关于范数的注记米-加权型空间之间的线性积分型算子

摘要

我们找到了一个有界的充要条件米-在函数的加权型空间之间的线性积分型算子，并计算该算子的范数，补充了L.Grafakos及其合作者的一些结果。我们还提出了一个不等式，该不等式详细解释了线性积分型算子在\（L^{p}（{\mathbb{R}}^{n}）\）空间。

1介绍

在本注释中，自然数的集合表示为\（{\mathbb{N}}\），reals集合\（{\mathbb{R}}\），正实数集\（{\mathbb{R}}_{+}\）欧几里德学派n个-范数空间\（|x|=（\sum_{j=1}^{n} x个_{j} ^{2}）^{1/2}\）,\（x=（x{1}，\ldots，x{n}）\），由\（｛\mathbb｛R｝｝^｛n｝\），单位球体\（{\mathbb{R}}^{n}\）通过\（\mathbb{S}\），的\（n-1）-尺寸表面测量\（d\sigma（\zeta）\）,\（\sigma_{n}=\sigma（\mathbb{S}）\），标准化曲面测量\（dσ（zeta）/σ{n}）表示为\（d\sigma_{N}（\ zeta）\），打开单元球\（{\mathbb{R}}^{n}\）通过\（{\mathbb{B}}\），打开单元球\（{\mathbb{R}}^{n}\）居中于一和半径第页通过\（B（a，r）\），勒贝格体积测量\（{\mathbb{R}}^{n}\）通过\（dV（x）\）,\（v_｛n｝=v（｛\mathbb｛B｝｝）\），归一化勒贝格体积测量\（dV（x）/v_{n}\）表示为\（dV_{N}（x）\），而\（升^{p}_{\alpha}（\Omega）\）表示域上的加权勒贝格空间\（\Omega\subseteq{\mathbb{R}}^{n}\）带着重量\（w（x）=|x|^{alpha}\）也就是说，

$$L_{\alpha}^{p}（\Omega）=\biggl\{f:\Vert f\Vert_{L_{alpha}^{p{（\欧米茄）}:=\bigl（\int_{\Omega}\bigl\Vert f（x）\bigr\Vert^{p}\，dV_{\alpha}（x）\ biggr）^{1/p}<+\infty\biggr\}$$

哪里\（1\le p<+\infty）,\（阿尔法>-n\）、和\（dV_{\alpha}（x）=|x|^{\alfa}\，dV（x）\）（用于\（阿尔法=0），空间缩小到标准\（L^{p}\）域上的空间；参见例如[1]). 如果\（k，l\在{\mathbb{N}}\中）是这样的\（k\le l），然后是符号\（j=\上一行{k，l}\）代表所有的集合\（j\在{\mathbb{N}}\中）这样的话\（k\le j\le l）.

加权型空间\（H_{\alpha}^{\infty}（{\mathbb{R}}^{n}）,\（阿尔法>0），包括所有可测量的功能（f）这样的话

$$\Vertf\Vert_{H_{\alpha}^{\infty}}：=\operatorname{ess}\sup_{x\in{\mathbb{R}}^{n}}\Vert x\Vert^{\ alpha}\bigl\vertf（x）\bigr\Vert<\infty$$

功能\（\|\cdot\|_{H_{\alpha}^{\infty}}\）是空间上的一个范数，在这里，我们像往常一样识别以下函数数字电压几乎处处平等。各种域上的加权类型空间经常出现在文献中并且非常适合于研究（例如[2–7]以及其中的参考）。

以下积分型运算符

$$\开始{对齐}L（f）（x）=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f（t）\，dt，\四元x\ne0，\end{aligned}$$

(1)

是一个基本的线性算子，已经在许多函数空间中进行了研究。从主要结果来看[8]（另请参见[9])我们知道这个算子是有界的\（L^{p}（{\mathbb{R}}_{+}）\）空格，当\（p>1）。此结果后来在[10]通过证明以下公式：

$$\垂直L\垂直_{L^{p}_｛\alpha｝（｛\mathbb｛R｝｝_｛+｝）\到L^{p}_{\alpha}（{\mathbb{R}}_{+}）}=\frac{p}{p-\alpha-1}$$

(2)

对于\（p>\alpha+1）用现在的术语来说。

尽管有许多线性算子的范数可以计算（参见，例如[1,4–28]以及其中的相关参考文献），事实上，它们非常罕见，因为对于许多其他操作符来说，规范只能通过一些量来估计。这些运算符中的一些是积分型运算符，这是最近相当感兴趣的主题（例如[11,13–21,23–25,28–34]以及其中的相关参考文献）。

操作员(1)在年被推广[35]通过介绍以下内容n个-维度积分型运算符：

$${\mathcal{H}}（f）（x）=\frac{1}{V（B（0，\vertx\vert））}\int_{B（0、\vert x\vert]）}f（y）\，dV（y），{\mathbb{R}}^{n}\setminus\{0\}中的四元x\$$

(3)

关于非负局部可积函数\（{\mathbb{R}}^{n}\）.

