Hilbert空间中求解非线性Caputo–Fabrizio分数阶Abel微分方程的一种吸引人的数值算法

摘要

本文的目的是提出一种具有吸引力的数值方法，该方法基于再生核算法，利用赋予Caputo–Fabrizio分数阶导数的模型，精确求解非线性分数阶Abel微分方程。通过这种方法，我们利用Gram–Schmidt正交化过程来创建一组正交基，从而在Hilbert空间中找到合适的解\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\）.我们研究并讨论了该方法的稳定性和收敛性。这个n个-项级数解一致收敛于解析解。我们给出了几个潜在兴趣的数值示例，以说明该方法在Caputo–Fabrizio导数影响下的可靠性、有效性和性能。所获得的结果表明了再生核算法的优越性及其在求解分数Abel型模型时所花费的时间和精力最少的无限精度。因此，在这个方向上，所提出的算法是分析工程、物理和科学领域中出现的许多非线性时间分数阶微分方程行为的另一种系统工具。

1介绍

分数微积分是理论和应用数学分析、量子力学、工程和物理科学中一个活跃而有趣的动态分支。分数微积分的最初想法可以追溯到17世纪末L’Hospital的一个问题，该问题的文本是关于函数的非整数阶导数。尽管早期发现了分数阶导数，它概括了经典微积分分析的基础和原理，但应用科学家最近并没有意识到他们可以在数学上利用分数阶微积分来模拟现实情况。在过去的几十年里，数学家的兴趣一直集中在发展分数导数算子和处理广义经典微分方程解的一些应用，了解分数条件对所建立模型质量的影响[1——4]. 这种趋势在很大程度上促成了许多分数阶导数定义的出现，例如Riemann–Liouville、Caputo、Marchaud、Erdélyi–Kober、Feller、Atangana–Baleanu、Grünwald–Letnikov、Sonin–Letnicov、Hadamard等[5——9]. 总之，通过对分数分析的大量研究表明，在某些情况下，不同的定义是等价的。这种多样的微分和积分分数阶算子提供了根据与初始和边界条件相关的问题选择最合适的算子的机会，以获得所研究问题的最优解。尽管这些定义是众所周知且广泛使用的，但它们有一些缺陷和局限性，有时无法区分函数，如链、商和莱布尼茨规则，还有一些具有单一内核。然而，卡普托概念具有几个有趣的特征，允许在问题公式中包含传统的初始和边界条件。因此，一些现代概念是基于卡普托意识发展起来的，其中包括阿坦加纳-巴莱诺-卡普托衍生物、卡普托-法布里齐奥衍生物和卡普托k个-分数导数。卡普托和法布里西奥[10]引入了一个新的分数阶导数概念，称为Caputo–Fabrizio分数阶导数，它包含一个非奇异指数核，可以更好地模拟实际问题。自那时以来，学者们对卡普托-法布里齐奥和阿坦加纳-巴莱亚努-卡普托（ABC）概念的需求与日俱增，他们需要在工程、物理和纯数学的各个领域进行大量的分析和应用研究[11——18].

从历史的角度来看，Abel型动力学方程可以追溯到挪威数学家Niels Abel在研究椭圆函数理论时提出的。根据上下文，第一类和第二类Abel微分方程是最重要的非线性非齐次方程之一，在物理、化学、生物、医学和流行病学中有着悠久的历史和各种应用，包括燃料力学、磁统计、固体力学、薄膜凝聚、，和中等问题[19,20]. 为了完整性，我们还强调，当涉及全矩问题时，Abel微分方程在概率上有应用，此外，偏微分方程和伪微分方程也非常适合模拟上述真实现象；参见[21——24]. 此外，它们是普通Riccati和Bernoulli微分方程以及一类特殊的logistic微分方程的推广。在许多情况下，具有不可预测解行为的非线性偏微分方程可以简化为一类Abel微分方程。利用Abel方程的一些可积项，可以得到非线性部分发展方程的各类行波解和孤子解。为了进一步说明，Schrödinger方程、Fisher–Kolmogorov方程、Newell–Whitehead方程、FitzHugh–Nagumo方程、，与直接传统方法相比，使用Abel微分方程的标准可积条件可以高效地实现Pochhammer–Chree方程[25].

在该分析中，我们使用再生核算法（RKA）研究了一类非线性分数阶Abel微分方程（FADE）在Caputo–Fabrizio导数意义下的数值解。更具体地说，我们考虑以下第一类非线性衰减：

$${}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}（D）_{a} ^{α}ω（t）=p_{3}（t$$

(1.1)

哪里\（a \leq t \leq b）,\（p_{3}（t）\neq 0）、和\（p{2}（t）\）,\（p{1}（t）\）、和\（p_{0}（t）\）是时间方向的亚纯函数x个此外，我们考虑以下第二类非线性衰减：

$$\omega（t）｛｝^｛\mathcal｛CF｝｝\mathcal{D}（D）_{a} ^{α}ω（t）=p_{3}（t$$

(1.2)

连同初始条件

$$\omega（a）=\omega_{0}$$

(1.3)

