分数阶亥姆霍兹方程的一种有效解法

摘要

本文采用同伦摄动Elzaki变换方法求解分数阶亥姆霍兹方程。在混合技术中，Elzaki变换方法和同伦微扰方法被合并在一起。解决了三个问题，以验证和证明本技术的有效性。实验还表明，该方法所得结果与其他方法所得结果吻合良好。结果表明，该方法对科学与工程中的各种相关问题都是有效、可靠和易于实现的。

1介绍

在本世纪，分数微积分及其在数学、物理和工程中的各种应用的研究受到了相当大的关注。分数微积分应用于许多领域，如电气网络、动态设备控制理论、概率统计、腐蚀电化学、化学力学、光学和信号处理。线性或非线性分数阶微分方程可以成功建模。分数阶微分方程是由数学物理中的经典扩散方程通过替换n个带有分数阶导数的四阶时间导数γ(\（n-1<\gamma\leq n）)这是目前文献研究中越来越感兴趣的领域。这些演化方程的一个重要现象是，它产生了布朗分数运动，这是布朗运动的推广。在几篇文章和几本书中，可以找到分数微积分的不同定义[1–10].

亥姆霍兹方程或归约波动方程是直接从波动模型导出的椭圆偏微分方程（PDE）。亥姆霍兹方程是一个PDE，表示空间中与时间无关的机械发展。亥姆霍兹方程是物理学和应用数学模型中最重要的方程之一[10]. 亥姆霍兹方程的解通常是由分离变量产生的，解决了重要的科学现象。这些方程出现在一些现象中，例如流体中的电磁波、振动线、板、墙、声学、磁场、核电站和地球科学中的Lamb方程。考虑速度为c（c）在欧氏空间中[11,12]. 波浪结果是\（\mu（x，y）\）对应于谐波源\（φ（x，y））以规定的固定频率振动\（ω>0）满足定义面积的亥姆霍兹方程对:

$$\frac｛\partial ^｛2｝\mu（｛x｝，｛y｝）｝｛\partial｛x｝^｛2｝｝+\frac｛\partial ^｛2｝\mu（｛x｝，｛y｝）｝$$

(1)

哪里\（\mu（x，y）\）是一个适当的可微函数对，以及\（φ（x，y））是指定的函数，\（\lambda>0）是一个常量值，并且\（\sqrt{\lambda}=\frac{\omega}{c}\）是波长为的波数\（\frac{2\pi}{\sqrt{\lambda}}\）.如果\（φ（x，y）=0）则等式(1)亥姆霍兹方程是齐次的。大多数与稳态振荡（电磁、声学、液压、热电）相关的方程都会导出二维亥姆霍兹方程。如果积极迹象（在λ术语）修改为负号，该问题定义了一级体积化合物的质量传输过程。例如在线性声学中，\（φ（x，y））可以反映参考状态压力的扰动（Thompson和Pinsky，1995[12]). 守恒方程也被转换为亥姆霍兹方程，在一些物理问题中通常有不同的实现，例如剪切粘度流或限制在热物理壁内的流体[11–14]. 近几十年来，许多数值和分析技术被用于求解分数阶亥姆霍兹方程，例如He的同伦摄动技术[10]，拉普拉斯变分迭代技术[15]，简化微分变换技术[16]，q-homotopy分析变换技术[17]，光谱技术[17]和He的变分迭代技术[18].

同伦摄动法（HPM），由中国科学家何提出，自1998年以来发挥了关键作用[19]. 之所以如此，是因为它接近方案，不需要任何区分或线性化。该技术公平、高效、有效，并消除了无条件矩阵、无穷级数和复杂积分。此算法不需要问题的特定参数。在这种技术中，根据同伦论方法，一个具有嵌入参数的同伦论\（第[0,11]\页）构造了嵌入参数，并将嵌入参数视为一个“小参数”，它可以充分利用传统的微扰技术和单纯形方法[20–23]. Ezaki变换（E.T.）是Elzaki于2010年实施的最新积分变换。E.T.是拉普拉斯变换和苏姆杜变换的修正变换。值得注意的是，具有可变系数的绝对微分方程不能通过拉普拉斯变换和Sumudu变换实现，但可以使用E.T轻松处理[24–26]. 同伦摄动Elzaki变换方法（HPETM）将Elzaki转换和同伦摄动力方法相结合。许多研究人员借助HPETM求解了不同的方程，例如Navier–Stokes方程[27]，类热方程[28]，气体动力学方程[29]双曲方程和Fisher方程[30].

