a的径向解的存在性\（p（x）\）-拉普拉斯-狄利克雷问题

摘要

本文利用变分方法证明了广义径向解的存在性\（p（x）\）-拉普拉斯问题

$$-\Delta_{p（x）}u+R（x）u^{p（x）-2}u=a（x）\vert u\vert^{q（x）-2}u-b（x）\ vert u\ vert ^{R（x）-2-u$$

单位球中的Dirichlet边界条件\（\mathbb{R}^{N}\）（用于\（编号3）)，其中一,b条,R（右）是径向函数。

1引言

微分方程与非标准变分问题的研究\（p（x）\）-生长条件（或非标准\（（p，q）\）-生长条件）是一个吸引人的话题，近年来一直备受关注（参见[1]). 引起这种兴趣的原因如下：1）从物理上讲，这取决于他们对各种场产生的现象进行建模，例如电流变液的运动，这些场的特点是在外部电磁场的影响下，他们能够大幅改变其机械性能，非牛顿流体的热对流和图像处理；2） 在数学上，它依赖于这样一个事实：标准的数学技术不足以研究这些问题，它们需要新的技术。这可能是数学思想在纯数学活跃领域的核心发展，这些领域与PDE（例如[2–14]).

本文的目的是证明属于该空间的至少一个正径向解的存在性\（W_｛0｝^｛1，p（\cdot）｝（B）\cap L^｛q（\cdot）｝_｛a｝（B）\cap L^｛r（\cdot）｝_｛B｝（B）\）对于这个问题

$$\textstyle\begin{cases}-\Delta_{p（x）}u+R（x）u^{p（x）-2}u=a（x）\vert u\vert^{q（x）-2}u-b（x）\ vert u\ vert^{R（x）-2-}u，&x\在b中，\\u>0，&x\在b中$$

(1)

哪里\（Delta_{p（x）}:=div（|\nabla|^{p（x）-2}\nabla）\）,B类是以原点为中心的单位球\（\mathbb{R}^{N}\）,\（编号3）,\（C_{+}（B）中的p，q，r）,R（右）是一个正径向函数（在定理中引入1.1)，最后

$$a（x）=θ\bigl$$

（2）

哪里\（θ，L^{infty}（0,1）中的xi）是这样的θ是一个正的非恒定径向非衰减函数，并且ξ是一个非负的径向非递增函数。本文的主要结果陈述如下。

定理1.1

让 B类 是以原点为中心的单位球 \（\mathbb{R}^{N}\）,\（编号3）,然后让 \（C_{+}（B）中的p，q，r） 是这样的 \（p^{+}，r^{+{<q^{-}\）,\（r（x）<q（x）\） 一.e（电子）.在里面 B类,和 \（p（x）<q（x）<p^{*}（x）\） 一.e（电子）.在里面 B类,哪里 \（p^{*}（x）\） 是的Sobolev共轭 \（p（x）\）.假设 \（a，b\在L^{infty}（b）中\） 是非恒定径向函数，如(2).这个 \（p（x）\）-拉普拉斯-狄利克雷问题(1)允许至少一个径向递增解决方案 \（V=W_{0}^{1，p（\cdot）} 如果径向函数满足下列条件之一 \（R:B\右箭头[0，+\infty）\）:

• （i） \（R（x）=α,哪里 \（\alpha\geq 0\） 是一个实数.

• （ii） \（R\在L^｛\infty｝（B）\中） 和 \（\mu>0\）,哪里 \（W_{0}^{1中的\mu={\inf_{u\，p（\cdot）}（B）\backslash\{0\}}\frac{\int_{B}|\nabla u|^{p（x）}\，d\xi}{int_{B}|u|^}p（x，dx}\）.

在验证我们的方法之前，我们准备了一些准备工作。从现在开始，我们假设B类是以原点为中心的单位球\（\mathbb{R}^{N}\）,\（编号3\），然后我们设置

$$p^{-}=\inf_{x\在B}{p（x）}\quad\text{和}\quad p^{+}=\sup_{x\在B}{p（x）}中$$

哪里\（C_{+}中的p（\bar{B}）=C中的g^{-}>1\}）.广义勒贝格空间\（L^{p（\cdot）}（B）\）是所有可测量函数的集合u个在B类这样的话\（\nint_{B}|u（x）|^{p（x）}\，dx<+\infty\）符合规范

$$\vert u\vert _{p（\cdot）}=\inf\biggl\{\lambda>0:\int_{B}\biggl \vert\frac{u（x）}{\lampda}\bigr\vert^{p（x）{\，dx\leq 1\biggr\}$$

对于任何\（u\在L^{p（\cdot）}（B）中\）和\（v\在L^{p'（\cdot）}（B）中\），其中\（L^{p'（\cdot）}（B）\）是的共轭空间\（L^{p（\cdot）}（B）\），我们有Hölder型不等式

$$\biggl\vert\int_{B}-uv\，dx\biggr\vert\leq\biggl（\frac{1}{p^{-}}+\frac{1}{p^}\prime-}}\biggr）\vert u\vert_{p（\cdot）}\vert v\vert_p'（\cdop）}$$

以下命题在具有变分指数的Lebesgue空间中是众所周知的（例如，参见[15第2.7条）。

提议1.2

对于任何 \（在L^{p（x）}（B）中为u）,我们有

$$\vert u\vert _{p（x）}^{p^{-}}\leq\int_{B}\bigl\vert u（x）\bigr\vert ^{p（x）}\，dx\leq\ vert u\ vert _}p^{+}}$$

如果 \（|u|{p（x）}\geq1\） 和

$$\vert u\vert _{p（x）}^{p^{+}}\leq\int_{B}\bigl\vert u（x）\bigr\vert^{p（x）}\，dx\leq\ vert u\ vert _}p^{-}}$$

如果 \（|u|_｛p（x）｝<1\）.

