利用新的分数和分数分形算子模拟肿瘤生长与免疫系统的相互作用

摘要

人类总是面临传染病的威胁。已经证明，一旦免疫系统没有能力对抗感染和传染病，免疫系统的强弱与结核病、肝炎、艾滋病和新型冠状病毒等传染病的传播直接相关。此外，已经证明数学建模是准确描述复杂生物现象的一个很好的工具。在最近的文献中，我们很容易发现这些有效的工具为我们理解和分析诸如肿瘤生长等问题提供了重要贡献。这确实是需要研究免疫系统如何与其他相关因素相互作用的计算模型的主要原因之一。为此，本文提出了一个计算公式的一些新的近似解，该公式使用几个分数和分形算子来模拟肿瘤生长与免疫系统之间的相互作用。该模型中使用的操作符是Liouville–Caputo、Caputo–Fabrizio和Atangana–Baleanu–Caputa（分数和分数）。在每种情况下，也验证了解的存在唯一性。为了完成我们的分析，我们使用了大量的数值模拟来显示肿瘤的行为。这些图表帮助我们解释数学结果，并更好地描述相关的生物学概念。在许多情况下，获得的近似结果具有混沌结构，这证明了癌症肿瘤不可预测和不可控行为的复杂性。因此，新实现的算子无疑为不同疾病建模中出现的进一步计算模型打开了新的研究窗口。经证实，该领域的类似问题也可以用本文所用的方法建模。

1介绍

免疫系统是一个真正的杰作，它每天都做着非凡的事情，而我们却没有意识到如此众多的活动。免疫系统的作用是保护我们的身体免受细菌和病毒等侵入因素的侵袭。许多因素，如营养摄入不足、睡眠不足和压力过大，都会削弱人体的免疫系统。另一方面，癌症患者也有感染疾病的风险，因为他们通常使用削弱免疫系统的特殊药物进行特殊化疗。这些特殊药物的主要目的是在不损伤邻近组织的情况下破坏病变细胞。不幸的是，在这种治疗过程中，体内的一些健康细胞和组织也可能受到影响。

如今，随着危险传染病COVID-19在世界各地的大流行，传染病专家和流行病学家不断强调加强免疫系统是预防这一致命疾病的最重要途径之一。

在本文中，我们为一个计算模型提供了一些新的近似解，该模型公式化了肿瘤生长和免疫系统之间的相互作用，包括几个分数和分形算子。该模型由三个状态变量组成，每个变量表示问题中特定单元格的数量。Itik和Banks介绍了这些变量之间的相互作用[26]通过以下非线性微分方程系统：

$$开始{聚集}\frac{d\mathsf{T}（\tau）}{d\tau}=k'_{1}\mathsf}T}tau）\mathsf{E}（\tau），\\frac{d\mathsf}H}（\T au）}{d\tau}=k'_{2}\mathsf{H}}\biggr）-\beta_21}'\mathsf{T}（τ）\mathsf{E}（τ$$

(1)

取决于初始条件\（（\mathsf{T}（0），\mathsf{H}（1），\mathsf{E}（2））=（\mathf{T}（T）_{0}，\mathsf{高}_{0}，\mathsf{电子}_{0}）\geq 0\）.

在这个模型中，\（\mathsf{T}（\tau）\）用于计算肿瘤细胞的数量τ,\（\mathsf{H}（\tau）\）表示健康宿主细胞的数量，以及\（\mathsf{E}（\tau）\）指的是单个肿瘤部位隔室中效应免疫细胞的数量。此外，τ代表肿瘤细胞数量的变化率，\（k{1}'）描述肿瘤细胞的生长，以及\（s{1}'\）是它们的最大承载能力。等式的第一项(1)在没有来自其他细胞群的任何影响的情况下表达到肿瘤细胞的逻辑生长。宿主细胞之间的竞争\（\mathsf{H}（\tau）\）和肿瘤细胞\（\mathsf{T}（\tau）\）导致肿瘤细胞数量减少，由以下术语给出\（β′{12}）此外，\（β{12}）指效应细胞对肿瘤细胞的杀伤率\（\mathsf{E}（\tau）\）.在系统的第二个方程中(1)健康的组织细胞也会随着生长速度的增加而逻辑生长\（k’{2}\）和最大承载能力\（s'_{2}\）我们假设癌细胞的增殖速度快于健康细胞，因此\（k{1}'>k{2}'\）肿瘤细胞也会以同样的速度使健康细胞失活\（β{21}）同时，系统的第三个方程(1)说明了具有肿瘤特异性抗原的肿瘤细胞对免疫系统的刺激。模型中考虑的另一个假设是，免疫系统直接依赖于肿瘤细胞的数量和正常数的比率\（k’{3}\）和\（s'_{3}\）最后，\（β{31}）是与肿瘤细胞灭活的效应细胞相对应的变化率，以及\（c{3}'\）是他们的自然死亡率。模型中的所有参数均为正常数。

为了分析的简单性，我们首先对系统进行无量纲化(1)通过使用定义

$$\mathcal｛T｝（T）=\frac｛\mathsf｛T｝（\tau）｝｛s_｛1｝｝，\qquad\mathcal｛H｝（T）=\frac｛\mathsf｛H｝（\tau）｝｛s_｛2｝｝，\qquad\mathcal｛E｝（T）=\frac｛\mathsf｛E｝（\tau）｝｛s_｛3｝｝｝，\quad T=｛k_｛1｝｝｝$$

(2)

此外，我们使用了以下新参数：

$$\begin{collected}\beta_{31}=\frac{\beta_31}'s_{1}}{k_{1{}}，\qquad\beta_13}=\fracc{\beta_13{3}{k_1}}“s_{1}}{k{1}，\\k{2}=\frac{k{2{}'}{k}1}}，\qquad k{3}=\frac{k}3}'}{k{1}}=\压裂{c{3}'}{k{1}}。\结束{聚集}$$

(3)

通过在方程式中引入变化(2)和(三)，我们得到了该问题的一种新的无量纲形式[26]:

$$开始{聚集}\frac{d\mathcal{T}（T）}{dt}=\mathcal}T}k{2}\mathcal{H}（T）\bigl\mathcal{T}（T）\mathcal{E}。\结束{聚集}$$

(4)

由于模型的重要性(4)，许多研究人员对研究该模型的各种技术和计算方面表现出了兴趣。作者解释了模型的生物相关性(7). 在[41]摘要作者利用紧致不变集的局部化方法和李亚普诺夫稳定性理论研究了模型的全局动力学(4). 在[28]作者着重于数学观点，例如与模型对应的Hopf分支的存在性。在[24]作者考虑了使用Caputo–Fabrizio–Caputo和Liouville–Caputa意义下带有Mittag-Lefler核的新分数导数的模型。Starko和Coria[40]提供了模型参数和治疗参数的充分条件，在这些条件下，正方向上的所有轨迹都趋向于无瘤平衡点。中的作者[32]他们开发了一种有效的局部控制方法，并将其应用于避免健康组织的灭绝。在[42]考虑到脉冲微分方程，作者提出了周期性脉冲免疫治疗肿瘤-免疫相互作用的数学公式。在[三]，型号(4)被修改为在问题中包括三个延迟参数。

分数微积分的历史相对较长，几乎与积分微分帐户的历史一样长。然而，与标准微积分相比，近几十年来，这些概念的实现被忽视了。总的来说，这一趋势在过去几年中似乎发生了变化。这种变化的一个决定性标志是文献中越来越多地使用这些工具。由于研究人员的努力，许多基于不同方法的微分和积分算子被提出，并在过去几年中成功实现[1,4,5,10,13,23,25,30]. 从数值方面来看，一系列新的数学方法成功地应用于各个科学分支[6,13,16–19,27,29,35,37,39]. 例如，在[9]作者开发了一种基于牛顿多项式的普通分数阶和分数阶微分方程的有效数值处理方法。在[8]，Atangana和他的合作者成功地应用了一种新的数值算法，用分数和分形分数算子逼近修改后的Chua吸引子模型。一种有效的数值技术，基于牛顿多项式的Atangana–Seda数值格式，用于[7]用分数算子处理混沌问题，包括指数衰减、幂律和Mittag-Lefler核。在[23]作者利用一些新的分数阶和分维微分和积分算子，利用he-uville–Caputo和Atangana–Baleanu定义，获得了厄尔尼诺/拉尼娜-南方涛动模型Vallis模型的多重吸引子和周期性。还研究了一种新的带有Caputo型分数阶导数的分数阶间隔SEIRS模型[25]. 混沌系统几乎是最重要和最适用的非线性方程类型之一[12,21,34,36,38]. 因此，在许多情况下，此类方程的精确解是不可用的。另一方面，在混沌系统结构中使用新的导数算子，在这一领域取得了重大进展[2,22]. 在某些情况下，研究人员获得了理想的吸引子，这是普通整数阶算子无法实现的。这一事实突显了新的衍生算子在其他真实世界模型中的重要性。受到这些成就的激励，尤其是在工作之后[24]，我们打算研究方程式中的模型(4)使用一些新的高效分数和分数分数算子。

为了实现这一目标，本文的后续部分结构如下。模型平衡点的分析见第节。 2下一节将通过Liouville–Caputo分数阶导数对该模型进行检验。本节还确认，在适当的假设下，模型始终具有唯一的解决方案。然后设计并使用与此结构相对应的数值方法。此外，还进行了详细的数值模拟。各部门将遵循类似流程。 4和5本文中，分别使用了Caputo–Fabrizio–Caputo和Atangana–Baleanu–Caputa分数导数算子。在Sect。 6，我们通过几个分形分数算子来检验模型。本节还介绍了与这些运算符相对应的数值方法。为了研究结果的动力学行为，我们添加了一些数值模拟。最后，在门派。 7，总结了本文的研究成果。

2模型平衡点稳定性研究

在本节中，我们分析了所考虑模型的平衡点(4). 事实上，这些点是在模型右侧收缩的非线性代数系统的根。通过求解这个系统，我们确定了模型的六个可能的平衡点[28].

