具有凸绝对值为秒的函数的量子Hermite–Hadamard型不等式\（q^{b}\）-衍生产品

摘要

本文应用Hermite–Hadamard型凸函数不等式的概念\（q^{b}\）-积分。我们证明了一些与右端有关的新不等式\（q^{b}\）-具有二阶导数凸绝对值的可微函数的Hermite–Hadamard不等式。本文的结果是Hermite–Hadamard不等式文献中可比较结果的统一和推广。

1介绍

Hermite和Hadamard引入的Hermite–Hadamard-不等式（另请参见[1]和[2）是凸泛函分析理论中最著名的不等式之一。它有一个有趣的几何解释和几个应用。

这些不平等表明，如果\（f:I\rightarrow\mathbb{R}\）是区间上的凸函数我实数和\（I中的a、b）具有\（a<b），然后

$$f\biggl（\frac{a+b}{2}\biggr）\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x） \，dx\leq\frac｛f（a）+f（b）｝｛2｝$$

(1.1)

如果（f）是一个凹函数。请注意，Hermite–Hadamard不等式可被视为凸性概念的改进，并遵循Jensen不等式。凸函数的Hermite–Hadamard不等式近年来受到了广泛的关注，因此，得到了各种各样的改进和推广。

许多著名的积分不等式，如Hölder、Hermite–Hadamard、Ostrowski、Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz、Gruss、Gruss-Chebyshev和其他积分不等式，都是在q个-使用经典凸性概念的微积分。有关此方向的更多结果，请参阅[三——18].

本文的目的是应用新的概念研究凸函数的Hermite–Hadamard-like不等式\（q^{b}\）-积分。我们还讨论了我们的结果与文献中存在的可比较结果之间的关系。

本文的结构如下。在Sect。 2，我们简要描述了q个-微积分和这方面的一些相关工作。在Sect。 三，我们给出了Hermite-Hadamard型不等式\（q^{b}\）-积分。我们还研究了本文给出的结果与文献中可比较结果之间的关系。章节4包含一些结论和未来研究的进一步方向。我们相信，本文所发起的研究可能会激发这一领域的新研究。

2项目前期工作q个-微积分与一些不等式

在本节中，我们首先介绍一些已知的定义和相关不等式q个-微积分。设置以下符号（参见[19]):

$$[n]{q}=\frac{1-q^{n}}{1-q}=1+q+q^{2}+\cdots+q^}n-1}，（0,1）中的四个q\$$

杰克逊[20]定义了q个-给定函数的Jackson积分（f）从0到b条如下：

$$\int_｛0｝^{b} （f）（x）\，d_{q} x个=（1-q）b\sum_{n=0}^{infty}q^{n} （f）\bigl（bq^{n}\bigr），\quad\text{其中}0<q<1$$

(2.1)

前提是总和绝对收敛。

杰克逊[20]定义了q个-给定函数在区间上的Jackson积分\（[a，b]\）如下：

$$\int_{a}^{b} （f）（x）\，d_{q} x个=\int_{0}^{b} （f）（x）\，d_{q} x个-\nint_{0}^{a} （f）（x）\，d_{q} x。$$

定义1

([21])

让\（f:[a，b]\rightarrow\mathbb{R}\）是一个连续函数。然后\（q{a}\）-的导数（f）在\（x\在[a，b]\中）被识别为

$$ {}_{a} D类_{q} （f）（x）=frac{f（x）-f（qx+（1-q）a）}{（1-q$$

(2.2)

