在本节中，我们考虑由fBm驱动的一类FSDE，如下所示：
$$\开始{对齐}X（t）=X_{0}+\int^{t}（t）_{0}页\bigl（s，X（s）\bigr）\，ds+\biggl\langle\int^｛t｝_{0}克\bigl（s，X（s）\bigr）\，dB_{H}\biggr\rangle，\quad X_{0}=X（0），\end{aligned}$$
(3.1)
哪里\（B_{H}\）是刘维尔形式的fBm\（H \ in（\压裂{1}{2}，1）\）,\（X_{0}:\Omega\rightarrow{\mathcal{F}}（{\mathbb{R}}）\）是FRV，\（f:I\times\Omega\times{mathcal{f}}（{\mathbb{R}}）\rightarrow{\mathcal{f}}、和\（g:I\times\Omega\times{\mathcal{F}}（{\mathbb{R}}）\rightarrow{\mathbb{R{}}\）相应的近似方程(3.1)是
$$\开始{对齐}X^{\epsilon}（t）=X_{0}+\int^{t}（t）_{0}f\bigl（s，X^{\epsilon}（s）\bigr）\，ds+\biggl\langle\int^{t}（t）_{0}g\bigl（s，X^{\epsilon}（s）\bigr）\，dB^{\ε}_{H}（s-）\biggr\rangle。\结束{对齐}$$
(3.2)
假设3.1
考虑以下关于方程系数的假设：
-
A1）
映射\（f:I\times\Omega\times{mathcal{f}}（{\mathbb{R}}）\rightarrow{\mathcal{f}}和\（g:I\times\Omega\times{\mathcal{F}}（{\mathbb{R}}）\rightarrow{\mathbb{R{}}\）是\（{\mathcal{N}}\otimes{\mathcal{B}}_{d_{s}}|{\matchcal{B}{{d_}s}}\）-可测量和\（{\mathcal{N}}\otimes{\mathcal{B}}_{d_{s}}|{\matchcal{B}（{\mathbb{R}}）\）-分别是可测量的。
-
A2）
对于每个\（u，v\在{\mathcal{F}}（{\mathbb{R}}）中\）每\（I中的t），存在一个常量\（L>0\）这样的话
$$\max\bigl\{d_{infty}\bigl（f（t，\omega，u），f（t、\omega、v）\biger），\bigl\ vert g（t，\ omega，u）-g（t、\ omega、v）\bigr\vert\bigr\}\leq Ld_{infty}（u，v）$$
-
A3）
对于每个\（u，v\在{\mathcal{F}}（{\mathbb{R}}）中\）以及每个\（I中的t），存在一个常量\（C>0\）这样的话
$$\max\bigl\{d_{\infty}\bigl（f（t，\omega，u），\langle 0\rangle\bigr），\bigl\ vert g（t，\ omega，u）\bigr\vert\bigr\}\leq C\bigle（1+d_{\ infty{\bigl$$
提议3.1
([13])
考虑 \（L^{2}中的X，Y\（I\次\Omega，{\mathcal{N}}；{\mathbb{R}}）\）,然后
$$\begin{aligned}{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}d^{2}_{\infty}\biggl（\biggl\langle\int^{u}_{0}X（s）\，dW（s）\biggr\rangle，\biggl\langle\int^{u}_{0}Y（s）\，dW（s）\biggr\rangle\biggr）\leq 4{\mathbb{E}}\int^｛t｝_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（\bigl\langle X（s）\bigr\rangle，\bigl\ langle Y（s）\ bigr\langle\bigr）\，ds，\end{aligned}$$
(3.3)
对于每个 \（t\在I\中）.
定理3.2
假设 \（f:I\times\Omega\times{mathcal{f}}（{\mathbb{R}}）\rightarrow{\mathcal{f}} 和 \（g:I\times\Omega\times{\mathcal{F}}（{\mathbb{R}}）\rightarrow{\mathbb{R{}}\） 因为映射满足假设(一个1)–(一个3)和 \（X_{0}\在{\mathcal{L}}^{2}中（\Omega，{\mathcal{A}}_{0{，P；{\matchal{F}}（{\mathbb{R}}））.然后等式. (3.2)具有强大的独特解决方案.
证明
考虑SDE(3.2),
$$\开始{对齐}X^{\epsilon}（t）=X_{0}+\int^{t}（t）_{0}f\bigl（s，X^{\epsilon}（s）\bigr）\，ds+\biggl\langle\int^{t}（t）_{0}g\bigl（s，X^{\epsilon}（s）\bigr）\，dB^{\ε}_{H}（s-）\biggr\rangle。\结束{对齐}$$
（3.4）
通过等式(2.3)，我们可以写
$$\开始{对齐}X^{\epsilon}（t）={}&X_{0}+\int^{t}（t）_{0}f\bigl（s，X^{\epsilon}（s）\bigr）\，ds\\&{}+\biggl\langle\int^{t}（t）_｛0｝\alpha\varphi^｛\epsilon｝（s）g\bigl（s，X^｛\epsilon｝（s）\bigr）\，ds+\int^{t}（t）_{0}\epsilon^{\alpha}g\bigl（s，X^{\epsilen}\bigr）\，dW（s）\biggr\rangle。\结束{对齐}$$
(3.5)
让我们考虑Picard迭代
$$\begin｛aligned｝X^｛\epsilon｝_｛n｝（t）=｛｝&X_｛0｝+\int^{t}（t）_{0}页\bigl（s，X^{\epsilon}_{n-1}（s）\bigr）\，ds\\&{}+\biggl\langle\int^{t}（t）_{0}\alpha\varphi^{\epsilon}g\bigl（s，X^{\ebsilon}_{n-1}（s）\bigr）\，ds+\int^{t}（t）_{0}\epsilon^{\alpha}g\bigl（s，X^{\epsilon}_{n-1}\bigr）\，dW（s）\biggr\rangle，\quad\text{a.e.}，\end{aligned}$$
(3.6)
对于\（n=1，2，\ldots\） , 并且对于每个\（I中的t）、和\（X_｛0｝（t）=X_｛0｝\）。对于\（t\在I\中）和\（在{\mathbb{n}}\中）我们表示
$$j_{n}（t）={\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}d^{2}_{\infty}\bigl（X^{\epsilon}_{n}（u），X^{\ epsilon{{n-1}（u）\bigr）$$
然后，通过命题2.1,3.1，假设A3，可以写成