第1点：无活细胞奇点\（\mathcal{P}（P）_{1}=(0,0,0)\).

第2点：无瘤不动点\（\mathcal{P}（P）_{2}=(0,1,0)\).

第3点：固定点\（\mathcal{P}（P）_{3}=( 1,0,0)\)这意味着模型中存在肿瘤细胞。

第4点：固定点\（\mathcal{P}（P）_{4} =（{\mathcal{T}^{*}}，0，\frac{1-{\mathcal{T{^}}}{\beta_{13}}）.第一个坐标\（{\mathcal{T}^{*}}\）通过求特征方程的非负根来确定

$$\beta_{13}{\mathcal{T}^{*}}^{2}+{mathcal}T}^{}}（c{3}+s_{3}\beta_{31}-k_{3} ）+s{3}c{3}=0$$

(5)

该等式具有可接受的根

$${\mathcal{T}^{*}}=\frac{k_{3} -c_{3} -秒_{3} \beta_{31}+\sqrt{（k_{3} -c_{3} -秒_{3} β_｛31｝）^{2} -4秒_{3} c{3}\beta{31}}{2\beta{31}}$$

这个平衡点存在的必要条件是

$$k{3}>c{3}+s{3}\beta{31}，\qquad{\mathcal{T}^{*}}<1$$

第5点：奇点\（\mathcal{P}（P）_{5} =（｛\frac｛｛k2｝（β_{12}-1）}{\beta12\beta21-{k2}}，{\frac{\beta 21-{k2}}{\beta{12}\beta_{21}-{k2}}}，0）\）这意味着癌细胞和宿主细胞共存。这个平衡点存在的必要条件是

$$\beta{21}>{k{2}}，\qquad\beta{12}>1，\qquid\beta{12}\beta_21}>k{2neneneep$$

还应注意，对于\（β{12}=1\），此平衡点成为平衡点\（\mathcal{P}（P）_{2}\).

第6点：内部固定点\（\mathcal{P}（P）_{6} =（{\mathcal{T}^{*}}，\frac{k_{2}-\β{21}{\mathcal{T}^{*}}{k{2}}，压裂{k{2]（1-\beta{12}）+{\mathcal{T{}^{}}（beta{21}\beta_{12} -k个_{2} ）}{k{2}\β{13}}）\），其中\（{\mathcal{T}^{*}}\）是的正根\（\beta_{13}{\mathcal{T}^{*}}^{2}+{mathcal}T}^}}（c{3}+s_{3}\beta_{31}-k_{3} ）+s{3}c{3}=0\），如前所述。在这种情况下，所有三个细胞群都出现在问题中。这个平衡点存在的必要条件是

$${k{3}}>c{3}+s{3}\beta{31}，\qquad\beta{12}<1，\qquid\beta{12}\beta{21}>k{2}，\ qquad_beta{2}>k}2}、\qquad{mathcal{T}^{*}}<frac{k{2{2}}{beta{21}}$$

此外，与该系统对应的雅可比矩阵为

$$\begin{aligned}和J\bigl（{\mathcal{T}^{*}}，{\mathcal{H}^{}}、{\matchcal{E}^{**}}\biger）1&-\beta_{12}{\mathcal{T}^{*}}&-\beta_{13}{\mathcal{T}^{*}}\\-{\mathcal{H}^{*}}\beta{21}&{k{2}}（1-{\matchcal{H}^{*{}}）-{k{2}}}-\β21{\mathcal{T}^{*}}&0}+{s_{3}}）^{2}}-\beta_{31}{\mathcal{E}^{*}}&0&{\frac{{k_{3{}{\mathcal{T}^{**}}{{\matchcal{T}{bmatrix}。\结束{对齐}$$

(6)

三通过Liouville–Caputo分数导数的模型

在本节中，我们考虑模型(4)与Liouville–Caputo(信用证)分数导数，

$$\开始{聚集}{}_{0}^{\mathsf{LC}}\mathcal{D}（D）_{t} ^｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｛\mathcal｛t｝｝｝（t）=\mathcal｛t｝（t）\bigl（1-\mathcal｛t｝（t）\bigr）-\beta\ 12｝\mathcal｛t｝（t）\mathcal｛H｝（t）-\beta\ 13｝\mathcal｛t｝（t）\mathcal｛E｝（t），\\｛0｝^｛\mathsf｛LC｝{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}{\mathcal{H}}（t）=k_{2}\mathcal{H}（t）\bigl（1-\mathcale{H}（t）\bigr{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}{\mathcal{E}}$$

(7)

其中信用证分数导数定义为[14]

$${}_{0}^{\mathsf{\mathf{LC}}}\mathcal{D}（D）_{t} ^｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｝｛\mathcal｛t｝｝｝（t）=\frac｛1｝｛\Gamma｛（\alpha｝）｝\int _｛0｝^｛t｝（t-｛\eta｝）^｛\alpha-1｝\ phi（｛\eta｝）\，d｛\eta｝，quad 0＜｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝1$$

(8)

在上使用拉普拉斯变换信用证导数(8)，我们得到

$$\mathcal{L}\bigl\{{}^{\mathsf{LC}}_{0}}{\mathcal{D}}_}{t}^{{\boldsymbol{\alpha}}\phi（t）\bigr\}=s^{\bolsymbol{\alha}}}\mathca{L}\bigl{\phi^{m-1}秒^{{\boldsymbol{\alpha}}-k-1}\phi^{（k）}（0），\quad m=\lceil{\bolsymbol{\alfa}}\rceil$$

(9)

拍摄(9)考虑并利用拉普拉斯逆变换公式(7)，我们得到

$$开始{聚集}{\mathcal{T}}hcal{H}（T）-\beta_{13}\mathcal{T}（T）\mathcal{E}\biggl\{\frac{1}{s^{{\boldsymbol{\alpha}}}\mathcal{L}\bigl[k_{2}\mathcal{H}（t）\bigl}（0）+\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1}{s^{\boldsymbol{\alpha}}}}\mathcal{L}\bigl[\frac}k{3}\mathcal{t}（t） +s_{3}}-\beta_{31}\mathcal{t}。\结束{聚集}$$

(10)

发件人(10)我们建议以下迭代方案：

$$\开始{聚集}{\mathcal{T}（T）_{n} }（t）={\mathcal{T}（T）_{0}}+\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1}{s^{{\boldsymbol{\alpha}}}}\mathcal{L}\bigl[\mathcale{T}（T）_｛n-1｝（t）\bigl（1-\mathcal{T}（T）_{n-1}（t）\biger）-\beta_{12}\mathcal{T}（T）_{n-1}（t）\数学{高}_{n-1}（t）-\beta{13}x{n-1neneneep（t）\mathcal{电子}_{n-1}（t）\bigr]\biggr\}，\\{\mathcal{高}_{n} }（t）={\mathcal{高}_｛0｝｝+\mathcal｛L｝^｛-1｝\biggl\｛\frac｛1｝｛s^｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｝｝\mathcal｛L｝\bigl[k_｛2｝\mathcal{高}_｛n-1｝（t）\bigl（1-\mathcal{高}_{n-1}（t）\biger）-\beta_{21}\mathcal{T}（T）_{n-1}（t）y{n-1neneneep（t）\bigr]\biggr\}，\\{\mathcal{电子}_{n} }（t）={\mathcal{电子}_{0}}+\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1}{s^{{\boldsymbol{\alpha}}}\mathcal{L}\bigl[\frac}k{3}\mathcal{T}（T）_{n-1}（t）\数学{电子}_{n-1}（t）}{\mathcal{T}（T）_｛n-1｝（t）+s_｛3｝}-\β_｛31｝\数学{T}（T）_{n-1}（t）\数学{电子}_{n-1}（t）-c_{3}\mathcal{E}（t）\biggr]\biggr，\end{聚集}$$

(11)

哪里

$$\马塔尔{T}（T）_{0}={\mathcal{T}}（0），\qquad\mathcal{高}_{0}={\mathcal{H}}（0），\qquad\mathcal{电子}_{0}={\mathcal{E}}（0）$$

(12)

通过计算极限值可以获得所需的近似解

$$\mathcal{T}（T）=\lim_{n\rightarrow\infty}{\mathcal{T}}_{n}（T），\qquad\mathcal}H}（d）=\li m_{n\rightarror\infty}{\mathcal{H}}_}n}$$

(13)

3.1存在性和唯一性

假设类似于Ω的Banach空间具有包含Ω不动点的闭凸有界子集Ξ。此外，让\（\omega:\Xi\rightarrow\Xi\）是一张浓缩的地图。此外，让我们假设存在\（\增量\ in（0，\xi）\）使得.现有功能使得,、和。然后我们有：

• 1 ,、和是Lipschitz和有界的。

• 2 ,、和是紧且有界的。

• 三。 \（|R（t，m）-R（t，z）|\leq L_{1}（t）\|m-z\|\）.