哪里\（\ω{0}\）是一个实际常数，并且\（a \ leq t \ leq b \）对于上述方程式，\（ω（t）在矩阵{H}^{2}[a，b]\中）是要求解的未知解析函数，以及\（{}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}（D）_{a} ^{\alpha}\）是一个阶微分算子α在卡普托-法布里奇奥的意义上。更具描述性的是，当\（p{2}（t）=0\）和\（p_{0}（t）=0\），第一类FADE(1.1)简化为分数阶伯努利微分方程，当\（p{3}（t）=0\），它简化为分数阶Riccati微分方程。使用替代品\（ω（t）=\压裂{1}{\ω（t）}\），第一类FADE可以转换为第二类[26]. 这些模型是通过将普通Abel微分方程的经典阶导数替换为Caputo–Fabrizio意义下的分数阶导数来获得的。有关使用各种分数算子的Abel微分问题的分数形式的详细信息，我们请读者参阅[27——30]以及其中的参考文献。

通常，文献中很少有三次或更高阶的几类普通Abel DE和FADE的精确形式解，并且只提供了具体的近似解。然而，Abel DEs的重要性往往与由于涉及的复杂性而无法找到分析解决方案相一致。因此，迫切需要开发有效的数值方法，以获得此类动态微分方程的近似解析解。例如，短记忆原理技术也被应用于计算具有Grünwald–Letnikov算子的第一类和第二类分数阶Abel微分方程的近似解[28]. 运算矩阵法[27]提出了基于Genocchi多项式求解两类Caputo意义下的分数阶Abel微分方程，而同伦分析方法[26]用于获得Caputo意义下分数阶Abel微分方程的近似解。在[29]基于广义贝塞尔函数，实现了谱方法和Newton-Krylov子空间方法，以处理Riemann-Liouville意义下的第一类分数阶Abel微分方程。在另一方面，为了处理普通Abel微分方程，可以在[31——33]以及其中的参考文献。这项工作的主要贡献是发展了RKA来数值求解希尔伯特空间中的两种非线性FADE\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\）.

然而，RKA是最精确、最有效的数值近似方法之一，在应用科学的各个领域都有广泛的应用[34——40]. 近年来，由于RK方法的容量、潜力和独特特性，研究人员花费了大量精力和精力来了解其先进的实施程序和特点，以及它在各种科学模型中的应用。在这些优点中，它是专门为处理非线性微分方程而设计的，以便在整个各自的领域内以较少的时间和无限的精度获得精确的解。该方法还确保了解的快速收敛，其中近似解在相关的Hilbert空间中一致收敛到精确解，此外还具有处理分数算子的自适应能力，并且很容易适应模型的任何变化。有关更多详细信息，请参阅[41——47].

本研究组织如下。在Sect。 2，我们回顾了Caputo–Fabrizio（CF）衍生物的几个性质。在Sect。 三，我们用一些重要的理论描述了再生核Hilbert空间。章节4致力于实现RK算法，以处理CF-导数下的非线性FADE。在Sect。 5，我们讨论了该方法的稳定性和收敛性。第节中给出了数值示例。 6以证明RKA方法的可靠性和效率。本分析以一个简短的结论结束。

2再生核空间的CF-导数和初等式

在这一节中，我们考虑了一种没有奇异核的分数形式的微分算子，即Caputo–Fabrizio分数导数，并附带了一些初步事实。与之前的各种版本相比，这样一个新颖的更新提供了对现实生活情况的更新、更准确的解释。Caputo分数和Caputo–Fabrizio分数导数如下所示。

定义2.1

([40])

可微函数的Caputo分数导数ω（t） 定义为

$$\mathcal{D}^{\alpha}_{a}\omega（t）=\frac{1}{\Gamma（1-\alpha）}\int_{a{^{t}（t-s）^{-\alpha{\omega^{\prime}（s）\，ds$$

哪里\（[0,1）中的α）,\（t>a\）Γ是特殊的伽马函数。

尽管上述定义得到了广泛使用，但在建模某些物理现象时仍有一些局限性和障碍，这些物理现象的影响和挫折对计算和结果的准确性显然是不利的。这种缺陷大多局限于这样一个事实，即卡普托的定义具有一个奇异的核。因此，Caputo和Fabrizio于2015年推出了分数微分算子的新版本。该算子的思想是用正则指数算子代替Caputo算子中的奇异核，从而能够准确、正确地处理这种现象。这种修改提高了计算和结果的质量[12].

定义2.2

([10])

对于\（0<阿尔法1），让ω（t） 是通常Sobolev空间中的函数\（[a，b]\）也就是说，\（\omega（t）\in\mathcal｛H｝[a，b]\）然后将Caputo–Fabrizio导数（CF-导数）的分数阶定义为

$${}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}^{\阿尔法}_{a}\omega（t）=\frac{1}{2}\frac}\mathcal{M}（\alpha）（2-\阿尔法）}{1-\alpha}\int^{t}（t）_{a} \omega’（s）\exp\biggl[{\frac{-\alpha（t-s）}{1-\alpha}}\biggr]\，ds$$

(2.1)

哪里\（\mathcal{M（\alpha）}\）是归一化函数，取决于α，因此\（\mathcal｛M｝（0）=\mathcal｛M｝（1）=1\）.

