime}\bigl\biger）^{-1}\biggr]\mathbf{F}\bigl \mathbf{x}^{（k）}\bigr）。\结束{对齐}$$

这里，我们扩展了迭代方法家族(2)用于求解非线性方程组

$$\开始{对齐}和\mathbf{y}^{（k）}=\mathbf{x}^{-\bigl[\bigl（\alpha\mathbf{F}^{prime}\bigl（\tathbf{y}^{（k）}\bigr）+（2-\alpha）\mathbf{F}\bigl（\mathbf{F}^{\prime}\bigle（\mathbf{x}^{（k）}\bigr）-\mathbf{F}\mathbf{x}^{（k）}\mathbf{\bigr），}\end{aligned}$$

(33)

哪里\（\alpha\in\mathbb{R}\）我们将这一系列迭代方法缩写为QQ1，用于逼近非线性方程组的根。

定理3

让函数 \（\mathbf{F}:E\subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n{） 在开集上充分Fréchet可微 E类 包含根 ζ 属于 \（\mathbf{F}（\mathbf{x}^{（k）}\mathbf{）}=0\）.如果初始估计 \（\mathbf{x}^{（0）}\） 接近 ζ,然后是方法QQ的收敛顺序1至少有三个,前提是 \（\alpha\in\mathbb{R}\）.

证明

让\（\mathbf{e}^{（k）}=\mathbf{x}^{（k）{-\boldsymbol{\zeta}\）,、和\（\widehat｛\mathbf｛e｝｝^｛（k）｝=\mathbf｛z｝^｛（k）｝-\boldsymbold｛\zeta｝\）是发展泰勒级数的错误\（\mathbf{F（x}^{（k）}）\）在…附近ζ假设\（\mathbf{F}^{\prime}（\mathbf{r）}^{-1}\）存在，我们写道

$$\mathbf{F}\bigl（\mathbf{x}^{（k）}\bigr）=\mathbf1}\bigle（\mathbf{x}^{{{\prime\prime}}\bigl（\mathbf{x}^{$$

(34)

和

$$\begin{aligned}&\mathbf{F（x）=0，}\end{alinged}$$

(35)

$$\开始{对齐}&\mathbf{F\bigl{答}_{2} \bigl（\mathbf{e}^{（k）}\bigr）^{2}+\mathbf{答}_{3} \bigl（\mathbf{e}^{（k）}\bigr）^{3}+\mathbf{\cdots}+\mathbf{答}_{6} \bigl（\mathbf{e}^{（k）}\bigr）^{6}\biger\}+\bigl\Vert\mathbf}O}\bigle（\mathbf{e}^}\biger）^{7}\birgr\Vert，\end{aligned}$$

(36)

哪里

$$\开始{aligned}&\mathbf{答}_{m} =\frac{1}{m！}\frac{\mathbf{F}^{（m）}\mathbf{（x}^{（k）}）}{\mathbf{F{^{prime}\mathbf{}^{-1}\mathbf{F\bigl（x}^{（k）}\bigr）=\mathbf2{e}^{（k）{-\mathbf{答}_{2} \bigl（\mathbf｛e｝^｛（k）｝\bigr）^｛2｝+（2\mathbf{答}_{2} +2\mathbf{答}_{3} ）\bigl（\mathbf{e}^{（k）}\bigr）^{3}+\bigl\Vert\mathbf}O}\bigle（\mathbf{e}^}\biger）^{4}\biger\Vert，\end{aligned}$$

(37)

(38)

正在扩展\（\mathbf{F}^{prime}\mathbf{（y}^{（k）}）\）关于ζ和使用(38)，我们获得

(39)

（40）

使用方程式(37)和(39)第二步(33)，我们得到

$$\widehat{\mathbf{e}}^{（k）}=\mathbf{z}^{（k）{-\boldsymbol{\zeta}=\biggl（2\mathbf{答}_{2} ^{2}+\压裂{1}{2}\mathbf{答}_{3}-\α\mathbf{答}_{2} ^{2}\biggr）\bigl$$

(41)

