根据[1]，我们有以下定义。
定义3.1
一个函数\（x\in\mathcal{C}\）被称为柯西问题的温和解决方案(1.1)如果
$$x（t）=C\biggl（\frac{t^{alpha}}{\alpha}\biggr）\bigl[x_{0}+g（x）\bigr]+S\biggl^{t} 秒^{\alpha-1}S\biggl（\frac{t^{\alfa}-S^{\alpha}}{\alba}\biggr）f\bigl（S，x（S）\bigr）\，ds$$
为了获得温和解的存在性，我们需要以下假设：
- \（（H_{1}）\）:
-
功能\（f（t，\cdot）：X\长右箭头X\）都是连续的\（r>0\），存在一个函数\（L^{infty}（[0，\tau]，\mathbb{r}^{+}）中的\varphi_{r}）使得\（｛\displaystyle｛\sup_｛\|x\|\leq r｝｝｝｝\|f（t，x）\|\leq\varphi_｛r｝（t）\）为所有人\（在[0，\tau]\中）.
- \（（H_{2}）\）:
-
功能\（f（\cdot，x）：[0，\tau]\右箭头x\）对所有人来说都是连续的\（x中的x）.
- \（（H_{3}）\）:
-
功能\（g:\mathcal{C}\longrightarrow X\）是连续和紧凑的。
- \（（H_{4}）\）:
-
功能\（h:\mathcal{C}\longrightarrow X\）是连续和紧凑的。
- \（（H_{5}）\）:
-
存在正常数一和b条使得\（g（x）\|\leqa|x|_{c}+b\）为所有人\（x\in\mathcal{C}\）.
- \（（H_{6}）\）:
-
存在正常数c（c）和d日使得\（h（x）\|\leq c|x|{c}+d\）为所有人\（x\in\mathcal{C}\）.
- \（（H_{7}）\）:
-
存在正常数L（左）使得\（σ（f（t，D_{0}））对于任何可数集\（D_｛0｝\子集X\）和\（在[0，\tau]\中）.
- \（（H_{8}）\）:
-
家庭\（（C（t））_{t\in\mathbb{R}}\）一致连续，即，\（{\显示样式{\lim_{t\longrightarrows}}}|C（s）-C（t）|=0\），其中\（|\cdot|\）表示由定义的有界运算符空间中的范数X（X）进入自身。
备注3.1
中给出的非局部条件(1.2)满足假设\（（H_{3}）\）.
事实上，函数的连续性和紧致性克通过使用[68，定理4.2]根据条件\（（C_{1}）-（C_}4}）\）假设为内核K（K）此外，通过使用条件\（（C｛4｝）\），我们得到\（a=\frac{\delta}{\sqrt{m（\Omega）}}\）和\（b=\sqrt{Tm（\Omega）}\|\eta\|_{L^{2}（[0，T]\times\Omega\times\ Omega，\mathbb{R}^{+}）}\）.
定理3.1
假设 \（（H_{1}）\）——\（（H_{8}）\） 持有,那么柯西问题(1.1)至少有一种温和的溶液，前提是
$$\max\biggl（{\sup_{t\in[0，\tau]}}\biggl\vert C\biggal（\frac{t^{alpha}}{\alpha}\bigr）\biggr\vert+C{\sup_{t\in[0，\tau]}}\biggl\vert S\biggl{\alpha}{\sup_{t\in[0，\tau]}}\biggl\vert S\biggl（\frac{t^{alpha}}{\alfa}\bigr）\biggr\vert\biggr）<1$$
证明
为了使用Darbo–Sadovskii不动点定理，我们定义了算子\（\Gamma:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{C}\）通过
$$\Gamma（x）（t）=C\biggl（\frac{t^{alpha}}{\alpha}\biggr）\bigl[x_{0}+g^{t} 秒^{\alpha-1}S\biggl（\frac{t^{\alfa}-S^{\alpha}}{\alba}\biggr）f\bigl（S，x（S）\bigr）\，ds$$
我们也考虑球\（B_｛r｝：=\｛x \ in \mathcal｛C｝，| x | _｛C｝\leq r \｝\），其中
$$r\geq\frac{{\显示样式{\sup_{t\in[0，\tau]}}\vert C（\frac}t^{alpha}}{\alpha}）\vert[\Vertx_{0}\vert+b]+{\显示风格{\sup_{t\in[0，\tau]}}}\vert S（\frac{t^{\ alpha}{\阿尔法}）\tau^{alpha}}{\alpha}\vert\varphi_{r}\vert_{L^{infty}（[0，\tau]，\mathbb{r}^{+}）}]}{1-a{\displaystyle{\sup{t\in[0，\tau]}}}\vert C（\frac{t^{alpha}}{\alpha}）\vert-C{\disposystyle{\sup_{t\in[0，\tau]}}}\vert S（\frac{t^}}{\ alpha}{\alth}）\ vert}$$
证明将分四步进行。
步骤1：证明这一点\（\Gamma（B_{r}）\子集B_{r}\）.