借助Riemann–Liouville积分，公式(7)写为

(14)

定理1

一旦

$$\psi=\frac{\upsilon\Vert L\Vert_{1/\triangledown}T^{M}{\Gamma（\rho）}<1$$

(15)

那么在两个性质下1和2,问题的解决方案的存在是有保证的.

证明

让我们接受χ使得\（τ（0）+\frac{1}{\Gamma（\rho）}\upsilon（\|H_{1}\|_{1/\triangledown}+\|H_2}\|{1/\traangledown}）T^{M}\leq\chi\），并让\（\Xi_{\mu}=\{m:\|m\|\leq\chi\}\）在Banach空间中是一个闭集\（（[0，T]，\欧米茄）\）具有…的标准\（\sup\|\cdot\|\）.

然后，根据定义\（m:\Xi_｛\chi｝\rightarrow（[0，T]，\Omega）\）,，我们有

(16)

因此，我们得到,,、和冷凝，并且,,、和已验证。

我)让我们展示一下。对于\（m\in\Xi_{\chi}\），我们有

(17)

同样，我们有

和

(18)

因此.

二)让我们展示一下,、和是收缩。对于\（m，z\in\Xi_{chi}\），我们得出结论

哪里

$$\Psi{i}=\frac{\sigma{i}\Vert L\Vert_{1/\triangledown}T^{\mu_{i}}{\Gamma（\rho）}<1，\quad 1\leqi\leq3$$

(19)

这些声明证实了,、和是收缩。

三)让我们展示一下,、和结构紧凑。对于\（0\leqj{1}\leqJ{2}\leq T\），我们有

(20)

类似地，我们得到

(21)

最后，我们有

对于\（\sigma{i}，1 \leqi \leq3）.

现在由Arzelá–Ascoli定理[15],、和相对紧凑。所以,、和结构紧凑。

自,,、和是收缩和,和是紧凑的，因此是连续的,、和正在冷凝\（\Xi_{\Xi}\）因此，每个点都存在一个不动点,、和已被证明。

四、)我们将证明这个问题有一个独特的解决方案。为此，让我们定义映射H（H）如下所示：

(22)

对于,,,,,，我们获得

(23)

此外，我们有

和

这些结果表明，模型(7)将始终有一个独特的解决方案。□

3.2数值方法

在本节中，我们使用Adams–Bashforth–Moulton（ABM）数值方法。在这里，我们按照以下步骤应用此方法来解决以下分数阶问题：

$${}^{\mathsf{C}}_{0}{\mathcal{D}{{t}^{\\boldsymbol{\alpha}}}\phi（t）=\Xi\bigl（t，\ph（t）\bigr），\quad\phi^{k}（0）=\phi^{k}_{0}，k=0,1，\ldot，n-1$$

(24)

现在采用Liouville–Caputo分数次积分(24)收益率

$$\phi（t）=\sum_{k=0}^{n-1}f_{0}^{（k）}\frac{t^{k}}{k！}+\frac{1}{\Gamma（{\boldsymbol{\alpha}}）}\int_{0}^{t}（t-{\eta}）^{\bolsymol{\alpha}}-1}\Xi\bigl（{\ta}，\phi（{/eta}）\bigr）\，d{\eta}$$

(25)

以下预测-校正形式确定了问题的近似解决方案[31]:

$$\开始{聚集}\phi^{P}（P）_{k+1}=\sum_{\zeta=0}^{n-1}\frac{t^{\zeta}_{k+1}{\ zeta！}\phi^{（\zeta）}_{0}+\ frac{1}{\Gamma \phi_{k+1}=\sum_{zeta=0}^{n-1}\frac{t^{zeta}_{k+1}}{\zeta！}\phi^{（\zeta）}_{0}+\frac{1}{\Gamma（{\boldsymbol{\alpha}}）}\Biggl（\sum_{\zeta=0}^{k} \gamma_{\zeta，k+1}\Xi（t_{\zeta}，f_{\zeta}）+\gamma_{k+1，k+1}\Xi\bigl（t_{k+1}，\phi^{P}（P）_{k+1}\bigr）\Biggr），\end{聚集}$$

(26)

哪里

$$\begin{aligned}&\gamma_{\zeta，k+1}=\frac{\hbar^{{\boldsymbol{\alpha}}}{\bolssymbol}\alpha{}（{\bodsymbol{\alfa}}+1）}\cdot\textstyle\begin cases}k^{\bold symbol\alphaneneneep}+1}-（k-{\boltsymbol宇宙}）（k+1），\\（-\zeta+k+2）^{{\boldsymbol{\alpha}}+1}+（-\zeta+k）^{\\boldsympol{\alpha}}+1} -2（-\zeta+k+1）^{{黑体符号{\alpha}}+1}，&1\leq\zeta\leqk，\\1，&\zeta=k+1，\end{cases}\displaystyle\&\theta_{\zeta，k+1}=\frac{\hbar^{{\boldsymbol{\alha}}}{\boltsymbol}}}}\bigl}-（-\zeta+k）^{{\boldsymbol{\alpha}}}\biger），\quad\zeta=0,1,2，\ldot，k.\end{aligned}$$

(27)

使用中提出的数值算法(26)，我们确定了分数问题的近似解(7)从公式中

$$开始{聚集}\mathcal{T}（T）=\sum_{k=0}^{n-1}\matchcal{T}^{（k）}（0）\frac{T^{k}}{k！}\\hphantom{mathcal}T}{\alpha}}-1}\bigl[\mathcal{T}（{\eta}）\bigl\mathcal{T}（{\eta}）\mathca{E}（}\eta{）\bigr]d{\eta}，\\mathcal}H}（T）=\sum_{k=0}^{n-1}\mathcal{H}^{（k）}（0）\frac{T^{k}}{k！}+\frac{1}{\Gamma（{粗体符号{\alpha}）}\int_{0}^}T}（T}-{\eta}）^{{\boldsymbol{\alpha}}-1}\bigl[k_{2}\mathcal{H})\bigr]d{\eta}，\\mathcal{E}（t）=\sum_{k=0}^{n-1}\mathcal}E}^{（k）}（0）\frac{t^{k}}{k！}+\frac{1}{Gamma c{k_3}\mathcal{t}（{\eta}）\mathcal{E}（{\eta}）\biggr]d{\eta}。\结束{聚集}$$

(28)

3.3数值模拟

数字1–三演示模型中状态变量的变化(7)当计划(26)用于不同的值\（在（0,1]\）中为α在本次模拟中，我们在模型中考虑了以下值：\（β{12}=1\）,\（β{13}=2.5）,\（k{2}=0.6）,\（β{21}=1.5\）,\（k{3}=4.5\）,\（s{3}=1\）,\（a{31}=0.2）、和\（d_{3}=0.5\）。在我们执行的数值模拟中，我们取\（t{\mathrm{final}}=500\）和\（hbar=0.001）。在图中1，我们采取\（（\mathcal{T}（T），\mathcal{H}（T），\mathcal{E}（c））|_{T=0}=（0.1，0.1，0.1）\）在这种情况下，模型表现出混沌吸引子行为。此外，通过考虑\（（mathcal{T}（T），mathcal}H}（T），mathcal{E}（c））|_{T=0}=（0.3，0.3，0.3））、和\（β{12}=0.745）该模型显示了图中的极限环行为2，而对于\（\mathcal｛T｝（0）=0.3517\）,\（数学{H}（0）=0.1115）,\（数学{E}（0）=0.4951）、和\（β{12}=0.920），我们在图中所示的解中得到了周期轨道轨迹三.

图1

求解模拟(7)使用(26)以及\（（\mathcal{T}（0），\mathcal{H}（1），\mathcal{E}（2））=（0.1,0.1,0.1）\）

图2

求解模拟(7)使用(26)以及\（\mathcal｛T｝（0），\mathcal｛H｝（0），\mathcal｛E｝（0））=（0.3,0.3,0.3）\）和\（β{12}=0.745）

图3

求解模拟(7)使用(26)以及\（（mathcal{T}（0），mathcal}H}（1），mathcal{E}（2））=（0.3517，0.1115，0.4951））和\（β{12}=0.92）

4通过Caputo–Fabrizio–Caputo分数导数的模型

在本节中，我们研究以下模型：

$$\开始{聚集}{}_{0}^{\mathsf{CFC}}\mathcal{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}{\mathcal{t}}（t）=\mathcal{t}铝{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}{\mathcal{H}}（t）=k{2}\mathcal{H}{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}}{\mathcal{E}}（t）=\frac{k{3}\mathcal{t}（t）\mathcali{E}（c）}{\mathcal{t}（t）+s_{3}}-\beta_{31}\mathcal{t{（t。\结束{聚集}$$

(29)

分数导数算子\（{}_{0}^{\mathsf{CFC}}\mathcal{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}\）在这个模型中是卡普托-法布里齐奥-卡普托(氟氯化碳)由提供[13]

$${}_{0}^{\mathsf{\mathsf{CFC}}}\mathcal{D}（D）_{t} ^｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｛\phi｝（t）=\frac｛\mathsf｛M｝（｛\boldsymbol｛\alpha｝）｝｛n-｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝\int _｛0｝^｛t｝\phi’（｛\eta｝）\exp\biggl[-\frac｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｛1-｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｝（t-｛\eta｝）\biggr]\，d｛\eta｝，\fquad 0<｛\boldsymbold｛$$