当\（\mathcal{M（\alpha）}=\frac{2}{2-\alpha}\）提供于[11]因此，CF-导数(2.1)，可以等效转换为

$${}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}^{alpha}_{a}\omega（t）=\frac{1}{1-\alpha}\int^{t}（t）_{a} \omega’（s）\exp\biggl[{\frac{-\alpha（t-s）}{1-\alpha}}\biggr]\，ds$$

定义2.3

([11])

对于\（0<\alpha\leq 1），让\（ω（t）在矩阵{H}[a，b]\中）那么\（ω（t））对应于订单的CF-导数α定义为

$${}^{\mathrm{CF}}\mathcal{我}_{a} ^{\alpha}\omega（t）=\frac{2（1-\alpha^{t}（t）_{0}\omega（s）\，ds$$

现在让我们介绍一下CF导数的某些有趣特性：

• 1 任何常数的CF-导数为零，即，\（{}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}^{alpha}_{a} 米=0\),∀ \（M\geq 0）.

• 2 CF-导数是一个线性算子，即，

  $${}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}^{alpha}{a}\bigl ^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}^{\alpha}{a}\omega{2}（t）$$

• 三。 对于\（0<\alpha\leq 1）和\（\omega\in\mathcal{H}[a，b]\），我们有

  $$\bigl（{}^{\mathrm{CF}}\mathcal{我}_{a} ^｛\alpha｝\bigr）\bigl（｛｝^｛\mathcal｛CF｝｝\mathcal｛D｝^｛\alpha｝_｛a｝\bigr）\omega（t）=\omega（\xi）-\omega（a）$$

• 4 对于\（0<\alpha\leq 1），订单的CF-导数\（\alpha+n\）为定义\（以n表示）作为

  $${}^{\mathrm{CF}}\mathcal{D}^{\salpha+n}_{0}\omega（t）={}^}\mathcal{CF}{\mathcal{D}^{\alpha}\bigl^{t}（t）_{a} \omega^{（n）}（s）\exp\biggl[{\frac{-\alpha（t-s）}{1-\alpha}}\biggr]\，ds$$

现在，要解决非线性FADEs(1.1)–(1.3)在希尔伯特空间\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\），我们构建了两个再生内核函数。

定义2.4

([36])

让\（\mathcal{W}\）是由定义在非空集Ω上的所有函数组成的希尔伯特空间\（\mathbb{C}\）.然后\（\mathcal{W}\）是再生核希尔伯特空间（RKHS），如果\（欧米茄）、评估功能\（δ{t}（f）=f（t））以为界\（\mathcal{W}\）.

定义2.5

([36])

让\（\数学｛W｝\）是非空集Ω中定义的RKHS。然后存在一个独特的\（\mathcal{R}（\cdot，t）\in\mathcal{W}\）这样的话\（语言f（\cdot），\mathcal{R}（\ cdot，t）\rangle=f（t）\）对于每个\（f \ in \ mathcal{W}\）.

定义2.6

([36])

设Ω是非空抽象集\（\mathcal{W}\）是RKHS。然后是一个函数\（\mathcal{R}:\Omega\times\Omega \longrightarrow\mathbb{C}\）定义为\（\mathcal{R}（t，s）=\mathcal{右}_{t} （s）\）称为空间的再生核函数\（\mathcal{W}\）.

核函数具有唯一表示、共轭对称和正定等重要性质。

定义2.7

([41])

再生核空间\（\mathcal{H}^{1}[a，b]\）由定义

$$\mathcal{H}^{1}[a，b]=\bigl\{omega（t）\mid\omega:[a，b]\longrightarrowR\text{在L^{2}[a、b]\bigr\}中的}[a和b]上是绝对连续的$$

与空间相关的内积和规范\（\mathcal{H}^{1}[a，b]\）表示为

$$\textstyle\begin{cases}\langle\omega_{1}，\omega_2}\rangle_{\mathcal{H}^{1}}=\omega_1}（a）\omega_2}（a）+\int^{b}_{a} ω{1}{'}（t）ω{2}{'{}（t），dt，quad\forall\omega{1}，ω{2}\in\mathcal{H}^{1}[a，b]，\\Vert\omega{1}\Vert_{mathcal{H}^{1}=langle\omega_{1}，omega_1}\rangle^{1/2}，qua2\forall\ omega ga_{1}\in\mathcal{H}^{1}[a，b]。\结束{cases}$$

再生核的唯一表示\（\mathcal{右}_{t} （s）\）属于\（\数学｛H｝^｛1｝[a，b]\）是

$$\马塔尔{右}_{t} （s）=\frac{1}{2\sinh（b-a）}\bigl[\cosh（t+s-b-a）+\cosh\bigl（\vert-s\vert-b+a\bigr）\bigr]$$

定义2.8

([41])

再生内核空间\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\）由定义

$$\begin{aligned}\mathcal{H}^{2}[a，b]=&\bigl\{\omega（t）\mid\omega，\omega'：[a，b]\longlightarrowR\text{在L^{2{[a，b]\bigr\}中的}[a、b]、\\&\omega^{（2）}（t）上是绝对连续的。\结束｛对齐｝$$

与空间相关的内积和规范\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\）表示为

$$\textstyle\begin{cases}\langle\omega_{1}，\omega_2}\rangle_{\mathcal{H}^{2}}=\sum^｛1｝_{i=0}\omega^{（i）}_{1}^{b}_{a} ω^{（2）}{1}（t）ω^（2四边形代表所有ω{1}在矩阵{H}^{2}[a，b]中。\结束{cases}$$

