新结构用于n个-求解三维三角三次B样条函数n个-量纲偏微分方程

摘要

在本文中，我们提出了一种新的结构n个-三维三角三次B样条配置算法，我们以三种不同的格式展示：一、二和三维。这些结构对于解决不同领域的数学模型至关重要。通过对几个二维和三维测试问题的应用，我们说明了该方法的效率和准确性。我们使用文献中可用的其他数值方法进行比较。

1介绍

我们都知道，解偏微分方程在物理、化学、工程和其他领域都很重要。这些方程有两种类型的解，解析解和数值解[1–5]. 研究人员最近似乎使用了各种方法来寻找这些解，包括经验和数值方法。由于这些方程的模型很难求解，特别是当它们是二维、三维或高维时，本研究继续寻求这些解。由于该领域的一些研究人员很难找到这些不同维度模型随时间变化的解析解，他们转而使用数值解。一些研究人员使用了多种分析方法来求解这些多维方程；参见[6–15]作为示例。我们正在研究一种使用三角三次B样条配点法求解二维和三维偏微分方程以及其他问题的方法。我们的目标是延续以前的做法[16,17]. 弗雷泽等人[18]1937年开始采用搭配法。之后，比克利[19]使用搭配技术，结合最小二乘法和伽辽金策略来考虑不稳定的热状况问题。从那时起，搭配技术被广泛应用于各种问题[20–27]. 为了假设半微分条件，多项式B样条被广泛地与配置技术一起使用。为了解决各种直线和非线性边界尊重问题，将三次B样条、准B样条、四次B样条、五次B样条和其他形式的B样条与配置技术结合使用[20–25]. 搭配策略，如Haar小波搭配技术[28]斜率复制组件配置技术[29]和牛顿前提容量配置技术[30]也因照亮各种条件而越来越受欢迎。

在本文中，我们提出了一个n个-通过数值算例验证了该方法的有效性和准确性。

本文结构如下。在Sect。 2，我们提出了n个-三维三角三次B样条。章节三包含误差估计。在Sect。 4，我们介绍了数值例子。最后，我们给出了结论。

2构造三角三次B样条公式

在本节中，我们将介绍n个-三维三角三次B样条。

2.1一维三角三次B样条[31]

让\（a \leq x \leq b），并让\（φ{i}（x））是点上有节点的三角三次B样条\（x{i}\）然后是三次B样条集\（φ{-1}（x），φ{0}（x）,\（φ_｛N+1｝\）作为在值范围内指定的函数的基础。近似值\（U^{N}（x）\）属于\（U（x）\）使用这些样条线定义为

$$\开始{对齐}U^{N}（x）=\sum_{i=-1}^{N+1}\chi_{i}\phi_{i{（x），\end{aligned}$$

(1)

哪里\（chi{i}）是未知系数。我们定义\（U_{i}\）,\（\压裂{dU{i}}{dx}，\压裂{d_{2}U{i{}{dX^{2}}\）通过

$$\begin{aligned}\begin{aligned}&U_{i}=\aleph_1}\chi_{i-1}+\aleph_2}\chi_{i}+\aleph_1}\ chi_{i+1}，\\&{\frac{dU{i}}{dx}=-\aleph_{3}\chi{i-1{+\aleph{3}\chi_i+1}，}\\&\ frac{d_{2}U_{i}}{dx^{2}}=\aleph_{4}\chi_{i-1}+\aleph{5}\chi{i}+\aleph_{4]\chi_i+1}，\end{aligned}\end{arigned}$$

(2)

哪里

$$开始{对齐}和\aleph{1}=\sin^{2}\biggl（\frac{\text{h}}{2}\ biggr）\csc（h）\csc\biggal（\frac{\text}3h}}{2}\figgr），\qquad\aleph{2}=\frac}\text{2}}{1+2\cos（h）}，\qquad\aleph{3}=\frac{text{3}}}{4}\csc\biggl（\frac{\text{3h}}{2}\biggr），\\&\aleph_{4}=\frac{3（（1+3\cos（h））\csc^{2}（\frac{\text}}{2}））}{16（2\cos（\frac{\text{h}}{2}）+\cos（\frac{\text}}{2]））}，\qquad\aleph_{5}=\frac}-3\cot^{2]（\frac}\text{h2}）}{2+4\scos（h）}。\结束{对齐}$$

上述分析得出以下定理。

定理1

一个问题的解决方案-基于基三角三次B配点法的维数DE-样条曲线可以由方程式确定(2).

2.2二维三角三次B样条

在本小节中，我们给出了矩形网格上二维三角三次B样条的公式，该网格被分成两侧的规则矩形有限元。\（h=δx，k=δy）以节为单位\（（x{m}，y{n}）\）,\（m=0,1，点，m，n=0,1，点，n）.近似值\（U^{N}（x，y）\）属于\（U（x，y）\）由提供

$$开始{对齐}U^{N}（x，y）=\sum_{m=-1}^{m+1}\sum_{N=-1}^{N+1}\chi_{m，N}B_{m$$

(3)

哪里\（chi{m，n}\）是三角三次B样条曲线的振幅\（B_{m，n}（x，y）\）由提供

$$\begin{aligned}B_{m，n}（x，y）=\phi_{m}（x）\phi_}（y）。\结束{对齐}$$

结上的尖峰\（（x{m}，y{n}）\）和\（φ{m}（x），φ{n}（y））与一维三角三次B样条的形式相同。然后\（U_｛m，n｝，\frac｛\partial U_｛m，n｝｝｛\partial x｝，\frac｛\partial U_｛m，n｝｝｛\partial y｝，\frac｛\partial ^｛2｝U_｛m，n｝｝｛\partial x ^｛2｝｝\）,\（分数{部分^{2}U_{m，n}}{部分y_{2}}，分数{局部^{2{U_{m,n}}{部分x\，部分y}，点\）由提供

$$\begin{aligned}和\begin{aligned}U_{m，n}={}&\frac{sec（\frac{h}{2}）\sec chi{m，n}+4\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）+4\cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr）\chi_{m-1，n}+4\cos\biggl（\frac{k}}\bigr）\chi_{m+1，n}+\ chi_{m-1，n-1}\\&{}+\ chi_{m1，n+1}+\ chi_{m+1，n-1{+\ chi_{m+1$$