对于\（x\in\mathcal{C}\），我们有
$$\开始{aligned}\bigl\Vert\Gamma（x）（t）\bigr\Vert\leq&\biggl\Vert C\biggl（\frac{t^{alpha}}{\alpha}\biggr）\bigl[x_{0}+g r]\biggr\Vert\\&{}+\int_{0}^{t} 秒^｛\alpha-1｝\biggl\Vert S\biggl（\frac｛t^｛\alpha｝-S^｛\alpha｝｝｛\alpha｝\biggr）f\bigl（S，x（S）\bigr）\biggr\Vert\，ds.\end｛aligned｝$$
使用假设\（（H_{1}）\）,\（（H_{5}）\）、和\（（H_{6}）\），我们得到
$$\begin｛aligned｝\bigl\Vert\Gamma（x）（t）\bigr\Vert\leq&&\sup_｛t\in[0]，\tau]｝\biggl\Vert C\biggl（\frac｛t^｛\alpha｝｝｛\alpha｝\biggr）\biggr\Vert\bigl[\Vert x_｛0｝\Vert+a\Vert x\Vert _｛C｝+b\bigr]\&｛｝+\sup_｛t\in[0]，\tau]｝\biggl\Vert S\biggl（\frac｛t^｛\ alpha｝｛\alpha｝\biggr）\biggr\Vert\biggl[\Vert x_｛1｝\Vert+c\Vert x\Vert_{c}+d+\frac{\tau^{alpha}}{\alpha}\Vert\varphi_{r}\Vert_{L^{infty}（[0，\tau]，\mathbb{r}^{+}）}\biggr]\\leq&\sup_{t\in[0，\tau]}\bigl\Vert c\biggl gr\Vert\bigl[\Vertx_{0}\Vert+ar+b\bigr]\\&{}+\sup_{t\in[0，\tau]}\biggl\vertS\biggl（\frac{t^{\alpha}}{\alfa}\biggr）\biggr\vert\biggl[\Vertx{1}\vert+cr+d+frac{\tau^{alpha}{\alpha}\vert\varphi_{r}\vert_{L^{infty}（[0，\tau]，\mathbb{r}^{+}）}\biggr]\\leq&r.\end{aligned}$$
取得最高点，我们获得\（|\Gamma（x）|_{c}\leqr），这表明\（\Gamma（B_{r}）\子集B_{r}\）.