再生核的唯一表示\（\mathcal{克}_{t} （s）\）属于\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\）表示为

$$\马塔尔{克}_{t} （s）=\textstyle\begin{cases}1+（s-t）（t-a）+\frac{1}{2}（s-a）（t-a）^{2}-\压裂{1}{6}（t-a）^{3}，&a\leq s<t，\\1+（t-s）（s-a）+\压裂{1{2}（t-a）（s-a）^{2}-\裂缝{1}{6}（s-a）^{3}，&a<t\leqs.\end{cases}$$

三CF-导数下求解FADE的RKA

在本节中，应用RK实现方法求解非线性FADE(1.1)–(1.3)从CF-导数的意义上来说，这两种类型都是。同时，还提供了一些相关的引理和理论来创建FADE在空间中的解析解和近似解\（\数学｛H｝^｛2｝[a，b]\）首先，定义线性运算符

$$\mathcal{L}:\mathcal{H}^{2}[a，b]\longrightarrow\mathcali{H}^{1}[a、b]$$

通过

$$\mathcal{L}\omega（t）={}^{mathcal}CF}}\mathcal{D}（D）_{a} ^{\alpha}\omega（t）$$

另一方面，通过引入简单的转换\（ω（t）：=ω-ω{0}）使初始条件均匀化(1.3)，FADE(1.1)–(1.3)可以等效地重写为

$$\textstyle\begin｛cases｝\mathcal｛L｝\omega（t）=\mathcal{无}_{ω}（t，ω（t）），ω=1,2，ω$$

(3.1)

哪里\（\mathcal{无}_{\sigma}（t，\omega（t））,\（σ=1,2），是两种FADE的非线性项，如下所示\（\mathcal{无}_{1} （t，ω（t））=p_{3}（t和\（\mathcal{无}_{2} （t，ω（t））=ω^{-1}（t，其中\（ω（t）在矩阵{H}^{2}[a，b]\中）和\（\mathcal{无}_{k} （t，ω（t））在矩阵{H}^{1}[a，b]\中.

应用提出的算法求解(3.1)在太空中\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\），我们需要以下定理。

定理3.1

线性分数阶微分算子 \（\mathcal{L}:\mathca{H}^{2}[a，b]\longrightarrow\mathcal{H}^{1}[a、b]\） 是有界的.

证明

显示算子的有界性\（\mathcal{L}\），我们有

$$\bigl\Vert\mathcal{L}\omega（t）\bigr\Vert^{2}_{\mathcal{H}^{1}}=\bigl\langle\mathcali{L}\omega（t），\mathcal{L}\ omega（d^{b}_{a} \biggl[\frac{\partial}{\paratilt}\bigl（\mathcal{L}\omega（t）\bigr）\biggr]^{2}\，dt$$

由的RK财产\（\mathcal{右}_{t} （s）\）关于空间\（\mathcal{H}^{1}[a，b]\）以及\（\mathcal{右}_{t} （s）\）和\（\mathcal{R'}_{t}（s）\）在\（[a，b]\）存在常量\（K_{1}\）,\（K_{2}\）这样的话\（部分^{i}（{}^{mathrm{CF}}D_{a}^{alpha}\mathcal{右}_{t} （s）}{\部分t^{i}}\垂直^{2}_{\mathcal{H}^{2}}\leq K_{i}\）,\（i=1,2）。因此，我们得到

$$\开始{aligned}\bigl\vert\bigl（{}^{mathcal{CF}}\mathcal{D}（D）_{a} ^{\alpha}\omega\bigr）^{（i）}（t）\bigr|&=\bigl|\bigl\langle\bigl（{}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}（D）_{a} ^{\alpha}\omega\biger）^{（i）}（t），\mathcal{右}_{t} （s）\bigr\rangle_{\mathcal{H}^{1}}\bigr\ vert\\&=\biggl\vert\biggl\ langle\omega（t），\frac{\partial^{i}（{}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}（D）_{a} ^{\alpha}\mathcal{右}_{t} （s）}{\partial t^{i}}\biggr\rangle_{\mathcal{H}^{2}}\biggr\vert\\&\leq\biggl\vert\frac{\paratil ^{i{（{}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}（D）_{a} ^{\alpha}\mathcal{右}_{t} （s）}{\partial t^{i}}\biggr\Vert_{\mathcal{H}^{2}}\bigl\Vert\omega（\tau）\bigr\Vert_{mathcal{H}^2}}\\&\leq K\bigl\Vert_omega（t）\biger\Vert_}\mathcal{H}，\end{aligned}$$

哪里\（K=\max\{K_{1}，K_{2}）. □

在不失一般性的情况下，以下是创建空间正交基系统的步骤\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\）以下为：

• 取一个可数稠密子集\（{t_{i}{i=1}^{infty}\子集[a，b]\）.

• 定义函数\（\Phi_{i}（\cdot）=\mathcal{右}_｛t_｛i｝｝（\cdot）\）.

• 放置\（\Psi_{i}（\cdot）=\mathcal{L}^{star}\Phi_{i{（\cdot）\），其中\（\mathcal{L}^{star}\）是的伴随运算符\（\mathcal{L}\）.

