基于非奇异核型Caputo导数的结核病控制模型的数学分析

摘要

本研究通过对Caputo和Fabrizio的导数，考察了结核病数学模型的一些理论和半分析结果。相关导数涉及指数核，最近它已被用于各种应用问题。使用Krasnoselskii和Banach的某些不动点方法建立了所需的结果。进一步，利用Adomian分解和Laplace迭代工具，对半分析结果进行了研究。给出了一些图形结果并进行了讨论。

1介绍

结核病是人类面临的最重要的疾病之一。结核病是一种由结核分枝杆菌引起的可传播的空气传播细菌感染。这种细菌通常影响肺部（肺结核）。这种细菌还可能影响其他几个系统，如肾脏、大脑、淋巴系统、中枢神经系统、脊髓等。自古以来，在埃及、中国、罗马等不同文明中就发现了结核病（参见[1]). 目前世界三分之一的人口感染了结核病，感染人数以每秒一人的速度增长[2]. 上述疾病是2015年全球十大死亡原因之一，约有1040万人感染。同年，约有180万感染者死于各种疾病，包括40万艾滋病毒和结核病。全球60%的结核病病例集中在六个国家（巴基斯坦、印度、尼日利亚、中国、印度尼西亚和南非）[三]. 染料[4]提供了一些信息，说明全世界，尤其是萨哈兰非洲地区的主要死亡原因是结核病和艾滋病毒。此外，艾滋病毒的流行对世界上许多国家构成严重威胁。这是一个明确的证据，世界各地的儿童都可以通过接种卡介苗（BCG）等疫苗来预防该病的早期感染[5]. 因此，最近利用现代疗法检测和治疗潜伏性结核病，以防止疾病传播率的下降，因为只有感染人群才能将疾病传播给他人。

全世界已经使用了各种程序和方法来了解这些疾病在社会上的原因和控制。其中一个强大的工具是数学建模，通过它我们可以了解各种疾病传播的动力学，并建议如何在社会中控制它们。上述地区首次起源于1927年。到目前为止，已经开发和研究了多种模型（请参阅[6–10]). 在这方面，还建立了结核病的五室模型[11]如下：

$$\textstyle\begin{cases}\dot{\mathscr{M}}（t）=\theta\rho-（\alpha+\mu）\mathscr{M}，\\dot{\tathscr{S}}{米}-\β{\mathscr{SI}}-\rho{\mathscr{S}}，\\dot{\mathrcr{L}}（t）=\beta\mathscr{国际单位}-（\sigma+\tau+\mu）\mathscr{L}，\\dot{\tathscr{I}}（t）=\tau\mathscr{左}-（\gamma+\mu+\delta）\mathscr{I}，\\dot{\mathscr{R}}（t）=\sigma\mathscr{L}+\gamma\mathsch{我}-\mu\mathscr{R}。\结束{cases}$$

(1)

在上述模型中，整个人群被分为五类：免疫类\（\mathscr{M}\），易感类别\（\mathscr{S}\），被感染的潜伏类\（\mathscr{L}\），传染类\（\mathscr{I}\）和恢复的类\（\mathscr{R}\）。所考虑的模型参数解释如下：招聘常数由符号表示ρ,θ表示出生时的免疫部分，α表示疫苗断奶率，自然死亡率用符号表示μ,β代表结核病的收缩率，用字母表示感染潜伏性的成功治疗σ，符号τ是将潜在结核病分解为传染性结核病的比率，传染性结核病患者的成功治愈率和疾病导致的死亡分别用符号表示γ,δ.

通常整数阶导数不能很好地探索与生物学和物理学相关的现实世界问题的动力学。为了克服这一不足，分数阶微积分在过去几十年中受到了关注。我们还知道，分数微积分越来越多地被数学家用于数学建模。非整数阶导数和积分可以通过多种方式定义。一些著名的定义是由Riemann和Liouville给出的[12]、Caputo等（参见[13]). 上述导数涉及奇异型核。由于分数阶微分算子实际上是一个定积分算子，因此这两个定义被越来越多地使用，对于它来说，核的定义不是唯一的或不规则的。此外，由于任意阶导数的高度自由度，研究人员非常重视在这些概念下研究应用问题。在这个意义上，最近一些作者用一些非局部非奇异核取代了奇异核，并给出了新的定义。因此，在2015年，Caputo和Fabrizio用通常的Caputo导数中的指数核取代了奇异核，并将其称为Caputo–Fabrizio分数导数（缩写为CFFD）；有关详细信息，请参见[14–16]. 因此，不同的研究人员在这个概念下研究了不同的应用性质问题。在各种情况下，与其他形式的衍生工具相比，上述衍生工具产生了显著的结果（参见[17–19]). Caputo–Fabrizio导数通过指数核省略奇异核，从而使相关微分算子非局部。传统的分数阶导数包含奇异核，这有时会给解释各种材料的某些特性带来困难。为了克服这一点，卡普托和法布里奇奥提出了分数阶积分和导数的新定义，它涉及指数核而不是奇异核。在专注于Caputo–Fabrizio分数阶导数的文献中可以找到各种研究，例如[20–24]. 此外，在与热科学相关的各种论文中，与其他类型的衍生物相比，上述衍生物已被证明是强大的，我们指的是[25–30]. 记住这些要点以及所提出导数的非奇异性，我们研究所考虑的模型的存在性和分析结果。

现在的问题是如何处理分数阶导数的问题。为此，研究人员成功更新了处理分数阶微分方程（FODE）的常用工具和方法。通常的摄动技术和分解方法被大量用于处理普通FODE。此外，对于上述问题，Adomian分解与一些积分变换结合使用得很好（参见[31–34]). 另一方面，由于涉及新型衍生产品的FODE很少使用，因此作者经常[35]建立了一些算法来处理此类包含CFFD的FODE。