在[11]结果表明，算子的范数\（{\mathcal{H}}:L^{p}（{\mathbb{R}}^{n}）到L^{p}（}\mathbb{R}}^}）可以计算。即，以下公式成立：

$$\Vert{\mathcal{H}}\Vert_{L^{p}（{\mathbb{R}}^{n}$$

(4)

与中的公式匹配(2)带有\（阿尔法=0）.

请注意\（{\mathcal{H}}（f）（x\zeta）=（f）对于每个\（{\mathbb{S}}中的\ zeta\），即函数\（{\mathcal{H}}（f）（x）\）对于每（f）、和

$${\mathcal{H}}（f）（x）=\frac{1}{V（B（0，\vertx\vert）$$

我们使用了变量的变化\（y=|x|z\）事实上\（V（B（0，|x|））=|x|^{n} V（V）（{\mathbb{B}}）\）.

在[13]以下内容米-算子的线性扩张(三)推出时间：

$${\mathcal{H}}^{m}（f_{1}，\ldots，f_{m}）（x）=\frac{1}{v_{mn}\vertx\vert^{mn}}\int_{vert（y_{1{，\ltots，y_{m{）\vert<\vertX\vert}\prod_{j=1}^{m} （f）_{j} （y{j}）\，dV（y{1}）\cdots \，dV（y{m}）$$

(5)

哪里\（m\在{\mathbb{N}}\中）,\（x\in｛\mathbb｛R｝｝^｛n｝\setminus\｛0\｝\）,\（y_{1}，\ldot，y_{m}在{\mathbb{R}}^{n}中）,\（y{j}=（y{j}^{1}，\ldots，y{j{^{n}）,\（j=\上划线{1，m}\）,

$$\bigl\vert（y_{1}，\ldots，y_{m}）\bigr\vert=\Biggl（\sum_{j=1}^{m}\verty_{j}\vert ^{2}\Biggr）^{1/2}=\bigl（\sum _{j=1}^{m}\sum _{l=1}^}n}\bigl$$

\（f_｛j｝\）,\（j=\上划线{1，m}\），是上的非负局部可积函数\（{\mathbb{R}}^{n}\）以及米-线性算子是由加权Lebesgue空间的乘积计算出来的\（\prod_{j=1}^{m}L^{p_{j}}{{alpha_{j} 第页_{j} /p}（{\mathbb{R}}^{n}）\）到\（L_{\alpha}^{p}（{\mathbb{R}}^{n}），在对参数提出的某些条件下第页,α,\（p_｛j｝\）、和\（阿尔法{j}）,\（j=\上划线{1，m}\）.

对于规范的定义米-线性运算符和一些基本示例，例如，请参见[36第51–55页]。

另请注意\（{\mathcal{H}}^{m}（f）（x\zeta）=对于每个\（{\mathbb{S}}中的\ zeta\），即函数\（{\mathcal{H}}^{m}（f）（x）\）是径向的（f）、和

$${\mathcal{H}}^{m}（f_{1}，\ldots，f_{m}）{m}）$$

(6)

我们使用了变量的变化\（y{j}=x|z{j}\）,\（j=\上划线{1，m}\）.

我们这里的主要目的是补充[13]通过计算算子的范数\（｛\mathcal｛H｝｝^｛m｝：\prod_｛j＝1｝^｛m｝H_｛\alpha_｛j｝｝^｛infty｝（｛\mathbb｛R｝｝^｛n｝）\到H_｛\alpha｝^｛infty｝（｛\mathbb｛R｝｝^｛n｝）\）在这种情况下\（阿尔法=sum{j=1}^{m}阿尔法{j}）。我们还解释了主要结果证明中出现的细节[11].