因此，它证明了这个定理。□

5迭代方法族的复杂动力学研究

在这里，我们讨论迭代方法（Q1，E1–E6）的动力学研究。我们研究了从中进行初始估计以获得非线性方程根的区域。实际上，我们用数字近似根的吸引域作为一个定性度量，迭代方法如何依赖于初始估计的选择。为了回答这些关于迭代方法的动力学行为的问题，我们研究了方法Q1的动力学，并将其与E1–E6进行了比较。有关迭代方法的动力学行为的更多详细信息，可以参考[三,35,36]. 取有理函数\（\Re_{f}:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}\），其中\（\mathbb{C}\）表示复杂平面，即轨道\（x_{0}\in\mathbb{C}\）定义一个集合，如\（\operatorname{orb}（x）=\{x{0}，\Re_{f}（x{0{），\Re_{f}^{2}（x_{0}），\ldot，\Re{f}|{m}.融合\（\operatorname{orb}（x）\rightarrow x^{\ast}\）被理解为如果\（\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}R^{k}（x）=x^{ast}\）存在。A点\（x_{0}\in\mathbb{C}\）被称为吸引人，如果\（\vert R^{k^{prime}}（x）\vert<1\）一个吸引人的地方\（x_{0}\in\mathbb{C}\）将吸引力盆地定义为轨道趋向于\（x^{\ast}\）。从动态和图形的角度来看，我们\（2000乘以2000）方格网\（[-2.5,2.5]^{2}\in\mathbb{C}\）.到的每个根(1)，我们指定一种颜色，迭代方法的相应轨道开始并收敛到一个不动点。将彩色地图分别设置为Jet和Hot。我们使用\（转换x{i+1}\text{-}x_{i} \转换<10^{-3}\）和\（转换f（x{i}）转换<10^{-3}）作为停止标准，最大迭代次数为20。当使用停止标准时，我们标记一个深蓝色点\（转换x{i+1}\text{-}x_{i} 垂直<10^｛-3｝）和使用时的深色黑点\（转换f（x{i}）转换<10^{-3}）不同的颜色用于不同的根部。迭代方法有不同的吸引域，其颜色不同。我们获得了以下三个测试函数的吸引池\（f_{1}（x）=x^{4} -ix号机组^{2}+1\),\（f{2}（x）=（1+2i）x^{5}+1-2i）、和\（f{3}（x）=x^{6} -ix号机组^{3}+1\).的确切根\（f{1}（x）\）,\（f_{2}（x）\）、和\（f{3}（x）\）表中给出了1。颜色的亮度意味着迭代次数较少。

表1函数的精确根\（f{1}（x）\）,\（f{2}（x）\）、和\（f{3}（x）\）

6数值结果

在这里，我们考虑了一些数值例子，以证明我们的一步三阶单寻根方法族（Q1）、五阶联立方法（SM1）和三阶迭代方法族分别用于求解非线性方程组的性能。我们比较了我们的单根搜索方法家族（Q1）和三阶迭代方法（E1–E6）。将五阶联立方法族（SM1）与Zhang等人的方法进行了比较[30]相同顺序（缩写为ZPH方法）。将求解非线性系统（QQ1）根的迭代方法与EE1–EE3分别进行了比较。所有计算均使用CAS Maple 18进行，有效数字为2500（同步方法为64位浮点算法），停止标准如下：

$$\开始{对齐}和\text{（i）}\quad e_{i}^{（k）}=\bigl\vert f\bigl（x_{i}^{（k）}=\bigl\vert\mathbf{Fx}^{^{（k+1）}-\mathbf{x}^{（k）}\bigr\Vert<\in，\end{aligned}$$

哪里\（e_{i}\）和\（\mathbf{e}^{（k）}\）表示绝对误差。我们接受\（\英寸=10^{-600}\）对于单根查找方法，\（\英寸=10^{-30}\）用于同时确定非线性方程的所有根(1)、和\（\英寸=10^{-15}\）用于逼近非线性系统的根(31).

数值测试示例[32,34,37,38]表中提供了2–8。在表中三表中使用了停车标准（i）2停止标准（i）和（ii）均使用，而在表中4–8停止标准（iii）和（iv）均被使用。在所有表中，CO表示收敛顺序，n表示迭代次数，ρ表示局部计算收敛阶[39]，CPU表示计算时间（秒）。我们观察到，在相同的迭代次数下，迭代方法族（在单个Q1的情况下）、同时确定（所有根的SM1）和非线性方程组QQ1的近似根的数值结果分别优于E1–E6、ZPH和EE1–EE3。数字4（a） –（b）–6（a） ，（b）表示迭代方法（Q1、SM1、QQ1、ZPH、E1–E6、EE1–EE3）的剩余下降。数字4（a） 和4（b） 显示了单个（Q1，E1–E6）和同时测定所有根系（SM1，ZPH）的残余落差，而图5（a） （b）和6（a） ，（b）分别表示（QQ1、EE1–EE3）的剩余下降。表格2–8和图1–6清楚地显示了我们的迭代方法家族（Q1、SM1、QQ1）在E1–E6、ZPH和EE1–EE3上的优势收敛行为。