自\（f:[a，b]\rightarrow\mathbb{R}\）是一个连续函数，我们可以定义

$$ {}_{a} 天_{q} 如果（a）=lim_{x\rightarrow a}{}_{a} D类_{q} （f）（x）$$

功能（f）据说是\（q{a}\）-可在上微分\（[a，b]\）如果\（｛｝_{a} D类_{q} （f）（x）\）对所有人都存在\（x\在[a，b]\中）.如果我们采取\（a=0）英寸(2.2)，那么我们有\({}_{0}D_{q} （f）（x）=D_{q} （f）（x）\），其中\（D）_{q} （f）（x）\）是q个-的导数（f）在\（x\在[0，b]\中）（请参见[19])由提供

$$D美元_{q} （f）（x）=\分形{f（x）-f（qx）}{（1-q）x}，\quad x\neq 0$$

定义2

([22])

让\（f:[a，b]\rightarrow\mathbb{R}\）是一个连续函数。然后\（q ^｛b｝\）-的导数（f）在\（x\在[a，b]\中）由提供

$$ {}^{b} D类_{q} （f）（x）=frac{f（qx+（1-q）b）-f（x）}{（1-q$$

定义3

让\（f:[a，b]\rightarrow\mathbb｛R｝\）是一个连续函数。然后是第二个\（q^{b}\）-的导数（f）在\（x\在[a，b]\中）由提供

$$\开始{aligned}{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（x）=&{}^{b} D类_{q} \比格尔（~^{b} D类_{q} （f）（x）\较大）\\=&\压裂{f（q^{2} 塔式起重机+（1-tq^{2}）b）-（1+q）f（qta+（1-qt）b）+qf（ta+（1-吨）b）}{（1-q）^{2} q个（b-a）^{2} t吨^{2}}. \结束{对齐}$$

定义4

([21])

让\（f:[a，b]\rightarrow\mathbb{R}\）是一个连续函数。然后\（q{a}\）-上的定积分\（[a，b]\）由定义

$$\开始{aligned}\int_{a}^{b} （f）（x）\_{a} d日_{q} x个=&（1-q）（b-a）\sum_｛n=0｝^｛infty｝q^{n} 如果\bigl（q^{n} b条+\bigl（1-q^{n}\biger）a \bigr）\\=&（b-a）\int_{0}^{1} （f）\bigl（（1-t）a+tb\bigr）\，d_{q} t。\结束{对齐}$$

Alp等人[三]证明了以下几点\（q{a}\）-量子微积分中凸函数的Hermite–Hadamard不等式。

定理1

如果 \（f:[a，b]\rightarrow\mathbb{R}\） 是上的凸可微函数 \（[a，b]\） 和 \（0<q<1）,那么我们有

$$f\biggl（\frac{qa+b}{1+q}\biggr）\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\_{a} d日_{q} x个\leq\frac{qf（a）+f（b）}{1+q}$$

(2.3)

在[三]和[23]作者为不等式的左右两侧建立了一些界(2.3).

另一方面，百慕大等人[22]给出了以下定义，并得到了相关的Hermite–Hadamard型不等式。

定义5

([22])

让\（f:[a，b]\rightarrow\mathbb{R}\）是一个连续函数。然后\（q^{b}\）-上的定积分\（[a，b]\）由提供

$$\begin｛aligned｝\int _｛a｝^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个=&（1-q）（b-a）\sum_{n=0}^{\infty}q^{n} （f）\bigl（q^{n} 一个+\bigl（1-q^{n}\biger）b\bigr）\\=&（b-a）\int_{0}^{1} （f）\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\，d_{q} t。\结束{对齐}$$

定理2

([22])

如果 \（f:[a，b]\rightarrow\mathbb{R}\） 是上的凸可微函数 \（[a，b]\） 和 \（0<q<1）,那么我们有以下内容 q个-埃尔米特-哈达玛不等式以下为：

$$f\biggl（\frac{a+qb}{1+q}\biggr）\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）{}^{b} d日_{q} x个\leq\frac{f（a）+qf（b）}{1+q}$$

(2.4)

来自定理1和2我们得到了以下不等式。

推论1

[22]对于任何凸函数 \（f:[a，b]\rightarrow\mathbb{R}\） 和 \（0<q<1）,我们有

$$f\biggl（\frac{qa+b}{1+q}\biggr）+f\bigl^{b} （f）（x）\_{a} 天_{q} x个+\nint_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个大f（a）+f（b）$$