作为这项工作的主要目的，HPETM用于求解分数阶二维亥姆霍兹方程。针对分数阶二维亥姆霍兹方程的三个特殊示例，确定了HPETM解。通过图形与精确解的比较，观察到HPETM具有更高的效率和准确性。分数阶亥姆霍兹方程的HPETM级数解显示了期望的收敛速度。因此，本技术被用于求解其他分数阶偏微分方程。本文的结构如下：在介绍了Section中的基本定义和分数微积分属性之后。 2，我们在第节中介绍了所提出的方法。 三.截面4给出了分数阶亥姆霍兹方程的三个例子的精确解和近似解。章节5研究结束。

2初步概念

定义2.1

([24–26])

让我们写出伽马函数的定义：

$$\Gamma（\Gamma）=\int_{0}^{\infty}e^{-{\eta}}\eta^{\Gamma-1}\partial{\eta}，\quad\Gamma>0$$

定义2.2

一个实函数\（g（{x}），{x}>0\），据说在太空中\（C_{\gamma}\）,\（R中的伽马）如果存在实数\（p>\gamma），因此\（g（{x}={x}^{p} 克（{x}））\），其中\（g（{x}）\在[0，\infty]\中）据说它在太空中\（C^｛\kappa｝_｛\gamma｝\）如果\（g^{（\kappa）}\在C_{\gamma}\中）,\（N中的\kappa\）[24–26].

定义2.3

（偏分数阶导数[24–26])

现在考虑一下\（克（x）\）是…的函数n个变量\（x{i}，i=1，\ldots，\kappa\），也属于组C类在\（D\在R_｛\kappa｝中）.作为定义2的实现，我们定义了分数阶γ对于\（g（x）\）关于\（x{i}\）通过

$$\partial_{x}^{gamma}g=\frac{1}{\gamma（\kappa-a）}\int_{0}^{x{i}}（x_{i} -1个)^{\kappa-\gamma-1}\部分{x{i}}^{\gamma}g（x{j}）{x{j{=\eta}\，d\eta$$

定义2.4

Riemann–Liouville分数阶方程，\（伽马>0）函数的\（C_{\kappa}\中的f\）,\（伽玛射线-1），定义为[1,2,24–26]

$$\begin{aligned}&J^{gamma}g（x）=\frac{1}{\gamma（\gamma）}\int_{0}^{x}（x-1）^{\gamma-1}g（\eta）\ partial\eta，\ gamma，\ quad x>0，\\&J^}\gamma}g。\结束{对齐}$$

运算符的一些属性包括：

对于\（g在C_｛\kappa｝中）,\（伽玛射线-1）,\（\gamma，\delta\geq 0\）和\（α>-1\）

$$\开始{对齐}和J^{gamma}{J}^{delta}{g（x）}=J^{\gamma+\delta}g（x{x}^{\gamma+\delta}。\结束{对齐}$$

引理2.5

如果 \（\kappa-1<\gamma\leq\kappa）,\（N中的\kappa\） 和 \（g\在C_{\kappa}\中）,\（伽玛射线-1）,然后 \（D^{\gamma}J^{\gamma}g（x）=g（x）\） 和

$$D^{\gamma}J^{\gamma}g（x）=g（x）-\sum_{k=0}^{m-1}克^{（k）}（0）\frac{x^{k}}{k！}，\quad{x}>0$$

Elzaki变换的基本概念

我们在A类集合，由表示[24–26]

$$A=g（\eta）：\ni|M，k_{1}，k_2}>0，\bigl\vert g（\eta）\bigr\vert<Me^{\frac{\vert\eta\vert}{k_{j}}}，\quad\text{if}（\eta）\in（-1）^{j}\times[0，\infty）$$

