二次可微函数分数阶Simpson型不等式的新形式

摘要

可微凸函数的Simpson不等式及其分数形式已经被广泛研究。还研究了两次可微函数的Simpson型不等式。更准确地说，Budak等人建立了两次可微函数分数阶Simpson不等式的第一个结果。本文证明了二次可微函数的一个新恒等式。此外，对于绝对值二阶导数为凸函数的函数，我们建立了几个分数阶Simpson型不等式。本文是二次可微函数分数阶Simpson型不等式的一个新版本。

1引言

辛普森不等式在数学的几个分支中发挥了相当大的作用。对于四次连续可微函数，经典的Simpson不等式表示如下。

定理1

假设 \（\mathcal{F}:[\rho_{1}，\rho_2}]\rightarrow\mathbb{R}\） 是上的四次连续可微映射 \（（\rho{1}，\rho_{2}）,然后让 \（\Vert\mathcal{F}^{（4）}\Vert_{infty}=\underset{kappa\in（\rho_{1}，\rho_2}）}{\sup}\Vert\mathcal{F}^{.那么有一个是不平等的

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{3}\biggl[\frac{\mathcal{F}_{2}-\ρ{1}}\int_{\rho{1}{^{\rho2}}\mathcal{F}（\kappa）\，d\kappa\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{1}{2880}\bigl\vert\mathcal}F}^{（4）}\bigr\vert_{\infty}（\ rho_{2}-\ρ{1}）^{4}。\结束{对齐}$$

由于凸理论是解决来自不同数学分支的大量问题的有效方法，许多作者研究了凸映射的Simpson型结果。更准确地说，对于秒-用可微函数证明凸函数[4]. 在报纸上[34,36]基于可微凸映射建立了Simpson型不等式的新变体。此外，一些论文致力于研究各种凸类的Simpson型不等式[11,18,27,30,31].

本文将可微函数的Simpson不等式推广到Riemann–Liouville分数次积分[8]以及[17]. 因此，有几篇论文重点研究了各种分数阶积分算子的分数阶Simpson不等式[1——三,7,9,12,15,19,21,25,26,28,32,33,37,39]. 关于辛普森型不等式的更多信息和未解释的主题，我们建议读者参考[5,10,14,16,22——24,38]以及其中的参考文献。此外，Sarikaya等人还建立了几个二阶导数为凸函数的Simpson型不等式[35].

本文的目的是扩展中给出的结果[35]对于Riemann–Liouville分数次积分的二次可微函数。论文的总体结构由四章组成，包括导言。论文的其余部分进行如下：。 2在给出一般文献综述和Riemann–Liouville分数次积分算子的定义之后，我们证明了二次可微函数的一个等式。在下一节中，为了利用这个等式，我们对二阶导数为凸的映射建立了几个Simpson型不等式。在最后一部分，讨论了一些结论和进一步的研究方向。

定义1

考虑\（L_｛1｝[\rho_｛1｝，\rho_｛2｝]\中的\mathcal｛F｝\）Riemann–Liouville积分\（J_{\rho_{1}+}^{\alpha}\mathcal{F}\）和\（J_{\rho_{2}-}^{\alpha}\mathcal{F}\）订单的\（阿尔法>0）具有\（\rho_{1}\geq0\）由定义

$$J{\rho{1}+}^{\alpha}\mathcal{F}$$

和

$$J_{\rho_{2}-}^{\alpha}\mathcal{F}（\kappa）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{\kappa}^{\rho{2}}$$

分别是。在这里，\（\Gamma（\alpha）\）是伽马函数\（J{\rho{1}+}^{0}\mathcal{F}（\kappa）=J{\rro_{2}-}^{0}\mathcal{F}（\kappa）=\mathcal（\kapba）\）.

有关Riemann–Liouville分数积分的更多信息和几个性质，请参阅[13,20,29].