(2.5)

和

$$f\bigl（\frac｛a+b｝｛2｝\biggr）\leq\frac｛1｝｛2（b-a）｝\biggl｛\int _｛a｝^{b} （f）（x）\_{a} d日_{q} x个+\nint_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr\}\leq\frac{f（a）+f（b）}{2}$$

(2.6)

定理3

（霍尔德不等式[24，第604页]）

假设 \（x>0）,\（0<q<1）,\（p{1}>1\）.如果 \（压裂{1}{p{1}}+压裂{1{r{1}=1\）,然后

$$\int_{0}^{x}\bigl\vert f（x）g（x）\bigr\vert d_{q} x个\leq\biggl（\int_{0}^{x}\bigl\vertf（x）\bigr\vert^{p{1}}d_{q} x个\biggr）^{\frac{1}{p{1}}\biggl（\int_{0}^{x}\bigl\vert g（x）\bigr\vert^{r{1}}d_{q} x个\biggr）^{\frac{1}{r{1}}}$$

在本文中，我们还将找到不等式右侧的一些界(2.4).

三量子积分的新Hermite–Hadamard型不等式

现在，我们为第二类函数给出了一些新的Hermite–Hadamard型不等式\（q^{b}\）-绝对值导数是凸的。

我们从以下有用的引理开始。

引理1

如果 \（f:[a，b]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\） 是两次 \（q ^｛b｝\）-上的可微函数 \（（a，b）\） 这样的话 $^{b} D类_{q}^{2} （f）${b} D类_{q}^{2} （f）\) 在上是连续的和可积的 \（[a，b]\）,那么我们有以下为：

$$\开始{aligned}&\分数{f（a）+qf（b）}{1+q}-\分数{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\\&\quad=\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\int_{0}^{1} t吨（1夸脱）~^{b} D类_{q}^{2} （f）\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\，d_{q} t吨，\结束{对齐}$$

(3.1)

哪里 \（0<q<1）.

证明

从定义2由此可见

$$\开始{aligned}&{}^{b} D类_{q}^{2} （f）\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\\&\四元=~^{b} D类_{q} \比格尔（~^{b} D类_{q} \bigl（f\bigl-（ta+（1-t）b\bigr）\biger）\&\quad=~^{b} D类_{q} \biggl（\frac{f（qta+（1-qt）b）-f（ta+（1-吨）b）}{（1-q）（b-a）t}\biggr）^{2} 塔式起重机+（1-tq^｛2｝）b）-f（qta+（1-qt）b）｝｛^{2} 塔+（1-tq^{2}）b）-f（qta+（1-qt）b）}{（1-q）^{2} q个（b-a）^{2} t吨^{2} }（qta+（1-qt）b）-f（ta+（1-吨）b）}（1-q）^{2}（b-a）^{2} t吨^{2} }\\&\quad=\frac{f（q^{2} 塔式起重机+（1-tq^｛2｝）b）-（1+q）f（qta+（1-qt）b）+qf（ta+（1-t）b）｝｛（1-q）^{2} q个（b-a）^{2} t吨^{2}}. \结束{对齐}$$

(3.2)

也，

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1} t吨（1夸脱）~^{b} D类_{q}^{2} （f）\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\，d_{q} t吨\\&\quad=\int_{0}^{1}\frac{f（q^{2} 塔式起重机+（1-tq^{2}）b）-（1+q）f（qta+（1-qt）b）+qf（ta+（1-吨）b）}{（1-q）^{2} q个（b-a）^{2} t吨}\，d_{q} t吨\\&\qquad{}-\int_{0}^{1} q个\biggl[\frac{f（q^{2} 塔式起重机+（1-tq^{2}）b）-（1+q）f（qta+（1-qt）b）+qf（ta+（1-吨）b）}{（1-q）^{2} q个（b-a）^{2}}\biggr]\，d_{q} t。\结束{对齐}$$