常量M（M）必须是有限数，k个1和k个对于集合中的给定函数，2是有限的或无限的。Elzaki变换通过积分方程描述

$$E\bigl[g（\eta）\bigr]=T（s）=s\int_{0}^{\infty}g（\ta）E^{\frac{-\eta}{s}}\，d\eta，\quad\eta\geq0，k_{1}\leqs\leq-k_{2}$$

我们从描述和基本分析中得出以下结果：

$$\开始{对齐}&E\bigl[\eta^{n}\bigr]=n！s^{n+2}，\\&E\bigl[g'（\eta）\bigr]=\frac{T（s）}{s} -sg公司（0），\\&E\bigl[g''（\eta）\bigr]=\frac{T（s）}{s^{2}}-g（0）-sg'（0）^{n-1}秒^{2-n+k}g^{（k）}（0）。\结束{对齐}$$

定理2.6

如果 \（T（s）\） 是Elzaki变换 \（（\eta）\）,Riemann–Liouville导数的Elzaki变换可以考虑如下[24–26]:

$$E\bigl[D^{\gamma}g（\eta）\bigr]=s^{-\gamma}\Biggl[T（s）-\sum_{k=1}^{n}\bigl\{D^{\gamma-k}g；\四元-1<n-1\leq\gamma<n$$

证明

让我们用拉普拉斯变换

$$\begin{aligned}&g'（\eta）=\frac{d}{d\eta}g（\eta），\\&\begin{aligned}L\bigl[d^{gamma}g（\ta）\bigr]&=S^{gama}T（S）-\sum_{k=0}^{n-1}秒^{k} \bigl[D^{\gamma-k-1}g（0）\bigr]\\&=s^{\gamma}T（s）-\sum_{k=0}^{n-1}秒^{k-1}\bigl[D^{\gamma-k}g（0）\bigr]=s^{\gamma}T（s）-\sum_{k=0}^{n-1}秒^{k-2}\bigl[D^{\gamma-k}g（0）\bigr]\\&=s^{\gamma}T（s）-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{s^{-k+2}}\bigle[D^}\gamma-k}g（0 \bigl[D^{\gamma-k}g（0）\bigr]\\&=s^{\gamma}T（s）-\sum_{k=0}^｛n-1｝s^{\gamma}\frac{1}{s^{\gama-k+2}}\bigl[D^{\gamma-k}g（0）\bigr]，\end{aligned}\\&L\bigl[D^}\gamma g（\eta）\biger]=s^{\ gamma}\Biggl[T（s）-\sum_{k=0}^{n-1}\Biggl（\frac}{s}\bigr）{\gamma-k}g（0）\bigr]\biggr]。\结束｛对齐｝$$

因此，当我们\（\压裂{1}{s}\）对于秒，分数阶的Elzaki变换\（g（\eta）\）成为

$$E\bigl[D^{\gamma}g（\eta）\bigr]=s^{-\gamma}\Biggl[T（s）-\sum_{k=0}^{n}（s）^{\gamma-k+2}\bigl[D^}\gamma-k}g$$

 □

定义2.7

利用定理实现Caputo分数阶Elzaki变换2.6表示为[1–三]

$$E\bigl[D^{\gamma}_{\eta}g（\eta）\bigr]=s^{-\gamma}E\bigle[g（\eta）\biger]-\sum_{k=0}^{\kappa-1}s^{2-\gamma+k}g^{（k）}（0），\quad\text其中}\kappa-1<\gamma<\kappa$$

(2)

三同伦摄动Elzaki变换方法

作为给定技术的基本概念，我们考虑PDE的一般形式：

$$\begin{aligned}&D_{{y}}^{\gamma}{\mu}（{x}，{y}）+M{\mu{（{x}，}）+N{\muneneneep（{x{，{y}）=h（{x{，}y），\quad{y}>0，0<\gamma\leq 1，\\&{\mu}（}，0）=g（x），\quid\nu in \Re。\结束{对齐}$$

(3)