因此，我们研究了(1)根据CFFD，如下所示：

$$\textstyle\开始{cases}{}_{0}^{CF}D_{t} ^{\eta}\mathscr{M}（t）=\theta\rho-（\alpha+\mu）\mathscr{M}，\\{}_{0}^{CF}D_{t} ^{\eta}\mathscr{S}（t）=（1-\theta）\rho+\alpha\mathscr{米}-\β\mathscr{国际单位}-\rho\mathscr{S}，\\{}_{0}^{CF}D_{t} ^{\eta}\mathscr{L}（t）=\beta\mathscr{国际单位}-（\sigma+\tau+\mu）\mathscr{L}，\\{}_{0}^{CF}D_{t} ^｛\eta｝\mathscr｛I｝（t）=\tau\mathscr{左}-（\gamma+\mu+\delta）\mathscr{I}，\\{}_{0}^｛立方英尺｝D_{t} ^{\eta}\mathscr{R}（t）=\sigma\mathscr{L}+\gamma\mathsch{我}-\mu\mathscr{R}。\结束{cases}$$

(2)

我们研究模型(2)取决于生物上可行的初始条件

$$\开始{aligned}&\mathscr{M}（0）=\mathbf{无}_{1} \geq 0，\qquad\mathscr{S}（0）=\mathbf{无}_{2} \geq 0，\\&\mathscr{L}（0）=\mathbf{无}_{3} \geq 0，\\&\mathscr{I}（0）=\mathbf{无}_{4} \geq 0，\qquad\mathscr{R}（0）=\mathbf｛N｝_{5} \geq 0。\结束{对齐}$$

首先，我们建立了模型解存在的一些条件(2)通过使用一些不动点结果，如Banach和Krasnoselskii。然后，通过使用考虑的工具“拉普拉斯-阿多米安分解法（LADM）”\（在（0,1]\）中，我们计算了半分析结果。最后，通过图表给出了近似结果。

2前期工作

在手稿的这一部分中，我们给出了以下一些基本定义。

定义1

([15])

让\（\varphi\in\mathcal{H}^{1}（a，b）\）,\（b>a\）,\（以（0,1）为单位），则CFFD为

$$ {}_{0}^{CF}D_{t} ^{\eta}\varphi（t）=\frac{\mathcal{K（\eta）}}{1-\ta}\int_{\alpha}^{t}\varfi^{\prime}（\tea）\exp\biggl[-\frac}t-\tea}{1-\theta}\biggr]\，d\theta$$

(3)

哪里\（\mathcal｛K（\eta）｝\）英寸(三)是归一化函数\（\mathcal{K}（1）=\ mathcal}（0）=1\）。如果函数在中不存在\（\mathcal{H}^{1}（a，b）\），则上述导数可以重新公式化为

$$ {}_{0}^{CF}D_{t} ^{\eta}\varphi（t）=\frac{\mathcal{K（\eta）}}{1-\ta}\int_{\alpha}^{t}\varpi（t$$

定义2

([36])

让\（在（0,1]\）中，然后是分数阶积分η函数的φ是

$$\开始{aligned}{}_{0}^｛立方英尺｝I_{t} ^{\eta}\varphi（t）=\frac{（1-\eta）}{\mathcal{K}（\ta）}\varfi（t。\结束{对齐}$$

定义3

([35,37])

CFFD的拉普拉斯变换\({}_{0}^{CF}D_{t} ^{\eta}\）属于\（百万吨）表示为

$$\mathscr{L}\bigl[{}_{0}^{CF}D_{t} ^{\eta}M（t）\bigr]=\frac{s\mathscr{L}[M（t）]-M（0）}{s+\eta（1-s）}，\quad s\geq 0，\eta\ in（0,1]$$

2.1平衡点与基本再生产数

在进一步研究之前，我们认为找到所考虑模型的平衡点和基本复制数是有利的。该模型有两种可能的平衡点。第一个是社区中没有疾病的点，即无病平衡点。这是通过将模型中每个方程的右侧设置为零以及\（\mathscr{L}=\mathscr{I}=\mathscr{R}=0\）.求解系统，然后给出\（\mathscr｛M｝^｛0｝=\frac｛theta\rho｝｛\alpha+\mu｝\）和\（\mathscr{S}^{0}=\frac{\alpha+\mu-\mu\theta}{\alfa+\mu}\）因此，所研究模型的无病平衡点由下式给出\（\mathscr{E}^{0}=（\frac{\theta\rho}{\alpha+\mu}，\frac}\alpha+\mu-\mu\theta}{\阿尔法+\mu}，0,0,0）\）.

为了找到基本的繁殖数，我们只考虑模型的传染类。让\（\mathbf{{\mathit{{V}}}=（\mathscr{L}，\mathscr{I}）^{T}}\），在给定模型的帮助下，可以编写$\frac{\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathbf{<trans\; data-src="V">V（V）</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathcal{<trans\; data-src="F">F类</trans>}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathcal{<trans\; data-src="V">V（V）</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{c}\mathrm{<trans\; data-src="\beta ">\beta </trans>}\mathcal{<trans\; data-src="S">S公司</trans>}\mathcal{<trans\; data-src="I">我</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src="-">-</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{c}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\sigma ">\sigma </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\mu ">\mu </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathcal{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}\\ <trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}\mathcal{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\gamma ">\gamma </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\mu ">\mu </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\sigma ">\sigma </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathcal{<trans\; data-src="I">我</trans>}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans>$.雅可比矩阵\（\mathscr{F}\）和\（\mathscr{V}\）由提供$\mathcal{<trans\; data-src="F">F类</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{cc}\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="\beta ">\beta </trans>}{\mathcal{<trans\; data-src="S">S公司</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}\\ \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans>$和$\mathcal{<trans\; data-src="V">V（V）</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{cc}\mathrm{<trans\; data-src="\sigma ">\sigma </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\mu ">\mu </trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\\ <trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="\gamma ">\gamma </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\mu ">\mu </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\delta ">\delta </trans>}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans>$.的逆矩阵\（\mathcal{V}\）由提供${\mathcal{<trans\; data-src="V">V（V）</trans>}}^{<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="\sigma ">\sigma </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\mu ">\mu </trans>}}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}& \frac{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="\gamma ">\gamma </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\mu ">\mu </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\delta ">\delta </trans>}}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans>$因此，下一代矩阵\（\mathcal{F}\mathcal{V}^{-1}\）计算为