$$\begin{aligned}j_{1}（t）={}&{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}d^{2}_{\infty}\biggl（\int^{u}_{0}页\bigl（s，X^{\epsilon}_{0}\bigr）\，ds\\&{}+\biggl\langle\int^{u}_{0}\alpha\varphi^{\epsilon}g\bigl（s，X^{\ebsilon}_{0}（s）\bigr）\，ds+\int^{u}_{0}\epsilon^{\alpha}g\bigl（s，X^{\epsilon}_{0}（s）\bigr，dW（s）\ biggr\rangle，\langle 0\rangle\biggr）\\leq{}&3{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}d^{2}_{\infty}\biggl（\int^{u}_｛0｝f\bigl（s，X^{\epsilon}_{0}\bigr）\，ds，\langle 0\rangle\biggr）\\&{}+3{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}d^{2}_{\infty}\biggl（\biggl\langle\int^｛u｝_{0}\alpha\varphi^{\epsilon}g\bigl（s，X^{\ebsilon}_{0}（s）\bigr，ds\biggr\rangle，langle 0\rangle\biggr）\\&{}+3{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}d^{2}_{\infty}\biggl（\biggl\langle\int^{u}_{0}\epsilon^{\alpha}g\bigl（s，X^{\epsilon}_{0}（s）\bigr）\，dW（s）\ biggr\rangle，\langle 0\rangle\biggr）\\leq{}&3t{\mathbb{E}}\int^{t}（t）_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（f\bigle（s，X^{\epsilon}_{0}\bigr），\langle 0\rangle\biger），ds+3\alpha^{2}{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}d^{2}_{\infty}\biggl（\biggl\langle\int^{u}_｛0｝\varphi^｛\epsilon｝（s）g\bigl（s，X^｛\epsilon｝_｛0｝（s）\bigr）\，ds\biggr\rangle，\langle0\rangle\biggr）\ \&｛｝+12\epsilon ^｛2\alpha｝｛\mathbb｛E｝｝｝\ int^{t}（t）_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（\bigl\langle g\bigle（s，X^{\epsilon}_{0}\bigr）\bigr\rangle，\langle 0\rangle\biger）\，ds\\leq{}&6C^{2}\biggl（T+4\epsilon^{2\alpha}\biger n}\bigr]^{0}\bigrar\vert\！\bigr\vert\}\sup{u\in[0，t]}d^{2}_{\infty}\biggl（\biggl\langle\int^{u}_{0}\varphi^{\epsilon}g\bigl（s，X^{\ebsilon}_{0}（s）\bigr）\，ds\biggr\rangle，langle 0\rangle\biggr），\end{aligned}$$
对于\（α=H-\压裂{1}{2}>0\）.因此
$$\开始{对齐}j_{1}（t）\leq{}&6C^{2}\bigl（t+4\epsilon^{2\alpha}\bigr）\bigle（1+{\mathbb{E}}\bigle\vert\！\bigl\vert\bigl[X^{\epsilen}\biger]^{0}\bigrar\vert\[0，t]}中的alpha^{2}{\mathbb{E}}\sup_{u\^{2}_{\infty}\biggl（\biggl\langle\int^{u}_{0}\varphi^{\epsilon}g\bigl（s，X^{\ε}_{0}（s）\bigr）\，ds\biggr\rangle，\langle 0\rangle\biggr）。\结束{对齐}$$
(3.7)
我们有
$$\开始{aligned}&{mathbb{E}}\sup_{u\在[0，t]}d中^{2}_{\infty}\biggl（\biggl\langle\int^{u}_{0}\varphi^{\epsilon}g\bigl（s，X^{\ε}_{0}（s）\bigr，ds\biggr\rangle，langle 0\rangle\biggr）\\&\quad\leq{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}d^｛2｝_{H} \biggl（\biggl\{\int^{u}_{0}\varphi^{\epsilon}g\bigl（s，X^{\ε}_{0}（s）\bigr）\，ds\biggr\}，\{0\}\biggr）\\&\quad\leq{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\bigbl（\int^｛u｝_{0}\varphi^{\epsilon}g\bigl（s，X^{\ebsilon}_{0}（s）\bigr）\，ds\biggr）^{2}。\结束{对齐}$$
(3.8)
通过应用(2.4)至(3.8)以及我们得到的Hölder不等式
$$\开始{aligned}&{mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\biggl（\int^{u}_{0}\varphi^{\epsilon}g\bigl（s，X^{\ebsilon}_{0}（s）\bigr）^{2}\\&\quad={\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\biggl（\int^{u}_{0}\biggl（\int^{s}_{0}（s-r+\epsilon）^{\alpha-1}\，dW（r）\biggr）g\bigl（s，X^{\epsilon}_{0}\bigr）\，ds\bigger）^{2}\\&\quad={mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\biggl（\int^{u}_{0}\int^{u}_{s} g\bigl（r，X^｛\epsilon｝_｛0｝（r）\bigr）（r-s+\epsilon）^｛\alpha-1｝\，dr\，dW（s）\biggr）^｛2｝\&&quad\leq 4｛\mathbb｛E｝｝\ int^{t}（t）_{0}\biggl（\int^{t}（t）_{s} g\bigl（r，X^{\epsilon}_{0}（r）\bigr）（r-s+\epsi隆）^{\alpha-1}\，dr\biggr）^{2}\，ds\\&\quad\leq 4{\mathbb{E}}\int^{t}（t）_{0}\biggl（\int^{t}（t）_{s} g^{2}\bigl（r，X^{\epsilon}_{0}（r）\bigr）（r-s+\epsilen）^{\alpha-1}\，dr\biggr）\biggl（\int^{t}（t）_{s} （r-s+\epsilon）^{\alpha-1}\，dr\biggr^{t}（t）_{0}g^{2}\bigl（r，X^{\epsilon}_{0}（r）\bigr^{t}（t）_{0}g^{2}\bigl \bigr\vert\！\bigr\fort\！\biger\vert^{2}\bigr）T.\end{aligned}$$