(30)

哪里

$$\mathsf{M}（{\boldsymbol{\alpha}}）=\frac{2}{2-{\bodsymbol{\alfa}}}，\quad 0<{\bolsymbol}}<1$$

(31)

这个氟氯化碳分数积分也定义为[33]

$${}_{0}^{\mathsf{\mathsf{CFC}}}\mathcal{我}_{t} ^｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｛\phi｝（t）=\frac｛2（1-｛\boldsymbol｛\alpha｝）｝｛（2-｛\boldsymbol｛\alpha｝）\mathsf｛M｝（｛\boldsymbol｛\alpha｝）｝\phi（t）+\frac｛2｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｛（2-｛\boldsymbol｛\alpha｝）｝\mathsf｛M｝（｛\boldsymbol｛\alpha｝）｝\ int _｛0｝^｛t｝\phi（｛\eta｝）\，d｛\eta｝，\quad t\ge 0$$

(32)

4.1耦合解的存在性

应用氟氯化碳积分定义(29)，我们得到以下关系：

$$\textstyle\begin{cases}{\mathcal{T}}（T）-{\matchcal{T}（0）={}_{0}^{\mathsf{\mathf{CFC}}}\mathcal{我}_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}}\{\mathcal{t}（t）（1-\mathcal{t}\mathsf{\mathsf{CFC}}}\mathcal{我}_{t} ^{{黑体符号{\alpha}}}\{k{2}\mathcal{H}{我}_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}}\{\frac{k{3}\mathcal{t}（t）\mathcal{E}（t）}{\mathcali{t}（t）+s_{3}}-\beta_{31}\mathcal{t{（t。\结束{cases}$$

(33)

现在我们考虑以下内核：

$$\textstyle\开始{cases}\mathcal{克}_{1} （t，{\mathcal{t}}（t），{\mathcal{H}}{克}_{2} （t，{mathcal{t}}（t），{mathcal{H}}{克}_{3} （t，{\mathcal{t}}（t），{\mathcal{H}}（t）。\结束{cases}$$

(34)

定理2

初值问题与核 \（\mathcal{克}_{1} （{\mathcal{T}}（T），{\mathcal{H}},\（\mathcal{克}_{2} （{\mathcal{T}}（T），{\mathcal{H}},和 \（\mathcal{克}_{3} （{\mathcal{T}}（T），{\mathcal{H}} 满足Lipschitz条件.

证明

请参见[24]. □

定理3

分数阶非线性系统(29)至少接受一种解决方案.

证明

请参见[24]. □

定理4

分数阶非线性系统(29)总是接受独特的解决方案.

证明

请参见[24]. □

4.2数值方法

现在，让我们集中精力确定以下问题的近似解决方案氟氯化碳分数Cauchy问题：

$${}^{mathsf{CFC}}_{0}{\mathcal{D}}{t}^{\boldsymbol{\alpha}}}\phi（t）=\Xi\bigl（t，\phi$$

(35)

使用相应的分数积分算子可以得到

$$\phi（t）-\phi【0】=\frac{1-{\boldsymbol{\alpha}}{\mathsf{M}（{\bolssymbol}\alpha{}）}\Xi\bigl（t，\phi£¨t）\bigr）+\frac}{\boltsymbol{\alfa}}{\ mathsf}（}）{\int_{0}^{t}\Xi.bigl）\较大）\，d{\eta}$$

(36)

拿\（t=t{n+1}\）在(36)，我们有

$$\phi（t_{n+1}）-\phi〔0〕=\frac{（2-{\boldsymbol{\alpha}}）（1-{\bolssymbol}\alpha{}）}{2}\Xi\bigl（{\eta}，\phi（{\eta}）\bigr）\，d{\eta}$$

(37)

和

$$\phi（t_{n}）-\phi〔0〕=\frac{（2-{\boldsymbol{\alpha}}）\eta}，\phi（{\eta{）\biger）\，d{\eta}$$

(38)

插入Eq(38)转化为等式(37)，我们得到

$$开始{对齐}[b]\phi（t_{n+1}）&=\phi+\frac{{\boldsymbol{\alpha}}（2-{\bolssymbol}\alpha{}}）}{2}\int_{t_{n}}^{t_{n+1}}\Xi\bigl（{\eta}，\phi（{\ta}）\bigr）\，d{\eta}，\end{aligned}$$

(39)

哪里

$$\begin{aligned}\int_{t_{n}}^{t_{n+1}}\Xi\bigl（{\eta}，\phi（{\ta}）\bigr）\，d{\eta}&=\frac{3\hbar}{2}\Xi（t_{n{，f_{n}）-\frac}\hbar{2}\Xi。\结束{对齐}$$

(40)

所以我们有

$$开始{对齐}[b]f_{n+1}&=f_{n}+\biggl[\frac{（2-{\boldsymbol{\alpha}}）（1-{\bodsymbol{\alfa}}[\frac{（2-{\boldsymbol{\alpha}}）（1-{\bolssymbol}\alpha{}）}{2}+\frac{\hbar}{4}{\bodsymbol{\alfa}}（2-{\boldsymbol{\alpha}}）\biggr]\Xi（t_{n-1}，f_{n-1{）。\结束{对齐}$$

(41)

因此，确定以下递归关系来近似氟氯化碳问题(29)如中所示[22]:

$$\开始{聚集}\mathcal{T}（T）_{n+1}}（t）=\mathcal{t}（0）+\biggl[\frac{（2-{boldsymbol{\alpha}}）{T}（T）_{{n}}（t），\mathcal{高}_{{n}}（t），\mathcal{电子}_｛｛n｝｝（t），t_｛n｝\bigr）\\\\hphantom｛\mathcal{T}（T）_{n+1}}（t）=}{}-\biggl[\frac{（2-{\boldsymbol{\alpha}}）{T}（T）_{{n}}（t），\mathcal{高}_{{n}}（t），\mathcal{电子}_{{n}}（t），t{n}\bigr），\\mathcal{高}_{n+1}}（t）=\mathcal{H}（0）+\biggl[\frac{（2-{boldsymbol{\alpha}}）{T}（T）_{{n}}（t），\mathcal{高}_{{n}}（t），\mathcal{电子}_{{n}}（t），t{n}\biger）\\hphantom{\mathcal{高}_{n+1}}（t）=}{}-\biggl[\frac{（2-{\boldsymbol{\alpha}}）{T}（T）_{{n}}（t），\mathcal{高}_{{n}}（t），\mathcal{电子}_{{n}}（t），t{n}\bigr），\\mathcal{电子}_{n+1}}（t）=\mathcal{E}（0）+\biggl[\frac{（2-{boldsymbol{\alpha}}）{T}（T）_{{n}}（t），\mathcal{高}_{{n}}（t），\mathcal{电子}_{{n}}（t），t{n}\biger）\\hphantom{\mathcal{电子}_{n+1}}（t）=}{}-\biggl[\frac{（2-{\boldsymbol{\alpha}}）{T}（T）_{{n}}（t），\mathcal{高}_{{n}}（t），\mathcal{电子}_｛｛n｝｝（t），t_｛n｝\bigr），\end｛collected｝$$

(42)

哪里\（\Xi_{1}=\mathcal{T}（T）（1-\mathcal{T}（T）,\（\Xi{2}=k{2}\mathcal{H}（t）（1-\ mathcal}H}、和\（\Xi{3}=\frac{k{3}\mathcal{T}（T）\mathcal{E}.

4.3数值模拟

数字4–6绘制以演示模型中状态变量的变化(29)当计划(42)用于的不同值\（在（0,1]\）中为α在这些模拟中，我们在模型中考虑了以下值：\（β{12}=1\）,\（β{13}=2.5）,\（k{2}=0.6）,\（β{21}=1.5\）,\（k{3}=4.5\）,\（s{3}=1\）,\（a{31}=0.2）、和\（d_{3}=0.5\）。在我们进行的数值模拟中，我们考虑了\（t{\mathrm{final}}=500\）和\（hbar=0.001）。在图中4，我们使用\（（\mathcal{T}（T），\mathcal{H}（T），\mathcal{E}（c））|_{T=0}=（0.1，0.1，0.1）\）在这种情况下，模型表现出混沌吸引子行为。此外，从开始\（（mathcal{T}（T），mathcal}H}（T），mathcal{E}（c））|_{T=0}=（0.3，0.3，0.3））和\（β{12}=0.745），该模型显示了图中的极限环行为5此外，通过采取\（\mathcal｛T｝（0）=0.3517\）,\（数学{H}（0）=0.1115）,\（数学{E}（0）=0.4951）、和\（β{12}=0.920），我们在图中所示的解中得到了周期轨道轨迹6.