应用公式的Elzaki变换(三)

$$\开始{对齐}和{E}\bigl[D_{{y}}^{\gamma}{\mu}（{x}，{y}）+M{\mu{（{x}，}）+N{\muneneneep（{x{，{y}）\bigr]={E}\ bigl[h（{x{，}y）\biger]，\quadr{y}>0,0<\gamma\leq 1，\\&\mu ^{2}{g（x）}+{s^{gamma}}{E}\bigl[h（{x}，{y}）\bigr]-{s^}\gamma}{E{\bigl[M{\mu}（{x{，{y}）+N{\mu{（{x}，}）\ bigr]。\结束{对齐}$$

(4)

现在，通过逆Elzaki变换，我们得到

$${\mu}（{x}，{y}）=F（x，{y{）-{E}^{-1}\bigl[{s^{\gamma}}{E}\bigle\{M{\mu{（{x}，}）+N{\muneneneep（{x{，{y}）\bigr\}\bigr]$$

(5)

哪里

$$F（{x}，{y}）={E}^{-1}\bigl[s^{2}{g（x）}+{s^{gamma}}{E}\bigle[h（{x{，{y}）\bigr]\bigr]=g（\nu）+{E}{-1}\ bigl[{s^}\gamma}{E{\bigl[h（}，}）\ bigr]\ bigr]$$

(6)

现在，带参数幂级数的摄动过程第页显示为

$${\mu}（{x}，{y}）=\sum_{k=0}^{\infty}p^{k}{\mu{{k}$$

(7)

哪里第页是扰动参数\（第[0,1]\页）.

非线性项可以定义为

$$N{\mu}（{x}，{y}）=\sum_{k=0}^{\infty}p^{k} H（H）_{k} （{\mu}{k}）$$

(8)

哪里\（H_{n}\）He的多项式\（{\mu}{0}，{\muneneneep{1}，}\mu}{2}，\ldot，{\mu}{n}），可以确定为

$$H_{n}（{\mu}_{0}，{\muneneneep _{1}，\ldots，{\mu}_{n{）=\frac{1}{\gamma（n+1）}D_{p}^{k}\Biggl[{n}\Bigl（\sum_{k=0}^{\infty}p^{k{{k}{\Biggr）\Biggr]_{p=0}$$

(9)

哪里\（D_{p}^{k}=\分数{\部分^{k{}}{\部分p^{kneneneep}）.

替换公式(8)和(9)在等式中(5)，我们得到

$$\sum_{k=0}^{\infty}p^{k}{\mu}_{k}（{x}，{y}）=F（{x{，{y}）-p\times\Biggl[{E}^{-1}\Biggl\{s^{gamma}}{E}\Bigbl\{M\sum_}k=0{^{\infty}p^k}{k}}{（{x}，}）+\ sum_{k=0}^{\infty}p^{k} 小时_{k} （｛\mu｝_｛k｝）\Biggr\｝\Biggr\｝\Biggr]$$

(10)

通过比较系数第页，我们有

$$开始{对齐}&p^{0}:{\mu}_{0}（{x}，{y}）=F（{x{，{y}）（大）\bigr）\biger]，\\&p^{2}:{\mu}_{2}（{x}，{y}）={E}^{-1}\bigl[{s^{gamma}}{E}\bigle（M{\mu{1}（}x}、{y}）+H_1}（[{mu}）\bigr]，\\}，{y}）={E}^{-1}\bigl[{s^{\gamma}}{E}\bigl（M{\mu}_{k-1}（{x}，{y}）+H_{k-1}（}\mu}）\bigr]，\四k>0，k\在N.\结束{对齐}$$

(11)

这个\（{\mu}{k}（{x}，{y}）\）分量可以很容易地确定，这很快就可以得到收敛级数。我们可以得到\（向右箭头1）,

$${\mu}（{x}，{y}）=\lim_{M\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{M}{\mu{k}$$

(12)

4应用

在本文的这一节中，HPETM方法将应用于一些示例，以了解所提方法的过程。通过HPETM进行了一些数值模拟，以可视化亥姆霍兹方程组。

示例1

考虑分数阶亥姆霍兹方程

$$\frac{\partial^{\gamma}{\mu（x，y）}}{\paratil{x^{\gamma}}+\frac}\partial ^{2}{\mo（x，y）}}}{\ partial{y^{2{}}-{\mu（x，y}}=0，\quad 1<\gamma\leq 2$$