（3.9）
因此，从(3.7)和(3.9)我们获得
$$开始{对齐}j_{1}（t）\leq 6C^{2}\bigl{2}\较大）t，\结束{对齐}$$
(3.10)
对于每个\（I中的t）然后，类似地，
$$开始{对齐}j_{n+1}（t）&\leq 3\bigl（t+4\epsilon^{2\alpha}+4（t+\epsilen）^{2\\alpha}\bigr）L^{2}{mathbb{E}}\int^{t}（t）_｛0｝d^{2}_{\infty}\bigl（X^{\epsilon}_{n}（u），X^{\ epsilon{{n-1}（u）\bigr）^{t}（t）_｛0｝｛\mathbb｛E｝｝\sup_｛u\in[0，s]｝d^{2}_{\infty}\bigl（X^{\epsilon}_{n}（u），X^{\ epsilon{{n-1}（u）\bigr）^{t}（t）_{0}个_{n} （s）\，ds.\结束{对齐}$$
因此
$$j_{n}（t）\leq 2C^{2}3^{n} \bigl（t+4\epsilon^{2\alpha}+4（t+\epsilen）^{2\\alpha}\biger）^{n}\bigle（1+{\mathbb{E}}\bigl\vert\！\bigl\ vert\ t^{n}}{n！}，I中的四元t，{mathbb{n}}中的n$$
应用切比雪夫不等式，如下所示
$$P\biggl（在I}d中为\sup_{u\^{2}_{\infty}\bigl（X^{\epsilon}_{n}（u），X^{\ epsilon{{n-1}（u）\bigr）>\frac{1}{2^{n}}\biggr）\leq 2^{n} j_{n} （T）$$
系列\（总和^{infty}_{n=1}2^{n} j个_{n} （T）\）是收敛的。从Borel–Cantelli引理，我们导出
$$P\biggl（在I}d中为\sup_{u\^{2}_{\infty}\bigl（X^{\epsilon}_{n}（u），X^{\ epsilon{{n-1}（u）\bigr）>\frac{1}{（\sqrt{2}）^{n}}\text{无限频繁}\biggr）=0$$
几乎所有人\（欧米茄），存在\（n_{0}（ω）\）这样的话
I}d中的$$\sup_{u\^{2}_{\infty}\bigl（X^{\epsilon}_{n}（u），X^{\ epsilon{{n-1}（u）\bigr）\leq\frac{1}{（\sqrt{2}）^{n}}，\quad\text{if}n\geqn{0}$$
序列\（\{X^{\epsilon}_{n}（\cdot，\omega）\}\）一致收敛于\（d）^｛2｝_{\infty}\）-连续模糊过程\（\widetilde{X}^{\epsilon}（\cdot，\omega）\）对于每个\（\omega\in\omega_｛c｝\），其中\（\Omega_{c}\在{\mathcal{A}}\中）和\（P（Omega_{c}）=1）。我们可以定义映射\（X^{\epsilon}:I\times\Omega\rightarrow{\mathcal{F}}（{\mathbb{R}}）\），作为\（X^｛\epsilon｝（\cdot，\omega）=宽波浪号｛X｝^｛\epsilon｝（\cdot，\omega）\）如果\（欧米茄）和\（X^{\epsilon}（\cdot，\omega）\）作为自由选择的模糊函数，当\（欧米茄） ∖ \（\欧米茄{c}\）。对于每个\（\alpha\在[0,1]\中）以及每个\（I中的t）有了a.e.，我们就有了
$$d_{H}\bigl（\bigl[X^{\epsilon}_{n}（t）\bigr]^{\alpha}，\bigl[X^{\ epsilon}（t）\birr]^{\ alpha}\bigr）\rightarrow0\quad\text{as}n\rightarror\infty$$
因此，\（X^{\epsilon}\）将是一个连续的模糊随机过程。然后，通过\（X^{\epsilon}_{n}\在{\mathcal{L}}^{2}中（I\times\Omega，{\mathcal{n}}；{\matchcal{F}}（{\mathbb{R}}）），我们得到\（X^{\epsilon}\在{\mathcal{L}}^{2}中（I\times\Omega，{\mathcal{N}}；{\matchal{F}}（{\mathbb{R}}））因此，作为n个到无穷大，我们可以验证
$${\mathbb{E}}\sup_{t\inI}\biggl[d^{2}_{\infty}\bigl（X^{\epsilon}_{n}（t），X^{\ epsilonneneneep（t）\bigr）+d^{2}_{\infty}\biggl（X^{\epsilon}_{n}（t），X^{\ epsilon{{0}+\int^{t}（t）_{0}页\bigl（s，X^{\epsilon}\bigr）\，ds+\biggl\langle\int^{t}（t）_｛0｝克\bigl（s，X^{\epsilon}\bigr）\，dB^{\ebsilon}_{H}\biggr\rangle\biggr）\biggr]^{2}$$
趋于零。然后
I}d中的$${\mathbb{E}}\sup_{t\^｛2｝_{\infty}\biggl[\biggl（X^{\epsilon}（t），X^{\spilon}_{0}+\int^{t}（t）_{0}页\bigl（s，X^{\epsilon}\bigr）\，ds+\biggl\langle\int^{t}（t）_｛0｝克\bigl（s，X^{\epsilon}\bigr）\，dB^{\ebsilon}_{H}\biggr\rangle\biggr）\biggr]=0$$
因此
I}d中的$$\sup_{t\^{2}_{\infty}\biggl[\biggl（X^{\epsilon}（t），X^{\spilon}_{0}+\int^{t}（t）_{0}页\bigl（s，X^｛\epsilon｝（s）\bigr）\，ds+\biggl\langle\int^{t}（t）_{0}克\bigl（s，X^{\epsilon}\bigr）\，dB^{\ebsilon}_{H}\biggr\rangle\biggr）\biggr]=0$$
这表明了强解的存在性。
现在，\（X^{\epsilon}，Y^{\ebsilon}:I\times\Omega\rightarrow{\mathcal{F}}（{\mathbb{R}}）\）假设是强解。考虑