(4)

$$\begin{aligned}&\begin{aligned}\frac{\partial U_{m，n}}{\partical x}={}&{-}\frac{3\csc（\frac{3h}{2}）\sec（\frac{k}{2{）}{16\cos（k）+8}\biggl（4\cos\biggl_{m-1，n}-4cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr）\chi_{m+1，n}\\&{}+\chi_}m-1，n-1}+\ch_{m-1，n+1}-\chi_[m+1，n-1}-\ch_}m+1，n+1}\bigr），\\frac{\partial U_{m，n}}{\partic y}={}&{-}\frac}3\sec（\frac{h}{2{（\frac{3k}{2}）}{16\cos（h）+8}\biggl（4\cos\biggl_{m，n-1}-4\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\chi_{m，n+1}\\&{}+\chi_{m-1，n-1}-\chi{m-1，n+1}+\chi{m+1，n-1}-\chi{m/1，n+1}\biggr），\end{aligned}\end{aligned}$$

(5)

$$\begon｛aligned｝&\ begin｛aligned｝\frac｛\partial ^｛2｝U_｛m，n｝｝｛\partial x^｛2｝｝＝｛｝&\ frac｛3\csc ^｛2｝（\ frac｛h｝｛2｝）\ sec（\ frac｛h｝｛2｝）｝｛32（2\cos（h）+1）（2\cos（k）+1）｝\&｛｝\times\biggl（\ sec\ biggl（\ frac｛k｝｛2｝\ biggr）\ biggl（-8 \ cos ^｛3｝\ biggl（\frac｛h｝｛2｝\biggr）（\chi｛m，n-1｝+\chi｛m，n+1｝）+\bigl（3\cos（h）+1\bigr）\chi｛m-1，n+1｝\\&{}+\bigl（3\cos（h）+1\bigr）\chi_{m+1，n-1}\biggr+4\biggl（-8\cos^{3}\biggl（\frac{h}{2}\bigbr）\chi_{m，n}\\&{}+\bigl（3\cos（h）+1\bigr）\chi_{m-1，n}+\bigl（3+cos（h）+1\bigr）\chi_{m+1，n}\biggr）\bigger），\end{aligned}\end{aligned}$$

(6)

$$\begin{aligned}和\begin{aligned}和\ frac{\partial^{2}U_{m，n}}{\paratily^{2{}\\&\quad=\frac{3}{32（2\cos（h）+1）（2\ cos（k）+1）}\biggl（-8\sec\biggal（\frac}h}{2}\bigr）\cot^2}\biggl（\frac{k}{2}\ biggr）\chi_{m+1，n}\\&\qquad{}+\cot^{2}\biggl+1\bigr）\sec^｛3｝\biggl（\frac｛k｝｛2｝\biggr）\biggl（4\cos\biggl（\frac｛h｝｛2｝\biggr）\chi _｛m，n-1｝\\&\cuad｛｝+\chi _｛m-1，n-1｝+\chi _｛m-1，n+1｝\biggr）-8\sec\biggl（\frac｛h｝｛2｝\biggr）\chi_{m-1，n}-32\chi_{m，n}\biggr）+\sec\biggl（\frac{h}{2}\bigcr）\\&\qquad{}\times\bigl（3\cos（k）+1\bigr）\csc^{2}\biggal biggr）\bigl（3\cos（k）+1\bigr）\csc^{2}\\&\qquad{}\times\biggl（\frac{k}{2}\biggr+4\bigl（3\cos（k）+1\bigr）\csc^{2}\biggl$$

(7)

上述分析得出以下定理。

定理2

二的解-基于基三角三次B配点法的维数DE-样条曲线可以由方程式确定(4)–(7).

2.3三维三角三次B样条

现在我们在划分为边的分量的框架上获得三维三角三次B样条\（h=δx，k=δy，q=δz）以节为单位\（（（x{m}，y{n}，z{r}）\）,\（m=0,1，点，m，n=0,1，点，n，r=0,1，点，r）函数可以用分段三角三次B样条插值：如果\（U（x，y，z）\）是的函数\（x，y）、和z（z），则可以证明存在唯一近似

$$开始{对齐}U^{N}（x，y，z）=\sum_{m=-1}^{m+1}\sum_{N=-1}^{N+1}\sum_{r=-1}*^{r+1}\chi_{m，N，r}B_{m$$

(8)

哪里\（\chi_{m，n，r}\）是三角三次B样条振幅，以及\（B_｛m，n，r｝（x，y，z）\）由提供

$$开始{对齐}B_{m，n，r}（x，y，z）=\phi_{m}（x）\phi_}n}（y）\phi_{r}。\结束{对齐}$$

也，\（φ{m}（x），φ{n}（y））、和\（φ{r}（z））在一维上具有与三角三次B样条相同的形状。的组成\（U_{m，n，r}，\frac{\部分U_{m，n,\（分数{\partial^{2}U_{m，n，r}}{\particalx^{2{}}，分数{\protial^}2}U_{米，n，r}}{\ partialy^{2neneneep}，分分数{\ partical^{2neneneei U_{米，n 2}U_{m，n，r}}{\部分x\，部分z}，\点\），表示为\（\chi_{m，n，r}\）通过

$$开始{对齐}&U_{m，n，r}\\&\quad=\frac{sec+\chi_{m，n，r+1}+4\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\biggl\chi_{m，n，r}\biggr）+\chi_}m，n+1，r-1}\\&\qquad{}+4\cos\biggl（\frac{q}{2}\bigr）\chi__{m、n-1，r}+4\cos\biggal（\frac{q}}\bigbr）\chi_{m，n/1，r}+\chi_）\\&\qquad{}+4\cos\biggl（chi{m-1，n，r}+\chi{m+1，n，r}）+\qquad{}+\ch{m-1\\\\qquad｛｝+\chi _｛m-1，n+1，r｝+\chi _｛m+1，n-1，r｝+\chi _｛m+1，n+1，r｝）\biggr），\end｛aligned｝$$