Budak等人于[6]如下所示。

定理2

假设引理的假设1持有.还假设映射 \（\vert\mathcal{F}^{prime\prime}\vert\） 在上是凸的 \（[\rho_｛1｝，\rho_｛2｝]\）.然后我们有以下不等式:

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{6}\biggl[\mathcal{F}（\rho{1}）+4\mathcal{F}\bigl{（\rho_{2}-\rho_｛1｝）^｛\alpha｝｝\bigl[J_｛（\frac｛\rho_｛1｝+\rho_｛2｝｝）+｝^｛\alpha｝\mathcal｛F｝（\rho_｛2｝）+J_｛（\frac｛\rho_｛1｝+\rho_｛2｝｝）-｝^｛\alpha｝\mathcal｛F｝（\rho_｛1｝）\bigr]\biggr\vert\&&\quad\leq\frac｛（\rho_{2}-\rho{1}）^{2}}{6}\mathcal{A}（\alpha$$

(1.1)

哪里

$$\mathcal{A}（\alpha）=\frac{1}{4（\alalpha+2）}\biggl（\alfac{\alpha+1}{3}\bigr）^{\frac}2}{\alfa}}+\frac｛3}{\alpha+1}\bigcr）-\frac[1}{8}$$

(1.2)

在本文中，我们证明了一个新的不等式(1.1).

2一些等式

在本节中，我们给出了两次可微函数上的等式，以便于使用主要结果。

引理1

如果 \（\mathcal{F}:[\rho_{1}，\rho_2}]\rightarrow\mathbb{R}\） 是一个绝对连续的映射 \（（\rho{1}，\rho_{2}） 这样的话 \（L_1}（[\rho_1}，\rho_2}]）中的\mathcal{F}^{\prime\prime}\）,然后是以下等式

$$开始{对齐}和\frac{1}{6}\biggl[\mathcal{F}_{2}-\rho{1}）^{\alpha}}\biggl[J{\rho_{2}-}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho_1}+\rho_2}}{2}\bigr）+J{\rho2}+}^{\alha}\matchcal{F}\ biggl_{2}-\rho{1}）^{2}}{8（\alpha+1）}\int_{0}^{1}\biggl（\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alfa+1）}{3{tau-\tau^{\alpha+1}\bigr）\\&\qquad{}\times\biggl[\mathcal{F}\prime\prime}\bigl（\frac{1+\tau}{2}\rho_{2}+\frac{1-\tau}{2}\rho{1}\biggr）+\mathcal{F}^{prime\prime}\bigl\rho{2}\biggr）\biggr]d\tau\end{aligned}$$

(2.1)

是有效的.

证明

通过使用分部积分，我们得到

$$开始{aligned}\Upsilon_{1}=&\int_{0}^{1}\biggl（\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alpha+1）}{3{tau-\tau^{alpha+1}\bigr）\mathcal{F}^{prime\prime}\bigl（\frac{1+\tau}{2}\rho_{2}+\frac{1-\tau}{2}{1}\biggr）\，d\tau\\=&-2\frac{（1-2\alpha）}{3（\rho_{2}-\rho_{1}）}\mathcal{F}^{prime}\biggl（\frac{\rho_1}+\rho_2}}{2}\bigr）\\&{}-\frac}2}{（\rho_{2}-\rho{1}）}\int{0}^{1}\biggl（\frac{2（\alpha+1）}{3}-（\alpha+1）\tau^{\alpha}\biggr）\mathcal{F}{\prime}\bigl（\frac{1+\tau}{2}\rho{2}+\frac{1-\tau}{2{\rho_{1}\bigr）\，d\tau\\=&-2\frac}（1-2\alpha）}{3（\rho_{2}-\rho_{1}）}\mathcal{F}^{prime}\biggl（\frac{\rho_1}+\rho_2}}{2}\bigr）+\frac}4（\alpha+1）}{3（\rho_{2}-\rho{1}）^{2}}\mathcal{F}（\rho{2}）+\frac{8（\alpha+1）}{3（\rho_{2}-\ρ{1}）^{2}}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho{1}+\rho}2}{2}\bigr）\\&{}-\frac}4\alpha（\alpha+1）}{\rho_{2}-\rho{1}}\int_{0}^{1}\tau^{\alpha-1}\mathcal{F}\biggl（\frac{1+\tau}{2}\rho{2}+\ frac{1-\ tau}{2{1\rho{1\biggr）\，d\tau。\结束{对齐}$$