通常，与\（L^{p（\cdot）}（B）\）定义如下：

$$W^{1，p（\cdot）}（B）=\bigl\{u:B\rightarrow\mathbb{R}:u，\vert\nabla u\vert\在L^{p（\cdot）}（B）\bigr\}中$$

被赋予了规范

$$\Vert-u\Vert_{p（\cdot）}=\Vert\nabla-u\Vert_{p$$

哪里\（纳布拉u=（部分u}{部分x_1}}（x），ldots，部分u}是的梯度u个在\（x=（x_｛1｝，\ldots，x_｛n｝）\）和往常一样，\（|\nabla u|=（\sum_{i=1}^{N}|\frac{\partial u}{\partic x_{i}}|^{2}）^{\frac}{1}{2}\）.我们设置\（W_{0}^{1，p（\cdot）}（B）=\上划线{（C_{0{^{\infty}（B），\|\cdot\|{p（\cdot）}\）我们知道\（L^{p（\cdot）}（B）\）,\（W^{1，p（\cdot）}（B）\）和\（W_{0}^{1，p（\cdot）}（B）\）是自反的、一致凸的和可分离的Banach空间。

下面的定理是[16，定理2.8]。

定理1.3

让Ω是中的有界光滑集 \（\mathbb{R}^{N}\）,然后让 \（C_{+}中的p，q（\bar{\Omega}）.然后

$$L^{q（\cdot）}（\Omega）\hookrightarrow L^{p（\cdop）}$$

当且仅当 \（p（x）\leq（x）\） 对于.e（电子）.\（x\英寸\欧米茄\）.

作为定理的结果1.3，我们有

$$W^{1，q（\cdot）}（\Omega）\hookrightarrow W^{1，p（\cdop）}$$

（3）

如果\（p（x）\leq（x）\）对于a.e。\（x\英寸\欧米茄\）.

以下命题在中得到了证明[17]（另请参见[18，定理8.2.4]）。

提议1.4

让Ω是中的有界光滑集 \（\mathbb{R}^{N}\）,然后让 \（p，q\在C_{+}中（\bar{\Omega}）\）.然后

• （i） 如果 \（q（x）<p^{*}（x）\） 对于任何 \（x\in\bar{\Omega}\）,然后是嵌入 \（W^{1，p（x）}（\Omega）\hookrightarrow L^{q（x）{（\O mega）\） 紧凑且连续,哪里

  $$p^{*}（x）=\textstyle\begin{cases}\frac{Np（x）}{N-p（x$$

• （ii） 有一个常数 \（C>0\） 这样的话

  $$\vert-u\vert_{p（x）}\leq C\vert\nabla-u\vert-{p（x）}\quad\textit{在W_{0}^{1，p（x$$

备注1.5

按部分\（二）命题的1.4我们可以看到\（\|u\|{*}=|\nablau|{p（x）}\）和\（{p（x）}）等效规范\（W_{0}^{1，p（x）}（B）\）.

引理1.6

让 \（R:B\右箭头[0，+\infty）\） 满足定理的一个条件1.1,并定义

$$\varrho（u）=\int_{B}\vert\nabla u\vert^{p（x）}+R（x）\vert u\ vert^}\，dx$$

(4)

然后存在一个常数 \（M>0） 这样的话

$$\Vert u\Vert _｛*｝^｛\check｛p｝｝\leq\varrho（u）\leq M\Vert u\Vert _｛*｝^｛\hat｛p｝｝｝$$

(5)

为所有人 \（u\在W_｛0｝^｛1，p（\cdot）｝（B）\中）,哪里

$$\check{p}=\textstyle\begin{cases}p^{+}，&\Vert u\Vert_{*}<1，\\p^{-}，&\Vert u \Vert_{*}\geq 1，\end{casesneneneep \displaystyle\qquad\hat{p}=\textstyle\ begin{cases}p ^{-{}，和\Vert u \Vert_2{*}<1，\ p^{++}，以及\Vert u\Vert_3{*}\ geq 1。\结束{cases}$$

(6)

证明

首先，假设\（\|u\|{*}=|\nablau|{p（\cdot）}\geq1\）,\（|u|_{p（\cdot）}\geq1\）.按命题1.2我们有

$$\Vert u\Vert _{*}^{check{p}}=\Vert\nabla u\Vert _{p（\cdot）}^{p^{-}}\leq\varrho（u）\leq\ Vert\napla u\Vert_{p$$

因此，根据庞加莱不等式（命题1.4，第（ii）部分），

$$\Vert u\Vert _{*}^{p^{-}}\leq\varrho（u）\leq\ bigl（1+C''\bigr）\Vert u \Vert _{*}^{p ^{+}}$$