图4

求解模拟(29)使用(42)以及\（（\mathcal{T}（0），\mathcal{H}（1），\mathcal{E}（2））=（0.1,0.1,0.1）\）

图5

求解模拟(29)使用(42)以及\（\mathcal｛T｝（0），\mathcal｛H｝（0），\mathcal｛E｝（0））=（0.3,0.3,0.3）\）和\（β{12}=0.745）

图6

求解模拟(29)使用(42)以及\（（mathcal{T}（0），mathcal}H}（1），mathcal{E}（2））=（0.3517，0.1115，0.4951））和\（β{12}=0.92）

5通过Atangana–Baleanu–Caputo分数导数的模型

现在让我们通过Atangana–Baleanu–Caputo分数导数来考虑模型

$$\开始{aligned}&{}_{0}^{\mathsf{ABC}}\mathcal{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}{\mathcal{t}}（t）=\mathcal{t}}\mathcal公司{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}{\mathcal{H}}（t）=k{2}\mathcal{H}{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}{\mathcal{E}}（t）=\frac{k{3}\mathcal{t}$$

(43)

其中Atangana–Baleanu分数阶积分α函数的\（\ phi（t）\）定义为[10]

$${}_{0}^{\mathsf{ABC}}\mathcal{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}}{\phi}eta}）^{\boldsymbol{\alpha}}\biggr]d{\eta}$$

(44)

哪里\（\mathsf{B}（{\boldsymbol{\alpha}}）=1-\alpha+\frac{\alfa}{\Gamma（\alpha）}\）是一个规范化函数。

Atangana–Baleanu分数阶积分α函数的\（\ phi（t）\）也定义为[10]

$${}_{0}^{\mathsf{ABC}}\mathcal{我}_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}{\phi}}）（t-{\eta}）^{{\boldsymbol{\alpha}}-1}\，d{\eta}$$

(45)

采用Atangana–Baleanu分数积分的定义(45)关于系统方程的两面(43)，我们得到了Volterra积分系统

$$开始{聚集}\mathcal{T}（T）-\mathcal{T}（0）\\quad=\frac{1-{\boldsymbol{\alpha}}{\mathsf{B}{13}\mathcal{T}（T）\mathcal{E}（T）\bigr\}\\qquad{}+\frac{{\boldsymbol{\alpha}}{\mathsf{B}（｛\boldsymbol｛\alpha｝）\Gamma（｛\boldsymbol｛\alpha｝）｝\int _｛0｝^｛t｝\bigl｛\mathcal｛t｝（｛\eta｝）\bigl（1-\mathcal｛t｝（｛\eta｝）\bigr）-\beta _｛12｝\mathcal｛t｝（｛\eta｝）\mathcal｛H｝（｛\eta｝）-\beta _｛13｝\mathcal｛t｝（t）\mathcal｛E｝（t）\bigr｝（t-｛\eta｝）^｛\boldsymbold｛\alpha｝-1｝\，d｛\eta｝，\\\\mathcal｛H｝（t）-\mathcal｛H｝（0）\\\quad=\frac{1-{黑体符号{\alpha}}}{\mathsf{B}（{\boldsymbol{\alfa}}）}\bigl\{k_{2}\mathcal{H}（t）\bigl}{\mathsf{B}（{\boldsymbol{\alpha}}）\Gamma（{\ boldsympol{\alpha}）}\int_{0}^{t}\bigl\{k{2}\mathcal{H}（{\eta}）\bigl（1-\mathcal{H}（{\eta}，\bigr）-\beta_{21}\mathcal{T}c{1-{黑体符号{\alpha}}{\mathsf{B}（{\boldsymbol{\alfa}}）}\biggl\{\frac{k_{3}\mathcal{T}（T）\mathcal{E}}-\beta_{31}\mathcal{T}（T）\mathcal{E}（T）-c_{3}\mathcal{E}（T）\ biggr\}\\qquad{}+\frac{{\boldsymbol{\alpha}}{\mathsf{B}mathcal{T}（{\eta}）\mathcal{E}\mathcal{E}（{\eta}）\biggr \}\，d{\eta}。\结束{聚集}$$

(46)

以及以下迭代公式：

$$\开始{aligned}&\开始{collected}\mathcal{T}（T）_{n+1}（t）\\quad=\mathcal{t}（0）+\frac{1-{黑体符号{\alpha}}}{\mathsf{B}（{\boldsymbol{\alfa}}）}\bigl\{\mathcal{T}（T）_{n} （t）大（1-\mathcal{T}（T）_{n} （t）\biger）-\beta_{12}\mathcal{T}（T）_{n} （t）\mathcal公司{高}_{n} （t）-\beta{13}\mathcal{T}（T）_{n} （t）\mathcal公司{电子}_{n} （t）\bigr\}\}\\qquad+\frac{{\boldsymbol{\alpha}}{\mathsf{B}{T}（T）_{n} （｛\eta｝）\bigl（1-\mathcal{T}（T）_{n} （{\eta}）\biger）-\beta_{12}\mathcal{T}（T）_{n} （{\eta}）\mathcal{高}_{n} （{\eta}）-\beta{13}\mathcal{T}（T）_{n} （{\eta}）\mathcal{电子}_{n} （{\eta}）\bigr\}（t-{\eta}）^{\boldsymbol{\alpha}}-1}\，d{\eta-}，\end{collected}\\&\begin{collecting}\mathcal{高}_{n+1}（t）\\quad=\mathcal{H}（0）+\frac{1-{黑体符号{\alpha}}}{\mathsf{B}（{\boldsymbol{\alfa}}）}\bigl\{k{2}\mathcal{高}_{n} （t）大（1-\mathcal{高}_{n} （t）\biger）-\beta_{21}\mathcal{T}（T）_{n} （t）\mathcal公司{高}_{n} （t）\bigr\}\\qquad{}+\frac{{\boldsymbol{\alpha}}{\mathsf{B}{高}_{n} （{\eta}）\bigl（1-\mathcal{高}_{n} （{\eta}）\biger）-\beta_{21}\mathcal{T}（T）_{n} （{\eta}）\mathcal{高}_{n} （{\eta}）\bigr\}（t-{\eta}）^{\boldsymbol{\alpha}}-1}\，d{\eta-}，\end{collected}\\&\begin{collecting}\mathcal{电子}_{n+1}（t）\\quad=\mathcal{E}（0）+\frac{1-{黑体符号{\alpha}}}{\mathsf{B}（{\boldsymbol{\alfa}}）}\biggl\{\frac}k{3}\mathcal{T}（T）_{n} （t）\mathcal公司{电子}_{n} （t）}{\mathcal{T}（T）_{n} （t）+s{3}}-\beta{31}\mathcal{T}（T）_{n} （t）\数学{电子}_{n} （t）-c{3}\mathcal{电子}_{n} （t）\biggr\}\\qquad{}+\frac{{\boldsymbol{\alpha}}}{\mathsf{B}{T}（T）_{n} （{\eta}）\mathcal{电子}_{n} （｛\eta｝）｝｛\mathcal{T}（T）_{n} （{\eta}）+s{3}}-\beta{31}\mathcal{T}（T）_{n} （{\eta}）\mathcal{电子}_{n} （{\eta}）-c{3}\mathcal{电子}_{n} （{\eta}）\biggr\}（t-{\eta}）^{\boldsymbol{\alpha}}-1}\，d{\eta-}，\end{collected}\end{aligned}$$

(47)

哪里

$$\马塔尔{T}（T）_{0}（t）=\mathcal{t}（0），\qquad\mathcal{高}_{0}（t）=\mathcal{H}（0），\qquad\mathcal{电子}_｛0｝（t）=\mathcal｛E｝（0）$$

(48)

作为\（n\rightarrow\infty\），等式(47)提出了模型的精确解。

定理5

由等式给出的初值问题. (43)在区间中至少有一个解 \（[0，T]\）.

证明

首先，我们定义

$$\textstyle\开始{cases}\mathcal{电子}_{1} （t，mathcal{t}（t））=mathcal}t}{电子}_{2} （t，\mathcal{H}（t））=k{2}\ mathcal}H}{电子}_{3} （t，\mathcal{E}（t））=\frac{k{3}\mathcal{t}（t）\mathcali{E}（t）}{\mathcale{t}（t$$

(49)

哪里\（\mathcal{电子}_{1} （t，\mathcal{t}（t））,\（\mathcal{电子}_{2} （t，\mathcal{H}（t））、和\（\mathcal{电子}_{3} （t，\mathcal{E}（t））收缩是关于\（\mathcal{T}（T）\）,\（\mathcal{H}（t）\）、和\（\数学｛E｝（t）\）分别是。

此外，我们设置

$$\开始{聚集}\mathcal{无}_{1} =\sup\bigl\Vert{}_{\Psi_{a，b_{1}}}\mathcal{电子}_{1} \bigl（t，\mathcal{t}（t）\biger）\bigr\Vert，\qquad\mathcal{无}_{2} =\sup\bigl\Vert{}_{\Psi_{a，b_{2}}}\mathcal{电子}_{2} \bigl（t，\mathcal{H}（t）\biger）\bigr\Vert，\\mathcal{无}_{3} =\sup\bigl\Vert_{\Psi_{a，b_{3}}}\mathcal{电子}_{3} \bigl（t，\mathcal{E}（t）\bigr）\biger\Vert，\end{聚集}$$

(50)

哪里

$$\textstyle\begin{cases}\Psi_{a，b_{1}}=[t-a，t+a]\times[\mathcal{T} -b个_{1} ，\mathcal{T}+b{1}]=A{1}\次b_{1}，\\Psi{A，b{2}}=[T-A，T+A]\次[\mathcal{T} -b个_{2} ，\mathcal{H}+b_{2}]=A_{1}\次b_{2{，\\Psi_{A，b_{3}}=[t-A，t+A]\次[\mathcal{T} -b个_{3} ，\mathcal{E}+b_{3}]=A_{1}\乘以b_{3{。\结束{cases}$$

(51)

考虑到Picard操作员，我们有

$$\Theta：（\Psi_{a，b_{1}}，\Psi_{a，b2}}、\Psi _{a、b_{3}}）\rightarrow（\Psi _{a、b _{1}、\ Psi _}a、b_{2}}和\Psi e_{a，b _{3}}）$$

(52)

定义如下

$$\Theta\Omega（t）=\Omega_0}（t）+\frac{1-{\boldsymbol{\alpha}}}{\mathsf{B}{0}^{t}\Delta\bigl（{\eta}，\Omega（{\eta}）\bigr）（t-{\eta}）^{\boldsymbol{\alpha}}-1}\，d{\eta-}， $$

(53)

哪里\（\Omega（t）=（{\mathcal{t}（t），\mathcal{H}（t），\mathcal{E}（t}））,\（\Omega_{0}（t）=（{\mathcal{t}（0），\mathcal{H}（1），\mathcal{E}（2）}）、和\（Delta（t，\Omega（t））=\mathcal{电子}_{1} （t，\mathcal{t}（t）），\ mathcal{电子}_{2} （t，\mathcal{H}（t）），\ mathcal{电子}_{3} （t，\mathcal{E}（t））.