(3.3)

通过平等(2.1)我们得到了

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1}\frac{f（q^{2} 塔式起重机+（1-tq^｛2｝）b）-（1+q）f（qta+（1-qt）b）+qf（ta+（1-t）b）｝｛（1-q）^{2} 问（b-a）^{2} t吨}\，d_{q} t吨\\&\quad=（1-q）\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f（q^{n+2}a+（1-q^{n+2}）b）}{（1-q^{2} q个（b-a）^{2}}-（1-q）（1+q）\sum{n=0}^{infty}\frac{f（q^{n+1}a+（1-q^{n+1}）b）}{（1-q^{2} 问（b-a）^{2}}\\&\qquad{}+q（1-q）\sum{n=0}^{infty}\frac{f（q^{n} 一个+（1-q^{n}）b）}{（1-q）^{2} q个（b-a）^{2}}\\&\quad=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f（q^{n+2}a+（1-q^{n+2}）b）}{（1-q）q（b-a \qquad{}-q\Biggl[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f（q^{n+1}a+（1-q^{n+1}）b）}{（1-q）q（b-a）^{2}}-\sum_{n=0.}^{^{n} 一个+（1-q^{n}）b）}{（1-q）q（b-a）^{2}}\Biggr]\\&\quad=\frac{f（b）-f（qa+（1-q。\结束{对齐}$$

(3.4)

发件人(2.1)和定义5由此可见

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1} q个\biggl[\frac{f（q^{2} 塔式起重机+（1-tq^{2}）b）-（1+q）f（qta+（1-qt）b）+qf（ta+（1-吨）b）}{（1-q）^{2} q个（b-a）^{2}}\biggr]\，d_{q} t吨\\&\quad=q\Biggl[（1-q）（b-a）\sum_{n=0}^{infty}\frac{q^{n+2}f（q^{n+2}a+（1-q^{n+2}）b）}{（1-q）^{2} q个^{3} （b-a）^{3}}\\&\qquad{}-（1-q）（1+q）（b-a^{2} q个^{2} （b-a）^{3}}\\&\qquad{}+q（1-q）（b-a^{n} （f）（q）^{n} 一个+（1-q^{n}）b）}{（1-q）^{2} q个（b-a）^{3}}\Biggr]\\&\quad=q\biggl[\frac{1}{（1-q）^{2} q个^{3} （b-a）^｛3｝｝^{b} 如果（x）~^{b} d日_{q} x个-（1-q）（b-a）f（a）-（1-q^{2} q个^{2} （b-a）^{3}}\biggl（\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个-（1-q）（1+q）（b-a）f（a）\biggr^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr]\\&\quad=\frac{1+q}{（b-a）^{2} q个^{2} }\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个+\压裂{q^{2}+q-1}{（1-q）q^{2]（b-a）^{2{}f（a）-\压裂{f（qa+（1-q$$

(3.5)

使用(3.4)和(3.5)英寸(3.3)，我们有

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1} t吨（1夸脱）~^{b} D类_{q}^{2} （f）\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\，d_{q} t吨\\&\quad=压裂{f（b）-f（qa+（1-q）b）}{（1-q^{2} q个^{2} }\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个-压裂{q^{2}+q-1}{（1-q）q^{2]（b-a）^{2{f（a）+压裂{f（qa+（1-q^{2} q个^{2} }-\压裂{1+q}{（b-a）^{2} 问^{2} ｛a｝内部^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x。\结束{对齐}$$

(3.6)

将的两边相乘(3.6)由\（压裂{（b-a））^{2} 问^{2} }{1+q}\），我们获得了所需的身份(3.1)因此我们完成了引理的证明1. □

备注1

如果我们将限制视为\（q\右箭头1^{-}\）在引理中1，那么我们有

$$\压裂{f（a）+f（b）}{2}-\压裂{1}{b-a}\int{a}^{b} （f）（x）\，dx=\压裂{（b-a）^{2}}{2}\int_{0}^{1} t吨（1-t）f^{\prime\prime}\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\，dt$$

如中所示[25].