(2.2)

通过使用方程式(2.2)变量的变化\（\kappa=\压裂{1+\tau}{2}\rho{2}+\压裂{1-\tau}{2}\）对于\（[0,1]\中的tau\）可以重写如下：

$$\开始{aligned}\Upsilon_{1}=&-2\frac{（1-2\alpha）}{3（\rho_{2}-\ρ{1}）}\mathcal{F}^{prime}\biggl（\frac{\rho{1}+\rho}2}{2}\bigr）+\frac}4（\alpha+1）}{3（\rho_{2}-\rho{1}）^{2}}\mathcal{F}（\rho{2}）+\frac{8（\alpha+1）}{3（\rho_{2}-\ρ{1}）^{2}}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho{1}+\rho_2}}{2}\bigr）\\&{}-\frac}2^{\alpha+2}（\alpha+1）\Gamma（\alpha+1）}{（\rho_{2}-\rho_｛1｝）^｛\alpha+2｝｝J_｛\rho_{2}-}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho{1}+\rho}2}{2}\bigr）。\结束{对齐}$$

(2.3)

同样，我们有

$$开始{aligned}\Upsilon_{2}=&\int_{0}^{1}\biggl（\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alpha+1）}{3{tau-\tau^{alpha+1}\bigr）\mathcal{F}^{prime\prime}\bigl（\frac{1+\tau}{2}\rho_{1}+\fras{1-\tau}{2}{2}\biggr）\，d\tau\\=&2\frac{（1-2\alpha）}{3（\rho_{2}-\rho_｛1｝）｝\mathcal｛F｝^｛\prime｝\biggl（\frac｛\rho_｛1｝+\rho_｛2｝｝｛2｝\biggr）+\frac｛4（\alpha+1）｝｛3（\rho_{2}-\rho{1}）^{2}}\mathcal{F}（\rho{1'）+\frac{8（\alpha+1）}{3（\rho_{2}-\ρ{1}）^{2}}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho{1}+\rho_2}}{2}\bigr）\\&{}-\frac}2^{\alpha+2}（\alpha+1）\Gamma（\alpha+1）}{（\rho_{2}-\ρ{1}）^{\alpha+2}}J{\rho{1}+}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl。\结束{对齐}$$

(2.4)

根据方程式(2.3)和(2.4)，我们得到

$$\开始{aligned}\Upsilon_{1}+\Upsilen_{2}=&\frac{4（\alpha+1）}{3（\rho_{2}-\rho{1}）^{2}}\biggl[\mathcal{F}_{2}-\rho{1}）^{\alpha+2}}\biggl[J{\rho_{2}-}^｛\alpha｝\mathcal｛F｝\biggl（\frac｛\rho_｛1｝+\rho_｛2｝｝｛2｝\biggr）+J_｛\rho_｛1｝+｝^｛\alpha｝\mathcal｛F｝\biggl（\frac｛\rho_｛1｝+\rho_｛2｝｝｛2｝\biggr）\biggr]。\结束{对齐}$$

(2.5)

将的两边相乘(2.5)由\（\压裂{（\rho_{2}-\rho{1}）^{2}}{8（alpha+1）}\），我们得到方程(2.1). 这就结束了引理的证明1. □

引理2

让我们考虑一下功能 \（\varpi:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\） 通过 \（\varpi（\tau）=\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alpha+1）}{3{tau-\tau^{alpha+1}\） 具有 \（阿尔法>0）.