$$j（t）={\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}d^{2}_{\infty}\bigl（X^{\epsilon}（u），Y^{\ε}（u）\bigr）$$
然后，通过与存在情况类似的计算，我们得到
$$j（t）\leq 3\bigl（t+4\epsilon^{2\alpha}+4（t+\epsilen）^{2\\alpha}\bigr）L^{2}{mathbb{E}}\int^{t}（t）_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（X^{\epsilon}（s），Y^{\ε}\bigr^{t}（t）_{0}个（s） \，ds$$
Gronwall不等式的实现导致\（j（t）=0）对于\（t\在I\中）.然后
I}d中的$$\sup_{t\^{2}_{\infty}\bigl（X^{\epsilon}（t），Y^{\ε}（t）\bigr）=0，\quad\text{a.e.}$$
由此完成唯一性的证明。 □
引理3.1
对于每个
\（epsilon>0\）
和
\（0<\alpha<\frac{1}{2}\）
我们有
$$\开始{aligned}\int^{t}（t）_{s} \bigl（（r-s+\epsilon）^{\alpha-1-（r-s）^{\ alpha-1}\bigr）\，dr\leq\frac{\alalpha+1}{\alfa}{\epsilen}^{\alpha}。\结束{对齐}$$
（3.11）
证明
我们将有限增量公式应用于函数\（f（x）=x^{α-1}）以获得
$$开始{对齐}（x+\epsilon）^{\alpha-1}-x^{\alpha-1}=（\alpha-1）$$
(3.12)
然后
$$开始{aligned}\bigl\vert（r-s+\epsilon）^{\alpha-1}-（r-s）^{\salpha-1{\bigr\vert\leq\vert\alpha-1\vert\vert-r-s\vert^{\阿尔法-2}\epsiron。\结束{对齐}$$
(3.13)
因此
$$\开始{aligned}\int^｛t｝_{s} \bigl\vert（r-s+\epsilon）^{\alpha-1}-（r-s）^{\ alpha-1{\bigr\vert^{t}（t）_{s+\epsilon}\bigl\vert^{t}（t）_{s+\epsilon}\vert r-s\vert^{\alpha-2}\，dr.\end{aligned}$$
(3.14)
因此
$$\开始{aligned}\int^{t}（t）_{s} \bigl\vert（r-s+\epsilon）^{\alpha-1}-（r-s）^{\alpha-1-}\bigr\vert^{t}（t）_{s+\epsilon}（r-s）^{\alpha-2}，dr\\&\leq\frac{1}{\alalpha}{\epsilon}^{\alpha}+\vert\alpha-1\vert\epsilon\biggl。\结束{对齐}$$
(3.15)
□
提议3.2
解决方案 \（X^{\epsilon}（t）\） 等式的. (3.2)收敛到解 \（X（t）\） 等式的. (3.1)在里面 \（{\mathcal{L}}^{2}（I\次\Omega）\） 作为 \（\epsilon\rightarrow 0\） 一致地关于 \（t\在[0，t]\中）.
证明
考虑等式(3.1)方程的相应近似值如下：
$$\开始{aligned}&X（t）=X_{0}+\int^｛t｝_{0}f\bigl（s，X（s）\bigr）\，ds+\biggl\langle\int^{t}（t）_{0}g\bigl（s，X（s）\bigr）\，dB_{H}（s）\ biggr\rangle，\end{aligned}$$
(3.16)
$$\开始{对齐}&X^{\epsilon}（t）=X_{0}+\int^{t}（t）_{0}f\bigl（s，X^{\epsilon}（s）\bigr）\，ds+\biggl\langle\int^{t}（t）_{0}g\bigl（s，X^{\epsilon}（s）\bigr）\，dB^{\ε}_{H}（s-）\biggr\rangle。\结束{对齐}$$
(3.17)
我们可以写
$$\开始{aligned}&{mathbb{E}}\sup_{u\在[0，t]}d中^{2}_{\infty}\bigl（X（u），X^{\epsilon}（u）\bigr）\\&\quad\leq 2{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\int^｛u｝_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（f\bigl[s，X（s）\bigr），f\bigle（s，X^{\epsilon}（s）\figr）\，ds\\&\qquad{}+2{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}d^{2}_{\infty}\biggl（\biggl\langle\int^{u}_{0}g\bigl（s，X（s）\bigr）\，dB_{H}（s）\ biggr\rangle，\biggl\langle\int^{u}_{0}g\bigl（s，X^{\epsilon}\bigr）\，dB^{\ε}_{H}（s）\biggr\rangle\biggr）。\结束{对齐}$$
然后
$$\开始{aligned}&{mathbb{E}}\sup_{u\在[0，t]}d中^{2}_{\infty}\bigl（X（u），X^{\epsilon}（u）\bigr）\\&\quad\leq 2{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\int^{u}_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（f\bigl[s，X（s）\bigr），f\bigle（s，X^{\epsilon}（s）\figr）\，ds\\&\qquad{}+4{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}d^{2}_{\infty}\biggl（\biggl\langle\int^{u}_{0}g\bigl（s，X（s）\bigr）\，dB_{H}（s）\ biggr\rangle，\biggl\langle\int^｛u｝_{0}g\bigl（s，X（s）\bigr）\，dB^{\epsilon}_{H}\biggr\rangle\biggr）\\&\qquad{}+4{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}d^{2}_{\infty}\biggl（\biggl\langle\int^｛u｝_{0}g\bigl（s，X（s）\bigr）\，dB^{\epsilon}_{H}（s）\ biggr\rangle，\biggl\langle\int^{u}_{0}g\bigl（s，X^{\epsilon}\bigr）\，dB^{\ε}_{H}（s）\biggr\rangle\biggr）\\&\quad=2{\mathbb{E}}\int^{t}（t）_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（f\bigl（s，X（s）\bigr），f\bigle（s，X^{\epsilon}（s）\figr）\，ds\\&\qquad{}+4{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\biggl\vert\int^｛u｝_{0}g\bigl（s，X^{\epsilon}（s）\bigr）\ bigl^{u}_{0}（g\bigl（s，X（s）\bigr）-g\bigle。\结束{对齐}$$