(7)

现在假设\（\|u\|{*}=|\nablau|{p（\cdot）}\geq1\）,\（|u|{p（\cdot）}<1）.那么我们有

$$\Vert u\Vert _{*}^{check{p}}=\Vert\nabla u\Vert _{p（\cdot）}^{p^{-}}\leq\varrho（u）\leq\ Vert\napla u\Vert_{p$$

自\（|u|_{p（\cdot）}^{p^{-}}\leq C_{1}\|u\|_{*}^{p^{-{}}\leq C_}1}\ |u\| _{*{^p^{+}}\），这意味着

$$\Vertu\Vert_{*}^{p^{-}}\leq\varrho（u）\leq\ bigl（1+C'C_{1}\bigr）\Vertu\ Vert_{**}^{p^{+}}$$

(8)

现在假设\（\|u\|{*}=|\nablau|{p（\cdot）}<1）,\（|u|_{p（\cdot）}\geq1\）.然后通过命题1.2

$$\Vert u\Vert _{*}^{hat{p}}=\Vert\nabla u\Vert _{p（\cdot）}^{p^{+}}\leq\varrho（u）\leq\ Vert\napla u\Vert_{p$$

根据庞加莱不等式

$$\Vert u\Vert _{*}^{p^{+}}\leq\varrho（u）\leq\ bigl（1+CC'\bigr）\Vert u \Vert _{*}^{p_{+}}\leq \bigl$$

(9)

最后，假设\（\|u\|{*}=|\nablau|{p（\cdot）}<1）,\（|u|{p（\cdot）}<1）。那么

$$\Vert u\Vert _{*}^{hat{p}}=\Vert\nabla u\Vert _{p（\cdot）}^{p^{+}}\leq\varrho（u）\leq\ Vert\napla u\Vert_{p$$

和以前一样，\（|u|_{p（\cdot）}^{p^{-}}\leq C\|u\|_{*}^{p^{-{}}\），因此

$$\Vert u\Vert _{*}^{p^{+}}\leq\varrho（u）\leq\ bigl（1+CC'\bigr）\Vert u \Vert _{*}^{p ^{-}}$$

(10)

通过不平等(7)–(10)以及p̌和p̂英寸(6)我们得到了不平等(5).□

现在我们回顾一些符号和结果，以便进一步使用。对于径向函数\（a，b\在L^{infty}（b）中\）由提供(2)，我们考虑空间

$$L_{a}^{q（\cdot）}（B）=\biggl\{u:B\rightarrow\mathbb{R}:\int_{B} 一个（x） \vert u\vert ^｛q（x）｝\，dx<\infty\biggr\｝$$

符合规范\（|u|_{a，q（\cdot）}=\inf\{\lambda>0:\int_{B}a（x）|\frac{u（x）}{\lampda}|^{q（x）{\，dx\leq1\}\）同样，

$$L_{b}^{r（\cdot）}（b）=\biggl\{u:b\rightarrow\mathbb{r}:\int_{B} B条（x） \vert u\vert ^{r（x）}\，dx<\infty\biggr\}$$

符合规范\（|u|_{b，r（\cdot）}=\inf\{\lambda>0:\int_{b}b（x）|\frac{u（x）}{\lampda}|^{r（x）{\，dx\leq1\}\）.

定义1.7

（次微分）

让V（V）成为一个真正的巴拿赫空间，让\（V^{*}\）是它的拓扑对偶V（V）和\（V^{*}\）记为\（\langle\cdot，\cdot\rangle\）.让\（\Psi:V\右箭头（-\infty，+\infty]\）是一个适当的凸函数，并且\（2^{V^{*}}\）是的所有子集的集合\（V^{*}\）.次微分\（\部分\Psi:V\右箭头2^{V^{*}}\）Ψ的定义为以下集值运算符：

$$\partial\Psi（u）=\bigl\{u^{*}中的\bigl（V）\geq\Psi$$

对于\（域（\Psi）中的u=v中的v；\Psi（v）<\infty\}）、和\（\partial\Psi（u）=\emptyset\）如果\（域（\Psi）中没有）.

注意，如果Ψ是Gáteaux可微的u个其导数表示为\（D \ Psi（u）\），然后\（\部分\Psi（u）\）是独生子女。在这种情况下，\（\部分\ Psi（u）=\｛D\ Psi（u）\｝\）.

引理1.8

([19，定理1.5.3]）

让 V（V） 是自反的巴拿赫空间,然后让 \（I:V\右箭头\mathbb{R}\） 是连续凸泛函.然后 我 是弱下半连续的.

以下是Weierstrass定理（参见[19，定理1.5.6.]）。

定理1.9

让 V（V） 是自反的巴拿赫空间,然后让 \（I:V\右箭头\mathbb{R}\） 是弱下半连续矫顽泛函.然后 我 具有全局最小值点.