(9)

$$\begin{aligned}和\frac{\partial U_{m，n，r}}{\paratil x}\\&\quad=-\frac}3\csc（\frac{3h}{2}）\sec{2}\biggr）\biggl（4\cos\biggl_{m-1，n，r}-\chi{m+1，n，r}}-\chi{m+1，n，r+1}）+4\cos\biggl+\chi{m-1，n+1，r+1}-\chi{m+1，n-1，r-1}-\ch{m+1}）\csc（\frac{3k}{2}）\sec（\frac{q}{2{）}{16（2\cos（h）+1）（2\co（q）+1）}\\&\qquad{}\times\biggl（4\cos\bigglbiggl（4\cos\biggl（\frac{q}{2}\biggr）（\chi_{m，n-1，r}-\chi（m，n（+1），r（}）+\chi（m2），n-1，r（+1）}-\chi四元{}-\chi{m-1，n+1，r}+\chi{m+1，n-1，r}-\ch{m+1-\chi_{m-1，n+1，r+1}+\chi_{m+1，n-1，r-1}+\ch_{m+1,n-1，r+1}）\sec（\frac{k}{2}）\csc（\frac{3q}{2{）}{16（2\cos（h）+1）（2\co（k）+1）}\\&\qquad{}\times\biggl（4\cos\bigglbiggl（4\cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr）（\chi_｛m，n，r-1｝-\chi{m，n，r+1}）+\chi{m、n+1，r-1}-\chi{m，n+1，r+1}\biggr）\\&\qquad{}+4\cos\biggl（\frac{h}{2}\bigr）（\chi_{m，n-1，r-1}-\chi{m，n-1，r+1}）+4\cos\biggl（frac{k}{2}\biggr）_{m-1，n-1，r-1}-\chi_{m-1，n-1，r+1}\&\qquad{}+\chi_}m-1，n+1，r-1}-\chi_[m+1，n+1$$

（10）

$$开始{对齐}和\frac{部分^{2}U_{m，n，r}}{部分x\，部分y}\\&\quad=\frac{9\csc（\frac{3h}{2}）\csc m-1，n-1，r}\\&\qquad{}-4\cos\bigglchi{m+1，n-1，r}+4\cos\biggl（\frac{q}{2}\biggr）1}-\chi_{m+1，n-1，r+1}+\chi_}m+1，n+1，r-1}+\ch_{m+1,n+1，r+1}\biggr），\\&\frac{\partial^{2}U{m，n，r}}{\particalx\，\partial z}\\&\quad=\frac{9\csc（\frac{3h}{2}）\sec（\frac}k}{2{）\csc chi{m-1，n，r+1}-4\cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr）_{m-1，n-1，r-1}-\chi_{m-1，n-1，r+1}+\chi_{m+1，n+1，r-1}-\chi_}m-1，n+1、r+1}\\&\qquad{}-\chi_{m+1,n-1，r-1，r-1}+\chi_{m+1、n+1，r+1 n，r}}{\partialy\，\partial z}\\&\quad=\frac{9\sec（\frac{h}{2}）\csc（\frac}3k}{2{）\csc（\frac{3q}{2neneneep）}{64\cos（h）+32}biggl（4\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\chi_{m，n-1，r-1}\&\qquad{}-4\cos\biggl \biggr）\chi_{m，n+1，r+1}\&\qquad{}+\chi_{m-1，n-1，r-1}-\chi _｛m-1，n-1，r+1｝-\chi _｛m-1，n+1，r-1｝+\chi _｛m-1，n+1，r+1｝\&&\cuad｛｝+\chi _｛m+1，n-1，r-1｝-\chi _｛m+1，n-1，r+1｝-\chi _｛m+1，n+1，r-1｝+\chi _｛m+1，n+1，r+1｝\biggr），\\&&\cfrac｛partial ^｛3｝U_｛m，n，r｝｛partial x\，\部分y\，\部分z｝\&\ quad=\ frac｛1｝｛64｝（-27）\ csc\bigl（\ frac｛3 h｝｛2｝\biggr）\ csc\bigl（\ frac｛3 k｝｛2｝\biggr）\csc\biggl（\frac{3q}{2}\biggr）n+1，r-1}-\chi{m+1，n+1，r+1}），\\&\四{}\vdots\end{aligned}$$

（11）

$$开始{对齐}和\frac{\partial^{2}U_{m，n，r}}{\paratilx^{2{}\\&\quad=\frac}3\csc^{2neneneep（\frac{h}{2}）\sec（\frac}h}{2]）\sec（\frac{k}{2{）}{64（2\cos（h）+1）（2\cos（k）+1）\times\biggl（\sec\biggl（\frac{q}{2}\biggr）\bigg1（-6\cos\biggl（chi{m，n，r-1}+\chi{m、n，r+1}）+\chi}m，n+1，r-1{\\&\qquad{}+\ch{m，n+1,r+1}\biggr）-2\cos\biggl（\frac{3h}{2}\bigr）\biggl，r+1}）+\chi{m，n+1，r-1}\\&\qquad{}+\chi}m，n+1,r+1}\biggr）+3\cos（h）\biggl（4\cos\biggl+\chi{m-1，n，r+1}+\chi{m+1，n，r-1}\\&\qquad{}+\ch{m+1、n，r+1}）+\chi{m-1、n+1、r-1}+\chi{m+1{m+1，n+1，r+1}\biggr）-8\cos^{3}\bigl（\frac{h}{2}\bigr）+\bigl（3\cos（h）+1\bigr）\chi_{m-1，n-1，r+1}+4\cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr）\\&\qquad{}\次（\chi_}m-1，n，r-1}+\chi__{m-l，n，r+1}+\ch_{m+1，n，r 1}+\ chi_{m+1，n{}+\chi{m-1，n+1，r+1}+\ch{m+1，n-1，r-1}+\chi{m+1+4\bigl（-8\cos^{3}\biggl（\frac{h}{2}\bigr）\biggl}{2}\biggr）\chi{m-1，n，r}+12\cos（h）\cos\biggl\\&\qquad{}+3\cos（h）\chi{m-1，n+1，r}+3\cos（h）\ chi{m+1，n-1，r}+3\cos r}+\chi{m+1，n+1，r}\biggr），\end{aligned}$$

(12)

$$开始{对齐}和\frac{部分^{2}U_{m，n，r}}{部分y^{2{}\\&\quad=\frac{3\sec（\frac{h}{2]）\csc^{2]（\frac{k}{2}）\sec biggl（\frac{q}{2}\biggr）\\&\qquad{}\times（4\cos\biggl（\chi_{m，n，r-1}+\chi_{m，n，r+1}）+3\cos（k}+4\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\chi_{m，n-1，r-1}-8\cos^{3}\biggl（\frac{k}{2}\bigr）l（3\cos（k）+1\bigr）\chi_{m-1，n-1，r-1}\\&\qquad{}+\biglchi{m-1，n+1，r+1}\\&\qquad{}+3\cos（k）\chi{m+1，n-1，r-1}+3\cos（k m+1，n，r+1}+3\cos（k）\chi{m+1，n+1，r-1}+3\cos（k）\ chi{m+1，n+1，r+1}\\&\qquad{}+\chi}m-1，n+1+\chi{m+1，n-1，r-1}+\chi{m+1,n-1，r+1}\\&qquad{}+\ch{m+1、n+1，r-1{+\chi}m+1，n+1，r+1}）+4\biggl（4\cos\biggl，r}\\&\qquad{}+\bigl（3\cos（k）+1\bigr）\chi_{m，n-1，r}+\biglchi{m-1，n，r}\\&\qquad{}-6\cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr）\chi{m+1，n，r}+\bigl（3\cos（k）+1\bigr）\chi{m-1、n-1，r}+3\cos frac{3k}{2}\biggr）\chi{m+1，n，r}+3\cos（k）\chi}m+1，n+1，r}+\qquad{}+\chi{m-1，n+1\biggr）\biggr），\end｛aligned｝$$