步骤2:证明这一点\（\Gamma:B_{r}\longrightarrow B_{r}\）是连续的。
让\（（x_{n}）\子集B_{r}\）使得\（x{n}\右箭头x\）在里面\（B_{r}\）.我们有
$$开始{对齐}\Gamma（x_{n}）（t）-\Gamma（x）（t}^{t} 秒^{\alpha-1}S\biggl（\frac{t^{\alha}-S^{\alpha}}{\alalpha}\biggr）\bigl[f\bigl（S，x_{n}（S）\bigr）-f\bigl（S，x（S）\ bigr]\，ds.\end{aligned}$$
通过简单的计算，我们得出
$$开始{aligned}\bigl\vert\Gamma（x_{n}）-\Gamma \vert S\biggl（\frac{t^{alpha}}{\alpha}\biggr）\biggr\vert\bigl\vert h（x_{n}）-h（x）\bigr\vert\&{}+\sup_{t\in[0，\tau]}\biggl\vert S\biggl（\frac{t^{alpha}}{\alpha}\bigr）\biggr\vert\int_{0}^{\tau}S^{\ala-1}\bigl\vert f\bigl$$
鉴于假设\（（H_{1}）\），我们得到\（s^{\alpha-1}[f（s，x_{n}（s））-f（s，x（s）]）和\（f（s，x_{n}（s））\右长箭头f（s），x（s）\）作为\（n\longrightarrow+\infty\）然后Lebesgue支配的收敛定理证明
$$\int_{0}^{\tau}s^{\alpha-1}\bigl\Vert f\bigl（s，x_{n}（s）\bigr）-f\bigls，x（s）\ bigr \Vert\，ds\longrightarrow0\quad\text{as}n\longrightarrow+\infty$$
通过使用函数的连续性克和小时，我们推断\（显示样式{lim_{n\longrightarrow+\infty}}}（x_{n}）-g（x）=0）和\（显示样式{lim_{n\longrightarrow+infty}}}（x_{n}）-h（x）=0）因此算子Γ是连续的。
步骤3:证明这一点\（\伽玛射线（B_{r}）\）是等连续的。
对于\（x \在B_｛r｝\中）和\（[0，\tau]\中的\mu，\nu\）使得\（\mu<\nu），我们有
$$开始{对齐}\Gamma（x）}}{\alpha}\biggr）-S\biggl（\frac{\mu^{\alfa}}{\ alpha}\bigger）\biggr]\bigl（x_{1}+h（x）\bigr）\\&{}+\int_{0}^{\mu}s^{\alpha-1}\biggl[s\biggl（\frac{\nu^{\阿尔法}-s^{\alpha}}{\alalpha}\bigr）-s\biggl（\frac{\mu^{\α}-s^}{\阿尔法}）\biggr]f\bigl（s，x（s）\bigrs）\，ds\\&{}+\int_{\mu{s\biggl（\frac{\nu^{\alpha}-s^{\alpha}}{\alfa}\biggr）f\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds.\end{aligned}$$
自\（S（t）=｛int _｛0｝^｛t｝｝C（θ）\，dθ\），则可将上述等式重写如下：
$$开始{对齐}\Gamma（x）}^{\frac{\nu^{\alpha}}{\alfa}}C（\theta）\bigl（x_{1}+h（x）\bigr）\，d\theta\biggr]\\&+\int_{0}^{\mu}s^{\alpha-1}\biggl[\int_{\frac{\mu^{\阿尔法}-s^{\alpha}}{\alalpha}}^{\frac{\nu^{\α}-s^}{\阿尔pha}}C（θ）f \bigl（s，x（s）\bigr）\，d\theta\biggr]\，ds\\&+\int_\mu}{\nu}s^{\alpha}s^{\ alpha}{\abigl{\nu^{\alpha}-s^{\alpha}}{\alfa}\biggr）f\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds.\end{aligned}$$
因此，我们获得