(13)

具有初始条件

$$\mu（0，y）=y\quad\text{和}\quad\\mu_{x}（0、y）=0$$

(14)

应用方程的Elzaki变换(13)，我们得到

$$开始{对齐}和\frac{1}{s^{\gamma}}{E}\bigl[{\mu}（{x}，y）\bigr]={\mu{（{0}，y）{s^}2-\gamma{}}-{E}\biggl\{\frac}\partial^{2}{\mu$$

(15)

$$\开始{aligned}&{E}\bigl[{\mu}（{x}，y）\bigr]={s^{2}{\mu{（{0}，y）-s^{\gamma}{E}\biggl\{\frac{\partial^{2{\mu（x，y）}}{\partical{y^{2neneneep}}}}-{\mo（x，y）}\biggr\}。\结束｛对齐｝$$

(16)

通过逆Elzaki变换，我们得到

$$｛E｝\bigl[｛\mu｝（｛x｝，y）\bigr]=y-E^｛-1｝\biggl[s^｛\gamma｝｛E｝\biggl\｛\frac｛\partial ^｛2｝｛\mu（x，y）｝｝｛\partial｛y^｛2｝｝｝｝-｛\mu（x，y）｝\biggr\｝\biggr]$$

(17)

在等式中实施HPM(17)，我们获得

$$\sum_{\kappa=0}^{\infty}p^{\kapta}{\mu}_{\kappa}（{x}，{y}）=y-p\Biggl[{E}^{-1}\Biggl \{s^{\gamma}}{E}\Bigbl\{\Biggal（\sum_}\kappa=0}^{\infty}p^{\ kappa}{\mu}\Biggr）{{y}{y}}-\sum_{kappa=0}^{\infty}p^{\kappa}{\mu}{\kappa}（{x}，{y}）\Biggr\}\Biggr\}\Bigbr]$$

(18)

关于比较系数第页在双方，我们都获得

$$\开始{对齐}和p^{0}:{\mu}_{0}（{x}，y）=y，\\&p^{1}:{\su}_{1}（}x}、y）=-{E}^{-1}\biggl[{s^{\gamma}}{E}\bigl\{frac{\partial^{2}\mu_{0{0}（{x}，y）\biggr\}\biggr]=\frac{x}^{\gamma}}{\gamma（\gamma+1）}y，\\&p^{2}:{\mu}_{2}（[{x}，y）=-{E}^{-1}\bigl[{s^{\伽玛}}{E}\bigbl\{部分^{2{\mu{1}（{x}，y）}{\部分y^{2}}-{\mu}_{1}{\frac{\partial^{2}\mu_2}（{x}，y）}{\particaly^{2{}-{\mu}_2}\biggl[{s^{gamma}}{E}\biggl \{frac{\partial^{2}\mu_{3}$$

(19)

该系列构成了给定示例的解决方案，我们有

$$\begin{aligned}和{\mu}（{x}，y）={\muneneneep{0}（}x}、y）+{\mu}{1}（[{x}，y）+}\mu}{2}^{\gamma}}{\gamma（\gamma+1）}+\frac{x^{2\gamma}{\garma（2\garma+1）}+\frac}x^{3\gamma{}{\伽玛（3\gama+1）}+\frac（x^{4\gamma}}{\伽玛（4\ga玛+1）}~+\cdots\biggr]。\结束{对齐}$$

(20)

示例的确切结果1什么时候\（伽马=2）是

$$\mu（x，y）=y\cosh{x}$$

以同样的方式解决年-空间可以通过HPETM确定为

$$\frac｛\partial ^｛\gamma｝｛\mu（｛x｝，y）｝｝｛\partial｛y^｛\gamma｝｝｝+\frac｛\partial ^｛2｝｛\mu（｛x｝，y）｝｛\partial｛x^｛2｝｝｝-｛\mu（｛x｝，y）｝=0$$

(21)

具有适当的初始值

$$\mu（x，0）=x$$

(22)