(13)

$$开始{对齐}和\frac{\partial^{2}U_{m，n，r}}{\paratilz^{2{}}\\&\quad=\frac{3\sec（\frac{h}{2}）\sec（\frac{h}{2}\biggr）\sec^{3}\bigl（\frac{q}{2{\bigger）\\&\qquad{}\times\biggl（4\cos\biggl（chi{m，n，r-1}+chi{m、n，r+1}}\biggr）\biggl（4\cos\biggl大gr）+4\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）r+1}）\\&\qquad{}+\chi{m-1，n-1，r-1}+\chi{m-1+\chi{m+1，n-1，r+1}+\chi{m+1,n+1，r-1}+\ch{m+1、n+1，r+1}\biggr）-16\cos\biggl（\frac{h}{2}\bigbr）\biggl m，n+1，r}\biggr）-4\cos\biggl+\chi{m+1，n，r-1}+\chi{m+1,n，r+1}）-16\cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr）（\chi{m-1，n，r}+\ch{m+1、n，r{）-\sec^{3}\bigl r+1}+\chi{m-1，n+1，r-1}+\ch{m-1-4（\chi{m-1，n-1，r}+\chi{m1，n+1，r}\\&\qquad{}+\ch{m+1，n-1$$

(14)

$$开始{对齐}和\frac{部分^{3}U_{m，n，r}}{部分x^{2}\，部分y}\\&\quad=\frac{9\csc^{2{（\frac{h}{2}）\sec 1）}（-4\bigl（3\cos（h）+1\bigr）\\&\qquad{}\times\cos\biggl（\frac{q}{2}\biggr）\chi_{m-1，n-1，r}+6\cos\ biggl\biggr）\chi_{m-1，n+1，r}+6\cos\biggl（h-\frac{q}{2}\biggr）\chi_{m-1、n+1，r}\\&\qquad{}+12\cos\bigl cos\biggl（\frac{1}{2}（3h-q）\biggr）_{m，n-1，r}-12\ cos \ biggl（\ frac｛h-q｝｛2｝\biggr）\ chi _｛m，n+1，r｝\\&\ qquad｛｝-12\ cos \ biggl（\ frac｛h+q｝｛2｝\biggr）\ chi _｛m，n+1，r｝-4\ cos \ biggl（\ frac｛1｝｛2｝（3 h+q）\biggr）\ chi _｛m，n+1，r｝-4\ cos \ biggl（\ frac｛1｝｛2｝（3 h+q）\biggr）\\&\ qquad｛｝\times\chi_{m，n+1，r｝-6\cos\biggl（h+\frac｛q｝｛2｝\biggr）\chi_{m+1，n-1，r｝-6\cos\biggl（h-\frac｛q｝｛2｝\biggr）\chi_{m+1，n-1，r}\&\qquad{}+6\cos\biggl（h+\frac{q}{2}\biggr）\chi_}m+1，n+1，r}+6\cos\biggal_{m-1，n-1，r-1}-3\cos（h）\chi{m-1，n-1，r+1}+3\cos}\\&\qquad{}+6\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\chi_{m，n-1，r+1}+2\cos\ biggl-6\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\chi_{m，n+1，r-1}\\&\qquad{}-2\cos\biggl（\ frac{3h}{2\biggr大gr）\chi{m，n+1，r+1}\\和\qquad{}-3\cos（h）\chi{m+1，n-1，r-1}-3 \cos+3\cos（h）\chi_{m+1，n+1，r+1}+4\cos\biggl（\frac{q}{2}\biggr）\chi_{m-1，n+1、r}-4\cos\biggl（\frac{q}}\bigr）\chi{m+1、n-1，r}\&\qquad{}+4\cos\biggl（\frac{q}{2}\bigger）\chi_m+1，n/1，r}chi{m-1，n-1，r+1}+\chi{m-1+\chi_{m+1，n+1，r+1}），\\&\frac{部分^{3}U_{m，n，r}}{部分x\，部分y^{2}}\\&\quad=\frac{9\csc（\frac{3h}{2}）\csc^{2{（\frac}k}{2{}））+1）（2\cos（q）+1）128（2\cos（k）+1）chi{m-1，n-1，r}+12\cos\biggl（\frac{k-q}{2}\biggr）（压裂{1}{2}（3k+q）\biggr）\\&\qquad{}\times\chi_{m-1，n，r}-6cos\biggl（k+\frac{q}{2}\biggr）\chi_{m-1，n+1，r}-6\cos\bigl（k-\frac}{2{biggr 2}\biggr）\chi{m+1，n-1，r}-12\cos\biggl（\frac{k-q}{2}\biggr）\chi_{m+1，n，r}-4\cos\biggl（\frac{1}{2}（3k-q）\biggr）\chi_}m+1，n，r}\\&\qquad{}-4\cos\biggl}+6\cos\biggl（k-\frac{q}{2}\biggr）\\&\qquad{}\times\chi_{m+1，n+1，r}-\bigl（3\cos（k）+1\bigr）\chi_{m-1，n-1，r-1}-3\cos（k）\chi_{m-1，n-1，r+1}\\&\qquad{}+6\cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr）\chi_{m-1、n，r-1}+2\cos\ biggl qquad{}+2\cos\biggl（\frac{3k}{2}\biggr）\chi{m-1，n，r+1}-3\cos（k）\chi{m-1+3\cos（k）\chi _｛m+1，n-1，r-1｝+3\cos（k）\chi _｛m+1，n-1，r+1｝-6\cos\biggl（\frac｛k｝｛2｝\biggr）\chi _｛m+1，n，r-1｝\&\qquad｛｝-2\cos\biggl（\frac｛3 k｝｛2｝\biggr）\chi _｛m+1，n，r-1｝-6\cos\biggl（\frac｛k｝｛2｝\biggr）\chi _｛m+1，n，r+1｝-2\cos\biggl（\frac｛3 k｝｛2｝\biggr）\chi｛m+1，n，r+1｝\\&\cuad｛｝+3\cos（k）\chi｛m+1，n+1，r-1｝+3\cos（k）chi_{m+1，n+1，r+1}-4\cos\biggl（\frac{q}{2}\biggr）\chi_{m-1，n+1、r}\\&\qquad{}+4\cos\biggl（\frac{q}{2}\figgr）\chi_ m+1，n-1 m-1，n-1，r+1}\\&\qquad{}-\chi{m-1，n+1，r-1}-\chi{m-1+\chi{m+1，n+1，r+1}），结束{对齐}$$