以下已知公式将笛卡尔坐标中的积分转换为\（{\mathbb{R}}^{n}\），将在以下章节中频繁使用：

$$\int_{{mathbb{R}}^{n}}f（x）\，dV（x）=int_{0}^{infty}\nint_{mathbb{S}}f（\rho\ zeta）\，d\sigma（\zeta）\rho^{n-1}\，d\\rho$$

(7)

哪里（f）是一个非负的可测函数（参见，例如[1第149-150页）。

2主要成果

本节介绍并证明了我们在本说明中的主要结果。

2.1算子的有界性(5)加权型空间之间

首先我们考虑运算符(三). 我们单独考虑它，因为它的证明解释了一般情况证明的第一个主要步骤，并且不需要复杂的计算。

定理1

让 \（（0，n）中的α）.然后操作员 \（{\mathcal{H}}\） 限定于 \（H_{\alpha}^{\infty}（{\mathbb{R}}^{n}）.此外,以下公式适用:

$$\Vert{\mathcal{H}}\Vert_{H{\alpha}^{\infty}$$

(8)

证明

让

$$f_{\alpha}（x）=\textstyle\begin{cases}1/\vert x\vert^{\alfa}，&x\ne 0，\\0，&x=0。\结束{cases}$$

(9)

那么很明显

$$\Vert f_{\alpha}\Vert_{H_{\alpha}^{\infty}（{\mathbb{R}}^{n}）}=1$$

(10)

此外，我们还有

$$\begin{aligned}\vert x\vert^{\alpha}\biggl\vert\int_{\mathbb{B}}f_{\alfa}\bigl（\vert x \vert y \biger alpha}}\biggr\vert\\&=N\int_{\mathbb{S}}d\sigma{N}（\zeta）\int_{0}^{1}\rho^{N-1-\alpha}\，d\rho=\frac{n}{n-\alpha}\end{aligned}$$

对于每个\（x\ne 0）从中可以看出

$$\bigl\Vert{\mathcal{H}}（f_{\alpha}）\bigr\Vert_{H_{\alpha}^{\infty}\Vert x\Vert y\bigr）\，dV_{n}（y）\biggr\Vert=\frac{n}{n-\alpha}$$

(11)

平等(10)和(11)暗示

$$\Vert{\mathcal{H}}\Vert_{H{\alpha}^{\infty}$$

(12)

另一方面，我们有

$$\begin{aligned}\bigl\Vert{\mathcal{H}}（f）\bigr\Vert_{H_{alpha}^{infty}（{\mathbb{R}}^{n}）}&=\operatorname{ess}\sup_x\in{mathbb}}^}}Vert y\bigr）\，dV_{n}（y）\biggr\Vert\\&\le\Vert f\Vert_{H_{\alpha}^{\infty}（{\mathbb{R}}^{n}）}\sup_{x\in{mathbb}}^{n} \set-buse\{0\}}\vert x\vert^{\alpha}\biggl\vert\int_{{mathbb{B}}\frac{dV_{n}（y）}{（\vert x \vert y \vert）^{alpha}}\ biggr\vert\&=\frac{n}{n-\alpha}\vert f\vert_{H_{alpha{infty}（{mathbb{R}}^{n}）}\结束{对齐}$$

对于每个\（f\in H_｛\alpha｝^｛infty｝（｛\mathbb｛R｝｝^｛n｝）\）从中可以看出

$$\Vert{\mathcal{H}}\Vert_{H_{alpha}^{infty}（{\mathbb{R}}^{n}）\到H_{alpha}^}（}\mathbb{R}^{n}）}\le\frac{n}{n-\alpha}$$

(13)

因此，当\（（0，n）中的α）.来自(12)和(13)平等(8)如下。□

备注1

请注意(10)为每个人保留\（阿尔法>0）然而，如果\（字母），然后使用公式(7)，我们有

$$\vert x\vert^{\alpha}\biggl\vert\int_{{\mathbb{B}}}f_{\alfa}\bigl（\vert x \vert y\biger）\，dV_{N}（y）\biggr\vert=N\int_{0}^{1}\rho^{N-\alpha{，d\rho=+\infty$$

对于每个\（x\ne 0），由此得出\（{\mathcal{H}}（f_{\alpha}）不在H_{\alpha}^{\infty}（{\mathbb{R}}^{n}）中因此，在这种情况下，运算符在\（H_{\alpha}^{\infty}（{\mathbb{R}}^{n}）.从这个和定理1我们得到以下推论。

推论1

让 \（阿尔法>0）.然后是操作员 \（{\mathcal{H}}\） 限定于 \（H_{\alpha}^{\infty}（{\mathbb{R}}^{n}） 当且仅当 \（阿尔法<n\）.此外,如果 \（（0，n）中的α）,然后是公式(8)持有.