$$\mathcal{<trans\; data-src="F">F类</trans>}{\mathcal{<trans\; data-src="V">V（V）</trans>}}^{<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{<trans\; data-src="\beta ">\beta </trans>}{\mathcal{<trans\; data-src="S">S公司</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}}{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\gamma ">\gamma </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\mu ">\mu </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\delta ">\delta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\sigma ">\sigma </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\delta ">\delta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}& \frac{\mathrm{<trans\; data-src="\beta ">\beta </trans>}{\mathcal{<trans\; data-src="S">S公司</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="\gamma ">\gamma </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\mu ">\mu </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\delta ">\delta </trans>}}\\ \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=".">.</trans>$$

(4)

下一代矩阵的谱半径(4)给出了阈值数量\（R_{0}\）[38]. 因此

$$R_{0}=\压裂{\beta\tau（\alpha+\mu-\mu\theta）\tau}{（\阿尔法+\mu）（（\gamma+\mu+\delta）（\sigma+\tau+\ delta）}$$

基本再生数的三维图\（R_{0}\）与所考虑模型中不同参数的对比如图所示1该数量在稳定性分析和为上述目的寻找条件中起着关键作用。

图1

基本再生数与所考虑模型中涉及的不同参数的三维图。表中给出了参数值1最后

三分数阶结核病模型的存在唯一性结果

在下文中，我们导出了与我们的模型相关的存在性结果(2)利用Banach提出的所谓不动点定理。为了进一步，我们首先定义了以下功能：

$$\textstyle\begin{cases}f_{1}（t，M，S，L，I，R）=\theta\rho-（alpha+\mu）M，\\f_{2}{米}-\β{国际单位}-\ρ｛S｝，\\f_｛3｝（t，M，S，L，I，R）=β{国际单位}-（σ+\tau+\mu）{L}，\\f_{4}（t，M，S，L，I，R）=\tau｛L｝-（伽玛+\mu+\delta）{I}，\\f_{5}（t，M，S，L，I，R）=\sigma{L}+\gamma{我}-\mu{R}，\结束{cases}$$

(5)

哪里

$$M（0）=\mathbf{无}_{1} ，\qquad S（0）=\mathbf{无}_{2} ，\qquad L（0）=\mathbf{无}_{3} ，\qquad I（0）=\mathbf{无}_{4} ，\qquad R（0）=\mathbf{无}_{5}. $$

所以我们的问题变成了

$$\textstyle\开始{cases}{}_{0}^{CF}D_{t} ^{\eta}M（t）=f_{1}（t，M，S，L，I，R）=\theta\rho-（alpha+\mu）M，\\{}_{0}^{CF}D_{t} ^{\eta}S（t）=f_{2}（t，M，S，L，I，R）=（1-θ）+\alpha{米}-\测试版{国际单位}-\ρ{S}，\\{}_{0}^{CF}D_{t} ^{β}L（t）=f_{3}（t，M，S，L，I，R）=β{国际单位}-（\sigma+\tau+\mu）{L}，\\{}_{0}^{CF}D_{t} ^{\eta}I（t）=f_{4}（t，M，S，L，I，R）=\tau{左}-（\gamma+\mu+\delta）{I}，\\{}_{0}^{CF}D_{t} ^{\eta}R（t）=f_{5}（t，M，S，L，I，R）=\sigma{L}+\gamma{我}-\mu{R}，\end{cases}$$

(6)

哪里\（M（0）=\mathbf{无}_{1} \),\（S（0）=S_｛0｝\）,\（L（0）=L_{0}\）,\（I（0）=I_{0}\）,\（R（0）=R_{0}\）.应用\({}_{0}^{CF}一^{\eta}\）在的两侧(2)给出了以下积分方程组：

$$\textstyle\begin{cases}M（t）=M（0）+G[f_{1}（t，M，S，L，I，R）-f_{01}]\\hphantom{M（t^{t} （f）_{1} （xi，M，S，L，I，R），d，xi，S（t）=S（0）+G[f_{2}^{t} （f）_{2} （\xi，M，S，L，I，R）\，d\xi，\\L（t）=L（0）+G[f_｛3｝（t，M，S，L，I，R）-f_｛03｝]\\hphantom｛L（t）=｝｛｝+\overline｛G｝\int _｛0｝^{t} （f）_{3} （xi，M，S，L，I，R），d，xi，I（t）=I（0^{t} （f）_{4} （xi，M，S，L，I，R），d\xi，R（t）=R（0）+G[f_{5}^{t} （f）_{5} （\xi，M，S，L，I，R）\，d\xi，\结束{案例}$$

(7)

哪里\（G=\frac{（1-\eta）}{\mathcal{K}（\ta）}\）,\（\overline{G}=\frac{\eta}{\mathcal{K}（\eta）}\）。此外，我们将使用\（f_{0i}=f_{i}（0，M（0），S（0）,\（i=1,2,3,4,5）。使用初始条件，我们有

$$\textstyle\begin{cases}M（t）=\mathbf{无}_{1} +G[f_{1}（t，M，S，L，I，R）-f_{01}]\\hphantom{M（t）=}{}+\上划线{G}\int_{0}^{t} （f）_{1} （\xi，M，S，L，I，R）\，d\xi，\\S（t）=\mathbf{无}_{2} +G[f_｛2｝（t，M，S，L，I，R）-f_｛02｝]\\hphantom｛S（t）=｝｛｝+\overline｛G｝\int _｛0｝^{t} （f）_{2} （\xi，M，S，L，I，R）\，d\xi，\\L（t）=\mathbf{无}_{3} +G[f_{3}（t，M，S，L，I，R）-f_{03}]\\hphantom{L（t）=}{}+\上划线{G}\int_{0}^{t} 如果_{3} （xi，M，S，L，I，R），d\xi，I（t）=\mathbf{无}_{4} +G[f_{4}（t，M，S，L，I，R）-f_{04}]\\hphantom{I（t）=}{}+\上划线{G}\int_{0}^{t} （f）_{4} （xi，M，S，L，I，R），d\xi，R（t）=\mathbf{无}_{5} +G[f_{5}（t，M，S，L，I，R）-f_{05}]\\hphantom{R（t）=}{}+\上划线{G}\int_{0}^{t} （f）_{5} （xi，M，S，L，I，R）\，d\xi。\结束{cases}$$