(15)

$$开始{对齐}和\frac{部分^{3}U_{m，n，r}}{部分x^{2}\，部分z}\\&\quad=\frac{9\csc^{2{（\frac{h}{2}）\sec（\frac{h}}）\sec（\frasc{k}{2neneneep）\csc（\frac 3q}{2{）}{128（2\cos（h）+1）（2\ cos（k）+1）}（-6\cos\biggl（h+\frac{k}{2}\biggr）\chi_{m-1，n，r-1}\\&\qquad{}-6\cos\biggl+6\cos\biggl（h+\frac{k}{2}\biggr）\chi_{m-1，n，r+1}+6\cos\biggl（h-\frac}{2{biggr 2}\biggr）\chi_{m，n，r-1}\&\qquad{}+4\cos\biggl（\frac{1}{2}（3h-k）\bigger）\chi_{m，n，r-1{+4\cos\biggl\biggr）\chi_{m，n，r-1}-12\cos\biggl（\frac{h-k}{2}\biggr）\\&\qquad{}\times\chi_{m，n，r+1}-12\cos\ biggl \frac{1}{2}（3h+k）\biggr）\chi_{m，n，r+1}-6\cos\biggl（h+frac{k}{2{biggr\\&\qquad{}\times\chi_{m+1，n，r-1}+6\cos\biggl（h+\frac{k}{2}\biggr+\bigl（3\cos（h）+1\bigr）\chi_{m-1，n-1，r+1}-3\cos+6\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\chi_{m，n-1，r-1}+2\cos\biggl（\frac{3h}{2]\bigger）\\&\qquad{}\times\chi_{m，n-1，r-1}-6\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\chi_{m，n-1，r+1}-2\cos\biggl（\frac{3h}{2]\biggr）\chi_{m，n-1，r+1}+6\cos\ biggl biggr）\chi{m，n+1，r-1}-6\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr\时间\chi{m，n+1，r+1}-3\cos（h）\chi{m+1，n-1，r-1}+3\cos 1，n，r-1}+4\cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr）+4\cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr）\chi_{m+1，n，r+1}\&\qquad{}-\chi_}m-1，n+1，r-1}+\chi__{m-1，n+1，r+1，r-1}-\ch_{m+1,n-1，r-1 n+1，r+1}），\\&\frac{部分^{3}U{m，n，r}}{部分x\，部分z^{2}}\\&\quad=\frac{9\csc（\frac{3h}{2}）\sec{2} ）\秒（\frac{q}{2}）}{128（2\cos（k）+1）（2\cos（q）+1）}biggl（\frac{q}{2}\biggr）\chi{m+1，n，r}+24\cos\biggl-24\cos\biggl（\frac｛k｝｛2｝\biggr）\cos\biggl（\frac｛q｝｛2｝\biggr）\chi _｛m+1，n，r｝-12\cos\biggl（\frac｛k｝｛2｝\biggr）\cos（q）\chi _｛m-1，n，r-1｝\&\qquad｛｝-12\cos\biggl（\frac｛k｝｛2｝\biggr）\cos（q）\chi _｛m-1，n，r+1｝+12\cos\biggl（\frac｛k｝｛2｝\biggr）\cos（q）\chi _｛m+1，n，r-1｝\&\qquad｛｝+12\cos\biggl（\frac｛k｝｛2｝\biggr）\cos（q）\chi_{m+1，n，r+1}-6\sin（k）\csc\biggl \sin（q）\chi_{m+1，n，r}-4\cos\bigglchi{m-1，n，r+1}+4\cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr）\chi{m+1，n，r-1}+4\cos\biggl（\frac{k}{2}\bigger）\&\chi{m+1，n \frac{q}{2}\biggr）\sin（q）\chi_{m+1，n-1，r}\\&\qquad{}+3\sin\biggl\biggl（\frac{q}{2}\biggr）\chi_{m-1，n-1，r}+2\cos^{3}\bigl（\frac{q}{2}\bigger）\chi_{m-1、n+1，r}\\&\qquad{}-2\cosqu{3}\ biggl q}{2}\biggr）\chi{m+1，n+1，r}+6\cos\biggl-6\cos\biggl（\frac{q}{2}\biggr）\chi_{m+1，n+1，r}-\bigl（3\cos（q）+1 \qquad{}+3\cos（q）\chi{m+1，n-1，r-1}+3\cos（q）\ chi{m+1，n1，r+1}+3\co（q）\chi_{m+1，n+1，r+1}-\chi_}m+1，n-1，r+1，r+1}-\ch_{m-1，n+1压裂{\部分^{3}U_{m，n，r}}{\部分y^{2}\，部分z}\\&\quad=\压裂{9\sec（\frac{h}{2}）\csc^{2{（\frac{k}{2{}）\sec}｛128（2\cos（h）+1）（2\cos（k）+1）｝-6\cos\biggl（\frac｛h｝｛2｝+k\biggr）\chi _｛m，n-1，r-1｝\&\qquad｛｝-6\cos\biggl（\frac｛1｝｛2｝（h-2 k）\biggr）\chi _｛m，n-1，r-1｝+6\cos\biggl（\frac｛h｝｛2｝+k\biggr）\chi _｛m，n-1，r+1｝\&\qquad｛｝+6 \ cos \ biggl（\ frac｛1｝｛2｝（h-2 k）\ biggr）\ chi _｛m，n-1，r+1｝+12\ cos \ biggl（\ frac｛h-k｝｛2｝\ biggr）\ chi _｛m，n，r-1｝\\&\qquad{}+12\cos\biggl（\frac{h+k}{2}\biggr）\chi{m，n，r-1}+4\cos\bigl_{m，n，r-1}-12\cos\biggl（\frac{h-k}{2}\biggr）\chi_{m，n，r+1}\\&\qquad{}-12\cos\ biggl压裂{1}{2}（h-3k）\biggr）\chi{m，n，r+1}-6\cos\bigglbiggr）\chi _｛m，n+1，r-1｝+6\cos\biggl（\frac｛h｝｛2｝+k\biggr）\chi _｛m，n+1，r+1｝\&\qquad｛｝+6\cos\biggl（\frac｛1｝｛2｝（h-2 k）\biggr）\chi _｛m，n+1，r+1｝-4\cos\biggl（\frac｛h｝｛2｝\biggr）\chi _｛m，n-1，r-1｝\&\qquad｛｝+4\cos\比格尔（\frac｛h｝｛2｝\biggr）\chi｛m，n-1，r+1｝-4\cos\biggl（\frac｛h｝｛2｝\biggr）\chi｛m，n+1，r-1｝+4\cos\biggl（\frac｛h｝｛2｝\biggr）\chi_{m，n+1，r+1}\&\qquad{}-\bigl（3\cos（k）+1\bigr裂缝{3k}{2}\biggr）\chi_{m-1，n，r-1}-6\cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr）\chi_{m-1，n，r+1}\\&\qquad{}-2\cos\ biggl{m+1，n-1，r-1}+3\cos（k）\chi{m+1、n-1，r+1}+6\cos\biggl\biggr）\chi_{m+1，n，r-1}-6\cos\biggl（\frac{k}{2}\biggr 1，r+1}，r+1，r+1+\chi_{m+1，n+1，r+1}，\\&\frac{部分^{3}U_{m，n，r}}{部分y，部分z^{2}}\\&\quad=\frac{9\sec torname{Cos}[h]）（1+2\operatorname{Cos}[q]）}8\Cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\Cos^{3}\bigl（\frac{q}{2{\bigger）\chi_{m，n-1，r}\\&\qquad{}-8\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\cos^{3}\bigl（\frac{q}{2{\bigger）\chi_{m，n+1，r}+24\cos\biggl（\ frac{h2}\bigr）\cos\ biggl biggl（\frac{h}{2}\biggr）\cos\biggl\\&\qquad{}-12\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\cos（q）\chi_{m，n-1，r+1}+12\cos\bigl}-6\sin（h）\csc\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\sin\biggl（\frac{q}{2{\bigger）\sin（q）\chi_{m，n-1，r}\\&\qquad{}+6\sin（h）\csc\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\sin\biggl（\frac{q}{2{）\sin（q）\chi_{m，n+1，r}-4\cos\biggl}+4\cos\biggl（\frac{h}{2}\biggr）\chi_{m，n+1，r-1}+4\cos\biggl{2} \biggr）\sin（q）\chi_{m-1，n+1，r}-3\sin\biggl gr）\chi（克）_{m-1，n-1，r}-2\cos^{3}\biggl（\frac{q}{2}\bigr）\chi_{m-1，n+1，r}\\&\qquad{}+2\cosqu{3}\biggal \frac{q}{2}\biggr）\chi_{m-1，n+1，r}\\&\qquad{}+6\cos\biggl（\frac}{2{\bigger）\chi_{m+1，n-1，r}-6\cos\ bigglchi_{m+1，n+1，r}-\bigl（3\cos（q）+1\bigr）\chi_{m-1，n-1，r-1}\\&\qquad{}-3\cos r-1}-3\cos（q）\chi{m+1，n-1，r+1}+3\cos+\chi _｛m-1，n+1，r-1｝+\chi _｛m-1，n+1，r+1｝\\&&\cuad｛}-\chi _｛m+1，n-1，r-1｝-\chi _｛m+1，n-1，r+1｝+\chi _｛m+1，n+1，r-1｝+\chi _｛m+1，n+1，r+1｝，\\&&\cquad\vdots\end｛aligned｝$$