下面的定理处理米-中定义的线性运算符(5).

定理2

让 \（m\在{\mathbb{N}}\中）,\（\alpha_{j}>0\）,\（j=\上划线{1，m}\）,和

$$\alpha=\sum_{j=1}^{m}\alpha_{j}$$

(14)

然后操作员 \（{\mathcal{H}}^{m}:\prod_{j=1}^{m}H{\alpha_{j}}^{infty} 有界当且仅当

$$\int_{\vert\vec{y}\vert<1}\prod_{j=1}^{m}\vert_y{j}\vert\^{-\alpha_{j}}\pro1_{j=1}^{m} 数字电压（y_{j}）<\infty$$

(15)

哪里 \（\vec{y}=（y{1}，y{2}，\ldots，y{m}）.

此外,if条件(15)感到满意,那么下面的算符范数公式成立:

$$\bigl\Vert{\mathcal{H}}^{m}\bigr\Vert_{\prod_{j=1}^{m}H_{\alpha_{j}}^}\infty}（{\mathbb{R}}^n}）\ to H_{\ alpha}^{infty{Vert<1}\prod_{j=1}^{m}\verty{j}\Vert_{-\alpha{j}}\pro1_{j=1}^{m} 数字电压（y{j}）$$

(16)

哪里 \（\prod_{j=1}^{m}\，dV（y_{j}）：=dV（y_{1}）\cdots\，dV[y_{m}）\）.

证明

让函数系列\（f{\alpha}\）在中定义(9). 然后明确关系(10)持有。通过使用中的条件(14)经过简单的计算，结果如下

$$\begin{aligned}\vert x\vert^{\alpha}\Biggl\vert\int_{vert\vec{y}\vert<1}\prod_{j=1}^{m}f_{alpha_{j}}\bigl（\vert x \vert y_{j{}\biger）\prod_{j=1{^{m} 数字电压（y_{j}）\Biggr\vert&=\vert x\vert^{alpha}\Biggl\vert\int_{vert\vec{y}\vert<1}\prod_{j=1}^{m}{bigl（\vert x \vert y_{j}\vert\biger）^{m} 数字电压（y_{j}）\Biggr\vert\\&=\int_{vert\vec{y}\vert<1}\prod_{j=1}^{m}\vert_y_{j}\vert\^{-\alpha_{j{}}\prod_{j=1{^{m} 数字电压（y{j}）\结束{对齐}$$

(17)

对于每个\（x\ne 0）.

发件人(6), (17)并利用空间范数的定义\（H_{\alpha}^{\infty}（{\mathbb{R}}^{n}），因此

$$开始{对齐}\bigl\Vert{\mathcal{H}}（f_{\alpha_{1}}，\ldots，f_{\ alpha_}m}}）\bigr\Vert_{H_{\alpha}^{infty}（{\mathbb{R}}^{n}）}&=\operatorname{ess}\sup_{x\in{\mathbb{R{}}^n}}{v{mn}}\Biggl\Vert\int_{Vert\vec{y}\Vert<1}\prod_{j=1}^{m}f{\alpha_{j}}\bigl（\vertx\verty_{j{}\biger）\prod\j=1}^{m} 数字电压（y_｛j｝）\Biggr\vert\\&=\frac｛1｝｛v_v｛mn｝｝\int _｛\vert\vec｛y｝\vert<1｝\prod_｛j=1｝^｛m｝\vert y_｛j｝\vert ^｛-\alpha _｛j｝｝｝\prod_｛j=1｝^{m} 数字电压（y{j}）。\结束{对齐}$$

(18)

平等(10)暗示

$$\prod_{j=1}^{m}\Vert f_{\alpha_{j}}\Vert_{H_{\alpha_{j}}^{\infty}}=1$$

与(18)由此可见

$$\bigl\Vert{\mathcal{H}}^{m}\bigr\Vert_{\prod_{j=1}^{m}H{\alpha_{j}}^}\infty}}\Vert<1}\prod_{j=1}^{m}\Vert_y{j}\Vert-^{-\alpha_{j}}\pro1_{j=1}^{m} 数字电压（y{j}）$$