现在我们来定义函数的临界点。

定义1.10

（关键点）

让V（V）成为一个真正的巴拿赫空间，让\（C^{1}中的\Phi\（V，\mathbb{R}）\），并让\（\Psi:V\右箭头（-\infty，+\infty]\）成为一个合适的人（即Dom\（\Psi\ne\emptyset\）)凸函数和下半连续函数。让\（K\子集V\）是弱凸闭集。定义函数\（\Psi_{K}:V\rightarrow（-\infty，+\infty]\）通过

$$\Psi_{K}（u）：=\textstyle\begin{cases}\Psi（u），&u\in K，\\+\infty，&u\notin K$$

(11)

考虑功能

$$I_{K}:=\Psi_{克}-\菲律宾$$

(12)

我们这么说\（u\在V\中）是\（I_{K}\）如果\（D\Phi（u）\in\部分\Psi_{K}（u）\）或者，等价地，它满足不等式

$$\bigl\langle D\Phi（u），u-v\bigr\rangle+\Psi_{K}（v）-\Psi_{K}（u）\geq 0\quad\text{表示v中的所有}v\$$

(13)

请注意，全局最小点是一个临界点。

定义1.11

（PS压实度条件）

我们这么说\（I_{K}\）(12)对于任何序列，满足Palais–Smale（PS）紧性条件\（{u{n}）这样的话

• \（I_{K}（u_{n}）\rightarrow c\in\mathbb{R}\）和

• \（语言D\Phi（u_{n}），u_{n} -v型等级+\Psi _{K}（v）-\Psi _{K{（u_{n}）\geq-\epsilon _{n}

为所有人\（v中的v）作为\（\epsilon_{n}\rightarrow 0\），然后\（{u{n}）具有收敛子序列。

以下山路几何（MPG）定理在[20].

定理1.12

假设 \（I_{K}:V\右箭头（-\输入，+\输入]\） 形式为(12)并且满足PS紧致条件，并且满足以下条件:

• （i） \（I_{K}（0）=0\）,

• （ii） 存在 \（V中的e） 这样的话 \（I_{K}（e）\leq 0）,

• （iii） 存在一个正常数 ρ 这样的话 \（I_{K}（u）>0\） 如果 \（\|u\|=\rho\）.

然后 \（I_{K}\） 具有临界值 \（c\leq\rho\） 其特征在于

$$c＝\inf_｛g\in\Gamma\t\in[0,1]｝｛I_｛K｝\bigl（g（t）\bigr）｝$$

哪里 \（C（[0,1]，V）：g（0）=0，g（1）=e）.

下一个定理是[21，问题127，第81页]。

定理1.13

让 \（{u{n}） 是一系列不变的(连续或不连续)上的实数函数 \（[c，d]\） 逐点收敛为连续函数 \（u:[c，d]\rightarrow\mathbb{R}\）.那么收敛是一致的.

证明

让\（u:=\lim_{n\rightarrow\infty}u_{n}\），并让\（\varepsilon>0\）。我们必须证明这一点n个足够大，

$$\bigl\vert u_{n}（x）-u（x）\bigr\vert\leq\varepsilon\quad\text{表示[c，d]中的所有}x\$$

自u个假设是连续的，则它在紧区间上一致连续\（[c，d]\）。所以有一个细分\（c=x{0}<x{1}<cdots<x{k}=d\）属于\（[c，d]\）这样u个在每个间隔\（[x{i}，x{i+1}]\）小于\（压裂{\varepsilon}{2}\）.自\（u{n}（x{i}）\右箭头u（x{i}）作为\（n\rightarrow\infty\）对于\（i=0，\ldots，k\），有M（M）如果\（n \geq M），然后

$$\bigl\vert u_｛n｝（x_｛i｝）-u（x_｛i｝）\bigr\vert\leq\frac｛\varepsilon｝｛2｝\fquad\text｛for｝i=0，\ldots，k$$

让我们检查一下\（|u{n}（x）-u（x）|\leq\varepsilon\）对于每个\（n \geq M）以及所有\（x\英寸[c，d]\）.修复\（n \ geq M \）并拿走任何\（x\英寸[c，d]\）。我们可以选择我这样的话\（x\在[x{i}，x{i+1}]\中）.由于功能\（u{n}\）没有减少，我们有

$$u{n}（x{i}）\lequ{n{（x）\leq u{nneneneep（x{1}）$$

自\（u{n}（x{i}）-u（x{i}）和\（u{n}（x{i+1}）-u（x{1+1}不大于\（压裂{\varepsilon}{2}\），因此

$$u（x{i}）-\frac{\varepsilon}{2}\lequ{n}（x）\lequ（x_{i+1}）+\frac}\varepsilon}{2}$$

此外，由于u个在\（[x{i}，x{i+1}]\）小于\（压裂{\varepsilon}{2}\）从那以后\（x\在[x{i}，x{i+1}]\中），我们也有\（u（x{i}）\gequ（x）-\frac{\varepsilon}{2}\）和\（u（x{i+1}）\lequ（x）+\frac{\varepsilon}{2}\）总的来说，这给了

$$u（x）-\压裂{2\varepsilon}{2}\lequ{n}（x）\lequ（x$$

证明到此结束。□

2 \（p（x）\）-拉普拉斯方程

这里我们回顾一下在[22].