(16)

上述分析得出以下定理。

定理3

三的解决方案-基于基三角三次B配点法的维数DE-样条曲线可以由方程式确定(9)–(16).

三误差估计值

引理1

假设 Û 是平滑度等级的估计 \（C^{2}\）.在这一点上，插入方工件的误差量规 小时 是

$$\begin{aligned}和\Vert U-\hat{U}\Vert\leq\beta_{0}h^{4}，\qquad\biggl\Vert\frac{\partial U}{\partic x}-\frac{\ partial\hat{U}}{\protial x}\biggr\Vert\leq\beta_{1}h^{3}，\\&\biggl\ Vert\frac{\paratil U}{\partitle z}-\frac{\hat}}{\partial z}\biggr\Vert\leq\beta_{2}h^{3}，\qquad\biggl\Vert\frac{\paratil U}{\partical y}-\frac{\partial\hat{U}}{\paratily}\biggr\Vert\leq\beta_{3}h^{3}，\\&\biggl\Vert\frac{\ partial^{2}U}{\protialx^{2{}-\frac{\spartial_{2}\hat}U}}}{\ paratilx^}{2}}^{2}U}{\partial y^{2{}}-\frac{\partical^{2neneneep \hat{U}}{\protial y*2}}\biggr\Vert\leq\beta_{5}h^{2]，\qquad\biggl\Vert\frac{\partial^{2}U}{\paratilz^{2{}-\frac{\ partial|{2}\hat{U}}{\protialz^}}\biggr\Vert\leq\beta_{6}h^{2]，\\&\biggl\ Vert\frac{\partical|2}U}{\ paratilx\，\partial y}-\frac{\pertial|2}hat{U}}}{\部分x\，\partial y}\biggr\Vert\leq\beta_{7}h^{2}，\qquad\biggl\Vert\frac{\partial^{2{U}{\部分x\，\部分z}-\frac{\部分^{2}\hat{U}{\partialx\，\partial z}\biggr\Vert\leq\beta_{8}h^{2{，\qquad\biggl\Vert\frac{\partical^{2neneneep U}{\spartialy\，\pertialz}-\frac{\partital^{2\hat{U}{\pertial y\，\ partial z}\bigr\Vert\leq \beta_{9}h^{2}，\结束{对齐}$$

哪里 \（β{i}） 是常量.

有关引理的证明，请参见[9].