(8)

这里，我们将巴拿赫空间表示为\（X=C（[0，T]\times\mathscr{R}^{5}，\mathscr{R}）\）低于标准

$$\Vert W\Vert=\max_{t\in[0，t]}\bigl\{bigl\Vert W（t）\bigr\Vert:W=（M，S，L，I，R）\biger\}$$

哪里\（T>0\）这样的话\（0\leq t\leq t<\infty）.

定理1

（克拉斯诺塞尔斯基不动点定理）

让 X（X） 成为巴拿赫空间 D类 是的闭凸子集 X（X）,那么存在两个操作符 一,B类 以下内容适用:

• 1 总额 \（Ax+By\） 属于 D类;

• 2 操作员 一 是收缩,而操作员 B类 是连续和紧凑的;

• 三。 ∃ 至少有一个解决方案z \（方位角+Bz=z\） 持有.

让我们假设

$$\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{c}\mathrm{<trans\; data-src="M">M（M）</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="S">S公司</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="I">我</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="R">R（右）</trans>}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{c}{\mathbf{<trans\; data-src="N">N个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}\\ {\mathbf{<trans\; data-src="N">N个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\\ {\mathbf{<trans\; data-src="N">N个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}\\ {\mathbf{<trans\; data-src="N">N个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}}\\ {\mathbf{<trans\; data-src="N">N个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="5">5</trans>}}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="F">F类</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}}\\ {\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="5">5</trans>}}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=".">.</trans>$$

因此，系统(8)减少到

$$\开始{对齐}&W（t）=W_{0}+G F（t，M，S，L，I，R）-G F_{0{+\上划线{G}\int_{0neneneep ^{t}F（\xi，M，S，L，我，R）\，d\xi，\\&W（t \，d\xi。\结束{对齐}$$

(9)

为了进一步分析，我们假设以下假设成立：

(\（\mathcal{高}_{1}\)):

存在\（\mathcal{克}_{F} >0）为此

$$\bigl\vert F（t，W）-F（t，\overline{W}）\bigr\vert\leq\mathcal{克}_{F} \vert W-\上横线{W}\vert$$

(\（\mathcal{高}_{2}\)):

存在\（C_{F}>0\）和\（M_{F}>0\）这样的话

$$\bigl\vert F（t，W）\bigr\vert\leq C_｛F｝\vert W\vert+M_｛F｝$$

定理2

从定理的角度 1,问题(9)至少提供了一个解决方案 \（G\mathcal公司{克}_{F} \） 不算团结.

证明

为了证明这个定理，我们定义了一个紧闭集D类这样的话\（D={W\ in X:\|W\|\leqr}\）接下来，我们定义操作符一和B类如下：

$$\begin{aligned}&AW（t）=W_{0}+G F（t，M，S，L，I，R）-G F_{0}，\\&BW（t）=上划线{G}\int_{0{^{t}F（\xi，M，S，L，我，R）\，d\xi。\结束{对齐}$$

(10)

验证操作员一英寸(10)我们假设是收缩\（W，\overline｛W｝\in X\），所以

$$\begin{aligned}\Vert AW-A\上划线{W}\Vert=&\max\bigl\Vert AW（t）-A\上拉线{W}（t$$

我们从中

$$\Vert AW-A\上划线{W}\Vert\leq G K_{F}\bigl[\Vert W-\上划线}\Vert\bigr]$$

这清楚地表明操作员一是一种收缩。

现在，我们显示操作符B类紧凑且连续。考虑

$$\begin{aligned}\bigl\vert BW（t）\bigr\vert=&\biggl\vert\overline{G}\int_{0}^{t}F（\xi，M，S，L，I，R）\，d\xi\biggr\vert\\leq&\ overline{G}\ int_{0}^{t}\biggl \vert F\bigl。\结束{对齐}$$

(11)

获取的最大值(11)，我们有

$$\开始{aligned}\Vert BW\Vert\leq&\上划线{G}\max_{t\in[0，t]}\int_{0}^{t}\bigl\Vert F\bigl（\xi，W（\xi）\bigr）\biger\Vert\，d\xi\\leq&\overline{G}\ max_{t\in[0、t]}\ int_{0}^{t}\bigle[C_{F}\ Vert W\Vert+M_{F{}\ bigr]\，d\xi\\leq&\上划线{G}t（C_{F}r+M_{F{）。\结束{对齐}$$

(12)

这意味着B类以为界(12). 让我们假设在t吨我们有\（t{1}<t{2}）一个人可以写

$$\begin{aligned}\bigl\vert BW（t_{2}）-BW（t_}1}）\bigr\vert=&\biggl\vert\overline{G}\int_{0}^{t_2}}F（\xi，W）\，d\xi-\ overline}\int_{0}^{t_1}}F（\xi，W{F}）（t_{2} -吨_{1}). \结束{对齐}$$

(13)

如果\（t{2}\）方法\（t_｛1｝\），然后是(13)归零。因此，\（t{2}\右箭头t{1}\），这导致

$$\bigl\vert BW（t_{2}）-BW（t_{1}）\bigr\vert\rightarrow 0$$

由此可见B类是等连续的，因此，B类是紧密连续的。这意味着B类是一个完全连续的算子。因此，定理的所有条件1都很满意。人们可以立即得出该模型的结论(2)至少有一种解决方案。□

定理3

考虑中的模型有一个独特的解决方案(2)如果函数 \（f{1}\）,\（i=1,2,3,4）,是连续的，并且 \（上划线{G}K_{F}（1+T）<1\）.