定义2.1

（逐点不变条件）

让V（V）, Ψ, Φ,K（K）定义如下1.10我们说三重\（（\Psi，\Phi，K）\）满足点的逐点不变性条件\（单位：V\）如果存在凸Gâteaux可微函数\（G:V\右箭头\mathbb{R}\）还有一点\（v\单位为K\）这样的话

$$D\Psi（v）+DG（v）=D\Phi（u）+DG.（u）$$

定理2.2

让 V（V） 是自反的巴拿赫空间,然后让 K（K） 是的弱闭凸子集 V（V）.让 \（\Psi:V\右箭头（-\infty，+\infty]\） 是G¨teaux可微的凸下半连续函数 K（K）,然后让 \（C^{1}中的\Phi\（V，\mathbb{R}）\）.假设以下两个条件成立:

• （i） 功能 \（I_{K}:V\右箭头（-\输入，+\输入]\） 由定义 \（I_{K}（w）=\Psi_{Kneneneep（w）-\Phi（w）\）,哪里 \（\Psi_{K}\） 定义于(11),有一个临界点 \（单位：V\） 按定义1.10,

• （ii） 三人组 \（（\Psi_{K}，\Phi，K）\） 满足点的逐点不变性条件 u个.

然后 \（单位：K\） 是方程的解

$$D\Psi（u）=D\Phi（u）$$

应用定理2.2，考虑自反Banach空间

$$V=W_{0，rad}^{1，p（\cdot）}（B）\cap L^{q$$

(14)

被赋予了规范

$$\Vert u\Vert _{V}=\Vert u \Vert _{*}+\Vert u \Vert _{a，q（\cdot）}+\Vert u \Vert _{b，r（\cdop）}$$

哪里

$$W_{0，rad}^{1，p（\cdot）}（B）=\bigl\{u|u\在W_{0}^{1中，p（\ cdot）{（B），\text{和}u\text{是radial}\bigr\}$$

定义2.3

（弱溶液）

让\（p，q，r\在C_｛+｝（B）\中）,\（a，b\在L^{infty}（b）中\）、和R（右）如定理所示1.1，并让V（V）是中的空间(14). 我们这么说\（单位：V\）是问题的（弱）解决方案(1)如果u个是递增的并且满足Dirichlet边界条件，并且如果以下等式对所有情况都成立\（V中的w）:

$$开始{aligned}&\int_{B}\vert\nabla u\vert^{p（x）-2}\nabla u\nabla w\，dx+\int_}B}R（x）\vert u\vert ^{p \，dx。\结束{对齐}$$

(15)

为了证明这一观点，我们考虑了与问题相对应的欧拉-拉格朗日能量泛函(1)

$$开始{对齐}I（u）&：=\frac{1}{p（x）}\biggl（\int_{B}\bigl\vert\nabla u（x）\bigr\vert^{p（x）}+R（x）\ bigl\ vert u（x \，dx-\frac{1}{q（x）}\int_{B}a（x）\vertu\vert^{q（x）}\，dx\end{aligned}$$

凸闭集上

$$K={u\在V:u\geq0中，u\text{是一个递增的径向函数}\}$$

(16)

关于定理2.2，我们定义\（\psi，\varphi:V\rightarrow\mathbb{R}\）通过

$$\psi（u）=\frac{1}{p（x）}\int_{B}\vert\nabla u\vert^{p（x）}+R（x）\vert u\vert ^{p$$

(17)

和

$$\varphi（u）=\frac{1}{q（x）}\int_{B}a（x）\vertu\vert^{q（x）}\，dx$$

(18)

请注意ψ是一个真的、凸的和下半连续的\（D\varphi（u）=a（x）|u|^{q-2}u\).因此φ是一个\（C^{1}\）-空间上的函数V（V）。让我们介绍一下功能\（I_{K}:V\右箭头（-\输入，+\输入]\）由定义

$$I_{K}（u）=\psi_{Kneneneep（u）-\varphi（u）$$

(19)

哪里\（磅/平方英寸{K}）与中相同(11). 请注意\（I_{K}=I=\psi-\varphi\）在K（K）.我们证明了定理1.1分两步进行。

第1步。我们证明了这一点\（I{K}=\psi{K}-\varphi\）有一个关键点K（K）为此，我们使用MPG定理（定理1.12)，其中我们需要以下引理。

引理2.4

存在 \（C>0\） 这样的话

$$\Vert u\Vert _{*}\leq\Vert u \Vert _{V}\leq C\Vert u \Vert e_{*}\quad\textit{代表K中的所有}u$$

证明

使用Hölder不等式和备注1.5，我们得到

$$\开始{aligned}\Vert u\Vert_{*}\leq\Vert u \Vert_{V}&=\ Vert u \ Vert_{*}+\ Vert u \Vert_{a，q（\cdot）}+\Vert u \ Vert_{b，r（\cdop）}\\&\leq\ Vert u\ Vert_ _{r（\cdot）}\\&\leq\Vertu\Vert_{*}+c_{1}\verta\Vert_{infty}\垂直u\Vert_{q（\cdot）}+c_{2}\Vert b\Vert_{infty}\Vert u\Vert_{r（\cdop）}\\&\leq（1+c_{1}+c_}2}）\Vert u \Vert_}。\结束{对齐}$$

 □

引理2.5

让功能 \（I_｛K｝：V\rightarrow\mathbb｛R｝\） 由定义(19).然后 \（I_{K}\） 满足中的PS紧致条件 K（K）.