现在我们假设所有解在一段时间内都是有界的：

$$\begin｛collected｝\bigl\Vert\Omega（t）\bigr\Vert_｛\infty｝\le\max\｛B_｛1｝、B_｛2｝、B_｛3｝、B_｛4｝\｝、\\bigl\Vert\Omega（t）-\Omega_｛0｝（t）\bigr\Vert_｛\infty｝\\quad\le\biggl\|\frac｛1-｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｝｛\mathsf｛B｝（｛\boldsymbol｛\alpha｝｝）｝\Delta\bigl（t，\Omega（t）\bigr）+\frac｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｛\mathsf｛B｝（{\boldsymbol{\alpha}}）\Gamma（{\baldsymbol{\alfa}}{\boldsymbol{\alpha}}）}\bigl\Vert\Delta\bigl（t，\Omega（t）\biger）\bigr\Vert+\frac{\bolsymbol{\alfa}}}{\mathsf{B}（{\boldsymbol{\alpha}}）\Gamma}}{\mathsf{B}（{\boldsymbol{\alpha}}）\Gamma}+\frac{{\boldsymbol{\alpha}}}{\mathsf{B}（{\bodsymbol{\alfa}}）\Gamma$$

(54)

前提是

$$\omega<\frac{B}{Z}$$

Banach空间的不动点定理和度量表明

$$\开始{聚集}\Vert\Theta\Omega_{1}-\Theta\Omega_{2}\Vert_{infty}=\sup_{t\inA}\Vert\Omega_{1}-\欧米茄_｛2｝\vert，\\\\vert\Theta\Omega_{1}-\Theta\Omega_{2}\Vert\\quad=\bigl\Vert\Delta\bigl（t，\Omega _{1}（t）\bigr）-\Delta\bigl（t，\Omega _{2{（t \mathsf{B}（{\boldsymbol{\alpha}}）\Gamma\bigl\{\Delta\bigl（t，\Omega_{1}（t）\biger）-\Delta\ bigl l\Vert\Delta\bigl（t，\Omega_{1}（t）\biger+\frac{{\boldsymbol{\alpha}}{\mathsf{B}}}-1}\，d{\eta}\\quad\le\frac{1-{\boldsymbol{\alpha}}}{\mathsf{B}\bigl\Vert\Omega_{1}（t）-\Omega_2}（t）\bigr\Vert（t-{\eta}）^{{\boldsymbol{\alpha}}-1}\，d{\eta}\\quad\le\biggl\{\frac{1-{\bolsymbol{\alfa}}}{\mathsf{B}\垂直\欧米茄{1}（t）-\欧米加{2}-\欧米茄{2}（t）\较大\垂直。\结束{聚集}$$

(55)

因为Ω是与\（{\eta}<1\），我们一定有\（ω｛\eta｝<1\）因此我们得出结论，θ是收缩算子。最后，证明了(43)总是拥有唯一的解决方案。□

5.1数值方法

考虑以下分数初值问题：

$$\开始{aligned}&{}_{0}^{\mathsf{ABC}}\mathcal{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}{\phi}（t）=\Xi\bigl（t，\phi（t。\结束{对齐}$$

(56)

采用产品集成规则，Ghanbari和Kumar[20]开发了一个有效的方案来获得(56)，由提供

$$\beart｛aligned｝\phi _｛n｝&=\phi _｛0｝+\frac｛\alpha\hslash^｛\alpha｝｝｛\mathsf｛B｝（\alpha）｝\Biggl（p_｛n｝\Xi（t_｛0｝，\phi _｛0｝）+\sum_｛\zeta=1｝^{n} q个_{-\zeta+n}\Xi（t_{\zeta}，\phi_{\ze塔}）\Biggr），\quad n\ge 1，\end{aligned}$$

(57)

哪里

$$开始{aligned}p_{n}&=\frac{（n-1）^{\alpha+1}-n^{\alpha}（n-\alpha-1）}{\Gamma（\alpha+2）}，\\q_{j}&=\textstyle\begin{cases}\frac}{\Gamma（\ alpha+2）}}+\frac{1-\alpha}{\alfa\hslash^{\阿尔pha}，&j=0，\\frac{{{{（j-1）}^{\alpha+1}}-2{j^{\alpha+1}}+{{（j+1）}^{\ alpha+1}}}{{\Gamma（\alpha+2）}}，&j=1,2，\ldots，n-1。\结束｛cases｝\displaystyle\end｛aligned｝$$

(58)

使用此数值近似，我们得到以下迭代方案：

$$\开始{聚集}\mathcal{T}（T）_{n}=\mathcal{T}（T）_{0}+\frac{{\alpha}\hslash^{\alfa}}{\mathsf{B}（{\alha}）}\Biggl({p}_{n} \bigl[\mathcal公司{T}（T）_｛0｝（1-\mathcal{T}（T）_{0}）-\beta{12}\mathcal{T}（T）_{0}\mathcal{高}_{0}-\β{13}\mathcal{T}（T）_{0}\mathcal{电子}_{0}\bigr]\\hphantom{\mathcal{T}（T）_{n}=}{}+\sum_{zeta=1}^{n}{q}_{n-i}\bigl[\mathcal{T}（T）_｛\zeta｝（1-\数学{T}（T）_{\zeta}）-\beta{12}\mathcal{T}（T）_{\泽塔}\马塔尔{高}_{\zeta}-\beta{13}\mathcal{T}（T）_{\泽塔}\马塔尔{电子}_{\zeta}\bigr]\Biggr），\\mathcal{高}_{n} =\马塔尔{高}_{0}+\frac{{\alpha}\hslash^{\alfa}}{\mathsf{B}（{\alha}）}\Biggl({p}_{n} \bigl[k_{2}\mathcal{高}_｛0｝（1-\mathcal{高}_{0}）-\beta{21}\mathcal{T}（T）_{0}\mathcal{高}_{0}\bigr]\\hphantom{\mathcal{高}_{n} =}{}+\sum_{\zeta=1}^{n}{q}_{n-i}\bigl[k{2}\mathcal{高}_｛\zeta｝（1-\数学{高}_{\zeta}）-\beta{21}\mathcal{T}（T）_{\泽塔}\马塔尔{高}_{\zeta}\bigr]\Biggr），\\mathcal{电子}_{n}=\mathcal{电子}_{0}+\frac{{\alpha}\hslash^{\alfa}}{\mathsf{B}（{\alha}）}\Biggl({p}_{n} \biggl[\压裂{k{3}\mathcal{T}（T）_{0}\mathcal{电子}_｛0｝｝｛\mathcal{T}（T）_{0}+s{3}}-\beta{31}\mathcal{T}（T）_{0}\mathcal{电子}_{0}-c_{3} \mathcal公司{电子}_{0}\biggr]\\hphantom{\mathcal{电子}_{n}=}{}+\sum{\zeta=1}^{n}{q}_{n-i}\biggl[\frac{k{3}\mathcal{T}（T）_{\泽塔}\马塔尔{电子}_{\泽塔}}{\马塔尔{T}（T）_｛\zeta｝+s_｛3｝-β_｛31｝\数学{T}（T）_{\泽塔}\马塔尔{电子}_{\zeta}-c{3}\mathcal{电子}_{\zeta}\biggr]\biggr）。\结束{聚集}$$

(59)

5.2数值模拟

数字7–9绘制以演示模型中状态变量的变化(43)当计划(59)用于不同的值\（在（0,1]\）中为α在本次模拟中，我们在模型中考虑了以下值：\（β{12}=1\）,\（β{13}=2.5）,\（k{2}=0.6）,\（β{21}=1.5\）,\（k{3}=4.5\）,\（s{3}=1\）,\（a{31}=0.2）、和\（d_{3}=0.5\）。在我们进行的数值模拟中，\（t{\mathrm{final}}=500\）和\（hbar=0.001）。在图中7，我们采取\（（\mathcal{T}（T），\mathcal{H}（T），\mathcal{E}（c））|_{T=0}=（0.1，0.1，0.1）\）在这种情况下，模型表现出混沌吸引子行为。此外，采用初始条件\（（mathcal{T}（T），mathcal}H}（T），mathcal{E}（c））|_{T=0}=（0.3，0.3，0.3））和\（β{12}=0.745）该模型显示了图中的极限环行为8此外，对于\（\mathcal｛T｝（0）=0.3517\）,\（数学{H}（0）=0.1115）,\（数学{E}（0）=0.4951）、和\（β{12}=0.920），我们在图中所示的解中得到了周期轨道轨迹9.