• （1） 如果 \（0<\alpha\leq\frac{1}{2}\）,那么我们有

  $$\int_{0}^{1}\bigl\vert\varpi（\tau）\bigr\vert\，d\tau=\frac{1-\alpha^{2}}{3（\alpha+2）}$$

• (2) 如果 \（\alpha>\frac{1}{2}\）,那么就存在一个实数 \（\varsigma{\alpha}\） 这样的话 \（0<\varsigma{\alpha}<1\）,我们有

  $$\int_{0}^{1}\bigl\vert\varpi（\tau）\bigr\vert\，d\tau=2\biggl（\frac{（\varsigma_{\alpha}）^{\alalpha+2}{\alba+2}-\frac}（1-2\alpha）\varsimma_{\alpha}+（\alpha+1）{3（\alpha+2）}$$

证明

让我们注意到\（0<\alpha\leq\frac{1}{2}\）.然后\（\varpi（\tau）\geq 0\）为所有人\（[0,1]\中的tau\）由此可见

$$\int_{0}^{1}\bigl\vert\varpi（\tau）\bigr\vert\，d\tau=\int_0}^}\varpi$$

如果\（\alpha>\frac{1}{2}\），则存在一个实数\（\varsigma_｛\alpha｝\in（0,1）\）这样的话\（\varpi（\tau）\leq 0\）对于\（0\leq\tau\leq\varsigma{\alpha}\）和\（\varpi（\tau）\geq 0\）对于\（\varsigma{\alpha}\leq\tau\leq1\）因此，我们获得

$$\begin{aligned}\int_{0}^{1}\bigl\vert\varpi（\tau）\bigr\vert\，d\tau=&\tint_{0}^{\varsigma_{\alpha}}\bigle（-\varpi[\tau]\bigr）d\tau+\int_{\varsigma_}）^{\alpha+2}}{\alba+2}-\frac{（1-2\alpha）\varsigma{\alfa}+（\alpha+1）（\varsigma{\alpha}）^{2}}{3}\biggr）+\frac{1-\alpha^{2{}{3（\alpha+2）}。\结束{对齐}$$

 □

引理3

定义函数 \（\varpi:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\） 通过 \（\varpi（\tau）=\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alpha+1）}{3{tau-\tau^{alpha+1}\） 具有 \（阿尔法>0）.

• （1） 让我们考虑一下 \（0<\alpha\leq\frac｛1｝｛2｝\）.那么我们有

  $$\int_{0}^{1}\bigl\vert\varpi（\tau）\bigr\vert\tau\，d\tau=\frac{3-\alpha-2\alpha^{2}}{18（\alpha+3）}$$

• (2) 如果我们采取 \（\alpha>\frac{1}{2}\）,那么就存在一个实数 \（\varsigma{\alpha}\） 以便 \（0<\varsigma{\alpha}<1\）,然后我们得到

  $$\int_{0}^{1}\bigl\vert\varpi（\tau）\bigr\vert\tau\，d\tau=2\biggl（\frac{（\varsigma_{\alpha}）^{alpha+3}{\alfa+3}-\frac}3（1-2\alpha）{3+\alpha-2\alpha^{2}}{18（\alpha+3）}$$

证明

这个证明可以类似于引理的证明2. □

三二次可微函数的新Simpson型不等式

在这一节中，我们证明了二阶导数为凸映射的几个Simpson型不等式。

定理3

让我们注意到引理的假设1都是有效的.让我们还注意到映射 \（\vert\mathcal{F}^{prime\prime}\vert\） 在上是凸的 \（[\rho{1}，\rho}2]）.然后我们有以下不等式:

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{6}\biggl[\mathcal{F}（\rho{1}）+4\mathcal{F}\bigl{（\rho_{2}-\rho{1}）^{\alpha}}\biggl[J{\rho_{2}-}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho_1}+\rho_2}}{2}\bigr）+J{\rho2}+}^{\alha}\matchcal{F}\ biggl_{2}-\rho{1}）^{2}{8（\alpha+1）}\Omega{1}（\alfa）\bigl[\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime\prime}$$