定理4

如果 \（f:[a，b]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\） 是a的两倍 \（q^{b}\）-上的可微函数 \（（a，b）\） 这样的话 $^{b} D类_{q}^{2} （f）${b} D类_{q}^{2} （f）\) 在上是连续的和可积的 \（[a，b]\）,那么我们有以下不等式,前提是 \（\垂直^{b} D类_{q}^{2} （f）\垂直\） 在上是凸的 \（[a，b]\）以下为：

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{f（a）+qf（b）}{1+q}-\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{（1+q）（q^{2%+q+1）（qq^{3}+q^{2\q+1）}\bigl[\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（a）\bigr\vert+q^{2}\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（b）\bigr\vert\bigr]，\end{对齐}$$

哪里 \（0<q<1）.

证明

取引理中的模量1并应用凸性\（\垂直^{b} D类_{q}^{2} （f）\转换\），我们获得

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{f（a）+qf（b）}{1+q}-\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\int_{0}^{1}\bigl（t（1-qt）\bigr）\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} 如果\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\bigr\vert\，d_{q} t吨\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\int_{0}^{1}\bigl（t（1-qt）\bigr）\bigl[t\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（a）\bigr\vert+（1-t）\bigl\vert{}^{b} 天_{q}^{2} （f）（b）\bigr\vert\bigr]\，d_{q} t吨\\&\quad=\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\biggl[\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（a）\bigr\vert\int_{0}^{1} t吨\bigl（t（1-qt）\bigr）\，d_{q} t吨+\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（b）\bigr\vert\int_{0}^{1}（1-t）\bigl（t（1-qt）\bigr）\，d_{q} t吨\biggr]\\&\quad=\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\biggl[\frac}\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（a）垂直}{（q^{2}+q+1）^{b} D类_{q}^{2} （f）（b）\vert}{（q^{2}+q+1）（q^}3}+q^{2]+q+1）}\biggr]，\end{aligned}$$

这就完成了证明。□

备注2

在定理的假设下4限制为\（q \右箭头1^｛-｝\），我们有以下梯形不等式：

$$\biggl\vert\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\，dx-\frac{f（a）+f（b）}{2}\biggr\vert\leq\frac{（b-a）^{2}}{12}\bigl[\frac}\vertf^{prime\prime}（a）\vert+\vertf{prime\prime}（b）\vert}{2{\biggr]$$

由Sarikaya和Aktan给出[26，提案2]。

定理5

假设 \（f:[a，b]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\） 是a的两倍 \（q^{b}\）-上的可微函数 \（（a，b）\） 和 $^{b} D类_{q}^{2} （f）${b} D类_{q}^{2} （f）\) 在上是连续的和可积的 \（[a，b]\）.如果 \（\垂直^{b} D类_{q}^{2} （f）\转换^{p_{1}}，p_{1'>1\）,在上是凸的 \（[a，b]\）,那么我们有以下不等式以下为：

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{f（a）+qf（b）}{1+q}-\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{（1+q）^{2-\frac}{1}{p{1}}}（1+q+q^{2}）}\biggl（\frac_1}{q^}3}+q^}2}+q+1}\bigr）^{\frac#1}{p_1}}}}\bigl（\bigl\vert{}}^{b} D类_{q}^{2} 如果（a）\bigr\vert^｛p_｛1｝｝+q ^｛2｝\bigl\vert｛｝^{b} D类_{q}^{2} （f）（b）\bigr\vert^{p{1}}\bigr）^{\frac{1}{p{1'}}}，\end{aligned}$$

哪里 \（0<q<1）.