因此，通过Gram–Schmidt正交化过程\（\{\Psi_{i}（\cdot）\}_{i=1}^{\infty}\）归一化基系统\（宽帽子｛\ Psi｝_｛i｝（\cdot）\｝_｛i=1｝^｛\ infty｝\）可以作为

$$\widehat{\Psi}{i}（t）=\sum_{k=1}^{i}\beta_{ik}\Psi{i}（t）\quad（\beta{i}>0，i=1,2，\ldots）$$

(3.2)

因此，获得正交系数的过程\（β{ik}）第页，共页(3.2)可以用算法1来说明。

算法1

Gram–Schmidt归一化过程

定理3.2

如果 \（{t{i}{i=1}^{infty}） 是一个密集的集合 \（[a，b]\）,然后是正交函数系统 \（\{\Psi_{i}（t）\}_{i=1}^{\infty}\） 在中完成 \（\mathcal{H}^{2}[a，b]\）,和 \（\Psi_{i}（t）=\mathcal{左}_{s} \mathcal公司{克}_{t} （s）|_{s=t_{i}}\）.

证明

请注意

$$\Psi_{i}（\tau）=\mathcal{L}^{ast}\Phi_{i{{克}_{t} （s）\bigr\rangle_{\mathcal{H}^{2}}=\bigl\langle\mathca{L}\mathcal{克}_{t} （s），\Phi_{i}（s）\bigr\rangle_{\mathcal{H}^{1}}=\mathcal{左}_{s} \mathcal公司{克}_{t} （s）|{s=t{i}}$$

让我们证明正交基系统的完备性\（\{\Psi_{i}（t）\}_{i=1}^{\infty}\）在里面\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\）.对于每个固定\（ω（t）在矩阵{H}^{2}[a，b]\中），让\（语言\omega（t），Psi_{i}（t）语言\langle_{mathcal{H}^{2}}=0\）对于\（i=1,2，\ldots\） , 我们有

$$开始{对齐}\bigl\langle\omega（t），\Psi_{i}（t）\bigr\rangle_{\mathcal{H}^{2}}&=\bigl\ langle\omega（t）t）\bigr\rangle_{\mathcal{H}^{2}}\\&=\mathcal{L}\omega（t_{i}）=0。\结束{对齐}$$

自\（\｛t_｛i｝\｝^｛infty｝_｛i=1｝\）在上密集\（[a，b]\），我们有\（\mathcal｛L｝\omega（t）=0\）.因此\（ω（t）=0）通过逆算子的存在\（\mathcal{L}^{-1}\）. □

引理3.3

正交基系统 \（{\widehat{\Psi}{i}（t）\}{i=1}^{n}） 在里面 \（\mathcal{H}^{2}[a，b]\） 线性无关.

证明

让\（{\widehat{\Psi}{i}（t）\}{i=1}^{n}）是一个正交基序列。然后

$$\sum_{1=1}^{n}\mu_{i}\widehat{\Psi}{i}（t）=0$$

乘以平稳数\（\widehat{\Psi}_{j}（t）\）给予

$$\Biggl\langle\sum_{1=1}^{n}\mu_{i}\widehat{\Psi}_{i{（t），\wideha{\Psi}_{j}（t{j}（t）更大范围{H}^{2}}=\mu_{j}=0，四j=1,2，\ldots，n$$

什么时候？n个趋向无穷大，证明相似。□

定理3.4

如果 \（{t\}_{i=1}^{infty}\） 在上密集 \（[a，b]\） 和 \（ω（t）在矩阵{H}^{2}[a，b]\中） 是FADE的精确解(3.1),然后 \（ω（t）） 可以表示为

$$\omega（t）=\sum_{i=1}^{\infty}\Pi_{i}\widehat{\Psi}_{i{（t）$$

哪里 \（\Pi_{i}=\sum_{k=1}^{i}\beta_{ik}\mathcal{无}_{σ}（t{k}，ω（t}k}））,\（σ=1,2）,和 \（β-｛ik｝\） 是正交化系数.

证明

对于每个\（ω（t）在矩阵{H}^{2}[a，b]\中）对于任何完整的正交序列\（{\widehat{\Psi}{i}（t）\}{i=1}^{n}）在\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\），函数\（ω（t））可以表示为傅里叶级数展开式\（\sum_｛1=1｝^｛infty｝\langle\omega（t），\widehat｛\Psi｝_｛i｝（t）\rangle _｛\mathcal｛H｝^｛2｝｝｝\widehat｛\Psi｝_｛i｝（t）\），这是一个收敛级数\（\|\cdot\|_{\mathcal{H}^{2}}\）。因此，我们获得

$$开始{对齐}\omega（t）&=\sum_{i=1}^{\infty}\bigl\langle\omega langle\omega（t），\Psi_{i}（t）\bigr\rangle_{\mathcal{H}^{2}}\widehat{\Psi}_{ineneneep（t）\\&=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{i}\beta_{ik}\bigl\langle\omega（t），\mathcal{L}^{*}\Phi_{k}（t）\bigr\rangle_{\mathcal{H}^{2}}\widehat{\Psi}{i}（t）\bigr\rangle_{\mathcal{H}^{2}}\widehat{\Psi}_{i}（t）\\&=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{k=1}^}{i}\beta_{ik}\mathcal{无}_{\sigma}\bigl（t_{k}，\omega（t_{k}）\bigr）\widehat{\Psi}_{i}（t）\\&=\sum_{i=1}^{\infty}\Pi_{i{\wideha{\Psi}_{i}（t）。\结束{对齐}$$

 □

获得近似解\（ω{n}（t））在这两种非线性FADE中，我们定义了n个-解析解的项截断解\（ω（t））带系数\（Theta{i}）如下

$$\textstyle\begin{cases}\omega_{n}（t）=\sum_{i=1}^{n}\Theta_{i}\widehat{\Psi}_{i{（t{无}_{σ}（t{k}，ω{k-1}（t1{k}））。\结束{cases}$$

(3.3)

实际上，非线性FADE的解是固定的，取决于初始条件的适当选择。

4RKA的稳定性和收敛性分析

在本节中，我们研究了所提出的求解非线性FADE的方法的稳定性和收敛性(1.1)–(1.3)在太空中\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\）.