因此，等式(21)获得，

$$\mu（｛x｝，y）=x\biggl（1+\frac｛y^｛\gamma｝｝｛\gamma（\gamma+1）｝+\frac｛y^｛2\gamma｝｝｛\gamma（2\gamma+1）｝+\frac｛y^｛3\gamma｝｛\gamma（3\gamma+1）｝+\frac｛y^｛4\gamma｝｝｛\gamma（4\gamma+1）｝+\cdots\biggr）$$

在这种情况下\（伽马=2），则通过HPETM的解决方案为

$$\mu（{x}，y）=x\cosh{y}$$

(23)

图1在图（a）和（b）中，在精确解和HPETM解的二维图中描述了不同值的解\（伽马=2,1.9,1.8,1.7,1.6,1.5\）对于\（x\在[0；1]\中）和\（y=1）。在图中2图（a）和（b）中精确和HPETM溶液的三维图\（伽马=2）并对精确解和HPETM解的闭合接触进行了分析。在图中三图（c）和（d）表示HPETM解决方案\（伽马=1.8）示例中分别为1.6和1.61研究了分数阶结果收敛于每个问题的整数阶结果。用同样的方法，我们可以画出年-空间分数导数。

图1

(一)精确解和近似解的图形(b条)的不同分数阶结果γ示例的1

图2

(一)精确和(b条)近似解\（伽马=1）示例的1

图3

(c（c）)分数阶结果图\（伽马=0.8）和(d日)\（伽马=0.6）示例的1

表1不同分数阶结果的HPETM和RDTM溶液在γ示例的1

示例2

考虑分数阶亥姆霍兹方程

$$\frac{\partial^{\gamma}{\mu（x，y）}}{\paratil{x^{\gamma}}}+\frac}\partial ^{2}{\mo（x，y）}}}{\ partial{y^{2{}}+5{\ mu（x，y）{=0，\quad 1<\gamma\leq 2$$

(24)

具有初始条件

$$\mu（0，y）=y\quad\text{和}\quad\\mu_{x}（0、y）=0$$

(25)

应用方程的Elzaki变换(24)，我们得到

$$开始{对齐}和\frac{1}{s^{\gamma}}{E}\bigl[{\mu}（{x}，y）\bigr]={\mu{（{0}，y）{s^}2-\gamma{}}-{E}\biggl\{\frac}\partial^{2}{\mu（x，y}$$

(26)

$$\开始{aligned}&{E}\bigl[{\mu}（{x}，y）\bigr]={s^{2}{\mu{（{0}，y）-s^{\gamma}{E}\biggl\{frac{\partial^{2{\mu（x，y）}}{\partical{y^{2neneneep}}+5{\mo（x，y）}\biggr\}。\结束｛对齐｝$$

(27)

通过逆Elzaki变换，我们得到

$${E}\bigl[{\mu}（{x}，y）\bigr]=y-E^{-1}\biggl[s^{\gamma}{E}\biggl \{\frac{\partial^{2}{\mu（x，y）}}{\partical{y^{2{}}+5{\mo（x，y）}\bigr}$$

(28)

通过实施公式中的HPM(28)，我们获得

$$\sum_{k=0}^{\infty}p^{k}{\mu}_{k}y}}+5\sum_{k=0}^{\infty}p^{k}{\mu}_{k}（{x}，{y}）\Biggr\}\Biggr$$

(29)

关于比较系数第页在双方，我们都获得

$$\开始{对齐}和p^{0}:{\mu}_{0}（{x}，y）=y，\\&p^{1}:{\su}_{1}（}x}、y）=-{E}^{-1}\biggl[{s^{gamma}}{E}\bigl\{frac{\partial^{2}\mu_{0{{0}（{x}，y）\biggr\}\biggr]=-5y\frac{x}^{gamma}}{\gamma（\gamma+1）}，\\&p^{2}:{\mu}_{2}\mu_{1}（{x}，y）}{\partialy^{2}}+5{\mu}{1}（{x{，y E}\biggl \{\frac{\partial^{2}\mu_{2}（{x}，y）}{\particaly^{2{}+5{\mu}_{2{（{x}，y）\biggr \}\biggr]=-125\ frac{{x}^3\gamma}}{\gamma（3\gama+1）}，\\&p^{4}:{\mu{4}（}，y）=-{E}^{-1}\biggl[{s^{gamma}}{E}\bigbl\{frac{\partial^{2}\mu_{3}（{x}，y）}{\paratily^{2{}}+5{mu}_{3{（{x}，y）\biggr\}\bigr]=625y\frac{x}^4\gamma}\gamma（4\gama+1）}，\\ vdots\end{对齐}$$