图1

图1(一), (e（电子）), (克), (我), (k个), (米), (o个)显示了非线性函数迭代方法Q1、E1–E6的吸引域\（f{1}（x）=x^{4} -ix号机组^{2} +1\）使用\（\vert x^{（k+1）}\text{-}x^{（k）}\垂直<10^{-3}\）.图1(b条), (（f）), (小时), (j个), (我), (n个), (第页)显示了迭代方法Q1、E1–E6的吸引域，使用\（转换f（x^{（k）}）转换<10^{-3}）.图1(c（c）), (d日)显示了吸引人的盆地\（阿尔法=-0.000001）。在图中1(一)–(第页)与方法E1–E6相比，Q1的盆地颜色亮度显示迭代方法收敛的迭代次数较少。

图2

图2(一), (e（电子）), (克), (我), (k个), (米), (o个)显示了非线性方程迭代方法Q1、E–E6的吸引域\（f{2}（x）=（1+2i）x^{5}+1-2i）使用\（\vert x^{（k+1）}\text{-}x^｛（k）｝垂直<10^｛-3｝）.图2(b条), (（f）), (小时), (j个), (我), (n个), (第页)显示了迭代方法Q1、E1–E6的吸引域，使用\（转换f（x^{（k）}）转换<10^{-3}）.图2(c（c）), (d日)显示了吸引\（阿尔法=-0.000001）。在图中2(一)–(第页)与方法E1–E6相比，Q1的盆地颜色亮度显示迭代方法收敛的迭代次数较少。

图3

图三(一), (e（电子）), (克), (我), (k个), (米), (o个)显示了非线性方程迭代方法Q1、E1–E6的吸引域\（f{3}（x）=x^{6} -ix号机组^{3}+1\)使用\（\vert x^{（k+1）}\text{-}x^{（k）}\垂直<10^{-3}\）.图三(b条), (（f）), (小时), (j个), (我), (n个), (第页)显示了迭代方法Q1、E1–E6的吸引域，使用\（转换f（x^{（k）}）转换<10^{-3}）.图三(c（c）), (d日)显示了吸引\（阿尔法=-0.000001）。在图中三(一)–(第页)与方法E1–E6相比，Q1的盆地颜色亮度显示迭代方法收敛的迭代次数较少。

图4

数字4(一)——(b条),4(一)显示单根查找方法Q1、E1–E6和4(b条)用于同时测定\（f_{4}（x）\）分别使用ZPH和SM1。

表2最优三阶方法比较

表3所有根的同时发现\（f_{4}（x）\）

表4最优三阶方法比较

表5最优三阶方法比较

表6最优三阶方法比较

7工程应用

在本节中，我们将讨论在工程中的应用。

示例1

（梁设计模型[38] (一维问题))

工程师考虑板桩墙的嵌入x问题，得出如下非线性方程：

$$f_{4}（x）=\压裂{x^{3}+2.87x^{2}-10.28}{4.62}-x。 $$

(42)

的确切根(42)是\（泽塔{1}=2.0021\）,\（泽塔{2}=-3.3304\）,\（泽塔{3}=-1.5417）.

初步估计\（f_{4}（x）\）被视为：\（\重叠{（0）}{x{1}}=2.5\）,\（\重叠{（0）}{x{2}}=-7.4641\）,\（\重叠{（0）}{x{3}}=-0.5359\）.

示例2

（二维问题[32,37])

对于二维系统，我们考虑以下非线性方程组：

$$\开始{aligned}&\mathbf{F}（F）_{1} （\mathbf{X}）=\textstyle\begin{cases}f_{1}（X_{1{，X_{2}）=X_{1}^{2} -10倍_{1} +x{2}^{2}+8，\\f_{2}（x{1}，x{2{）=x_{1} x_{2} ^{2}+x_{1} -10倍_{2} +8，\结束{cases}\显示样式\mathbf{X}（X）_{0}=（\mathbf{0.6}，\mathbf{1.4}）^{T}，\\&\mathbv{F}（F）_{2} （\mathbf{X}）=\textstyle\begin{cases}f_{1}（X_{1{，X_{2}）=X_{1}^{2} -2倍_{1} -x个_{2} +0.5，\\f_2}（x_1}，x_2}）=x_1}^_2}+4x_2}^{2}-1，\end｛cases｝\displaystyle\mathbf{X}（X）_{0}，=（\mathbf{1.5}，\mathbf{1.0}）^{T}。\结束{对齐}$$