证明

取引理中的模量1应用众所周知的幂平均不等式，我们得到

$$\begin｛aligned｝&&biggl\vert\frac｛f（a）+qf（b）｝｛1+q｝-\frac｛1｝｛b-a｝\int _｛a｝^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\int_{0}^{1}\bigl（t（1-qt）\bigr）\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\bigr\vert\，d_{q} t吨\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\biggl（int_{0}^{1}\bigl（t（1-qt）\bigr）\，d_{q} t吨\biggr）^{1-\frac{1}{p_{1}}}\\&\qquad{}\times\biggl（\int_{0}^{1}\bigl（t（1-qt）\bigr）\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\bigr\vert^{p{1}}\，d_{q} t吨\biggr）^{\frac{1}{p{1}}}。\结束{对齐}$$

通过凸性\（\垂直^{b} D类_{q}^{2} （f）\转换^{p_{1}}\）我们有

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{f（a）+qf（b）}{1+q}-\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\biggl（\int_{0}^{1}\bigl（t（1-qt）\bigr）\，d_{q} 吨\biggr）^｛1-\frac｛1｝｛p_｛1｝｝｝｝\\&\qquad｛｝\times\biggl（\int _｛0｝^｛1｝\bigl（t（1-qt）\bigr）\bigl[t\bigl\vert｛｝^{b} D类_{q}^{2} （f）（a）\bigr\vert^{p{1}}+（1-t）\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} 如果（b）\bigr\vert^{p_{1}}\bigr]\，d_{q} t吨\biggr）^{\frac{1}{p{1}}}\\&\quad=\frac{q^{2}（b-a）^{2{1+q}\biggl（\int_{0}^{1}\bigl（t（1-qt）\bigr）\，d_{q} t吨\biggr）^{1-\frac{1}{p{1}}}\\&\qquad{}\times\biggl（\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（a）\bigr\vert^{p_{1}}\int_{0}^{1} t吨\bigl（t（1-qt）\bigr）\，d_{q} t吨+\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（b）\bigr\vert^{p{1}}\int_{0}^{1}（1-t）\bigl（t（1-qt）\bigr）\，d_{q} t吨\biggr）^{\压裂{1}{p{1}}}\\&\quad=\压裂{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\biggl（压裂{1{（1+q）（1+q+q^{2]）}\bigr^{b} D类_{q}^{2} （f）（a）vert^{p{1}}{（q^{2}+q+1）^{b} D类_{q}^{2} （f）（b）vert^{p{1}}{（q^{2}+q+1）（q^}3}+q^{2}+q/1）}\biggr）^{frac{1}{p{1}}，\end{aligned}$$

这就完成了证明。□

备注3

如果我们将限制视为\（q \右箭头1^｛-｝\）在定理中5，那么我们有

$$\biggl\vert\frac{f（a）+f（b）}{2}-\压裂{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\，dx\biggr\vert\leq\frac{（b-a）^{2}}{12.2^{frac{1}{p_{1}}}\bigl（\bigl\vertf^{prime\prime}（a）\bigr\vert^{p_}1}}+\bigl\ vertf^}{prime\ prime}}●●●●$$

定理6

假设 \（f:[a，b]\subset\mathbb｛R｝\rightarrow\mathbb｛R｝\） 是a的两倍 \（q^{b}\）-上的可微函数 \（（a，b）\） 和 $^{b} D类_{q}^{2} （f）${b} D类_{q}^{2} （f）\) 在上是连续的和可积的 \（[a，b]\）.如果 \（\垂直^{b} D类_{q}^{2} （f）\转换^{p_{1}}\） 在上是凸的 \（[a，b]\） 对一些人来说 \（p{1}>1\） 和 \（压裂{1}{r{1}}+压裂{1{p{1}=1\）,那么我们有

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{f（a）+qf（b）}{1+q}-\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}（u{1}）^{b} D类_{q}^{2} （f）（a）\vert^｛p_｛1｝｝+q\vert｛｝^{b} 天_{q}^{2} （f）（b）\vert^{p{1}}{q+1}\biggr）^{frac{1}{p{1\}}}，\end{aligned}$$

(3.7)

哪里 \（u{1}=（1-q）\sum{n=0}^{\infty}（q^{n}）^{r{1}+1}（1-q^{n+1}） 和 \（0<q<1）.