应用公式(2.3)得到
$$\开始{aligned}&{mathbb{E}}\sup_{u\在[0，t]}d中^{2}_{\infty}\bigl（X（u），X^{\epsilon}（u）\bigr）\\&\quad\leq 2{\mathbb{E}}\int^{t}（t）_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（f\bigl（s，X（s）\bigr），f\bigle（s，X^{\epsilon}（s）\figr）\，ds\\&\qquad{}+8{\epsilon}^{2\alpha}{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\biggl\vert\int^{u}_{0}g\bigl（s，X^{\epsilon}\bigr）\，dW（s）\biggr\vert^{2}\\&\qquad{}+8{\alpha}^{2{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\biggl\vert\int^{u}_{0}g\bigl（s，X^{\epsilon}（s）\bigr）\biggl（\int^{s}_{0}\bigl（（s-r+\epsilon）^{\alpha-1}-（s-r）^{\alpha-1-}\bigr）\，dW（r）\biggr）\，ds\biggr\vert^{2}\\&\qquad{}+8{\alfa}^{2{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\biggl\vert\int^{u}_{0}（g\bigl（s，X（s）\bigr）-g\bigle（s^{s}_{0}（s-r+\epsilon）^{\alpha-1}\，dW（r）\biggr）\，ds\biggr\vert^{2}\\&\qquad{}+8{\epsilen}^{2\alpha}{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\biggl\vert\int^{u}_{0}（g\bigl（s），X（s）\bigr）-g\bigle（s，X^{\epsilon}（s）\biger）\，dW（s）\ biggr\vert^{2}。\结束{对齐}$$
(3.18)
然后
$$\开始{aligned}&{mathbb{E}}\sup_{u\在[0，t]}d中^{2}_{\infty}\bigl（X（u），X^{\epsilon}（u）\bigr）\\&\quad\leq 2{\mathbb{E}}\int^｛t｝_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（f\bigl（s，X（s）\bigr），f\bigle（s，X^{\epsilon}（s）\figr）\，ds\\&\qquad{}+8{\epsilon}^{2\alpha}{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\biggl\vert\int^｛u｝_{0}g\bigl（s，X^{\epsilon}\bigr）\，dW（s）\biggr\vert^{2}\\&\qquad{}+8{\alpha}^{2{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\biggl\vert\int^{u}_{0}\int^{u}_{s} g\bigl（r，X^{\epsilon}（r）\bigr）\bigle（（r-s+\epsilen）^{\alpha-1}-（r-s）^{\ alpha-1{\biger）\，dr\，dW（s）\biggr\vert^{2}\\&\qquad{}+8{\alfa}^{2{{\mathbb{E}\sup_{u\in[0，t]}\biggl\vert\int^{u}_{0}\int^{u}_{s} （g\bigl（r，X（r）\bigr）-g\bigle（s，X^{\epsilon}（s）\biger）（r-s+\epsilen）^{\alpha-1}\，dr\，dW（s）\ biggr\vert^{2}\\&\qquad{}+8{\epsilon}^{2\alpha}{\mathbb{E}}\sup_{u\in[0，t]}\biggl\vert\int^{u}_{0}（g\bigl（s），X（s）\bigr）-g\bigle（s，X^{\epsilon}（s）\biger）\，dW（s）\ biggr\vert^{2}。\结束{对齐}$$
(3.19)
应用Doob不等式、Hölder不等式和Itóisometry性质得到
$$\begin｛aligned｝&｛\mathbb｛E｝｝\sup_｛u\in[0，t]｝d^{2}_{\infty}\bigl（X（u），X^{\epsilon}（u）\bigr）\\&\quad\leq 2{\mathbb{E}}\int^{t}（t）_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（f\bigl[s，X（s）\bigr），f\bigle（s，X^{\epsilon}（s）\figr）\，ds+32{\epsilon}^{2\alpha}{\mathbb{E}}\int^{t}（t）_{0}g^{2}\bigl（s，X^{\epsilon}\bigr）\，ds\\&\qquad{}+32{\alpha}^{2{\mathbb{E}}\int^{t}（t）_{0}\biggl[\int^{t}（t）_{s} g^{2}\bigl（r，X^{\epsilon}（r）\bigr）\ bigl^{t}（t）_{s} \bigl（（r-s+\epsilon）^{\alpha-1-（r-s）^{\ alpha-1-}\bigr）\，dr\biggr]\，ds\\&\qquad{}+32{\alfa}^{2}{\mathbb{E}}\int^{t}（t）_{0}（\int^{t}（t）_{s} \bigl（g\bigl-（r，X（r）\bigr）-g\bigle（s，X^{\epsilon}（s）\biger）^{2}（r-s+\epsilen）^{\alpha-1}\，dr\bigr）\\&\qquad{}\times\biggl（\int^{t}（t）_{s} （r-s+\epsilon）^{\alpha-1}\，dr\biggr）\，ds\\&\qquad{}+32{\epsilon}^{2\alpha}{\mathbb{E}}\int^｛t｝_{0}（g\bigl（s），X（s）\bigr）-g\bigle（s，X^{\epsilon}\biger）^{2}\，ds.\end{aligned}$$
(3.20)
通过类似的论据(3.9)，来自(3.11)和假设\（（A1）\）–\（（A3）\），我们推断