证明

假设\（{u{n}）是中的序列K（K）这样的话\（I_{K}（u_{n}）\rightarrow c\in\mathbb{R}\）,\（\epsilon_{n}\rightarrow 0\）、和

$$\bigl\langle D\varphi（u_{n}），u_{n} -v型更大的范围+\psi_{K}（v）-\psi_{K}（u_{n}）\geq-\epsilon{n}\Vert v-u_{n}\Vert_{v}$$

(20)

为所有人\（v中的v）。我们证明了这一点\（{u{n}）在中具有收敛子序列V（V）首先，请注意\（域中的u_{n}（psi））。那么

$$I_{K}（u_{n}）=\psi_{K{（u_n}）-\varphi（u_n}）\rightarrowc\quad\text{as}n\rightarror\infty$$

因此，对于较大的值n个，我们有

$$\psi_{K}（u_{n}）-\varphi（u_n}）\leq 1+c$$

(21)

此外，

$$\bigl\langle D\varphi（u_{n}），u_{n}\bigr\rangle=\int_{B}a（x）u_{n}（x）^{q（x）}\，dx\geq^{-}\varphi$$

(22)

现在考虑一下功能\（g（s）=s^{r^{+}}-q^{-}（s-1）-1\）关于区间\（（1，+\输入）\）.设置\（s^{*}=（\frac{q^{-}}{r^{+}}）显然，\（克<0）为所有人\（在（1，s^{*}）中为\）.我们选择这样一个数字秒.所以我们有\（s>1\）和\（s^｛r^｛+｝｝-1＜q^｛-｝（s-1）\）.设置\（v=su{n}\）英寸(20)，我们可以看到

$（1-s）\bigl\langle D\varphi（u_{n}），u_{n}\bigr\rangle+\bigl$$

(23)

因此

$$（s-1）q^{-}\varphi（u_{n}）-\bigl（s^{r^{+}}-1\biger）\psi_{K}$$

(24)

采取\（阿尔法>0）这样的话

$$\frac｛1｝｛q^｛-｝（s-1）｝<\alpha<\frac｛1｝｛s^｛r^｛+｝}-1｝$$

乘法(24)由α总结一下(21)，我们得到

$$开始{对齐}和\bigl[\alpha q^{-}（s-1）-1\bigr]\frac{1}{q^{+}}\int_{B}a（x）\vert u_{n}\vert^{q（x）}\，dx+\frac}[\alfa（1-s^{r^{+{}}）+1]}{p（x）{\varrho（u_{n}）\&\quadr{}+\frac{1}{r^}+}}}\nint_{B}B（x）\vertu\vert^{r（x）}\，dx\leq c+1+\alpha c\Vertu_{n}\vert_{V}，\end{aligned}$$

哪里ϱ定义如下(4). 然后

$$开始{对齐}和\bigl[\alpha q^{-}（s-1）-1\bigr]\frac{1}{q^{+}}\int_{B}a（x）\vert u_{n}\vert^{q（x）}\，dx+\frac}[\alfa（1-s^{r^{+{}}）+1]}{p^{+neneneep}\vert u_}\vert_{*}^{检查{p}}qc+1+\alpha c\Vertu{n}\vert_{V}。\结束{对齐}$$

所以根据引理(2.4)存在\（C^{\prime}>0\）这样的话

$$\Vertu{n}\Vert_{*}^{检查{p}}\leq C^{prime}\bigl（1+\Vertu_{n}\ Vert_{**}\bigr）$$

因此\（{u{n}）是自反空间中的有界序列\（W_{0，rad}^{1，p（\cdot）}（B）\）Sobolev空间中的标准结果表明存在\（在W_{0，rad}^{1，p（\cdot）}（B）中为\bar{u}\）这样，直到后续\（C_{+}（B）中的\）,

• \（u{n}\rightharpoonup\bar{u}\）在里面\（W_{0，rad}^{1，p（\cdot）}（B）\）;

• \（u{n}\右箭头\bar{u}\）在里面\（L^{s（\cdot）}（B）\）,\（s（x）<p^{*}（x）\）即：。；

• \（u_{n}（x）\右箭头\bar{u}（x）\）a.e.英寸B类;

• 存在\（w_{s}\在L^{s（\cdot）}（B）中\）这样的话\（|u{n}（x）|\leqw{s}（x）\）a.e.英寸B类以及所有人\（n\in\mathbb{n}\）哪里\（s（x）<p^｛*｝（x）\）.

此外，请注意\（u{n}\）是径向的，所以ū也是径向的。此外，\（K\中的\bar{u}\）.因此\（Dom（\psi）中的\bar{u}\）。现在进入(20)更换v（v）具有ū:

$$开始{对齐}&{-}\int_{B}a（x）\vert u_{n}\vert ^{q（x）-1}x）\bigl（\vert\bar{u}\vert^{r（x）}-\vert u_{n}\vert ^{r$$

哪里ϱ定义如下(4). 一方面，我们有

$$\biggl\vert\int_{B}a（x）\vert u_{n}\vert^{q（x）-1}$$

和\（u{n}\右箭头\bar{u}\）在里面\（L^{r（x）}（B）\）另一方面，\（{u_{n}\}\子集K\）等等\（\{|\bar{u} -u个_{n} |\}\），作为\（{u{n}）是由收敛到连续零函数的非递减函数组成的序列。现在多亏了定理1.13后一个不等式的右边为零。因此，传递到极限

$$\limsup_{n\rightarrow\infty}\varrho（{u_{n}}）\leq\varrho（{\bar{u}}$$

（25）

索赔：存在正常数C类这样的话\（\varrho（{u_{n}}-\bar{u}）\leq C\varrho（{\bar{u}}）\），然后\（{\varrho（{u{n}}-\bar{u}）是一个有界序列。