定理4.1

假设 \（\mathcal{无}_{\sigma}（t，\omega（t）） 满足Lipschitz条件 \（ω（t））以下为：

$$\bigl\vert\mathcal{无}_{\sigma}\bigl（t，\omega（t）\bigr）-\mathcal{无}_{\sigma}\bigl（t，\bar{\omega}（t）\biger）\bigr\vert\leq K\bigl\vert\omega{无}_{\sigma}\bigl（t，\omega（t）\bigr），\mathcal{无}_{\sigma}\bigl（t，\bar{\omega}（t）\bigr）$$

哪里 K（K） 是Lipschitz系数.然后是迭代序列(3.3)收敛，如果 \（K<\|\mathcal｛L｝\|_｛infty｝\）.

证明

根据Lipschitz的情况

$$\bigl\Vert\mathcal美元{无}_｛\sigma｝\bigl（t，\omega（t）\bigr）-\mathcal{无}_{\sigma}\bigl（t，\bar{\omega}（t）\biger）\bigr\Vert_{\infty}\leq K\bigl\Vert\omega$$

哪里\（ω（t）=[a，b]}|\omega（t）|\）.签署人(3.1)我们可以写

$$\omega_{n}（t）-\omega_{n-1}（t）=\mathcal{L}^{-1}\bigl（\mathcal{无}_{\sigma}\bigl（t，\omega{n-1}（t）\bigr）-\mathcal{无}_{\sigma}\bigl（t，\omega{n-2}（t）\bigr）\biger）$$

出租\（n\in\mathbb{n}\），我们有

$$\开始{对齐}\Vert\omega_{无}-\omega_{n-1}\Vert_{infty}&\leq\frac{K}{\Vert\mathcal{L}\Vert_{infty}}\Vert\omega_{n-1}-\ω{n-2}\Vert_{infty}\\&\leq\biggl（\frac{K}{\Vert\mathcal{L}\Vert_{infty}}\biggr）^{2}\Vert\omega_{n-2}-\omega_{n-3}\Vert_{infty}\\&\leq\cdots\\&\leq \biggl（\frac{K}{\Vert\mathcal{L}\Vert_{infty}}\biggr）^{n-1}\Vert\omega_{1}-\欧米伽{0}\垂直{\infty}。\结束{对齐}$$

(4.1)

因此，对于\（m，n\in\mathbb{n}\）这样的话\（m>n\）,

$$\开始{对齐}\Vert\omega_{米}-\ω{n}\Vert_{infty}&\leq\Vert\omega_{米}-\ω{m-1}\垂直{infty}+\垂直ω_｛m-1｝-\ω{m-2}\Vert_{infty}+\cdots+\Vert_omega_{n+1}-\omega_}\Vert_{infty}\\&\leq\biggl（\frac{K}{\Vert\mathcal{L}\Verd\infty{}}\biggr）^{m-1}\Vert\omega_{1}-\omega_{0}\Vert_{infty}+\leq\biggl（\frac{K}{\Vert\mathcal{L}\Vert_{infty}}\biggr）^{m-2}\Vert\omega_{1}-\ω_{0}\Vert_{infty}+\cdots\\&\leq\biggl（\frac{K}{\Vert\mathcal{L}\Vert_{infty}}\biggr）^{n}\Vert\omega_{1}-\ω{0}\Vert_{infty}\\&\leq\biggl（\frac{K}{\Vert\mathcal{L}\Verd_{infty}}\biggr）_｛1｝-\ω_{0}\Vert_{infty}\\&\leq\biggl（\frac{K}{\Vert\mathcal{L}\Vert_{infty}}\biggr）_{1}-\ω_｛0｝\Vert _｛infty｝。\结束{对齐}$$

所以，对任何人来说\（epsilon>0\），存在\（m>n>p\）这样的话\（\|\omega_{米}-\ω{n}。这表明\（ω{n}）是Cauchy序列，因此收敛。□

现在我们讨论了所提出的非线性FADE求解方法的稳定性。为此，我们需要以下引理。

引理4.2

如果 \（ω（t）在矩阵{H}^{2}[a，b]\中）,那么存在一个常数 \（M>0） 这样的话

$$\Vert\omega\Vert_{infty}\leq M\Vert_omega\Vert_{\mathcal{H}^{2}}\quad\textit{和}\quad\bigl\Vert\mathcal}\omega'}\bigr\Vert_}\infty{\leq M \Vert\omega\Vert_H2}，}$$

哪里 \（[a，b]\}中的\|\omega\|_{\infty}=\sup\{|\omega（t）|t\）.