哪里 \（欧米茄{1}） 由定义

$$\Omega_｛1｝（\alpha）=\textstyle\bbegin｛cases｝\frac｛1-\alpha^｛，新了。就是一要和操作性得。frac｛1-\alpha^｛2｝｝｛3（\alpha+2）｝，&\textit｛if｝{2}.\结束{cases}$$

证明

通过取引理中的模1，我们有

$$\begl｛aligned｝&&biggl\vert\frac｛1｝｛6｝\biggl[\mathcal｛F｝（\rho_｛1｝）+4\mathcal｛F｝\biggl（\frac｛\rho_｛1｝+\rho_｛2｝｝｝｛2｝\biggr）+\mathcal｛F｝（\rho_｛2｝）\biggr]\\&&qquad｛｝-\frac｛2^｛\alpha-1｝\Gamma（\alpha+1）｝_{2}-\rho{1}）^{\alpha}}\biggl[J{\rho_{2}-}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho_1}+\rho_2}}{2}\bigr）+J{\rho2}+}^{\alha}\matchcal{F}\ biggl_{2}-\rho{1}）^{2}}{8（\alpha+1）}\int_{0}^{1}\biggl\vert\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alfa+1）}{3{tau-\tau^{\alpha+1}\bigr\vert\，d\tau\\&\qquad{}\times\biggl[\biggal\vert\mathcal{F}^{prime\prime}\bigl（\frac{1+\tau}{2}\rho{2}+\frac{1-\tau}{2}\rho_{1}\biggr）\biggr\vert+\biggl\vert\mathcal{F}^{prime\prime}\biggl（\frac{1+\tau}{2}\rho{1}+\fracc{1-\tau}}{2{\rho_2}\biggr）\biggr\vert\biggr]\，d\tau。\结束{对齐}$$

(3.1)

通过使用的凸性\（\vert\mathcal{F}^{prime\prime}\vert\），我们获得

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{6}\biggl[\mathcal{F}（\rho{1}）+4\mathcal{F}\bigl{（\rho_{2}-\rho_｛1｝）^｛\alpha｝｝\biggl[J_｛\rho_{2}-}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho_1}+\rho_2}}{2}\bigr）+J{\rho2}+}^{\alha}\matchcal{F}\ biggl_{2}-\rho{1}）^{2}}{8（\alpha+1）}\biggl[\int_{0}^{1}\bigl\vert\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alfa+1）}{3{tau-\tau^{\alpha+1}\bigr\vert\&\qquad{}\times\biggl[\biggal（\frac{1+\tau}{2}\bighr）\bigl\ vert\mathcal{F}^{\prime\prime}（\rho_{2}）\bigr\vert+\biggl（\frac{1-\tau}{2}\biggr）\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime\prime}（\rho{1}）\bigr\vert\biggr]\，d\tau\\&\qquad{}+\biggl（\frac{1+\tau}{2}\biggr）\bigl\vert\mathcal{F}^{prime\prime}（\rho_{2}）\bigr\vert\biggr]\，d\tau\\&\quad=\frac{（\rho_{2}-\rho{1}）^{2}}{8（\alpha+1）}\int_{0}^{1}\biggl\vert\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alfa+1{F}^{\prime\prime}（\rho_{1}）\bigr\vert\bigr]\\&\quad=\frac{（\rro_{2}-\rho{1}）^{2}}{8（\alpha+1）}\Omega{1}（\alfa）\bigl[\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime\prime}（\rho{1'）\bigr\vert+\bigl\fort\mathcal}（\ rho{2}）\vigr\vert\prime\bigr]。\结束{对齐}$$

这就完成了定理的证明三. □

定理4

让我们考虑一下引理的假设1持有.如果映射 \（\vert\mathcal{F}^{prime\prime}\vert^{q}\）,\（q>1） 在上是凸的 \（[\rho{1}，\rho}2]）,那么我们有以下不等式:

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{6}\biggl[\mathcal{F}（\rho{1}）+4\mathcal{F}\bigl{（\rho_{2}-\rho{1}）^{\alpha}}\biggl[J{\rho_{2}-}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho_1}+\rho_2}}{2}\bigr）+J{\rho2}+}^{\alha}\matchcal{F}\ biggl_{2}-\rho{1}）^{2}}{8（\alpha+1）}\Psi（\alha，p）\bigl[\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime\prime}。\结束{对齐}$$

在这里,\（压裂{1}{p}+压裂{1{q}=1\） 和Ψ由定义

$$\Psi（\alpha，p）=\biggl（\int_{0}^{1}\biggl\vert\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alfa+1）}{3{tau-\tau^{\alpha+1}\bigr\vert^{p}\，d\tau\biggr）^{\frac}{1}{p}}$$

证明

借助于Hölder不等式中的不等式(3.1)，我们得到

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{6}\biggl[\mathcal{F}（\rho{1}）+4\mathcal{F}\bigl{（\rho_{2}-\rho{1}）^{\alpha}}\biggl[J{\rho_{2}-}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho_1}+\rho_2}}{2}\bigr）+J{\rho2}+}^{\alha}\matchcal{F}\ biggl_{2}-\rho{1}）^{2}}{8（\alpha+1）}\biggl\{biggl（\int_{0}^{1}\bigl\vert\frac{1-2\alpha}{3}+frac{2（\alfa+1）}{3{tau-\tau^{alpha+1}\bigr\vert^{p}，d\tau\biggr）^{\frac{1}{p}}gl（int_{0}^{1}\biggl\vert\mathcal{F}^{prime\prime}\bigl（\frac{1+\tau}{2}\rho{2}+\frac{1-\tau}{2}\ rho{1}\ biggr）\biggr\vert^{q} d日\tau\biggr）^{\frac{1}{q}}\\&\qquad{}+\biggl（int_{0}^{1}\biggl\vert\frac{1-2\alpha}{3}+\frac}2（\alpha+1）}{3{\tau-\tau^{\alpha+1}\bigr\vert^{p}\，d\tau\biggre）^{\frac{1}{p}\\&\ qquad时间\biggl（\int_{0}^{1}\biggl\vert\mathcal{F}^{prime\prime}\bigl（\frac{1+\tau}{2}\rho{1}+\frac{1-\tau}}\rho2}\bigr）\biggr\vert^{q} d日\tau\biggr）^{\frac{1}{q}}\biggr\}。\结束{对齐}$$

通过使用的凸性\（\vert\mathcal{F}^{prime\prime}\vert^{q}\），我们获得

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{6}\biggl[\mathcal{F}（\rho{1}）+4\mathcal{F}\bigl{（\rho_{2}-\rho{1}）^{\alpha}}\biggl[J{\rho_{2}-}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho_1}+\rho_2}}{2}\bigr）+J{\rho2}+}^{\alha}\matchcal{F}\ biggl_{2}-\rho_｛1｝）^｛2｝｝｛8（\alpha+1）｝\biggl 1+\tau｝｛2｝\biggr）\bigl\vert\mathcal｛F｝^｛\prime\prime｝（\rho_｛2｝）\bigr\vert^{q}+\biggl（\frac{1-\tau}{2}\biggr）\bigl\vert\mathcal{F}^{prime\prime}1+\tau}{2}\biggr）\bigl\vert\mathcal{F}^{prime\prime}（\rho_{1}）\bigr\vert^{q}+\biggl\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime\prime}（\rho_{2}）\bigr\vert^{q}\biggr]d\tau\biggr）^{frac{1}{q}}\bigr]\\&\quad=\frac{（\rro_{2}-\rho{1}）^{2}}{8（\alpha+1）}\biggl（\int_{0}^{1}\bigl\vert\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alfa+1）}{3{tau-\tau^{\alpha+1}\bigr\vert^{p}\，d\tau\biggr）（\frac{3\vert\mathcal{F}^{prime\prime}（\rho{2}）\vert^{q}+\vert\mathcal{F}^{prime\prime}（\ rho{1}）\ vert^}}{4} \biggr）^{\frac{1}{q}}+\biggl（\frac}\vert\mathcal{F}^{prime\prime}（\rho{2}）\vert^{q}+3\vert\mathcal{F}^{prime\prime}。\结束{对齐}$$