示例3

（三维问题[34])

对于三维系统，我们考虑以下非线性方程组：

$$\开始{aligned}&\mathbf{F}（F）_{3} （mathbf{X}）=\textstyle\begin{cases}f_{1}^{2} -4倍_{3}-13，\\f_2}（x_1}，x_2}，x_3}）=x_1}^_2}+10x_{2} -e个^{-x{3}}-11，\\f{3}^{2} -25倍_{3} +22，\end{cases}\displaystyle\mathbf{X}=（\mathbf=0.8}，\mathbf{1}，\ mathbf[0.8}）^{T}{F}（F）_{4} （mathbf{X}）=\textstyle\begin{cases}f_{1}^{2} -x个_{3}^{2}-1，\\f_2}（x_1}，x_2}，x_3}）=2x_1}^_2}+10x_2}^{2} -4倍_{3}1，\\f_{3}（x_{1}，x_{2}，x_{3}）=3x_{1}^{2} -4倍_{2}^{2} -x个_{3} ^{2}，\end{cases}\displaystyle\mathbf{X}=（\mathbf}0.5}，\ mathbf=0.5}，\fathbf{0.5}）^{T}。\结束{对齐}$$

示例4

（N维问题[34])

考虑以下非线性方程组：

$$\mathbf美元{F}（F）_{5} ：f_{i}=e^{x{i}^{2}}-1，\quad i=1,2,3，\ldot，m$$

这个系统的精确解是\（\mathbf{X}^{ast}=[0,0,0，\ldots，0]^{T}\），我们采取\（\mathbf）{X}（X）_{0}=[0.5,0.5,0.5，\ldot，0.5]^{T}\）作为初步估计。表显示了该非线性方程组的结果。

示例5

（N维问题）

考虑以下非线性方程组：

$$\mathbf美元{F}（F）_{6} ：f{i}=x{i}^{2}-\cos（x_{i} -1个)，四元i=1,2,3，磅，米$$

这个系统的精确解是\（\mathbf{X}^{ast}=[1,1,1，\ldots，1]^{T}\），我们采取\（\mathbf{X}（X）_{0}=[2,2,2，\ldot，2]^{T}\）作为初步估计。表显示了该非线性方程组的结果。

7.1微分方程的应用

示例6

（非线性BVP）

这里，我们求解了一个定义为

$$\开始{对齐}&y^{\prime\prime}=\frac{1}{8}\bigl（32+2x^{3} -yy年^{\prime}\biger），\quad 1\leq x\leq 3，\\&y（1）=17；\qquad y（3）=\frac｛43｝｛3｝。\结束{对齐}$$

(43)

利用有限差分方法求解了这类非线性边值问题。通过采取\（h=0.1），我们离散化区间$[1,3]$进入之内\（N+1=19+1=20）相等的子间隔（见表7). 作为\（x{i}=a+h\）给出的值为\（x{i}\），其中\（a=1）.

表7 BVP的域离散化

我们对两者都使用中心差分公式\（y^{prime\prime}（x{i}）和\（y^{prime}（x{i}）衍生于[40]如下：

$$开始{对齐}&y^{\prime\prime}{12} 年^{（iv）}（\xi）\quad\text{对于某些}\xi in（x{i-1}，x{i+1}），\end{aligned}$$

(44)

$$\开始{对齐}&y^{\prime}（x{i}）=\frac{1}{2h}\bigl（y（x{1}）-y（x_{i-1}）\bigr）-\ frac{h^{2}}{6} 年^{（iii）}（\eta）\quad\text{用于某些}\eta（x{i-1}，x{i+1}）。\结束{对齐}$$