证明

出租\（ω^{（i）}（t）在矩阵{H}^{2}[a，b]\中）,\（i=0,1），我们有

$$\开始{对齐}\bigl\vert\omega^{（i）}（t）\bigr\vert&=\bigl\ vert\bigl\langle\omega^}（s），\mathcal{克}_{t} （s）\bigr\rangle_{\mathcal{H}^{2}}\bigr\ vert=\biggl\vert\biggl\ langle\omega（s），\frac{\partial^{i}}{\particals^{i{}}\mathcal{克}_{t} （s）\biggr\rangle_{\mathcal{H}^{2}}\biggr\vert\\&\leq\biggl\vert\frac{\partial^{i}}{\particals^{i{}}\mathcal{克}_{t} （s）\biggr\Vert_{\mathcal{H}^{2}}\bigl\Vert\omega。\结束｛对齐｝$$

 □

定理4.3

如果非线性衰减(3.1)有一个独特的解决方案,那么用RK方法得到的解是稳定的.

证明

假设\（ω_{n}（t）在矩阵{H}^{2}[a，b]\中）是等式的近似解(3.1)表单的

$$\omega_{n}（t）=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{i}\beta_{ik}\bigl（\mathcal{无}_{\sigma}\bigl（t_{k}，\omega（t_{k}）\bigr）\widehat{\Psi}_{i}（t）$$

(4.2)

并假设

$$\omega_{n}^{*}（t）=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^}i}\beta_{ik}\bigl（\mathcal{无}_{\sigma}\bigl（t_{k}，\omega（t_{k}）\bigr）+\epsilon（t_}k}）\figr）\widehat{\Psi}_{i}（t）$$

(4.3)

是的近似解\（\mathcal{L}\omega（t）=\mathcal{无}_{σ}（t，ω（t））+ε，其中\（ε（t））是小的有界扰动。我们将证明存在\（增量>0）这样的话\（\|\omega_{无}-\ω{n}^{*}。要显示这一点，请注意

$$\omega{n}^{*}（t）-\omega_{n}（t）=\sum{i=1}^{n}\sum_{k=1}^}i}\beta_{ik}\epsilon（t{k}）\widehat{Psi}{i}（c）$$

(4.4)

另一方面，因为\（\mathcal{L}^{-1}\）存在并且\（\mathcal{L}^{-1}\epsilon（t）\in \mathcal{H}^{2}[a，b]\），我们获得

$$开始{对齐}\mathcal{L}^{-1}\epsilon _{k=1}^{i}\beta_{ik}\bigl\langle\epsilon（t），\bigl（\mathcal{L}^{-1}\biger）^{star}\Psi_{k}（t\\&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^}{i}\beta_{ik}\epsilon（t_{k}）\widehat{\Psi}_{i}（t）。\结束{对齐}$$

(4.5)

因此，比较(4.4)和(4.5)，我们得到

$$\omega_{n}^{*}（t）-\omega_n}（t）=\mathcal{L}^{-1}\epsilon（t$$

自\（\数学｛L｝^｛-1｝\）持续打开\（[a，b]\），存在\（c>0）这样的话\（\|\mathcal{L}^{-1}\|_{\mathcal{H}^{2}}\leq c\）。因此，我们有

$$开始{对齐}\bigl\Vert\omega_{n}^{*}（t）-\omega_}n}\&\leq c\bigl\Vert\epsilon（t）\bigr\Vert_{\mathcal{H}^{2}}。\结束｛对齐｝$$

最后，这给

$$\bigl\Vert\omega_{n}^{*}（t）-\omega_}n}$$

因此\（δ=cM\|\epsilon（t）\|_{\mathcal{H}^{2}}\）完成定理的证明。□

5非线性FADE的RKA仿真

为了确保改进的RK方法在求解非线性FADE时的有效性和效率，以及使用CF-导数对计算质量和处理时间的影响，在本节中，我们对CF-导数中的两种FADE进行了一些数值示例。事实上，即使对于积分阶导数，也很难获得这些示例的精确解，只能找到近似解和数值解。因此，我们使用显示在[30]强调获得的近似解的准确性。此外，为了说明CF-导数对FADE的影响，我们比较了Hilbert空间中积分阶ADE和FADE中的RK解\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\）。RKA结果以表格和图形的形式使用2D图提供，这表明了根据时间方向上的分数阶对解的行为有显著影响。所有计算和绘图均通过Mathematica 12软件包进行。无论如何，残差函数可以如下构造

$$\开始{aligned}\operatorname{Res}（t）&={}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}（D）_{0}^{\alpha}\omega{n}（t）-\mathcal{无}_{\sigma}\bigl（t，\omega_{n}（t）\bigr）\\&=\frac{1}{1-\alpha}\int^{t}（t）_{a} \exp\biggl[{\frac{-\alpha（t-s）}{1-\alpha}}\biggr]\omega'{n}（s）\，ds-\mathcal{无}_{\sigma}\bigl（t，\omega_{n}（t）\bigr），\quad\sigma=1,2。\结束{对齐}$$

(5.1)

例5.1

考虑以下第一类CF-导数非线性衰减：

$$\开始{对齐}&{}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}（D）_{0}^{\alpha}\omega（t）+t\omega（t）+\omega^{2}（t）+t^{2{ω^{3}（t）=te^｛-t｝-t^{2} e（电子）^{-3t}，\quad 0<\alpha\leq 1，\\&\omega（0）=0。\结束{对齐}$$

(5.2)