这就完成了定理的证明4. □

定理5

假设引理的假设1持有.如果映射 \（\vert\mathcal{F}^{prime\prime}\vert^{q}\）,\（问题1） 在上是凸的 \（[\rho{1}，\rho}2]）,那么我们有以下不等式:

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{6}\biggl[\mathcal{F}（\rho{1}）+4\mathcal{F}\bigl{（\rho_{2}-\rho{1}）^{\alpha}}\biggl[J{\rho_{2}-}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho_1}+\rho_2}}{2}\bigr）+J{\rho2}+}^{\alha}\matchcal{F}\ biggl_{2}-\rho{1}）^{2}}{8（\alpha+1）}\bigl（\Omega{1}（\alfa）\biger）q}+（\Omega{1}（\alpha）-\Omega{2}（\ alpha\biggr）^{\frac{1}{q}}\\&\qquad{}+\biggl}（\rho{2}）\vert^{q}}{2}\biggr）^{frac{1}{q}{\biggr\}，\end{aligned}$$

哪里 \（欧米茄{1}） 定义见定理三和 \（欧米茄{2}） 由定义

$$\Omega_2}（\alpha）=\textstyle\begin{cases}\frac{3-\alpha-2\alpha^2}}{18（\alfa+3）}，&\textit{if}0<\alpha\leq\frac}{1}{2}，\\2（\ frac{（\varsigma{1\alpha}）^{\alpha+3}{\alfa%3}（1-2\alpha（\alpha+1）（\varsigma{\alpha}）^{3}}{18}）+\frac{3+\alpha-2\alpha^2}}{18（\alpha+3）}，&\textit{if}\alpha>\frac{1}{2}。\结束{cases}$$

证明

通过在(3.1)，我们得到

$$\begl｛aligned｝&&biggl\vert\frac｛1｝｛6｝\biggl[\math的（2次为一_{2}-\rho{1}）^{\alpha}}\biggl[J{\rho_{2}-}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\rho_1}+\rho_2}}{2}\bigr）+J{\rho2}+}^{\alha}\matchcal{F}\ biggl_{2}-\rho_｛1｝）^｛2｝｝｛8（\alpha+1）｝\biggl[\biggl（\int _{0｝^｛1｝\biggl\vert\frac｛1-2\alpha}｛3｝+\frac｛2（\alpha+1）｝｛3｝\tau-\tau^｛\alpha+1｝\biggr\vert\，d\tau\biggr）^｛1-\frac｛1｝3｝+\frac｛2（\alpha+1）｝｛3｝\tau-\tau^｛\alpha+1｝\biggr\vert\biggl\vert\mathcal{F}^{\prime\prime}\biggl（\frac{1+\tau}{2}\rho_{2}+\frac{1-\tau}{2}\rho_1}\bigr）\biggr\vert^{q}\，d\tau\biggr）biggl\vert\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alpha+1）}{3{tau-\tau^{alpha+1}\biggr\vert\，d\tau\biggr）^{1-\frac{1}{q}}\\&\qquad{}\times\biggl（\int_{0}^{1}\biggl\vert\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alpha+1）}{3{tau-\tau^{\alpha+1}\bigr\vert\biggl\ vert\mathcal{F}^{prime\prime}\bigbl（\frac}1+\tau}{2}\rho_{1}+\frac{1-\tau}{2}\rho_{2}\biggr）\biggr\vert^{q}\，d\tau\biggr）^{\frac{1}{q}}\bigbr]。\结束{对齐}$$