(30)

该系列构成了给定示例的解决方案，如下所示

$$\begin{aligned}和{\mu}（{x}，y）={\muneneneep{0}（}x}、y）+{\mu}{1}（[{x}，y）+}\mu}{2}x^{gamma}}{\gamma（\gamma+1）}+\frac{25x^{2\gamma}{\gamma（2\garma+1）}-\ frac{125x^{3\gamma}{\Garma（3\garma+1+\cdots\biggr]。\结束{对齐}$$

(31)

示例的确切结果2，何时\（伽马=2），是

$$\mu（x，y）=y\cos\sqrt{5}{x}$$

同样年-可以通过HPETM将空间确定为

$$\frac{\partial^{\gamma}{\mu（{x}，y）}}{\paratil{y^{\gamma}}}+\frac}\partial ^{2}{\mi（{x}，y）}}}{\ partial{x^{2{}}+5{\miu（{x{，y$$

(32)

具有适当的初始值

$$\mu（x，0）=x$$

(33)

因此，等式(32)由定义

$$\mu（{x}，y）=x\biggl（1-\frac{5y^{gamma}}{\gamma（\gamma+1）}+\frac}25y^{2\gamma}{\gamma$$

确切的结果是

$$\mu（{x}，y）=x\cos\sqrt{5}{y}$$

(34)

图4在图（a）和（b）中，对不同的\（伽马=2,1.9,1.8,1.7,1.6,1.5\）对于\（x\在[0；1]\中）和\（y=1）。在图中5图（a）和（b）中精确和HPETM溶液的三维图\（伽马=2）并对精确解和HPETM解的闭合接触进行了分析。在图中6图（c）和（d）表示HPETM解决方案\（\伽玛=1.8\）示例中分别为1.6和1.62发现分数阶结果收敛于问题的整数阶结果。用同样的方法，我们可以绘制年-空间分数阶导数。

图4

(一)精确解和近似解的图表(b条)的不同分数阶结果γ示例的2

图5

(一)精确和(b条)近似解\（伽马=1）示例的2

图6

(c（c）)分数阶结果图\（伽马=0.8）和(d日)\（伽马=0.6）示例的2

示例3

考虑分数阶亥姆霍兹方程

$$\frac{\partial^{\gamma}{\mu（x，y^{2} -3倍^{4} \biger）}{\sin{y}}，\quad 1<\gamma\leq 2，0\leq y\leq 2\pi$$

(35)

具有初始条件

$$\mu（0，y）=0\quad\text{和}\quad\\mu_{x}（0、y）=0$$

(36)

实现方程的Elzaki变换(35)，我们得到

$$\开始{对齐}和\frac{1}{s^{\gamma}}{E}\bigl[{\mu}（{x}，y）\bigr]={\mu{（{0}，y）{s^}2-\gamma{}}-{E}\biggl\{\ frac{\partial^{2}{\mu（x，y}$$

(37)

$$\boot｛aligned｝&｛E｝\bigl[｛\mu｝（｛x｝，y）\bigr]=｛s^｛2｝｝｛\mu｝（｛0｝，y）-s^｛\gamma｝｛E｝\biggl\｛\frac｛\partial ^｛2｝｛\mu（x，y）｝｝｛\partial｛y^｛2｝｝｝-2｛\mu（x，y）｝\biggr\｝。\结束｛对齐｝$$

(38)

使用逆Elzaki变换，我们得到

$${E}\bigl[{\mu}（{x}，y）\bigr]=\biggl（x^{4}-\裂缝{x^{6}}{10}\biggr）\sin{y} -E类^{-1}\biggl[s^{\gamma}{E}\bigbl\{\frac{\partial^{2}{\mu（x，y）}}{\paratil{y^{2{}}-2{\mo（x，y）}\bigr\}\bighr]$$