4数值结果

目前，我们必须知道，通过在不同维度上展示其结构而发展的这种方法是否准确有效。为了证明该方法具有较高的精度，我们在本节中给出了不同尺寸的各种数值示例。除了将我们的结果与先前的结果进行比较之外，我们还显示了所获得结果的一些数字。

第一个测试问题[17]。我们采用表格中的第一道二维测试题

$$\开始{aligned}\开始{aligned}&u{xx}（x，y）+u{yy}（x，y）+u{x}（y，x）+u}y}^{2} -4年-5月\大）\\&\四{}+x\大（5-8y^{2}-6y\大）\biger）-3y^{2]+3y）=0，\四x，y\在[a，b]中。\end{aligned}\end{alinged}$$

(17)

这个问题的确切解决方案是

$$\begin{aligned}\begin{aligned}u（x，y）=3e^{2x+3y}\bigl（x-x^{2}\bigr）\ bigl。\end{aligned}\end{alinged}$$

(18)

我们将边界条件应用于形式的第一个问题

$$\begin{aligned}\begin{aligned}u（a，y）=u（x，a）=\alpha，\qquad u（b，y）=u（x、b）=\beta。\end{aligned}\end{alinged}$$

(19)

通过替换(4)–(7)到(17)带有(19)我们得到了表中给出的数值结果1.

表1第一个问题的计算结果\（y=0.5，x，y\ in[0,1]\）

我们将精确解与二维三角三次B样条技术的结果进行了比较，该技术使用划分为\（50乘以50）在表中1.数字1和2在以下位置显示具有精确结果的数值结果\（y=0.5）和\（x=0.5）分别是。数值结果的三维图形如图所示三.

图1

准确结果位于\（y=0.5）和数值结果

图2

的确切结果\（x=0.5）和数值结果

图3

数值结果的三维图形

MHD管道流量是第二个测试问题[7–9, 15]我们取矩形风管的横截面。管道为2一宽和2b条高个子，两边都有方程\（x=\pm a）和\（y=\pm b）.导电流体流经管道z（z）暴露于恒定外加磁场时的方向米在xy公司平面并创建角度ϕ使用年轴。以标准化形式[7,14]控制流量的方程式可以表示为

$$\begin{aligned}\frac{\partial P}{\partic z}=\mu\nu\nabla^{2}\nabla{z}+\frac{A{0x}}{\mu_{0}}\frac{\partital P_{z}}{\ partial x'}+\fras{A_{0y}}{\mu_}}\partialP_{z}}{\spartial y'}，\end{alinged}$$

(20)

和欧姆定律的旋度z（z）-组件作为

$$\开始{aligned}\nabla^{2} A类_{z} +\xi\mu_{0}\biggl（A_{0x}\frac{\partialU_{z}}{\paratilx'}+A_{0y}\frac{\partical U_{z}}{\ partialy'}\bigr）=0\end{aligned}$$

（21）

边界条件：\（U=A=0）在\（x'=\pm\alpha，y'=\pm b\），其中ν,μ、和ξ分别表示流体运动粘度、密度和电导率。真空中的磁导率为\（\mu_{0}\），恒定轴向压力梯度为\（dP/dz\），外加磁场\（x’\）和\（y’\）组件是\（B_{0x}\）和\（B_{0y}\）以及速度和感应磁场z（z）组件是\（U_{z}\）和\（A_{z}\）分别是。方程式(20)和(21)按照Lu的符号呈现无量纲形式[14]，他使用Kantorovieh方法解决了这个问题：

$$\begin{aligned}\begin{aligned}\biggl$$

(22)

和

$$\begin{aligned}\begin{aligned}\biggl$$

(23)

带边界条件\（U=A=0，x=\pm\alpha，y=\pm 1）.将距离缩放为风管半高b条以便\（x=x’/b\）,\（y=y’/b\）、和\（α=a/b）。还使用了以下标准化：

$$\begin{aligned}\begin{aligned}&U=\frac{U_{z}}{\frac}-b^{2}}{\nu\mu}\frac{dP}{dz}}，\\&A=\frac{A_z}}}{\ frac{-b^{2]}{\nu\mu}\frac｛dP}{dz{0}（nu\mu\xi）^{frac{1}{2}{}}，\\&M_{x}=A_{0x'}b\biggl（\frac{xi}{nu\mu}\biggr）^{frac{1}{2}}=M\sin（\phi）}=M\cos（\phi），\\&M=\text{Hartmann no.}=\bigl（M_{x}^{2}+M_{y}^{2\biger）^{frac{1}{2}}=A_{0}b\biggl（\frac{\xi}{\nu\mu}\biggr）^{\frac{1}{2}}。\end{aligned}\end{alinged}$$

(24)

磁流体粘度之比称为哈特曼数。如果\（M=0）.流场主要由\（E次A次）漂移时\（M=1）.功能(22)和(23)必须解耦为

$$\begin{aligned}&\begin{aligned}H_{1}=U+A，\end{alinged}\end$$

(25)

$$\begin{aligned}&\begin{aligned}H_{2}=U-A，\end{alinged}\end$$

(26)

$$\begin{aligned}和\begin{aligned}\biggl（\frac{\partial^{2}}{\partic x^{2{}}+\frac}\partial y^{2neneneep}}\bigr）H_{1}+M_{x}\frac{\partitle H_{1\}}{\ partialx}+M_ y}\frac\\partialH_1}{\protialy}}{=-1，\end{alinged}\end aligned{}$$

(27)

和

$$\begin{aligned}\begin{aligned}\biggl_{2} -M_{x} \frac{\部分H_{2}}{\部分x}-M_{y}\frac}\部分H_2}}{\partial y}=-1，\end{aligned}\end{arigned}$$

（28）

关于边界条件\（H_{1}=H_{2}=0，x=\pm\alpha，y=\pm1\）.

因此，如果\（H_{1}\）解为\（H_{1}（M_{x}，M_{y}）\）来自(28)，那么

$$\begin{aligned}\begin{aligned}H_{2}（M_{x}，M_{y}）=H_{1}（-M_{x{，-M_{y{）。\end{aligned}\end{alinged}$$

(29)

无论何时\（H_{1}\）或\（H｛2｝\）众所周知，答案是绝对确定的。确定后\（H_{1}\），函数\（H_{2}\）是从以下位置获得的(29)因此速度场U型获得的形式

$$\begin{aligned}\begin{aligned}U=\frac{1}{2}（H_{1}+H_{2]）。\end{aligned}\end{alinged}$$

(30)

磁场平行于x个-轴和\（M_{y}=0\）现在可以进行数值计算。与早期发现进行比较[7–9,13]，我们给予米价值观\（M_{x}=0，2，5\）和8。

数值解通过替换(4)至(7)到(27)和(28)如下：

表2介绍使用网格的二维三角三次B样条方法的结果比较\（20乘以20）到数字[7–9,15]和Shercliff分析解。

表2U型在管道的中间

数字4和5显示哈特曼数为0（顶部曲线）到8（底部曲线）的速度剖面$[-1,1]$使用\（20乘以20）网格。

图4

不同的哈特曼数值用于建立速度剖面

图5

具有不同哈特曼数值的速度剖面三维图

表三显示了一些其他结果，其中间隔是从$[-1, 1]$到$[-0.5, 0.5]$，并且我们将这些结果与使用有限差分方法获得的结果进行了比较[15]以及研究中使用的分析溶液[13].