图7

求解模拟(43)使用(59)以及\（（\mathcal{T}（0），\mathcal{H}（1），\mathcal{E}（2））=（0.1,0.1,0.1）\）

图8

求解模拟(43)使用(59)以及\（\mathcal｛T｝（0），\mathcal｛H｝（0），\mathcal｛E｝（0））=（0.3,0.3,0.3）\）和\（β{12}=0.745）

图9

求解模拟(43)使用(59)以及\（（mathcal{T}（0），mathcal}H}（1），mathcal{E}（2））=（0.3517，0.1115，0.4951））和\（β{12}=0.92）

6包含不同规律的分形分数阶导数模型

在本节中，我们将在模型中使用几个著名的分形分数导数(4).

6.1幂律分形分数导数

在本小节中，我们替换了(4)通过幂律分形分数导数：

$$\开始{聚集}{}_{0}^{\mathsf{FF-P}}\mathcal{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}，\tau}{\mathcal{t}}}\马塔尔{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}，\tau}{\mathcal{H}}{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}，\tau}{\mathcal{E}}$$

(60)

其中函数幂律分形分数阶导数\（\ phi（t）\）定义为[11]

$$开始{对齐}{}^{mathsf{FF-P}}_{0}{\mathcal{I}}{{t}^{\boldsymbol{\alpha}}，\psi}\phi（t）=\frac{1}{\Gamma（n-{\bolsymbol{\alfa}}}}{（t-{eta}）^{1-n+{boldsymbol{\alpha}}}，\quad n-1<{boldsymbol{\ alpha}，\spi\le-n\in\mathbb{n}，\ end{aligned}$$

(61)

和

$$\begin{aligned}\frac{d}{dt^{\psi}}\phi（u）=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\phi。\结束｛对齐｝$$

(62)

通过在公式(60)然后放置\（t=t{n+1}\）在结果中，我们得到了以下递归形式：

$$\开始{aligned}&\开始{arigned}\mathcal{T}（T）_{n+1}（t）&=\mathcal{T}（T）_{1} （0）\\&&quad｛｝+\frac｛\tau｝｛\Gamma（｛\boldsymbol｛\alpha｝）｝\sum_｛j=0｝^｛n｝/int_｛j｝^｛t_｛j+1｝｝｛eta｝^｛\tau-1｝\bigl（\mathcal｛t｝（｛\eta｝）\bigl（1-\mathcal｛t｝（｛\eta｝）\bigr）-\beta _｛12｝\mathcal｛t｝（｛\eta｝）\mathcal｛H｝（｛\eta｝）-\beta｛13｝\mathcal｛t｝（｛\eta｝）\mathcal｛E｝（｛\eta｝）\bigr）\，d｛\eta｝，\end｛aligned｝\\&&\mathcal{高}_{n+1}（t）=\mathcal{高}_{2} （0）+\frac{\tau}{\Gamma（{\boldsymbol{\alpha}}）}\sum_{j=0}^{n}\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}{\eta}^{\tau-1}\bigl bigr）-\beta_{21}\mathcal{t}（{\eta}）\mathcal{H}（}\eta{）\bigr]\bigr{电子}_{n+1}（t）=\mathcal{电子}_{3} （0）+\frac{\tau}{\Gamma（{\eta}）+s_{3}}-\beta_{31}\mathcal{t}。\结束｛对齐｝$$

现在让我们定义函数

$$\开始{聚集}\mathcal{克}_{1} （{\eta}）={\eta}^{\tau-1}\bigl（\mathcal{T}（{\eta}）\bigr），\\\mathcal{克}_{2} （{\eta}）={\eta}^{\tau-1}\bigl{克}_{3} （{\eta}）={\eta}^{\tau-1}\biggl（\frac{k_{3}\mathcal{T}（{\eta}al{E}（{\eta}）\biggr）。\结束{聚集}$$

(63)

这些函数可以在\（[t{\zeta}，t{\zeta+1}]\）作为

$$\马塔尔{克}_{i} （{\eta}）=\frac{{\eta}-t{\zeta-1}}{t{\zeta}-t{\ zeta-1}}\mathcal{克}_{i} （t_｛\zeta｝）-\frac｛\eta｝-t_｛j｝｝｛t_｛\zeta｝-t_｛\zeta-1｝｝\mathcal{克}_{i} （t{\zeta-1}）$$

(64)

因此，我们获得

$$\开始{aligned}&\mathcal{T}（T）_{n+1}=\mathcal{T}（T）_{0}+\frac{\tau（\Delta t）^{{\boldsymbol{\alpha}}}{\Gamma（{\bolsymbol{\alfa}}+2）}\sum_{\zeta=0}^{n}\bigl[\mathcal{克}_{1} （t{\zeta}）\bigl[（-\zeta+1+n）^{{\boldsymbol{\alpha}}}（-\zeta+n+{\bolssymbol}}+2）\\&\hphantom{\mathcal{T}（T）_{n+1}=}{}-（-\zeta+n）^{{\boldsymbol{\alpha}}}（-\zeta+n+2{\bolssymbol}}+2）\bigr]\end{aligned}$$

(65)

$$\开始{aligned}&\hphantom{\mathcal{T}（T）_{n+1}=}{}-\mathcal{克}_{1} （t{\zeta-1}）\bigl[（-\zeta+1+n）^{\boldsymbol{\alpha}}+1}-{高}_{n+1}=\mathcal{高}_{0}+\frac{\tau（\Delta t）^{{\boldsymbol{\alpha}}}{\Gamma（{\bolsymbol{\alfa}}+2）}\sum_{\zeta=0}^{n}\bigl[\mathcal{克}_{2} （t{\zeta}）\bigl[（-\zeta+1+n）^{{\boldsymbol{\alpha}}}（-\zeta+n+{\bolssymbol}}+2）\\&\hphantom{\mathcal{高}_{n+1}=}{}-（-\zeta+n）^{{\boldsymbol{\alpha}}}（-\zeta+n+2{\bolssymbol}}+2）\bigr]\end{aligned}$$

(66)

$$\开始{aligned}&\hphantom{\mathcal{高}_{n+1}=}{}-\mathcal{克}_{2} （t{\zeta-1}）\bigl[（-\zeta+1+n）^{\boldsymbol{\alpha}}+1}-（-\zeta+n$$

(67)

$$\开始{aligned}&\mathcal{电子}_{n+1}=\mathcal{电子}_{0}+\frac{\tau（\Delta t）^{{\boldsymbol{\alpha}}}{\Gamma（{\bolsymbol{\alfa}}+2）}\sum_{\zeta=0}^{n}\bigl[\mathcal{克}_{3} （t{\zeta}）\bigl[（-\zeta+1+n）^{{\boldsymbol{\alpha}}}（-\zeta+n+{\bolssymbol}}+2）\\&\hphantom{\mathcal{电子}_{n+1}=}{}-（-\zeta+n）^{{\boldsymbol{\alpha}}}（-\zeta+n+2{\bolssymbol}\alpha}+2）\bigr]\\&\hphantom{\mathcal{电子}_{n+1}=}{}-\mathcal{克}_{3} （t{\zeta-1}）\bigl[（-\zeta+1+n）^{\boldsymbol{\alpha}}+1}-（-\zeta+n$$

(68)

哪里\（\mathcal{克}_{j} \）,\（泽塔=1,2,3\），在中给出(63).

6.2数值模拟

数字10–12演示模型中状态变量的变化(60)应用方案时(65)对于不同的值\（tau\ in（0,1]\）、和\（α=0.95\）在本次模拟中，我们考虑了模型中的以下值：\（β{12}=1\）,\（β{13}=2.5）,\（k{2}=0.6）,\（β{21}=1.5\）,\（k{3}=4.5\）,\（s{3}=1\）,\（a{31}=0.2）、和\（d_{3}=0.5\）。在我们的数值模拟中，\（t{\mathrm{final}}=500\）和\（hbar=0.001）。在图中10，我们把\（（\mathcal{T}（T），\mathcal{H}（T），\mathcal{E}（c））|_{T=0}=（0.1，0.1，0.1）\）在这种情况下，模型表现出混沌吸引子行为。此外，通过施加初始条件\（（mathcal{T}（T），mathcal}H}（T），mathcal{E}（c））|_{T=0}=（0.3，0.3，0.3））和\（β{12}=0.745）该模型显示了图中的极限环行为11。此外，对于\（\mathcal｛T｝（0）=0.3517\）,\（数学{H}（0）=0.1115）,\（数学{E}（0）=0.4951）、和\（β{12}=0.920），图12确定了解中的周期轨道。

图10

求解模拟(60)使用(65)以及\（（\mathcal{T}（0），\mathcal{H}（1），\mathcal{E}（2））=（0.1,0.1,0.1）\）

图11

求解模拟(60)使用(65)以及\（\mathcal｛T｝（0），\mathcal｛H｝（0），\mathcal｛E｝（0））=（0.3,0.3,0.3）\）和\（β{12}=0.745）

图12

求解模拟(60)使用(65)以及\（（mathcal{T}（0），mathcal}H}（1），mathcal{E}（2））=（0.3517，0.1115，0.4951））和\（β{12}=0.92）

6.3指数衰减律分形分数导数

在本部分中，我们替换了(4)通过具有指数衰减定律的分形分数导数：

$$\开始{聚集}{}_{0}^{\mathsf{FF-E}}\mathcal{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}，\tau}{\mathcal{t}}}\马塔尔{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}，\tau}{\mathcal{H}}{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}，\tau}{\mathcal{E}}$$

(69)

其中函数具有指数衰减律的分形分数导数\（{\phi}（t）\）定义为[11]

$${}^{mathsf{FF-E}}_{0}{\mathcal{I}}_}^{\boldsymbol{\alpha}}，\psi}{\phi}\eta}）\exp\biggl[-\frac{{\boldsymbol{\alpha}}{n-{\bolssymbol}\alpha{}}（t-{\eta{）\biggr]d{\eta}，\quad n-1<{\bodsymbol{\alfa}}，\psi\le n\in\mathbb{n}$$

(70)

和\（\frac{d}{dt^{psi}}\phi（u）\）在中引入(62).