首先，假设\（|\nabla u{n}|\leq|\nabla\bar{u}|\），所以\（|\nabla u_{无}-\nabla\bar｛u｝|\leq 2|\nabla\bar｛u｝|\）。那么

$$\int _｛B｝\vert\nabla u美元_{无}-\纳布拉\bar{u}\vert^{p（x）}\，dx\leq2^{p^{+}}\int_{B}\vert\nabla\bar{u}\vert_p^{x）}\，dx \leqc\varrho（\bar{u}）$$

如果\（|\nabla u{n}|\geq|\nabla\bar{u}|\）因此\（|\nabla u_{无}-\纳布拉\bar{u}|\leq 2|\nablau{n}|\），然后通过不等式(25)

$$\int_{B}\vert\nabla u_{无}-\nabla\bar{u}\vert^{p（x）}\，dx\leq2^{p^{+}}\int_{B}\vert\nabla u_{n}\vert_p^{p$$

现在假设\（|u_{n}|\leq|\bar{u}|\）.通过不平等\（|u_{无}-\条{u}|\leq|u{n}|+\bar{u}|\leq 2|\bar{u}|\）我们有

$$\int_{B}\vert u_{无}-\条{u}\vert^{p（x）}\，dx\leq 2^{p^{+}}\int_{B}\vert\bar{u}\ vert^}，dx\ leq c'\varrho（\bar{u{）$$

最终，如果\（|u_{n}|\geq|\bar{u}|\）因此\（|u_{无}-\条{u}|\leq 2|u{n}|\）然后是不平等(25)我们有

$$\int_{B}\vert u_{无}-\条{u}\vert^{p（x）}\，dx\leq 2^{p^{+}}\int_{B}\vert u_{n}\vert_p^{p$$

因此\（\varrho（u_{无}-\bar{u}）\leq C\varrho（\bar{u{）\），其中\（C=C+C'|R|_{\infty}\）从而证明了我们的主张。事实上，我们已经\（u_{n}，\bar{u}在W_{0，rad}^{1，p（\cdot）}（B）中\）和\（u_｛n｝（x）\rightarrow\bar｛u｝（x）\）a.e.英寸B类，所以\（\nabla u{n}（x）\rightarrow\nabla \bar{u}（x）\）a.e.英寸B类.因此

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\varrho（u_{无}-\条{u}）=\int_{B}\lim_{n\rightarrow\infty}\vert\nabla u_｛n｝-\nabla\bar{u}\vert^{p（x）}+R\bigl（\vert x\vert\bigr）\lim_{n\rightarrow\infty}\vert u_{无}-\条{u}\vert^{p（x）}\，dx=0$$

但根据引理1.6，我们有\（{\|u_{无}-\条{u}\|{*}}^{check{p}}\leq\varrho（u_{无}-\条{u}）\），因此\（\|u_{无}-\条{u}\|_{*}\rightarrow 0\）。因此，

$$\垂直u_{无}-\bar{u}\Vert_{V}=\垂直u_{无}-\条{u}\垂直_{*}+\垂直u_{无}-\bar{u}\vert_{a，{q（\cdot）}}+\vert u_{无}-\条{u}\vert_{b，{r（\cdot）}}\rightarrow 0$$

因此\（u{n}\右箭头\bar{u}\）强烈地处于V（V）根据需要。□

引理2.6

让 \（V=W_{0，rad}^{1，p（\cdot）}（B）\cap L_{a}^{q（\cdop）} 并考虑功能 \（I:V\rightarrow\mathbb｛R｝\） 由定义

$$I（u）：=\psi（u）-\varphi（u）$$

哪里 ψ 和 φ 如中所示(17)和(18),分别地.然后 我 在中有一个重要的临界点 K（K）.

证明

我们证明了这一点我满足MPG定理的条件。很明显\（I（0）=0）.接受\（单位：K\）。那么接下来就是

$$I（te）\leqM\frac{t^{p^{+}}{p（x）}\Verte\Vert_{*}^{hat{p}}+\frac{t^}r^{+{}}{r（x）{}\int_{B}B（x）\verte\Vert^{r（x）}\，dx-\frac}t^{q^{-}}{q（x）垂直^{q（x）}\，dx$$

现在让我们\（p^{+}，r^{+{<q^{-}\）.然后针对t吨足够大，\（I（te）\）为负值。

满足MPG定理的条件（iii）。让\（域中的u（psi））具有\（\|u\|{V}=\rho>0\）注意，通过引理2.4，用于\（单位：K\），我们有

$$\Vertu\Vert_{*}\geq\frac{\Vertu\ Vert_{V}}{1+C1+C_{2}}$$

(26)

此外，

$$\varphi（u）=\frac{1}{q（x）}\int_{B}a}^{\tilde{q}}=C_{4}\rho^{\ tilde{q}}$$

(27)