表3管道U型在中间。对比了有限差分法和解析法的模拟结果

在图中6和7，我们在\（[-0.5,0.5]\）使用网格\（50乘以50）.

图6

不同的哈特曼数值用于建立速度剖面

图7

具有不同哈特曼数值的速度剖面的三维图

数字4,5,6、和7显示沿x个-哈特曼数的各种值的轴。正如人们所预料的那样，增加引人场（增加哈特曼数）会降低通道中心附近的流体速度；然而，集中的诱惑场的直接影响尚不清楚。因此，我们可以看到，结果完全符合吸引力场效应的物理意义。

第三个测试问题：[17, 32–35]。我们将第三道测试题放在表格的维度2中

$$\begin{aligned}\begin{aligned}u_{xx}（x，y）+u_{yy}（x，y）-\sin（\pi x）\sin（\ pi y）=0，\quad x，y\ in[a，b]。\end{aligned}\end{alinged}$$

(31)

这个问题的确切解决方案是

$$\begin{aligned}\ begin{arigned}u（x，y）=-\frac{\sin（\pix）\sin（\ piy）}{2\pi^{2}}。\end{aligned}\end{alinged}$$

（32）

我们把边界条件带到形式的第三个问题

$$\begin{aligned}\begin{aligned}u（a，y）=u（x，a）=\alpha，\qquad u（b，y）=u（x、b）=\beta。\end{aligned}\end{alinged}$$

(33)

通过替换(4)–(7)到(31)带有(33)我们得到了表中的数值结果4.

表4第三期的数值结果见\（y=0.4，x，y\英寸[0,1]\）

表4在以下位置显示二维三角三次B样条技术的结果\（15乘以15）。就结果而言，我们可以假设结果是可以接受的。数字8和9在以下位置显示具有精确结果的数值结果\（y=0.4）。数值结果的三维图形如图所示10.

图8

将数值结果与\（y=0.4）

图9

将数值结果与\（x=0.4）

图10

数值结果的三维图形

现在，我们将所提方法的结果与各种方法的结果进行比较[17,32–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––35]，如表所示5使用网格\（15乘以15）网格点。

表5最大绝对误差

第四道测试题：[17].我们将第四道测试题放在表格的第三个维度上

$$\begin{aligned}\begin{aligned}&u_{xx}（x，y，z）+u_{yy}（x，y，z）+u_{zz}（y，z，x）-xyz\bigl（e^{x+y+z}\bigr）（3yxz+yx+zx-5x\\&\quad{}+zy-5z+9）=0，\quadx,y，z\in[a，b]。\end{aligned}\end{alinged}$$

(34)

这个问题的确切解决方案是

$$\begon｛aligned｝\begon｛aligned｝u（x，y，z）=\bigl（x-x^｛2｝\bigr）\bigl（y-y^｛2｝\bigr）\bigl（z-z^｛2｝\bigr）e^｛x+y+z｝。\end{aligned}\end{alinged}$$

(35)

我们把边界条件带到形式的第四个问题

$$\begin{aligned}\begin}对齐}u（a，y，z）=u（x，a，z）=u（x、y，a）=\alpha，\qquad u（b，y，z）=u。\end{aligned}\end{alinged}$$

(36)

通过替换(12)–(14)到(34)带有(36)我们得到的数值结果如表所示6.

表6试验问题的数值结果\（z=y=0.5，x，y，z\in[0,1]\）

表6将我们的结果与使用网格的二次三次B样条技术的结果进行了比较\（20\乘以20\）根据我们的观察结果，我们可以看到结果是可以接受的。图11显示了具有精确解的数值结果\（y=z=0.5）。数值结果的三维图形如图所示12.

图11

数值和精确结果\（y=z=0.5）

图12

数值结果的三维图形

第五道测试题：[36].我们在表格的第二维度中进行第五道测试题

$$\begin{aligned}\begin{aligned}&u_{xx}（x，y，z）+u_{yy}（y，x）+u_{zz}（z，y）\\&\quad{}-\sin（\pix）\sin（\piy）\sin。\end{aligned}\end{alinged}$$

（37）

这个问题的确切解决方案是

$$\begin{aligned}\begin{aligned}u（x，y，z）=-\frac{\sin（\pix）\sin（\ piy）\sin（\piz）}{2\pi^{2}}。\end{aligned}\end{alinged}$$

(38)

我们把边界条件带到形式的第三个问题

$$\begin{aligned}\begin}对齐}u（a，y，z）=u（x，a，z）=u（x、y，a）=\alpha，\qquad u（b，y，z）=u。\end{aligned}\end{alinged}$$

(39)

通过替换(12)–(14)到(37)带有(39)我们得到的数值结果如表所示7.

表7第五个测试问题的数值结果\（y=z=0.5，x，y，z在[0,1]\中）

在表中7，我们给出了使用网格的二维三角三次B样条技术的结果\（15次15次）在观察方面，我们可以看到结果是可以接受的。图13显示具有精确结果的数值结果\（y=z=0.5）。数值结果的三维图形如图所示14.

图13

数值结果与\（y=z=0.5）

图14

数值结果的三维图

5结论

在这项工作的最后，我们将为解决各个领域大多数研究人员面临的一些问题做出明确贡献n个-多维数学模型。研究的主题非常重要，我们相信大多数研究人员都在等待结果。考虑到这项工作，我们遵循了一些研究人员提出的一维、二维和三维偏微分方程的解，并且我们注意到随着维数的增加，他们很难处理这些模型。因此，我们决定扩展三角三次B样条方法，该方法以前用于解决一维数学问题，我们能够为其呈现二维和三维形式。为了评估导出形状的准确性和有效性，我们使用了不同测量的数值示例。将数值结果与实际解进行比较，发现推导公式准确无误。我们可以推断，从这个角度来看，在解决涉及不同维度的偏微分方程的问题方面做出了重大贡献。作为我们长期研究的一部分，我们推广了一些其他的B样条曲线形状，作为以下问题的解决方案n个-维微分方程。