(39)

使用公式中的HPM(39)，我们得到

$$\sum_{k=0}^{\infty}p^{k}{\mu}_{k}y}}-2\sum_{k=0}^{\infty}p^{k}{\mu}_{k}（{x}，{y}）\Biggr\}\Biggr$$

(40)

关于比较系数第页，我们获得

$$\开始{aligned}&p^{0}:{\mu}_{0}（{x}，y）=\biggl（x^{4}-\压裂{x^{6}}{10}\biggr）\sin{y}，\\&\开始{对齐}p^{1}:{\mu}{1}（{x}，y）&=-{E}{-1}\bigl[{s^{gamma}}{E}\bigbl\{压裂{\partial^{2}\mu_0}（{x}，y）\biggr\}\biggr]\\&=3\biggl（\frac{x^{\gamma+4}}{\gamma（\gamma+5）}-\ frac{72x^{\ gamma+6}}{\ gamma\\&\开始{对齐}p^{2}:{\mu}_{2}（{x}，y）&=-{E}^{-1}\biggl[{s^{gamma}{E}\bigl\{frac{\partial^{2neneneep \mu_1}biggl（\frac{x^{2\gamma+4}}{\gamma（2\gama+5）}-\frac}216x^{2\gamma+6}}{\ gamma+7）}\biggr）\sin{y}，\end{aligned}\\&\begin{aligned}p^{3}:{\mu}{3}（{x}，y）&=-{E}^{-1}\biggl[{s^{gamma}}{E}\bigl\{frac{\partial^{2}\mu_{2}\gamma+5）}-\frac{648x^{3\gamma+6}}{\gamma（3\gama+7）}\biggr）\sin{y}，\end{aligned}\\&\begin{aligned}p^{4}:{\mu}_{4}（{x}，y）&=-{E}^{-1}\bigl[{s^{\gamma}}{E}\biggl\{\frac{\partial^{2}\mu_3}）}\biggr）\sin{y}，\end{aligned}\\&\vdots\end{alinged}$$

(41)

该系列形成了给定示例的解决方案，

$$\begin{aligned}&{\mu}（{x}，y）={\muneneneep{0}（}x}、y）+{\mu}{1}（[{x}，y）+}\mu}{2}（[1x}），y）+{\mu{3}（x）^{4}-\frac｛x^｛6｝｝｛10｝\biggr gr）\sin｛y｝\\&｛｝+3\biggl（\frac｛x^｛3\gamma+4｝｝｝｛\gamma（3\gamma+5）｝-\压裂{648x^{3\gamma+6}}{\gamma（3\gama+7）}\biggr）\sin{y}\\&{}+3\biggl（\frac{x^{4\gamma+4}}{\伽马（4\gama+5。\end{aligned}\end{alinged}$$

(42)

示例的确切结果三，何时\（伽马=2），是

$$\mu（x，y）=x^{4}\sin{y}$$

在图中7图（a）和（b）中精确和HPETM溶液的三维图\（伽马=2）并对精确解和HPETM解的闭合接触进行了分析。在图中8，我们在图（a）和（b）中描绘了精确解和HPETM解的二维图中，针对不同的\（伽马=2,1.9,1.8,1.7,1.6,1.5\）对于\（x\在[0；1]\中）和\（y=1）研究了分数阶结果，发现其收敛于问题的整数阶结果。用同样的方法，我们可以绘制年-空间分数阶导数。

图7

(一)精确和(b条)示例的近似解三

图8

(一)精确解和近似解的图形以及(b条)的不同分数阶结果γ示例的三

5结论

本文利用同伦摄动Elzaki变换方法求解分数阶亥姆霍兹方程，得到了方程的近似解。同伦摄动Elzaki变换方法被证明是求解带Caputo算子的偏微分方程的有效方法，因为得到的近似解与精确解非常吻合。比较表明，与其他数值方法所需的计算量相比，该方法的计算量较小。其快速收敛性表明，该方法是可靠的，并且在求解线性和非线性分数阶偏微分方程方面有了显著的改进。