证明

为了证明这个定理，我们定义了一个算子\（P:X\右箭头X\）这样的话

$$PW（t）=W_{0}+GF（t，W）-GF_{0{+\上划线{G}\int_{0neneneep ^{t_{1}}F（\xi，W）\，d\xi$$

让\（W，X中的上一行{W}），我们可以写

$$\begin{aligned}\bigl\Vert P（W）-P（\overline{W}）\bigr\Vert=&\max\bigl\ Vert{P（W（t，P（\overline{W}）\bigr\Vert d\xi\\leq&\overline{G}K_{F}\Vert W-\overlaine{W}\Vert+G K_{F}T\垂直W-\上划线{W}\垂直。\结束{对齐}$$

由此可见

$$\开始{对齐}\垂直W-\上划线{W}\垂直\leq\上划线}K_{F}（1+T）\垂直W-上划线{W}\垂直。\结束{对齐}$$

(14)

因此，模型(2)正在调查的有一个独特的解决方案。□

4所考虑模型所需解的通用算法的构造

为了导出所考虑问题的级数型解，我们取\（\mathcal{K}（\eta）=1）并将拉普拉斯变换应用于(2). 我们构造了以下算法：

$$\textstyle\begin{cases}\frac{s\mathscr{L}[M（t）]-M（0）}{s+\t（1-s）}=\tathscr{L}[\theta\rho-（\alpha+\mu）M]，\\frac{s\mathscr}L}[s（t）]-s（0，[L（t）]-L（0）}{s+eta（1-s）}=\mathscr{L}[\beta-SI-（\sigma+\tau+\mu）L][I（t）]-I（0）}{s+\eta（1-s）}=\mathscr{L}[\tau L-（\gamma+\mu+\delta）I]，\\frac{s\mathscr}L}[R（t）]-R（0。\结束{cases}$$

(15)

重新排列术语后(15)，我们有

$$\textstyle\begin{cases}\mathscr{L}[M（t）]=\frac{M（0）}{s}+\frac}s+\eta（1-s）}{s}\mathscr{L}[\theta\rho-（\alpha+\mu）M]，\\mathscr}L}[s（t）]=\frac{s（0）{s}+\frac}s+\ eta（1-s）}{s}\mathcr{L}[（1-θ）\rho+\alpha M-\beta SI-\mu s]，\\mathscr{L}[L（t）]=\frac{L（0）}{s}+\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr}L}[\beta SI-（\sigma+\tau+\mu）L]，\\mathscr{L}[I（t）]=\frac{I（0）}{s}+\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr}L}[\tau L-（\gamma+\mu+\delta）I]\mathscr{L}[\sigma L+\gamma I-\mu R]。\结束{cases}$$

(16)

使用系统的初始条件(2)，一个有

$$\textstyle\begin{cases}\mathscr{L}[M（t）]=\frac{\mathbf{无}_{1} }{s}+\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr{L}[\theta\rho-（\alpha+\mu）M]，\\mathscr}L}[s（t）]=\ frac{\mathbf{无}_{2} }{s}+\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr{L}[（1-\theta）\rho+\alpha M-\beta SI-\mu s]，\\mathscr{L}[L（t）]=\frac{\mathbf｛N｝_{3} }{s}+\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr{L}[\beta-SI-（\sigma+\tau+\mu）L]，\\mathscr}[I（t）]=\frac{\mathbf{无}_{4} }{s}+\压裂{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr{L}[\tau L-（\gamma+\mu+\delta）I]，\\mathscr}[R（t）]=\压裂{\mathbf{无}_{5} }{s}+\压裂{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr{L}[\sigma L+\gamma I-\mu R]。\结束{cases}$$

(17)

让我们计算的解为无穷级数的形式，如下所示：

$$\begin{aligned}&M（t）=\sum_{n=0}^{\infty}M_{n}（t），\qquad S（t）=\sum_{n=0.}^{\fnty}S_{n}（t）=\sum_{n=0}^{\infty}R_{n}（t），\end{aligned}$$

并分解非线性项硅用Adomian多项式表示如下：

$$S（t）I（t）=\sum_{n=0}^{\infty}A_{n}（t）$$

哪里\（A{n}=\frac{1}{\Gamma{（n+1）}}\frac{d^{n}}{d\lambda^{n{}}[（\sum_{k=0}^{nneneneep \lambda_{k}S_{k}）

$$开始{对齐}&n=0:\四A_{0}=S_{0}（t）I_{0{（t S_{2}1}（t）I_{3}（c）+S_{2}（d）I_}2}（t） +S_{3}（t）I{1}。\结束{对齐}$$

鉴于这些值，模型(8)成为

$$\textstyle\begin{cases}\mathscr{L}[\sum_{k=0}^{\infty}M_{k}（t）]=\frac{\mathbf{无}_{1} }{s}+\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr{L}[\theta\rho-（\alpha+\mu）\sum_{k=0}^{\infty}M_{k}（t）]，\\mathscr}L}[\sum_{k=0.}^{\finfty{s_k}{无}_{2} }{s}+\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr{L}[（1-\theta）\rho+\alpha\sum_{k=0}^{infty}M_{k}（t）-\beta\sum_}k=0{{infty}A_｛k｝-\mu\sum_{k=0}^{\infty}S_{k}（t）]，\\mathscr{L}[\sum_{k=0.}^{\finfty{L_{k}（t）]=\frac{\mathbf{无}_{3} ｛s｝+\frac｛s+\eta（1-s）｝｛s｝\mathscr｛L｝[\beta\sum_｛k=0｝^｛\infty｝A_{k}-（\sigma+\tau+\mu）\sum_{k=0}^{infty}L_{k}（t）]，\\x\mathscr{L}[\sum_{k=0.}^{infty}I{k}（t）]=\frac{\mathbf{无}_{4} }{s}+\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr{L}[\tau\sum_{k=0}^{infty}L_{k}（t）-（\gamma+\mu+\delta）\sum_{k=0.}^{infty}I_k}血红蛋白{无}_{5} }{s}+\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr{L}[\sigma\sum_{k=0}^{infty}L_{k}（t）+\gamma\sum_k=0{{infty}I_{k{（t。\结束{cases}$$