$$\开始{aligned}&{mathbb{E}}\sup_{u\在[0，t]}d中^{2}_{\infty}\bigl（X（u），X^{\epsilon}（u）\bigr）\\&\quad\leq 2L^{2}{\mathbb{E}}\int^{t}（t）_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（X（s），X^{\epsilon}\bigr）\，ds+64{\epsilon}^{2\alpha}C^{2}\int^{t}（t）_{0}\bigl（1+{\mathbb{E}}\bigle\vert\！\bigr\vert\！\bigr\vert^{2}\bigr）\，ds\\&\qquad{}+64C^{2{（T+\epsilon）^{2\alpha}\frac{\alpha+1}{\ alpha}{\epsilen}^{\alfa}\int^{t}（t）_{0}\bigl（1+{\mathbb{E}}\bigle\vert\！\较大\垂直\！\bigr\vert^{2}\bigr）\，ds\\&\qquad{}+32L^{2{（T+\epsilon）^{2\alpha}{\mathbb{E}}\int^{t}（t）_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（X（s），X^{\epsilon}\biger）\，ds\\&\qquad{}+32L^{2}{\epsilon}^{2\alpha}{\mathbb{E}}\int^{t}（t）_{0}天^{2}_{\infty}\bigl（X（s），X^{\epsilon}\bigr）\，ds.\end{aligned}$$
(3.21)
因此
$$\开始{aligned}&{mathbb{E}}\sup_{u\在[0，t]}d中^{2}_{\infty}\bigl（X（u），X^{\epsilon}（u）\biger^{t}（t）_[0，s]}d中的{0}{\mathbb{E}}\sup_{u\^{2}_{\infty}\bigl（X（u），X^{\epsilon}（u）\biger）\，ds\\&\qquad{}+\biggl（64{\epsilon}^{2\alpha}C^{2}+64C^{2]（T+\epsilen）^｛t｝_{0}\bigl（1+{\mathbb{E}}\bigle\vert\！\较大\垂直\！\bigr\vert^{2}\bigr）\，ds.\end{aligned}$$
(3.22)
根据Gronwall引理，\（[0，t]}d中的{\mathbb{E}}\sup_{u\^{2}_{\infty}（X（u），X^{\epsilon}（u））\rightarrow 0\）作为\（\epsilon\rightarrow 0\），这就完成了证明。 □
3.1金融学示例
以下清晰的SFDE通常用于财务建模：
$$\开始{对齐}X（t）=X_{0}+\int^{t}（t）_{0}\mu X（s）\，ds+\int^{t}（t）_{0}\sigma X（s）\，dB_{H}（s），\quad X_{0}=X（0），\end{aligned}$$
(3.23)
其中基础随机过程是fBm。fBm的长程相关性和自相似性使得该过程适合于描述金融量。另一方面，我们可以通过包含不确定性的方程来模拟价格动态。这导致在方程中使用模糊过程进行建模。在线性系数的情况下，我们得到了方程(3.1)。因此，考虑满足定理假设的分数FSDE3.2如下：
$$\开始{对齐}X（t）=X_{0}+\int^{t}（t）_{0}\mu X（s）\，ds+\biggl\langle\int^{t}（t）_{0}\frac{\sigma}{2}\bigl（X^{1}_{l} （s）+X^{1}_{u} （s）\较大）\，dB_{H}（s）\biggr\rangle，\end{aligned}$$
(3.24)
哪里\（X:{\mathbb{R}}_{+}\times\Omega\rightarrow{\mathcal{F}}（{\mat血红蛋白{R}）\）,\（B_{H}\）是fBm，\（X）^{1}_{l} ，X^{1}_{u} ：{\mathbb{R}}_{+}\times\Omega\rightarrow{\mathbb{R{}}\）这样的话\（[X（t）]^{1}=[X^{1}_{l} （t），X^{1}_{u} （t）]\）,\（X_{0}\在{\mathcal{L}}^{2}中（\Omega，{\mathcal{A}}_{0{，P；{\matchal{F}}（{\mathbb{R}}））、和\（{\mathbb{R}}中的\mu，\sigma\）。为了找到解决方案的封闭显式形式(3.24)，用于\（\mu\geq 0\），我们得到以下方程组：
$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}X^{1}_{l} （t）=X^{1}_{l} （0）+\int^{t}（t）_｛0｝\mu X^{1}_{l} （s）\，ds+\int^{t}（t）_{0}\frac{\sigma}{2}（X^{1}_{l} （s）+X^{1}_{u} （s），dB_{H}，\\X^{1}_{u} （t）=X^{1}_{u} （0）+\int^{t}（t）_{0}\mu X^{1}_{u} （s）\，ds+\int^{t}（t）_{0}\frac{\sigma}{2}（X^{1}_{l} （s）+X^{1}_{u} （s）\，dB_{H}，\结束{cases}\显示样式\结束{aligned}$$
然后
$$\开始{对齐}X^{1}_{l} （t）+X^{1}_{u} （t）={}&X^{1}_{l} （0）+X^{1}_{u} （0）+\int^{t}（t）_{0}\mu\bigl（X^{1}_{l} （s）+X^{1}_{u} （s）\bigr）\，ds\\&{}+\int^{t}（t）_{0}\sigma\bigl（X^{1}_{l} （s）+X^{1}_{u} （s）\较大）\，dB_{H}（s）。\结束{对齐}$$
(3.25)
通过方程式(2.3)式的近似形式(3.25)是
$$开始{对齐}X^{\epsilon 1}_{l}（t）+X^{\ssilon 1\{u}^{t}（t）_｛0｝\bigl（\mu+\sigma\alpha\varphi^｛\epsilon｝（s）\bigr）\bigl（X^｛\epsilon 1｝_｛l｝（s）+X^｛\epsilon 1｝_｛u｝（s）\bigr）\，ds\\&｛｝+\int^{t}（t）_{0}\sigma\epsilon^{\alpha}\bigl（X^{\epsiron1}_{l}（s）+X^{\ epsilon1}__{u}（s\bigr）\，dW（s）。\结束{对齐}$$
(3.26)
因此，从清晰线性SDE的显式解来看，有一个唯一的解，
$$开始{对齐}X^{\epsilon 1}_{l}（t）+X^{\spilon 1{{u}^{t}（t）_{0}\varphi^{\epsilon}（s）\，ds-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}t+\sigma\epsilen^{\alpha}W（t）\biggr）\\&=\bigl{H}（t）-\压裂{1}{2}\西格玛^{2}\epsilon^{2\alpha}t\biggr）。\结束{对齐}$$
(3.27)
现在，对于每一个\（[0,1]\中的alpha\），我们采用类似的程序获得以下系统：