（45）

放置的值\（y^{prime\prime}（x{i}）和\（y^{prime}（x{i}）在（1）中，我们得到了以下三对角非线性方程组：

$${\mathbf{<trans\; data-src="F">F类</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="7">7</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathbf{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.33275">0.33275</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="17">17</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="17">17</trans>}\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.432">0.432</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.5495">0.5495</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="5">5</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.686">0.686</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="5">5</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="5">5</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="5">5</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="6">6</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.84375">0.84375</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="5">5</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="6">6</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="6">6</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="5">5</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="6">6</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="7">7</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1.024">1.024</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="6">6</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="7">7</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="5">5</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="7">7</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="6">6</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="7">7</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="8">8</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1.22825">1.22825</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="7">7</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="8">8</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="6">6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="8">8</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="7">7</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="8">8</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="9">9</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1.458">1.458</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="8">8</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="9">9</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="7">7</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="9">9</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="8">8</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="9">9</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="10">10</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1.71475">1.71475</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="9">9</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="10">10</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="8">8</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="10">10</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="9">9</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="10">10</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="11">11</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="10">10</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="11">11</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="9">9</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="11">11</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="10">10</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="11">11</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="12">12</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2.31525">2.31525</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="11">11</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="12">12</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="10">10</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="12">12</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="11">11</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="12">12</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="13">13</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2.662">2.662</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="12">12</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="13">13</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="11">11</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="13">13</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="12">12</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="13">13</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="14">14</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="3.04175">3.04175</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="13">13</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="14">14</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="12">12</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="14">14</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="13">13</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="14">14</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="15">15</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="3.456">3.456</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="14">14</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="15">15</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="13">13</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="15">15</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="14">14</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="15">15</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="16">16</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="3.90625">3.90625</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="15">15</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="16">16</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="14">14</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="16">16</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="15">15</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="16">16</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="17">17</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4.394">4.394</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="16">16</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="17">17</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="15">15</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="17">17</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="16">16</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="17">17</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="18">18</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4.92075">4.92075</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="17">17</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="18">18</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="16">16</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="18">18</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="17">17</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="18">18</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="19">19</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="5.488">5.488</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="18">18</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="19">19</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="17">17</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="19">19</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="18">18</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="19">19</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0.01">0.01</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans><trans\; data-src="+">+</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="19">19</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="14.333333">14.333333</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="18">18</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="1.6">1.6</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="14.333333">14.333333</trans>}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>$$

(46)

哪里\（x{0}=17\）和\（x{20}=14.333333）.我们接受

$${\mathbf{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans>{<trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{c}\mathrm{<trans\; data-src="16.86666667">16.86666667</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="16.73333333">16.73333333</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="16.6">16.6</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="16.46666667">16.46666667</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="16.33333333">16.33333333</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="16.2">16.2</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\\ \mathrm{<trans\; data-src="16.06666667">16.06666667</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="15.9333333">15.9333333</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="15.8">15.8</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="15.66666667">15.66666667</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="15.53333333">15.53333333</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="15.4">15.4</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="15.26666667">15.26666667</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="15.13333333">15.13333333</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="15">15</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1.86666667">1.86666667</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="14.733333333">14.733333333</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="14.6">14.6</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="14.46666667">14.46666667</trans>}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans>}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}<trans\; data-src=".">.</trans>$$

非线性常微分方程边值问题的解是

$${\mathbf{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}}^{<trans\; data-src="\ast ">\ast </trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>{<trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{c}\mathrm{<trans\; data-src="17.0000">17</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="16.7605">16.7605</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="16.5134">16.5134</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="16.2589">16.2589</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="15.9974">15.9974</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="15.7298">15.7298</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="15.4577">15.4577</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\\ \mathrm{<trans\; data-src="15.1829">15.1829</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="14.9083">14.9083</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="14.6375">14.6375</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="14.3750">14.3750</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="14.1266">14.1266</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="13.8993">13.8993</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="13.7018">13.7018</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="13.5443">13.5443</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\\ \mathrm{<trans\; data-src="13.439113">13.439113</trans>}<trans\; data-src=".">.</trans>\mathrm{<trans\; data-src="401013.447513">401013.447513</trans>}<trans\; data-src=".">.</trans>\mathrm{<trans\; data-src="599913.8843">599913.8843</trans>}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans>}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}<trans\; data-src=".">.</trans>$$

作为初步估计。上述非线性系统的结果如表所示8.

表8 QQ1不同迭代求解的剩余误差\（\mathbf{F}（F）_{7} （\mathbf{X}）\）

8结论

我们在这里分别为非线性方程组、非线性方程组和五阶联立法发展了收敛阶为三的单根寻找方法族。从表格2–8和图1–5和6我们观察到，我们的方法（Q1、SM1和QQ1）在效率、稳定性、CPU时间和残余误差方面分别优于方法E1–E6、ZPH和EE1–EE3。

图5

图5(一)–(b条)显示了用于求解的迭代方法QQ1、EE1–EE3的残差图\（\mathbf{F}（F）_{1} （\mathbf{X}）\）和\（\mathbf{F}（F）_{2} （\mathbf{X}）\）分别是。

图6

图6(一)–(b条)显示了用于求解的迭代方法QQ1、EE1–EE3的残差图\（\mathbf{F}（F）_{3} （\mathbf{X}）\）和\（\mathbf{F}（F）_{4} （\mathbf{X}）\）分别是。