(18)

现在，比较(18)，我们得到以下一系列问题。

案例1.何时\（n=0），我们有

$$\textstyle\begin{cases}\mathscr{L}[M_{0}（t）]=\frac{\mathbf{无}_{1} }{s}+\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr{L}[\theta\rho]，\\mathscr}L}[s_{0}（t）]=\ frac{\mathbf｛N｝_{2} }{s}+\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr{L}[（1-\theta）\rho]，\\mathscr}L}[L_{0}（t）]=\frac}\mathbf{无}_{3} }{s}，\\mathscr{L}[I_{0}（t）]=\frac{mathbf{无}_{4} }{s}，\\mathscr{L}[R_{0}（t）]=\frac{mathbf{无}_{5} }{s}。\结束{cases}$$

(19)

计算拉普拉斯逆变换，我们得到

$$\textstyle\begin{cases}M_{0}（t）=\mathbf{无}_{1} +\theta\rho[1+\ta（t-1）]，\\S_{0}（t）=\mathbf{无}_{2} +（1-\theta）\rho[1+\ta（t-1）]，\\L_{0}（t）=\mathbf{无}_{3} ，\\I_{0}（t）=\mathbf{无}_{4} ，\\R_{0}（t）=\mathbf{无}_{5}. \结束{cases}$$

(20)

案例2.何时\（n=1\），我们有

$$\textstyle\begin{cases}\mathscr{L}[M_{1}（t）]=\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathrscr{L}[-（\alpha+\mu）M_{0}（t）]，\\mathscr}[s_{1}[t）]=\frac}s+\et（1-s（t）-\mu s_{0}（t）]，\\mathscr{L}[L_{1}（t）]=\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr}L}[\beta A_{0}（t）-（\sigma+\tau+\mu）L_{0neneneep（t）〕，\\mathscr{L}[I{1}（t）]=\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr}L}[\tau L{0}（t）-（\gamma+\mu+\delta）I_0}I_{0}（t）-\mu R_{0neneneep（t）]。\结束{cases}$$

(21)

评估拉普拉斯逆变换，我们得到

$$\textstyle\begin{cases}M_{1}（t）=[-（\alpha+\mu）M_{0}（t）][1+\eta（t-1）]，\\S_{1}（t）=（\ alpha M_}0}0}（t）-（σ+\tau+\mu）L_{0}=（σL_{0}（t）+\gamma I_{0{（t。\结束{cases}$$

(22)

案例3.何时\（n=2），我们有

$$\textstyle\begin{cases}\mathscr{L}[M_{2}（t）]=\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathcr{L}[-（\alpha+\mu）M_{1}（t）]，\\mathscr}[s_{2}[t）]=\frac}s+\eta（1-s（t）-\mu s_{1}（t）]，\\mathscr{L}[L_{2}（t）]=\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr}L}[\beta s_{1{（t，\\mathscr{L}[I{2}（t）]=\压裂{s+\eta（1-s）}{s}\mathscr}L}[\tau L{1}（t）-（\gamma+\mu+\delta）I{1}（t）]，\\mathscr{L}[R{2}（t I_{1}（t）-\mu R_{1neneneep（t）]。\结束{cases}$$

(23)

计算拉普拉斯逆变换，我们得到

$$\textstyle\begin{cases}M_{2}（t）=（\alpha+\mu）^{2}M_{0}[1+2\eta（t-1）+{\eta}^{2{（\frac{t^2}{2！}-2t+1）]，\\S_{2}（t）=[-\alpha（\alfa+\mu）M_{0}-\β\{S_{0}（τL_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I{0}）\\hphantom{S_{2}（t）=}{}+I{0{（\alpha M_{0}-\beta S_{0}I_{0}-\mu S_{0}）\}-\mu（\alpha M_{0}-\beta S_{0{I_{0}-\mu S_{0}）]\\hphantom{S_{2}（t）=}{}\times[1+2\eta（t-1）+{\eta}^{2]（\frac{t^{2}{2！}-2t+1）]，\\L_2}（t）=[\beta\{S_0}（\tau L_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I{0}）+I{0{（\alpha M_{0}-\beta S_{0}I_{0}-\μS_｛0｝）_{0}-（\sigma+\tau+\mu）L_{0}\}]\\hphantom{L_{2}（t）=}{}\times[1+2\eta（t-1）+{\eta}^{2]（\frac{t^{2}{2！}-2t+1）]，\\I_2}（t）=[\tau\{betaS_{0}I_{0}-（\sigma+\tau+\mu）L_{0}\}-\{（\gamma+\mu+\delta）（\tau L_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I_{0}]\\hphantom{I_{2}（t）=}{}\ times[1+2\eta（t-1）+{\eta}^{2}（\frac{t^{2}{2！}-2t+1）]，\\R_{2neneneep（t）=[\tau\{\beta S_{0}I_{0}-（σ+\tau+\mu）L_{0}\}\\hphantom{R{2}（t）=}{}-\{（γ+\tau+\delta）（\tau L_{0}-\μ（\sigma L_{0}+\gamma I_{0}-\mu R_{0}）\}]\\hphantom{R_{2}（t）=}{}\times[1+2\eta（t-1）+{\eta}^{2}（\frac{t^{2{2}{2！}-2t+1）]。\结束{cases}$$

(24)