$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}X^{\epsilon\alpha}_{l}（t）=X^{\ epsilon\ alpha}_{l}_（0）+\int^{t}（t）_{0}\mu X^{\epsilon\alpha}_{l}\，ds+\int^｛t｝_{0}\frac{\sigma}{2}（X^{\epsilon1}_{l}（s）+X^{\ epsilon1\{u}^{t}（t）_{0}\mu X^{\epsilon\alpha}_{u}\，ds+\int^{t}（t）_{0}\frac{\sigma}{2}（X^{\epsilon1}_{l}（s）+X^{\ epsilon1\{u}（s））。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$
对于\（\mu\geq 0\），我们应用该解决方案(3.27)获取以下系统：
$$开始{对齐}X^{\epsilon\alpha}_{l}（t）={}&X^{\ epsilon\ alpha}_{l}（0）+\int^{t}（t）_{0}\mu X^{\epsilon\alpha}_{l}\，ds\\&{}+\int^{t}（t）_{0}\frac{\sigma}{2}\bigl（X^{\epsilon1}_{l}（0）+X^{\ epsilon1}_{u}），\\X^{\epsilon\alpha}_{u}（t）={}&X^{\ epsilon\ alpha}_{u}_（0）+\int^{t}（t）_{0}\mu X^{\epsilon\alpha}_{u}\，ds\\&{}+\int^{t}（t）_{0}\frac{\sigma}{2}\bigl（X^{\epsilon1}_{l}（0）+X^{\ epsilon1}_{u}），\结束{对齐}$$
或者根据维纳过程W公司，我们有
$$开始{对齐}X^{\epsilon\alpha}_{l}（t）={}&X^{\ epsilon\ alpha}_{l}（0）+\int^｛t｝_{0}\mu X^{\epsilon\alpha}_{l}（s）\，ds\\&{}+\alpha\frac{\sigma}{2}\bigl（X^{\\epsilon1}_{1}（0）+X^{\ epsilon 1}__{u}（O）\bigr）\\&{{}\times\int^{t}（t）_{0}\varphi^{\epsilon}（s）\exp\biggl（\mu s+\sigma\alpha\int^{s}_｛0｝\varphi^｛\epsilon｝（u）\，du-\frac｛1｝｛2｝\sigma^｛2｝\epsilon ^｛2 \alpha｝s+\ sigma\epsilon ^｛\alpha｝W（s）\biggr）\，ds\\&｛｝+\ epsilon ^｛\alpha｝\frac｛\sigma｝｛2｝\bigl（X^｛\epsilon 1｝_｛l｝（0）+X^｛\epsilon 1｝_｛u｝（0）\bigr）\\&｛｝\times\int^{t}（t）_{0}\exp\biggl（\mu s+\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsilon^{\alpha}W（s）\biggr）\，dW（s^{t}（t）_{0}\mu X^{\epsilon\alpha}_{u}（s）\，ds\\&{}+\alpha\frac{\sigma}{2}\bigl（X^{\\epsilon1}_{l}（0）+X^{\ epsilon 1}_}_{u（0）\bigr）\\&{{}\times\int^{t}（t）_{0}\varphi^{\epsilon}（s）\exp\biggl（\mu s+\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsillon^{\alpha}W（s）\biggr）\，ds\\&{}+\epsilon^{\ alpha}\frac}{2\sigma}{2{\bigl）\bigr）\\&{}\times\int^{t}（t）_{0}\exp\biggl（\mu s+\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsilon^{\alpha}W（s）\biggr）\，dW。\结束{对齐}$$
(3.28)
将定理8.5.2应用于[1]获得唯一的解决方案(3.28)格式为：
$$开始{对齐}X^{\epsilon\alpha}_{l}（t）={}&e^{\mut}X^{\ epsilon\ alpha}_{l}（0）\\&{}+e^{\ mut}\alpha\frac{\sigma}{2}\bigl^{t}（t）_{0}\varphi^{\epsilon}（s）\exp\biggl（\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsilon^{\alpha}W（s）\biggr）\，ds\\&{}+e^{\mut}\epsillon^{\ alpha}\ frac{\sigma}{2{\bigl{u}（0）\bigr）\\&{}\times\int^{t}（t）_{0}\exp\biggl（\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsilon^{\alpha}W（s）\biggr）\，dW（s t}\alpha\frac{\sigma}{2}\bigl（X^{\epsilon1}_{l}（0）+X^{\ epsilon1}_{u}（O）\bigr）\\&{}\times\int^{t}（t）_{0}\varphi^{\epsilon}（s）\exp\biggl（\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsilon^{\alpha}W（s）\biggr）\，ds\\&{}+e^{\mut}\epsillon^{\ alpha}\ frac{\sigma}{2{\bigl{u}（0）\bigr）\\&{}\times\int^{t}（t）_{0}\exp\biggl（\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsilon^{\alpha}W（s）\biggr）\，dW。\结束{对齐}$$
然后
$$开始{对齐}X^{\epsilon\alpha}_{l}（t）={}&e^{\mut}\biggl[X^{\ epsilon\ alpha}_{l}（0）+\frac{\sigma}{2}\bigl（X^{epsilon 1}_{1}（0）+X^{\\epsilon1}_{u}（O）\bigr）\\&{}\times\int^{t}（t）_{0}\exp\biggl（\sigma B^{\epsilon}_{H}（s）-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s\biggr）\，dB^{\ epsilen}_{H}（s]）\biggr]，\\X^{\εalpha}_{u}（t）={}&e^{\mut}\biggl[X^{\alpha}_u}（0）+\frac{\sigma}{2}\bigl（X^{\epsilon1}_{l}（0）+X^{\ epsilon1}_{u}（O）\bigr）\\&{}\times\int^{t}（t）_｛0｝\exp\biggl（\sigma B^｛\epsilon｝_｛H｝（s）-\frac｛1｝｛2｝\sigma ^｛2｝\epsilon ^｛2｝\alpha｝s \biggr）\，dB^｛\epsilon｝_｛H｝（s）\biggr]。\结束{对齐}$$