证明

取引理中的模量1并应用著名的Hölder不等式，我们得到

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{f（a）+qf（b）}{1+q}-\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\int_{0}^{1}\bigl（t（1-qt）\bigr）\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\bigr\vert\，d_{q} t吨\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\biggl（int_{0}^{1}\bigl（t（1-qt）\bigr）^{r{1}}\，d_{q} t吨\biggr）^{\frac{1}{r{1}}}\biggl（\int_{0}^{1}\bigl\vert^{b} D类_{q}^{2} （f）\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\bigr\vert^{p{1}}\，d_{q} t吨\biggr）^{\frac{1}{p{1}}}。\结束{对齐}$$

自\（\垂直^{b} D类_{q}^{2} （f）\转换^{p_{1}}\）是凸的，我们有

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{f（a）+qf（b）}{1+q}-\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr\vert\\&&quad\leq\frac｛q^｛2｝（b-a）^｛2｝｝｝｛1+q｝\biggl（\int _｛0｝^｛1｝\bigl（t（1-qt）\bigr）^｛r_｛1｝｝\，d_{q} 吨\biggr）^{\frac{1}{r{1}}}\\&\qquad{}\times\biggl（\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（a）\bigr\vert^{p_{1}}\int_{0}^{1} t吨\，天_{q} 吨+\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（b）\bigr\vert^{p{1}}\int_{0}^{1}（1-t）\，d_{q} t吨\biggr）^{\压裂{1}{p{1}}}\\&\quad=\压裂{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}（u{1}）^{压裂{1{r{1}neneneep}\biggl（\frac{\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（a）垂直^{p{1}}+q\垂直{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（b）vert^{p{1}}{q+1}\biggr）^{frac{1}{p{10}}}。\结束{对齐}$$

因此

$$u_{1}=\int_{0}^{1}\bigl（t（1-qt）\bigr）^{r_1}}\，d_{q} t吨=（1-q）\sum_{n=0}^{\infty}\bigl（q^{n}\bigr）$$

这就完成了证明。□

备注4

如果我们将限制视为\（q\右箭头1^{-}\）在定理中6，那么我们有

$$u_{1}=\int_{0}^{1}\bigl（t（1-t）\bigr）^{r_1}}dt=B（r_1}+1，r_1}+1）$$

哪里\（B（x，y）\）是Eulerβ函数。此外，不平等(3.7)减少到

$$\beart｛aligned｝&\biggl\vert\frac｛f（a）+f（b）｝{2}-\frac｛1｝｛b-a｝\fint _｛a｝^{b} （f）（x）\，dx\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（b-a）^{2}}{2}\bigl（b（r{1}+1，r{1{+1）\biger）{2}\biggr）^{\frac{1}{p{1}}。\结束{对齐}$$

我们得到了另一个关于二阶量子导数幂的Hermite–Hadamard型不等式。

定理7

假设定理 6,我们有不平等

$$\begin｛aligned｝&&biggl\vert\frac｛f（a）+qf（b）｝｛1+q｝-\frac｛1｝｛b-a｝\int _｛a｝^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\biggl（\frac}1}{[r{1}+1]{q}}\bigr）^{frac{1}{r{1{}}}\bigl（u{2}\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（a）\bigr\vert^{p{1}}+u{3}\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）（b）\bigr\vert^{p{1}}\bigr）^{\frac{1}{p{1'}}}，\end{aligned}$$

(3.8)