(19)

另一方面，我们有

$$\begin{aligned}\begin{aligned}\bigl\Vert{mathcal{H}}^{m}（f_{1}，\ldots，f_{m}）\bigr\Vert_{H{alpha}^{infty}（{mathbb{R}}^}）}&=\operatorname{ess}\sup_x\in{mathbb{R}^{n}}{v{mn}}\Biggl\Vert\int_{Vert\vec{y}\Vert<1}\prod_{j=1}^{m}f{j}\bigl（\Vert x\Vert y_{j}\ biger）\prod\j=1}^{m} 数字电压（y_{j}）\Biggr\vert\&\le\prod_{j=1}^{m}\vert f_{j{}\vert_{H_{alpha_{jneneneep}^{infty}}\sup_{x\in{mathbb{R}}^{n}\setminus\{0\}}\frac{vertx\vert^{alpha}{v_{mn}}\Biggl\vert\int_{vert\vec{y}\vert<1}\prod_{j=1}^{m}{bigl（\vert x\vert\vert y_{j}\vert\bigr）^{m} 数字电压（y_{j}）\Biggr\vert\\&=\prod_{j=1}^{m}\vert f_{jneneneep \vert_{H_{alpha_{j{}^{infty}}\frac{1}{v_{mn}}\int_{vert\vec{y}\vert<1}\prod\j=1}^{m} 数字电压（y{j}）\end{aligned}\end{aligned}$$

对于每个\（（（f{1}，\ldots，f{m}）\in\prod_{j=1}^{m}H{\alpha_{j}}^{infty}（{\mathbb{R}}^}）\）从中获得单位球的最高点\（H_{\alpha_{j}}^{infty}（{\mathbb{R}}^}）,\（j=\覆盖线｛1，m｝\），因此

$$\bigl\Vert{\mathcal{H}}^{m}\bigr\Vert_{\prod_{j=1}^{m}H{\alpha_{j}}^}\infty}}\Vert<1}\prod_{j=1}^{m}\Vert_y{j}\Vert-^{-\alpha_{j}}\pro1_{j=1}^{m} 数字电压（y{j}）$$

(20)

从而得到算子的有界性。发件人(19)和(20)平等(16)如下。□

让

$$I{m}:=\frac{1}{v{mn}}\int_{vert\vec{y}\vert<1}\prod_{j=1}^{m}\vert_y{j}\vert ^{-\alpha_{j}}\prod_{j=1{^{m} 数字电压（y{j}）$$

(21)

使用极坐标\（y{j}=\rho{j}\zeta{j}）,\（j=\上划线{1，m}\），和Fubini定理，我们得到

$$\开始{对齐}I{m}&=\frac{1}{v{mn}}\下大括号{int_{mathbb{S}}\cdots\int_{mathbb{S}}_{m\text{times}}\int_{sum_{j=1}^{m}\rho_{j}^{2}<1，\rho{j}>0，j=\overline{1，m}}\prod_{j=1{}^{m}\rho{j}^{-\alpha{j}}\prod_{j=1}^{m}\rho{j}^{n-1}\，d\rho{1}\cdots\，d\ rho{m}\，2\sigma（\zeta{1}）\cdots，d\sigma-（\zeta{m}）\\&=\frac{\sigma{n}^{m}}{v{mn}}\int_{\sum_{j=1}^{m}\rho{j}^{2}<1，\rho_{j}>0，j=\overline{1，m}}\prod_{j=1{m}\rho{j}^{n-\alpha_{j{}，d\rho{1}\cdots，d\rro_{m}。\结束{对齐}$$

(22)

通过使用米-尺寸球面坐标

$$\begin{aligned}&\rho_{1}=r\cos\varphi_{1{，\\&\rho2}=r\sin\varphi_}1}\cos\varfi_{2}，\\&\rho_3}=r\sin\varphi_1}\sin\varphi_2}\cos\varphi_3}cdots\sin\varphi{m-2}\cos\varphi{m-1}，\\&\rho{m}=r\sin\varfi{1}\sin\varphi{2}\cdots\sin\varphi{m-2}\sin\varphi}{m-1}，\end{aligned}$$