因此\（\mu\geq 0\）是
$$开始{对齐}X^{\epsilon}（t）={}&e^{\mut}X（0）\\&{}+\biggl\langle\frac{\sigma}{2}\bigl^｛t｝_{0}\exp\biggl（\sigma B^{\epsilon}_{H}（s）-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s\biggr）\，dB^{\ epsilen}_{H}（s-）\biggr范围。\结束{对齐}$$
(3.29)
对于\（\mu<0\），我们可以证明
$$\begin{aligned}\begin{aligned}X^{\epsilon\alpha}_{l}（t）={}&X^{\ epsilon\ alpha}_{l}_（0）+\int^{t}（t）_{0}\mu X^{\epsilon\alpha}_{u}（s）\，ds\\&{}+\alpha\frac{\sigma}{2}\bigl（X^{\\epsilon1}_{l}（0）+X^{\ epsilon 1}_}_{u（0）\bigr）\\&{{}\times\int^{t}（t）_｛0｝\varphi^｛\epsilon｝（s）\exp\bigl（\mu s+\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsillon^{\alpha}W（s）\biggr）\，ds\\&{}+\epsilon^{\ alpha}\frac}{2\sigma}{2{\bigl）\bigr）\\&{}\times\int^{t}（t）_{0}\exp\biggl（\mu s+\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsilon^{\alpha}W（s）\biggr）\，dW（s^｛t｝_{0}\mu X^{\epsilon\alpha}_{l}（s）\，ds\\&{}+\alpha\frac{\sigma}{2}\bigl（X^{\\epsilon1}_{1}（0）+X^{\ epsilon 1}__{u}（O）\bigr）\\&{{}\times\int^{t}（t）_{0}\varphi^{\epsilon}（s）\exp\biggl（\mu s+\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsillon^{\alpha}W（s）\biggr）\，ds\\&{}+\epsilon^{\ alpha}\frac}{2\sigma}{2{\bigl）\bigr）\\&{}\times\int^{t}（t）_{0}\exp\biggl（\mu s+\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsilon^{\alpha}W（s）\biggr）\，dW。\end{aligned}\end{alinged}$$
(3.30)
独特的解决方案(3.30)具有以下矩阵形式：
$$开始{对齐}X^{\epsilon\alpha}_{l}（t）={}&X^{\spilon\alha}_{1}（0）\cosh（\mut）+X^{\ epsilon\ alpha}_{u}（O）\sinh（\mu t）\\&{}+e^{\mut}\alpha\frac{\sigma}{2}\bigl{u}（0）\bigr）\\&{}\times\int^{t}（t）_{0}\varphi^{\epsilon}（s）\exp\biggl（\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsilon^{\alpha}W（s）\biggr）\，ds\\&{}+e^{\mut}\epsillon^{\ alpha}\ frac{\sigma}{2{\bigl{u}（0）\bigr）\\&{}\times\int^{t}（t）_{0}\exp\biggl（\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsilon^{\alpha}W（s）\biggr）\，dW（s{u}（0）\cosh（\mut）\\&{}+e^{\mut}\alpha\frac{\sigma}{2}\bigl\bigr）\\&{}\times\int^{t}（t）_{0}\varphi^{\epsilon}（s）\exp\biggl（\sigma\alpha\int^{s}_｛0｝\varphi^｛\epsilon｝（u）\，du-\frac｛1｝｛2｝\sigma^｛2｝\sigma^｛2｝\sigma^｛\alpha｝W（s）\biggr）\，ds\\&｛｝+e^｛\mu t｝\epsilon^｛\alpha｝\frac｛\sigma｝｛2｝\bigl（X^｛\epsilon 1｝_｛l｝（0）+X^｛\epsilon 1｝_｛u｝（0）\bigr）\\&｛｝\times\int^{t}（t）_{0}\exp\biggl（\sigma\alpha\int^{s}_{0}\varphi^{\epsilon}（u）\，du-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s+\sigma\epsilon^{\alpha}W（s）\biggr）\，dW。\结束{对齐}$$
然后
$$\begin｛aligned｝X^｛\epsilon\alpha｝_｛l｝（t）=｛｝&X^｛\epsilon\alpha｝_｛l｝（0）\cosh（\mu t）+X^｛\epsilon\alpha｝_｛u｝（0）\sinh（\mu t）\&｛｝+e^｛\mu t｝\frac｛\sigma｝｛2｝\bigl（X^｛\epsilon 1｝_｛l｝（0）+X^｛\epsilon 1｝_｛u｝（0）\bigr）[int^{t}（t）_{0}\exp\biggl（\sigma B^{\epsilon}_{H}（s）-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s\biggr）\，dB^{\ epsilen}_{H}n\alpha}{u}（0）\cosh（\mut）\\&{}+e^{\mut}\frac{\sigma}{2}\bigl^{t}（t）_{0}\exp\biggl（\sigma B^{\epsilon}_{H}（s）-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s\biggr）\，dB^{\ epsilen}_{H}。\结束{对齐}$$
因此，近似模糊解\（\mu<0\）是
$$开始{对齐}X^{\epsilon}（t）={}&X（0）\cosh（\mut）+X（0^{t}（t）_{0}\exp\biggl（\sigma B^{\epsilon}_{H}（s）-\frac{1}{2}\sigma^{2}\ epsilon^{2\alpha}s\biggr）\，dB^{\ epsilen}_{H}（s-）\biggr范围。\结束{对齐}$$
(3.31)