通过应用RK算法\（t{i}=frac{i-1}{n-1}）,\（i=1，\ldot，n），并构造残差函数\（\操作符名{Res}（t）\）我们比较了近似解和残差\（α在｛0.85,0.9,0.95\｝中）什么时候\（n=30），所得结果包括在表中1为了以图形方式显示RK算法求解该示例的准确性，图中显示了几个阶CF-导数的近似解1对于\（在[0,1]\中）,\（n=30）、和\（α\{0.8,0.85,0.9,0.95,1\}）.表2显示的剩余误差\（阿尔法=1）和\（n=30，25），和20，其中剩余误差函数为

$$\operatorname{Res}（t）={}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}（D）_{0}^{α}ω{n}^{2} e（电子）^{-3t}$$

从表2我们可以将其视为n个增加，残差函数\（\操作符名{Res}（t）\）减少，这证实了所提算法的收敛性。

图1

示例CF-导数的分数阶曲线5.1：蓝色\（α=0.8），黄色\（α=0.85\），绿色\（α=0.9），红色\（α=0.95\）、和黑色\（阿尔法=1）

表1示例的数值结果5.1什么时候\（n=30\）

表2示例的残余误差值5.1在\（阿尔法=1）

例5.2

考虑以下第一类CF导数非线性FADE：

$$\开始{对齐}&{}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}（D）_{0}^{\alpha}\omega（t）=-\frac{1}{\cos^{2}^{2} -吨^{2} \omega（t）+\tan（t），\quad 0<\alpha\leq 1，\\&\omega。\结束{对齐}$$

(5.3)

要应用建议的算法，请取\（t{i}=frac{i-1}{n-1}）,\（i=1，\ldot，n），并构造残差函数

$$\operatorname{Res}（t）=\sin（t）{}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}（D）_{0}^{\alpha}\omega{n}（t）+\tan（t）\operatorname{sec}（t）\omega_{n}（t）^{3}-\omega_2}$$

总之，近似解的数值以表格和图表的形式总结如下：RK解和残余误差如表所示三对于\（α\{0.85,0.9,0.95,1}）和\（n=30）.表4显示的剩余误差\（ω{n}（t））对于不同的值n个和\（\alpha=1\）同时，近似解的CF-导数的分数阶曲线显示在图中的2D图中2对于\（α\{0.8,0.85,0.9,0.95,1\}）和\（n=30）这些结果表明，不同分数阶的解的行为是相互协调的。

图2

实施例CF导数的分数水平曲线5.2：蓝色\（α=0.8），黄色\（α=0.85），绿色\（α=0.9），红色\（α=0.95\），和黑色\（阿尔法=1）

表3示例的数值结果5.2什么时候\（n=30\）和\（α\{0.85、0.9、0.95、1\}）

表4剩余误差\（\操作符名{Res}（t）\）示例的5.2对于\（阿尔法=1）

示例5.3

考虑以下第二类CF-导数非线性FADE：

$$\开始{对齐}&\omega（t）{}^{\mathcal{CF}}\mathcal{D}（D）_{0}^{\alpha}ω（t）+t\omega（t）+ω^{2} e（电子）^{-3t}，\quad 0<\alpha\leq 1，\\&\omega（0）=1。\结束{对齐}$$

(5.4)

FADE的精确解(5.4)在\（阿尔法=1）是\（e^{-t}\）[27]. 通过应用RK算法，可计算区间内的绝对误差和相对误差$[0,1]$对于\（阿尔法=1）和\（n=30）在表中提供5步长为0.1。图三说明了精确解和RK解的曲线行为\（阿尔法=1）和\（n=30），而图4显示间隔期间的最大绝对误差$[0,1]$对于\（阿尔法=1）.

图3

示例的绝对误差5.3什么时候\（\alpha=1\）和\（n=30）

图4

完全正确\（ω（t））（红色）和RK溶液\（ω{30}（t））（虚线）示例5.3在\（阿尔法=1）

表5示例的绝对和相对误差5.3在\（阿尔法=1）

另一方面，表中给出了CF和Caputo分数导数之间近似解的数值比较6对于不同的分数\（α\{0.8,0.85,0.9,0.95\}）示例的5.3什么时候\（n=30）.图5说明了几个阶的CF-导数和Caputo导数中RKM解的分数阶曲线的行为α和\（n=30）因此，与使用卡普托导数的模拟公式相比，由于在CPU速度上花费的时间较长，所得结果表明计算具有很好的收敛性，因此优先使用新型CF-导数。

图5

示例近似解的分数阶曲线5.3：蓝色\（α=0.8），黄色\（α=0.85），绿色\（α=0.9），红色\（α=0.95\）、和黑线\（\alpha=1\）

表6示例RK解的数值比较5.3

6结论

本文实现了一类非线性分数阶Abel微分方程的再生核方法，该方程涉及具有指数核的CF-分数阶导数。使用再生核函数生成满足指定初始条件的基函数。在希尔伯特空间中，利用相关的RK理论开发了求解这两种FADE的数值算法。文中还讨论了FADE的稳定性和收敛性，而FADE中的RK解(4.1)在中被证明是稳定的\（\mathcal{H}^{2}[a，b]\）从数值实验中获得的结果表明，所提出的方法简单、稳健且令人印象深刻。此外，该方法具有处理非线性演化模型的能力。数值计算通过Mathematica 12-Wolfram提供。