哪里C类与命题中的相同1.4（ii），和

$$\tilde{q}=\textstyle\begin{cases}q^{-}，&\vert u\vert_{p（\cdot）}<1，\\q^{+}，&\vert u \vert_{p（\tdot）}\geq 1。\结束{cases}$$

关系(26)和(27)暗示

$$I_{K}（u）\geq\frac{\rho^{\check{p}}{p^{+}（1+C_{1}+C_}2}）^{p^}+}}-C_{4}\rho_{\tilde{q}}>0$$

哪里

$$\check{q}=\textstyle\begin{cases}q^{+}，&\Vertu\Vert_{*}<1，\\q^{-}，&\Vertu\ Vert_{**}\geq1，\end{casesneneneep$$

前提是\（\rho>0\）足够小\（\检查{p}=p^{+}<q^{-}=\波浪线{q}\）和\（C_{1}\）,\（C_{2}\）,\（C_{3}\）,\（C_{4}\）为正常数。如果\（单位：多姆（磅/平方英寸），那么很明显\（I（u）>0）. □

第2步我们显示了三元组\（（\psi_{K}，\varphi，K））满足点态不变性条件u个什么时候\（G=0）。为了显示此语句，我们需要以下引理。

引理2.7

让 \（C_{+}（\bar{B）}中的p\）,然后让 \（p^{\素数}（x）=\分形{p（x）}{p（x）-1}\） 是的共轭指数 \（p（x）\）.Let径向函数 \（R:\mathbb{R}\rightarrow[0，+\infty）\） 满足下列条件之一:

• （i） \（R（x）=α,哪里 \（阿尔法>0） 是一个实常量.

• （ii） \（L^{infty}（B）中的R） 和 \（\mu>0\）,哪里 \（W_{0}^{1中的\mu={\inf_{u\，p（\cdot）}（B）\backslash\{0\}}\frac{\int_{B}|\nabla u|^{p（x）}\，d\xi}{int_{B}|u|^}p（x，dx}\）.

让 \（f:B\rightarrow\mathbb{R}\） 是连续函数.假设存在 \（阿尔法，贝塔>0） 这样，对于任何 \（在L^{p（x）}（B）中为u）,

$$\bigl\vert f\bigl（u（x）\bigr）\biger\vert\leq\alpha+\beta\bigl\ vert u（x$$

和

$$f\bigl（u（x）\bigr）u（x）\leq 0$$

那么对于每个 \（h\在L^{p^{prime}（\cdot）}（B）中\）,这个问题

$$\textstyle\begin{cases}-\Delta_{p（x）}u+R（x）u^{p（x）-2}u=f（u）+h（x），&x\in B，\\u=0，&x\ in \partial B，\end{casesneneneep$$

(28)

至少接受一个弱解决方案.

证明

首先，请注意，通过集成u个我们可以看到存在\（阿尔法{1}，贝塔{1}>0\）这样的话

$$\bigl\vert F\bigl（u（x）\biger）\bigr\vert\leq\alpha_{1}+\beta_{1{}\bigl\ vert u（x）\ bigr\ vert^{p^{*}（x）}$$

为所有人\（u:B\rightarrow\mathbb｛R｝\）和\（F（u（x））\leq 0\）为所有人\（在L^{p（x）}（B）中为u），其中\（F（t）=\int_{0}^{t}F（s）\，ds\）现在考虑与问题对应的以下能量函数(28)上的\（W^{1，p（\cdot）}_{0}（B）\）:

$$J（u）=\frac{1}{p（x）}\int_{B}\vert\nabla u\vert^{p（x）}+R（x）\vert u\vert ^{p$$

通过Hölder不等式，备注1.5、和引理1.6我们有

$$J（u）\geq\frac{1}{p^{+}}\垂直u\Vert_{*}^{检查{p}}-C\垂直u\垂直{*}$$

自\（在C（\bar{B}）中为p\）,J型是强制性的，并且明显是弱下半连续的\（W_{0}^{1，p（\cdot）}（B）\）因此，根据Weierstrass定理（定理1.9)J型有一个全局最小点，这意味着这个问题(28)至少接受一种解决方案。□

引理2.8

让 \（域中的u（psi））.然后就有了 \（v\在Dom中（\psi）\） 这样的话

$$-\Delta_{p（x）}v+R（x）v^{p（x）-1}=a（x）u（x）^{q（x）-1}-b（x）v ^{R（x）-1-}$$

证明

让\（域中的u（psi）），所以\（K中的0）。对于\（f（v（x））=-b（x）（v（x））^{r（x）-1}\），我们可以看到

$$f\bigl（v（x）\bigr）v（x$$

所以根据引理2.7如果满足以下条件，这个问题至少可以有一个解决方案\（h（x）=a（x）u（x）^{q（x）-1}）属于\（L^{p^{\素数}（x）}（B）\）然而，我们已经

$$\int_{B}\bigl\vert h（x）\bigr\vert^{p'（x）}\，dx\leq C\int_}\bigle\vert u$$

自\（C_{+}（B）中的p\）和\（p（x）<q（x）\），我们有\（p^{prime}（x）（q（x）-1）=frac{p（x）}{p（x）-1}（q（x）-1）>1\）还有\（L^{infty}（B）中的a）。结果已实现。□