案例4.何时\（n=3），我们有

$$\textstyle\begin{cases}\mathscr{L}[M_{3}（t）]=\frac{s+\eta（1-s）}{s}\mathcr{L}[-（\alpha+\mu）M_{2}]，\\mathscr}[s_{3}（t）]=\frac{s+\ta（1-s）}{s}\mathscr{L}[（\alfa M_{2}-βP_{2}-\mu S_{2}]，\\mathscr{L}[L_{3}（t）]=\frac{S+\eta（1-S）}{S}\mathscr}L}[\beta P_{2}-（\sigma+\tau+\mu）L_2}]，\\mathscr{L}[I_3}（t）]=\frac{s+\t（1-s）}{s}\mathscr}L}[\tau L_2}-（\gamma+\mu+delta）I_2}]西格玛L_{2}+\gamma I_{1}-\mu R_{2}]\结束{cases}$$

(25)

以此类推。其他项也可以进行类似的计算。

计算拉普拉斯逆变换，我们得到

$$\textstyle\开始{cases}M_{3}（t）=-（\alpha+\mu）^{3}M_{0}[1+3\eta（t-1）+\eta^{2}！}+3t-1）]\\S_{3}（t）=[\alpha（\alpha+\mu）^{2} M（M）_{0}-\β[\{S_{0}\τ\{βS_{0{I_{0}-（\sigma+\tau+\mu）L_{0}\}\\hphantom{S_{3}（t）=}{}-\{（\gamma+\mu+\delta）（\tau L_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I_{0}）}]\\hphantom{S_{3}（t）=}{}-[\alpha（\alpha+\mu）M_{0}-\β\{S_{0}（τL_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I{0}）\\hphantom{S_{3}（t）=}{}+I{0{（\alpha M_{0}-\beta S_{0}I_{0}-\mu S_｛0｝）\}-\mu（\alpha M_{0}-\βS_{0}I_{0}-\μS_{0}）]I_{0}\\hphantom{S_{3}（t）=}{}-\mu[-\alpha（\alpha+\mu）M_{0}-\β｛S_｛0｝（τL_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I{0}）\\hphantom{S_{3}（t）=}{}+I{0{（\alpha M_{0}-\beta S_{0}I_{0}-\mu S_{0}）\}-\mu（\alpha M_{0}-\beta S_{0{I_{0}-\mu S_{0}）]\\hphantom{S_{3}（t）=}{}\times[1+3\eta（t-1）+\ta^{2}（\frac{t^{2{2！}-2t+1）+\ta ^{3}（\frac{t^3}}{3！}-3\frac}t^2}}{2！{+3t-1）]\\hphantom{S_3}}+[（\alpha M_{0}-\βS_{0}I_{0}-\mu S_{0}）（\tau L_0}-（\gamma+\mu+\delta）I_0}）]\\hphantom{S_{3}（t）=}{}\次[1+3\eta{3}（t）=β[\{S_0}\tau\{βS_0}I_{0}-（\sigma+\tau+\mu）L_{0}\}-\{（\gamma+\mu+\delta）（\tau L_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I_{0}）}]\\hphantom{L_{3}（t）=}{}+[-\alpha（\alpha+\mu）M_{0}-\β\{S_{0}（τL_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I{0}）\\hphantom{L_{3}（t）=}{}+I{0{（\alpha M_{0}-\beta S_{0}I_{0}-\mu S_{0}）\}\\hphantom{L_{3}（t）=}{}-\mu（\alpha M_{0}-\beta S_{0{I_{0}-\mu S_{0}）I_{0}]-[（\sigma+\tau+\mu）[\beta\{S_0}（\tau L_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I{0}）\\hphantom{L_{3}（t）=}{}+（\alpha M_{0}-\beta S_{0}I_{0}-\mu S_{0}）I_{0}]-（\sigma+\tau+\mu）\{\beta S_{0neneneep I_{0}-（∑+\tau+\mu）L_｛0｝\｝]\\hphantom｛L_｛3｝（t）=｝｛｝\times[1+3\eta（t-1）+\eta ^｛2｝（\frac｛t^｛2｝｝｛2！｝-2t+1）+\eta ^｛3｝（\frac｛t^｛3｝｝｛3！｝-3\frac｛t^｛2｝｛2！｝+3t-1）]\\hphantom｛L_｛3｝（t）=｝｛_{0}-\βS_{0}I_{0}-\mu S_{0}）（\tau L_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I_{0{）\\hphantom{L_{3}（t）=}{}\times[1+3\eta（t-1）+\eta^{2}（2{t^{2{}}-2t+1）+\ta^{3}（\frac{t^3}{3}}-2{t^2}+3t-1）]，\\I_{3}（t）=[\tau\{βS_{0}（\tau L_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I{0}）+I{0{（\alpha M_{0}-\beta S_{0}I_{0}-\mu S_{0}）\}\\hphantom{I{3}（t）=}{}-\{（\sigma+\tau+\mu）\{βS_{0{I{0}-（\sigma+\tau+/\mu_{0}我_{0}-（\sigma+\tau+\mu）L_{0}\}-（\gamma+\mu+\delta）\\hphantom{I{3}（t）=}{}\times（\tau L_{0}-（\ gamma+\ mu+\delta）I{0}）]\\hphandom{I{3}（t）=}}\times[1+3\eta（t-1）+\eta^{2}（\frac{t^{2{2！}-2t+1）+\eta^{3}（\frac{t^{3{3}{3！}-3\frac}t^{2}{2！}+3t-1）]，\\R_3}（t）=\sigma\{betaS_0}（\tau L_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I{0}）+I{0{（\alpha M_{0}-\beta S_{0}I_{0}-\mu S_{0}）\}\\hphantom{R_{3}（t）=}{}-（\sigma+\tau+\mu）\{\beta S_{0{I_{0}-（σ+\tau+\mu）L_{0}\}\\hphantom{R_{3}（t）=}{}-[（γ+\tu+\delta）\{\tau（βS_{0}I_{0}-（σ+\tau+\mu）L_{0}\}\\hphantom{R_{3}（t）=}{}+\gamma[\tau\{betaS_{0}I_{0}-（\sigma+\tau+\mu）L_{0}\}-\{（\gamma+\mu+\delta）（\tau L_{0}-（\gamma+\mu+\delta）I_{0}\}\\hphantom{R_{3}（t）=}{}-\mu[\tau\{betaS_{0}I_{0}-（σ+\tau+\mu）L_{0}\}\\hphantom{R_{3}（t）=}{}-\{（γ+\tau+\delta）（\tau L_{0}-\μ（\sigma L_{0}+\gamma I_{0}-\mu R_{0}）\}]\\hphantom{R_{3}（t）=}{}\times[1+3\eta（t-1）+\eta^{2}（\frac{t^{2{2！}-2t+1）+\eta^{3}（\frac{t^3}{3！}-3\frac}t^2}{2！{+3t-1）]，\end{cases}$$