$$开始{aligned}\bigl\Vert\Gamma（x）（\nu）-\Gamma sup_{t\in[0，\frac{\tau^{alpha}}{\alpha}]}\bigl\Vert C（t）\bigr\vert\biggl[\int_{\frac{\mu^{\alpha}}{\alfa}}^{\frac{\nu^{\alpha}}}{\ alpha}{\bigl\Vertx{1}+h（x）\bigr\ vert\，d\theta\biggr]\\&{}+\sup_{t\in[0，\frac}{\tau^{\阿尔法}{\阿尔pha}{\ alpha}]}\bigl\ vert C（t）\biger\vert\int_{0}^{\mu}s^{\alpha-1}\biggl[\int_{\frac{\mu^{\阿尔法}-s^{\alpha}}{\alfa}}^{\ frac{\nu^{\α}-s^}\alpha}}{\alpha}}\bigl\Vert f\bigl（s，x（s）\bigr）\biger\Vert\，d\theta\biggr]\，ds\\&{}+\sup_{t\in[0，\tau]}\biggl\Vert s\biggl（s）\biger）\bigr\Vert\，ds.\end{aligned}$$
通过使用假设\（（H_{1}）\）,\（（H_{5}）\）、和\（（H_{6}）\），我们得到
$$开始{aligned}\bigl\Vert\Gamma（x）（\nu）-\Gamma bigr）\\&{}+\sup_{t\in[0，\frac{\tau^{alpha}}{\alpha}]}\bigl\Vert C（t）\bigr\vert\bigl（\vert x_{1}\vert+c\vert x\vert_{c}+d\bigr）\biggl[\int_{frac{\mu^{\alpha}}{\alfa}}^{\frac{\ nu^{\alpha}}}{\ alpha}1\，d\theta\biggr]\\&{}+\sup_{t\in[0，\frac}{\tau^{\阿尔pha}}{\alba}]}}}\bigl\vert c（t）\bigr\vert\vert\varphi_{r}\vert_{L^{infty}（[0，\tau]，\mathbb{r}^{+}）}\int_{0}^{mu}s^{\alpha-1}\biggl[\int_{\frac{\mu^{\alpha}-s^{\alpha}}{\alalpha}}^{\frac{\nu^{\阿尔pha}-s^{\ alpha}{\阿尔法}}}1\，d\theta\biggr]\，ds\\&{}+\sup_{t\in[0，\tau]}\biggl\vert s\biggl \varphi_{r}\vert_{L^{infty}（[0，\tau]，\mathbb{r}^{+}）}\int_{mu}^{nu}s^{alpha-1}\，ds.\end{aligned}$$
现在一个简单的计算表明
$$开始{aligned}\bigl\Vert\Gamma（x）（\nu）-\Gamma \sup_{t\in[0，\frac{\tau^{alpha}}{\alpha}]}\bigl\Vert C（t）\bigr\Vert\bigl（\Vert x_{1}\Vert+cr+d\bigr）\biggl[\frac{\nu^{\alpha}-\mu^{\alpha}}{\alha}\biggr]\\&{}+\sup_{t\in[0，\frac}\tau^{\阿尔pha}}}\bigl\Vert C（t）\bigr\Vert\Vert\varphi_{r}\Vert_{L^{\infty}（[0，\tau]，\mathbb{r}^{+}）}\biggl[\frac{\tau^{alpha}}{\alpha}\biggr]\biggl[\frac{\nu^{alfa}-\mu^{\alfa}}{\ alpha}\ biggr]\\&{}+\sup_{t\in[0，\tau]}\biggl\vert S\biggl（\frac{t^{alpha}}{\alpha}\bigr）\biggr\vert\vert\varphi_{r}\vert_{L^{infty}（[0，\tau]，\mathbb{r}^{+}）}\bigl[\frac}\nu^{\alfa}-\mu^{\alpha}}}{。\结束{对齐}$$
上述不等式与假设相结合\（（H_{8}）\）说明了这一点\（\伽玛射线（B_{r}）\）在上是等连续的\（[0，\tau]\）.
步骤4:证明这一点\（\伽玛：B_｛r｝\右长箭头B_｛r｝\）是一个\（西格玛{c}）-收缩操作符。
让\（D\子集B_{r}\）然后根据引理2.3，存在一个可数集\（D_{0}\）使得\（D_{0}={x_{n}\}\子集D\）因此，\（\伽玛（D_｛0｝）\）成为的可数子集\（\伽马射线（D）\）因此，引理2.3证明了这一点\（\西格玛_｛c｝（\伽马（D））\ leq 2\西格玛_｛c｝（\伽马（D_｛0｝））\）.自\（\伽玛射线（D_{0}）\）有界且等度连续，则使用引理的第二点2.5，我们获得
$$\sigma_{c}\bigl（\Gamma（D_{0}）\bigr）={max_{t\in[0，\tau]}}\bigle$$
因此，我们推断