哪里\（第0页）是径向坐标\（\ varphi _｛j｝\）,\（j=\上划线{1，m-1}\），是角坐标，\（[0，\pi]\中的\varphi_{j}\）,\（j=\上划线{1，m-2}\）,\（[0,2\pi中的变量{m-1}）已知的事实是，关联的雅可比矩阵

$$\vert J_{m}\vert=r^{m-1}\sin^{m-2}\varphi_{1}\sin ^{m-3}\varfi_{2}\cdots\sin\varphi_{m-2{$$

英寸(22)，我们有

$$开始{aligned}I{m}={}&\frac{\sigma{n}^{m}}{v{mn}}\int_{0}^{1} 第页^{mn-1-\sum_{j=1}^{m}\alpha_{j}}，dr\&{}\times\int_{0}^{pi/2}\cdots\int_{0}^{\pi/2}\ prod_{j=1{m}（\sin\varphi_{j{）1-\alpha{j}}\，d\varphi{1}\cdots\，d\ varphi{m-1}\\={}&\frac{\sigma{n}^{m}}{v{mn}（mn-\alpha）}\prod\j=1}^{m-1{0}^{1} t吨_{j} ^{n（m-j）-1-\和{i=j+1}^{m}\alpha_{i}}\bigl（1-t{j}^{2}\bigr）^{m} 2个^{1-m}}{v{mn}（mn-\alpha）}\prod_{j=1}^{m-1}\int_{0}^{1} 秒_{j} ^｛\frac｛n（m-j）-\sum_｛i=j+1｝^｛m｝\alpha_｛i｝｝{2}-1}（1-s{j}）^{frac{n-\alpha{j}}{2}-1}\，ds{j}\\={}&frac{sigma{n}^{m} 2个^{1-m}}{v{mn}（mn-\alpha）}\prod_{j=1}^{m-1}乙\biggl（\frac{n（m-j）-\sum{i=j+1}^{m}\alpha{i}}{2}，\frac}n-\alpha_{j}}{2}\biggr），\end{aligned}$$

(23)

我们还利用了以下事实\（（0，\pi/2）中的\varphi_{j}\）,\（j=\上划线{1，m-1}\），这是在第一个正数中对集合进行积分的结果，即变量的变化\（t{j}=\sin\varphi{j}）,\（j=\上划线{1，m-1}\）、和\（s{j}=t{j}^{2}\）,\（j=\上划线{1，m-1}\）以及beta函数的定义（参见，例如[36第437页）。

通过使用以下众所周知的Eulerβ函数和γ函数之间的关系：

$$B（a，B）=\压裂{\伽马（a）\Gamma（B）}{\伽玛（a+B）}$$

（例如，请参见[36])经过一些简单的计算，我们发现以下关系成立：

$$\开始{aligned}\prod_{j=1}^{m-1}乙\biggl（\frac{n（m-j）-\sum{i=j+1}^{m}\alpha{i}{2}，\frac}n-\alpha_{j}}{2{biggr）&=\prod_{j=1}^{m-1}\frac\\Gamma j}}{2}）}{Gamma（压裂{n（m-（j-1））-\sum{i=j}^{m}\alpha_{i}{2{）}\\&=\frac{\prod_{j=1}^{m}\Gamma )}. \结束{对齐}$$

(24)

组合关系(16), (23)、和(24)因此，以下推论成立。

推论2

让 \（m\在{\mathbb{N}}\中）,\（\alpha_{j}>0\）,\（j=\上划线{1，m}\）,和 \（阿尔法=sum{j=1}^{m}阿尔法{j}）.然后是操作员 \（{\mathcal{H}}^{m}:\prod_{j=1}^{m}H{\alpha_{j}}^{infty} 是有界的当且仅当(15)持有.此外,如果(15)持有,那么以下公式成立:

$$开始{aligned}\bigl\Vert{mathcal{H}}^{m}\bigr\Vert_{prod_{j=1}^{m}H{\alpha_{j}}^}（{\mathbb{R}}^{n}）\到H{\alpha}^{infty}（}）^{m} 2个^{1-m}}{v{mn}（mn-\alpha）}\frac{\prod_{j=1}^{m}\Gamma（\frac}n-\alpha_{j}}{2}）}{\ Gamma^{m} 2个^{1-m}}{v{mn}（mn-\alpha）}\prod_{j=1}^{m-1}乙\biggl（\frac{n（m-j）-\sum{i=j+1}^{m}\alpha{i}}{2}，\frac{n-\alpha_{j}}{2\biggr）。\结束{对齐}$$

备注2

根据上述考虑和推论2当我们看到\（\alpha_{j}>0\）,\（j=\上划线{1，m}\），条件(15)仅当且仅当\（\alpha_｛j｝\在（0，n）\中）,\（j=\上划线{1，m}\）.