(26)

这样，就可以计算级数解的下一项。因此，我们得到了如下所需的解决方案：

$$\textstyle\begin{cases}M（t）=M_{0}（t）+M_{1}（t）+M_2}（c）+M_3}（d）+\cdots，\\S（t）=S_{0}（t）+S_{1}（t{3}（t）+\cdots，\\I（t）=I{0}（t+I{1}（t1）+I{2}。\结束{cases}$$

(27)

定理4

让 \（\mathscr{X}\） 是Banach空间，并且 \（\mathbf{T}:\mathscr{X}\rightarrow\mathscr{X}\） 是一个压缩非线性算子，这样,为所有人 \（W，｛\bar｛W｝｝\in\mathscr｛X｝\）,\（\|\mathbf{T}（W）-\mathbf{T}（{\bar{W}}）\|_{\mathscr{X}}\leq\kappa\|W-{\bar}},\（0<\kappa<1）.使用巴拿赫收缩原理,T型 有独特的观点 W公司 这样的话 \（\mathbf{T}{W}={W}\）,哪里 \（W=（x，y，z）\）.通过应用LADM,中给出的级数(26)可以写为

$$W_{n}=\mathbf{T} W公司_{n-1}，W{n-1{=sum{j=1}^{n-1}西_{j} ，\quad j=1,2,3，\ldots$$

然后让 \（W_{0}=B_{\varepsilon}（W）中的W_{0}）,哪里 \（B_{\varepsilon}（W）={\bar{\mathbf{W}}\in\mathscr{X}:\|bar{\mathbf{W}}-W\|_{\mathscr{X}},然后有一个

• （i） \（B_{r}（W）中的W_{n}）;

• （ii） \（\lim_{n\rightarrow\infty}W_{n}=W\）.

证明

上述定理的证明可以类似于[39]. □

5数值结果和讨论

在本文的这一部分，我们给出了数值结果，并对所讨论模型的近似解进行了说明。我们采用表中给出的参数的近似值1根据这些值，我们得到如下级数解：

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}M（t）=90-4.194[1+\eta（t-1）]+0.192411[1+2\eta-2t+1）+\eta^{3}（\frac{t^{3{3}{3！}-3\frac}t^{2}{2！}+3t-1）]，\\S（t）=400-1823.361[1+\eta（t-1）]+848.2894[1+2\eta（\frac{t^{2}}{2！}-2t+1）]\\hphantom{S（t）=}{}-39200.2682[1+3\eta（t-1）+\eta^{2{（\frac{t^}}{2！}-2t+1{S（t）=}{}-355.6365[1+3\eta（t-1）+{\eta}^{2}（2{t^{2{}-6t+3）+{\ta}^3}（\frac{t^3}{3}}-2{t^2}+3t-1）]，\\L（t）=100+1811.44[1+\eta+{\ta}^{2}+3t-1）]\\hphantom{L（t）=}{}+355.6365[1+3\eta（t-1）+{\eta}^{2}（2{t^{2{}}-6t+3）+{\ta}^3}（\frac{t^3}}{3}}-2{t^}}+3t-1+22.6071[1+2\eta（t-1）+{\eta}^{2}（\frac{t^{2{2！}-2t+1）]\\hphantom{I（t）=}{}-106.7888[1+3\eta t^{2}}{2！}+3t-1）]，\\R（t）=10+4.0454[1+\eta（t-1）]+61.8304[1+2\eta+\eta^{2}（\frac{t^{2{2}}{2！}-2t+1）+\eta^}3}（\frac{t^3}{3！}-3\frac}t^2}}}{2！}+3t-1）]。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(28)

现在，我们绘制多达五项的解决方案，如中所示(28)以数字表示1–5，对应不同的分数阶。

表1用于模拟所考虑问题的参数值表

从图中可以观察到1免疫人群以不同的比例以不同的分数阶递减。同样，易感人群也在增加，如图所示2如图所示，感染和潜在感染人口也在增加三和4分别是。因为易感人群转化为受感染或潜在感染。进行适当的治疗后，恢复的人口将增加，如图所示5.在较低的分数阶和过程反转后的一段时间内，增加或减少的过程最初是最快的，分数阶越大，相应隔室的人口增加或减少过程越快。这意味着分数阶导数可以更全面地表达这种行为。随着时间的推移，恢复的种群逐渐增加并收敛到平衡状态，如图所示6.

图2

免疫人群五项近似解的图形表示\（百万吨）以所考虑模型的不同分数阶(2)

图3

易感人群五项近似解的图形表示\（S（t）\）以所考虑模型的不同分数阶(2)

图4

潜在感染人群五项近似解的图形表示\（L（t）\）以所考虑模型的不同分数阶(2)

图5

感染人群五项近似解的图形表示\（I（t）\）以所考虑模型的不同分数阶(2)

图6

恢复总体五项近似解的图形表示\（R（t）\）以所考虑模型的不同分数阶(2)

6结论

我们在Caputo–Fabrizio分数导数下研究了结核病的生物模型。借助于不动点定理，我们还建立了关于所考虑问题解的存在性和唯一性的一些充分结果。此外，我们还使用混合类型方法计算了该模型的级数类型解。据我们所知，在过去，上述技术很少用于处理涉及卡普托-法布里奇奥型非奇异导数的FODEs分析解。此外，数值结果通过图表显示，表明所建立的技术可以有效地处理涉及CFFD的FODE的求解。此外，上述方法可用于研究更多涉及CFFD的FODE非线性问题。