哪里

$$u_{2}=（1-q）\sum_{n=0}^{\infty}q^{2n}\bigl（1-q^{n+1}\bigr●●●●$$

证明

取引理等式右侧的模1应用著名的Hölder不等式，我们得到

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{f（a）+qf（b）}{1+q}-\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\int_{0}^{1}\bigl（t（1-qt）\bigr）\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} （f）\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\bigr\vert\，d_{q} t吨\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\biggl（\int_{0}^{1} t吨^{r{1}}\，d_{q} t吨\biggr）^{\frac{1}{r_{1}}\biggl（\int_{0}^{1}（1-qt）^{p_{1{}\bigl\vert{}^{b} 天_｛q｝^{2} （f）\bigl（ta+（1-t）b\bigr）\bigr\vert^{p{1}}\，d_{q} t吨\biggr）^{\frac{1}{p{1}}}。\结束{对齐}$$

自\（\垂直^{b} D类_｛q｝^{2} （f）\转换^{p_{1}}\）是凸的，我们有

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{f（a）+qf（b）}{1+q}-\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\^{b} d日_{q} x个\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\biggl（\int_{0}^{1} t吨^{r{1}}\，d_{q} t吨\biggr）^{\frac{1}{r{1}}}\\&\qquad{}\times\biggl（\bigl\vert{}^{b} D类_｛q｝^{2} （f）（a）\bigr\vert^{p_{1}}\int_{0}^{1}（1-qt）^{p_1}}t\，d_{q} t吨+\bigl\vert^{b} 天_{q}^{2} （f）（b）\bigr\vert^{p_{1}}\int_{0}^{1}（1-qt）^{p_1}}（1-吨）\，d_{q} t吨\biggr）^{\压裂{1}{p{1}}}\\&\quad=\压裂{q^{2}（b-a）^{2{}{1+q}\biggl（压裂{1{[r{1}+1]{q}}\bigbr）^{b} D类_{q}^{2} （f）（a）\bigr\vert^{p{1}}+u{3}\bigl\vert{}^{b} D类_{q}^{2} 如果（b）\bigr\vert^｛p_｛1｝｝\bigr）^｛\frac｛1｝｛p_｛1｝｝｝。\结束{对齐}$$

我们很容易看到

$$u_{2}=\int_{0}^{1}（1-qt）^{p_{1}}t \，d_{q} t吨=（1-q）\sum_{n=0}^{\infty}q^{2n}\bigl（1-q^{n+1}\bigr）^{p_{1}}$$

和

$$u_{3}=\int_{0}^{1}（1-qt）^{p_{1}}（1-吨）\，d_{q} t吨=（1-q）\sum_｛n=0｝^｛\infty｝q^｛n｝\bigl（1-q^｛n｝\bigr）\bigl（1-q^｛n+1｝\bigr）^｛p_｛1｝｝｝$$

这就完成了证明。□

备注5

如果我们将限制视为\（q\右箭头1^{-}\）在定理中7，那么我们有

$$u_{2}=\int_{0}^{1}（1-t）^{p_{1}}t\，d_{q} t吨=\压裂{1}{（p{1}+1）（p{1'+2）}$$

和

$$u_{3}=\int_{0}^{1}（1-t）^{p_{1}}（1-t）\，dt=\frac{1}{p_}1}+2}$$

此外，不平等(3.8)减少到

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{f（a）+f（b）}{2}-\压裂{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x）\，dx\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（b-a）^{2}}{2}\biggl（\frac{1}{r{1}+1}\bigr）bigl（（p_1}+2）\bigl\vertf^{prime\prime}（a）\bigr\vert^{p_1}}+\bigl\ vertf^}{prime\trime}。\结束{对齐}$$

4结论

本文应用新定义的Hermite–Hadamard型不等式\（q^{b}\）-积分。本文证明的结果是对文献中现有可比较结果的潜在推广。作为未来的方向，我们可以通过不同类型的凸性找到类似的不等式。