(3.2)

自\（\vert\mathcal{F}^{prime\prime}\vert^{q}\）是凸的，我们得到

$$开始{对齐}&\int_{0}^{1}\biggl\vert\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alpha+1）}{3{tau-\tau^{\alpha+1}\bigr\vert\biggl\ vert\mathcal{F}^{prime\prime}\bigbl 1}\biggr）\biggr\vert^{q}\，d\tau\\&\quad\leq\int_{0}^{1}\biggl\vert\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alpha+1）}{3}\tau-\tau^{\alpha+1}\biggr\vert\biggl[\frac{1+\tau}{2}\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime\prime}（\rho{2}）\bigr\vert^{q}+\frac}{1-\tau}{2}\ bigl\verst\mathcal{F}\prime\trime}\，d\tau\\&\quad=\frac{（\Omega_{1}（\alpha）+\Omega _{2}（\ alpha”）\vert\mathcal{F}^{\prime\prime}（\rho_｛2｝）\vert^｛q｝+（\Omega_｛1｝（\alpha）-\Omega_｛2｝（\alpha））\vert\mathcal｛F｝^｛\prime\prime｝（\rho_｛1｝）\vert^｛q｝｝｝｛2｝，\end｛aligned｝$$

和类似的

$$开始{aligned}&\int_{0}^{1}\biggl\vert\frac{1-2\alpha}{3}+\frac{2（\alpha+1）}{3{tau-\tau^{\alpha+1}\bigr\vert\biggl\ vert\mathcal{F}^{prime\prime}\bigbl 2}\biggr）\biggr\vert^{q}\，d\tau\\&\quad\leq\frac{（\Omega_{1}（\alpha）+\Omega _{2}（\ alpha，）\vert\mathcal{F}^{\prime\prime}（\rho_{1}）\vert^{q}+（\Omega_{1{（\alpha）-\Omega _{2}（\ alpha））\vert\mathcal{F}^{\prime \prime{（\ rho_2}）\ vert^}}{2}。\结束{对齐}$$

然后我们得到了期望的结果定理5. □

4特殊情况

在本节中，我们将介绍本文主要发现的特殊情况。

备注1

如果我们选择\（阿尔法=1）在定理中三，然后\（\varsigma{\alpha}=\frac{1}{3}）我们有不平等

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{6}\biggl[\mathcal{F}（\rho{1}）+4\mathcal{F}\bigl_{2}-\rho{1}}\int_{\rho{1'}^{\rho2}}\mathcal{F}（\kappa）\，d\kappa\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（\rho_{2}-\ρ{1}）^{2}}{162}\bigl[\bigl\vert\mathcal{F}^{prime\prime}$$

Sarikaya等人在[35].

推论1

在定理中4,如果我们分配 \（阿尔法=1）,然后 \（\varsigma{\alpha}=\frac{1}{3}）,和以下不等式

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{6}\biggl[\mathcal{F}（\rho{1}）+4\mathcal{F}\bigl_{2}-\rho{1}}\int_{\rho{1'}^{\rho2}}\mathcal{F}（\kappa）\，d\kappa\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（\rho_{2}-\ρ{1}）^{2}}{16}\Psi（1，p）\bigl[\bigl\vert\mathcal{F}^{prime\prime}$$

是有效的.

备注2

如果我们采取\（阿尔法=1）在定理中5，然后是定理5减少到[35，定理2.5]。

5结论

本文建立了二次可微函数的分数阶Simpson型不等式。此外，我们还证明了我们的结果推广了Sarikaya等人获得的不等式[35]. 本文是二次可微函数分数阶Simpson型不等式的一个新版本。在未来的研究中，作者可以尝试利用不同类型的凸函数类或其他类型的分数阶积分算子来推广我们的结果。除此之外，作者还可以借助我们的结果给出一些特殊情况的应用。