$$开始{对齐}\sigma_{c}\bigl（\Gamma（D）\bigr）\leq&2\sigma_{c}\ bigl（c\biggl（\frac{t^{alpha}}{\alpha}\biggr）\bigl[x{0}+g（D_{0}）\bigr]+S\biggl（\frac{t^}\alpha}{\alpha}\biggr）\ bigl[x{1}+h（D_{0}）\bigr]\\&{}+\int_{0{^{t} 秒^{\alpha-1}S\biggl（\frac{t^{\alfa}-S^{\alpha}}{\alba}\biggr）f\bigl（S，D_{0}（S）\bigr）\，ds\bigger）\biggr。\结束{对齐}$$
通过使用引理的点（4）2.1，我们得到
$$开始{对齐}\sigma_{c}\bigl（\Gamma（D）\bigr）\leq&2\max_{t\in[0，\tau]}\biggl（\sigma\biggl（\frac{t^{alpha}}{\alpha}\bigbr）\bigl[x{0}+g（D_{0}）\biger]\biggr）\&{}+\sigma\ biggl{\alpha}}{\alfa}\biggr）\bigl[x_{1}+h（D_{0}）\bigr]\bigger）+\sigma\biggl（\int_{0{^{t} 秒^{\alpha-1}S\biggl（\frac{t^{\alfa}-S^{\alpha}}{\alba}\biggr）f\bigl（S，D_{0}（S）\bigr）\，ds\bigger）\biggr。\结束{对齐}$$
自克和小时是紧凑的，然后是集合\（C（\frac{t^{alpha}}{\alpha}）[x{0}+g（D_{0}）]\）和\（S（\frac{t^{alpha}}{\alpha}）[x_{1}+h（D_{0}）]\）相对紧凑。根据上述方程和引理的第一点2.1，我们获得
$$\sigma_{c}\bigl（\Gamma（D）\bigr）\leq 2\max_{t\in[0，\tau]}\biggl（\sigma\biggl（\int_{0}^{t} 秒^{\alpha-1}S\biggl（\frac{t^{\alfa}-S^{\alpha}}{\alba}\biggr）f\bigl（S，D_{0}（S）\bigr）\，ds\bigger）\biggr$$
鉴于引理2.4，我们得到
$$\sigma_{c}\bigl（\Gamma（D）\bigr）\leq 4\max_{t\in[0，\tau]}\biggl（\int_{0}^{t} 秒^｛\alpha-1｝\sigma\biggl（S\bigl（\frac｛t^｛\alpha｝-S^｛\alpha｝｝｛\alpha｝\biggr）f\bigl（S，D_｛0｝（S）\bigr）\，ds\biggr）\biggr）$$
接下来，引理的点（7）2.1说明了这一点
$$\sigma_{c}\bigl（\Gamma（D）\bigr）\leq 4{\sup_{t\in[0，\tau]}}\biggl\vert S\biggl（\frac{t^{alpha}}{\alpha}\bighr）\biggr\vert\max_{t\in[0，\tau]}\bigbl（\int_{0}^{t} 秒^{\alpha-1}\sigma\bigl（f\bigls，D_{0}\bigr）\，ds\biggr）$$
根据假设\（（H_{7}）\），我们得到
$$\sigma_{c}\bigl（\Gamma（D）\bigr）\leq 4L{\sup_{t\in[0，\tau]}}\biggl（\biggl\vert S\biggal（\frac{t^{alpha}}{\alpha}）\biggr\vert\biggr）\max_{t\in[0，\tau]}\bigbl（\int_{0}^{t} 秒^｛\alpha-1｝\sigma\bigl（D_｛0｝（s）\bigr）\，ds\biggr）$$
因此，通过使用与点相结合的简单计算\((2)\)引理的2.5，我们获得
$$开始{对齐}\sigma_{c}\bigl 0，\tau]}}\biggl\vert S\biggl（\frac{t^{alpha}}{\alpha}\bigr）\biggr\vert\sigma_{c}（D）\frac}\tau^{\alfa}}{\ alpha}.\end｛对齐｝$$
那么，我们有
$$\sigma{c}\bigl（\Gamma（D）\bigr）\leq\frac{4L\tau^{alpha}}{\alpha}{\sup_{t\in[0，\tau]}}\biggl\vertS\biggl（\frac}{t^{alha}}{\ alpha}\bigcr）\biggr\vert\sigma}{c}（D$$
自\（\frac{4L\tau^{alpha}}{\alpha}{\displaystyle{\sup_{t\in[0，\tau]}}}|S（\frac{t^{alpha}}}{\ alpha}）|<1\），则Γ为\（西格玛{c}）-收缩操作符。
总之，引理2.2证明了算子Γ至少有一个不动点，这是Cauchy问题的温和解(1.1). □