2.2关于主要结果的证明[11]

正如我们已经提到的[11]操作员的规范\（{\mathcal{H}}:L^{p}（{\mathbb{R}}^{n}）到L^{p}（}\mathbb{R}}^}）通过证明公式进行了很好的计算(4). 在结果的证明中，作者应用了卷积不等式\（\|g*L\|_{L^{p}}\le\|g\|_}L^{p2}}\|L\|{L^}1}}\）在组中\（（{\mathbb{R}}_{+}，\frac{dt}{t}）然而，出现在标准意义上的算子并不是卷积。另一方面，所使用的不等式确实成立。因此，它需要一些与不平等有关的解释，这可能在其他类似情况下有用。也就是说，以下定理成立，其证明类似于卷积算子的证明。有关本地紧凑组和相关主题的一些信息，请参见，例如[15,37].

定理3

让 \（p\in[1，\infty]\）,\（L^{p}（G）中的f\）,\（L^{1}（g）中的g\）,哪里 G公司 是局部紧群 G公司,和 μ 是正确的-不变Haar测度 G公司.然后

$$（f\odot g）（x）：=\int_{g}f（xy）g（y）\，d\mu（y）$$

存在 μ 一.e（电子）.和

$$\Vert f\odot g\Vert_{L^{p}}\le\Vert f \Vert_}L^{p}}\Vert g\Vert_{L^}}$$

(25)

证明

如果\（p=1\），则结果遵循Fubini定理和测度的右方差μ.如果\（p=\infty\），那么我们有

$$\begin{aligned}\|f\odot g\|_{L^{infty}}={}&\operatorname{ess}\sup_{x\in g}\bigg|\int_{g}f（xy）g（y）\，d\mu（y）\bigg |\le\operator name{ess}\sup_{x\inG}\int_}\big|\big|大|\big（y{g}\|f\|_{L^{infty}}\big|g（y）\big|，d\mu（y）=\|f\ |{L^}\infty{}\|g\ |_{L ^{1}}。\结束{对齐}$$

如果\（p\ in（1，\ infty）\）如果我们使用符号\（p'=p/（p-1）\）然后利用Hölder不等式、Fubini定理、变量的变化和测度的右方差μ，我们有

$$\begin{aligned}\Vert f\odot g\Vert_{L^{p}}^{p{}&=\int_{g}\biggl\Vert\int_{g}f（xy）g（y）\，d\mu（y）\biggr\Vert^{p}\，d\\mu biggr）^{p}\，d\mu（x）\\&=\int_{g}\biggl\bigl\vert g（y）\bigr\vert^{1/p'}\，d\mu p/p'}\，d\mu（x）\\&\le\vert g\vert_{L^{1}}^{p/p'{int_{g}\bigl\vert g（y）\bigr\vert\int_{g}\bidl\vert f（xy）\bigr\vert^｛p｝\，d\mu（x）\，d\mu（y）\\&=\vert g\vert _｛L^｛1｝｝^｛p-1｝\int _｛g｝\bigl\vert g（y）\bigr\vert\int _｛g｝\bigl\vert f（z）\bigr\vert^｛p｝\，d\mu（z）\，d\mu（y）\\&=\vert f\vert _｛L^｛p｝｝^｛p｝\vert g\vert _｛L^｛1｝｝p｝，\结束｛对齐｝$$

从中可以看出(25)持有，自\（L^{p}（g）中的f\odot g\）由此可见\（（f\odot g）（x））存在μ即□

备注3

不平等(25)也可以通过Minkowski不等式得到。事实上，通过使用不等式和度量的右方差μ，我们有

$$\开始{对齐}\Vert f\odot g\Vert_{L^{p}}&=\biggl（\int_{g}\biggl\Vert\int_{g}f（xy）g（y）\，d\mu \Vert g（y）\bigr\Vert\，d\mu（y）\ biggr）^{p}\，d\mu（x）\biggr\bigl\vert f（xy）\bigr\vert^{p}\，d\mu（x）\biggr f\vert_{L^{p}}\Vertg\vert_}L^{1}}。\结束{对齐}$$

备注4

通过使用不等式(25)与卷积算子对应的结果不同，主要结果的证明[11]清晰完整。