将Caputo–Fabrizio积分应用于等式(69)，我们获得

$$\begin{collected}{\mathcal{T}}（T）={\matchcal{T}{（0）+\frac{\gamma_{1}}{\mathsf{M}（{\boldsymbol{\alpha}}）}\mathcal{F}（F）_{1} \bigl（t，\mathcal{t}（t{F}（F）_{1} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}），\mathcal{H}{F}（F）_{2} \bigl（t，\mathcal{t}（t{F}（F）_{2} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}），\mathcal{H}{F}（F）_{3} \bigl（t，\mathcal{t}（t{F}（F）_{3} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}。\结束{聚集}$$

(71)

设置\（t=t{n+1}\）在(71)，基于中提出的方案[11]，我们得到

$$\开始{聚集}{\mathcal{T}（T）_{n+1}}={\mathcal{T}}（0）+\frac{\tau}{\mathsf{M}（{\boldsymbol{\alpha}）}\mathcal{F}（F）_{1} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）+\frac{\tau{\boldsymbol{\alpha}}}{\mathsf{M}（{\bolssymbol}\alpha{}）}\int_{0}^{t_{n+1}}\mathcal{F}（F）_{1} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}{高}_{n+1}}={\mathcal{H}}（0）+\frac{\tau}{\mathsf{M}（{\boldsymbol{\alpha}）}\mathcal{F}（F）_{2} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）+\frac{\tau{\boldsymbol{\alpha}}}{\mathsf{M}（{\bolssymbol}\alpha{}）}\int_{0}^{t_{n+1}}\mathcal{F}（F）_{2} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}{电子}_{n+1}}={\mathcal{E}}（0）+\frac{\tau}{\mathsf{M}（{\boldsymbol{\alpha}）}\mathcal{F}（F）_{3} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）+\frac{\tau{\boldsymbol{\alpha}}}{\mathsf{M}（{\bolssymbol}\alpha{}）}\int_{0}^{t_{n+1}}\mathcal{F}（F）_{3} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}。\结束{聚集}$$

(72)

计算两者之间的差异\（{\mathcal{T}（T）_{n+1}}\）和\（{\mathcal{T}（T）_{n}}\）产量

$$\开始{聚集}{\mathcal{T}（T）_｛n+1｝｝-｛\mathcal{T}（T）_{n} }=\frac{\tau}{\mathsf{M}（{\boldsymbol{\alpha}}）}\bigl[\mathcal{F}（F）_{1} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）-\mathcal{F}（F）_{1} （t{n-1}，\mathcal{T}（T）_{n-1}，\mathcal{高}_{n-1}，\mathcal{电子}_{n-1}）\bigr]\\hphantom{{\mathcal{T}（T）_｛n+1｝｝-｛\mathcal{T}（T）_{n} }=}{}+\frac{\tau{\boldsymbol{\alpha}}{\mathsf{M}{F}（F）_{1} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}{高}_{n+1}}-{\马塔尔{高}_{n} }=\frac{\tau}{\mathsf{M}（{\boldsymbol{\alpha}}）}\bigl[\mathcal{F}（F）_{2} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）-\mathcal{F}（F）_{2} （t{n-1}，\mathcal{T}（T）_{n-1}，\mathcal{高}_{n-1}，\mathcal{电子}_{n-1}）\bigr]\\hphantom{{\mathcal{高}_{n+1}}-{\马塔尔{高}_{n} }=}{}+\frac{\tau{\boldsymbol{\alpha}}{\mathsf{M}{F}（F）_{2} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}{电子}_{n+1}}-{\马塔尔{电子}_{n} }=\frac{\tau}{\mathsf{M}（{\boldsymbol{\alpha}}）}\bigl[\mathcal{F}（F）_{3} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）-\mathcal{F}（F）_{3} （t{n-1}，\mathcal{T}（T）_{n-1}，\mathcal{高}_{n-1}，\mathcal{电子}_{n-1}）\bigr]\\hphantom{{\mathcal{电子}_{n+1}}-{\马塔尔{电子}_{n} }=}{}+\frac{\tau{\boldsymbol{\alpha}}{\mathsf{M}{F}（F）_{3} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}。\结束{聚集}$$

(73)

因此，可以使用以下迭代程序确定问题的近似解：

$$\开始{聚集}{\mathcal{T}（T）_{n+1}}={\mathcal{T}（T）_{n} }+\frac{\tau}{\mathsf{M}（{\boldsymbol{\alpha}}）}\bigl[\mathcal{F}（F）_{1} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）-\mathcal{F}（F）_{1} （t{n-1}，\mathcal{T}（T）_{n-1}，\mathcal{高}_{n-1}，\mathcal{电子}_{n-1}）\bigr]\\hphantom{{\mathcal{T}（T）_{n+1}}=}{}+\frac{\tau{\boldsymbol{\alpha}}}{\mathsf{M}（{\bolsymbol{\alfa}）}\biggl[\frac}3\Delta}{2}\mathcal{F}（F）_{1} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）-\压裂{\Delta}{2}\mathcal{F}（F）_{1} （t{n-1}，x{n-1{，mathcal{高}_{n-1}，\mathcal{电子}_{n-1}）\biggr]，\\{mathcal{高}_{n+1}}={\mathcal{高}_{n} }+\frac{\tau}{\mathsf{M}（{\boldsymbol{\alpha}}）}\bigl[\mathcal{F}（F）_{2} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）-\mathcal{F}（F）_{2} （t{n-1}，\mathcal{T}（T）_{n-1}，\mathcal{高}_{n-1}，\mathcal{电子}_{n-1}）\bigr]\\hphantom{{\mathcal{高}_{n+1}}=}{}+\frac{\tau{\boldsymbol{\alpha}}}{\mathsf{M}（{\bolsymbol{\alfa}）}\biggl[\frac}3\Delta}{2}\mathcal{F}（F）_{2} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）-\压裂{\Delta}{2}\mathcal{F}（F）_{2} （t{n-1}，\mathcal{T}（T）_{n-1}，y{n-1{，\mathcal{电子}_{n-1}）\biggr]，\\{mathcal{电子}_{n+1}}={\mathcal{电子}_{n} }+\frac{\tau}{\mathsf{M}（{\boldsymbol{\alpha}}）}\bigl[\mathcal{F}（F）_{3} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）-\mathcal{F}（F）_{3} （t{n-1}，\mathcal{T}（T）_{n-1}，\mathcal{高}_{n-1}，\mathcal{电子}_{n-1}）\bigr]\\hphantom{{\mathcal{电子}_{n+1}}=}{}+\frac{\tau{\boldsymbol{\alpha}}}{\mathsf{M}（{\bolsymbol{\alfa}）}\biggl[\frac}3\Delta}{2}\mathcal{F}（F）_{3} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）-\压裂{\Delta}{2}\mathcal{F}（F）_{3} （t{n-1}，\mathcal{T}（T）_{n-1}，\mathcal{高}_{n-1}，\mathcal{电子}_{n-1}）\biggr]，\end{聚集}$$

(74)

哪里\（\mathcal{F}（F）_{j} \）,\（泽塔=1,2,3\），在中给出(63).

6.4数值模拟

数字13–15演示模型中状态变量的变化(69)when方案(74)应用于不同的值\（tau\ in（0,1]\）和\（α=0.95\）在本次模拟中，我们考虑了模型中的以下值：\（β{12}=1\）,\（β{13}=2.5）,\（k{2}=0.6）,\（β{21}=1.5\）,\（k{3}=4.5\）,\（s{3}=1\）,\（a{31}=0.2）、和\（d_{3}=0.5\）。在我们的数值模拟中，\（t{\mathrm{final}}=500\）和\（hbar=0.001）。在图中13，我们采取\（（\mathcal{T}（T），\mathcal{H}（T），\mathcal{E}（c））|_{T=0}=（0.1，0.1，0.1）\）在这种情况下，模型表现出混沌吸引子行为。此外，对于\（（mathcal{T}（T），mathcal}H}（T），mathcal{E}（c））|_{T=0}=（0.3，0.3，0.3））和\（β{12}=0.745），该模型显示了图中的极限环行为14此外\（\mathcal｛T｝（0）=0.3517\）,\（数学{H}（0）=0.1115）,\（数学{E}（0）=0.4951）、和\（β{12}=0.920），图15确定了解中的周期轨道。

图13

求解模拟(69)使用(74)以及\（（\mathcal{T}（0），\mathcal{H}（1），\mathcal{E}（2））=（0.1,0.1,0.1）\）

图14

求解模拟(69)使用(74)以及\（\mathcal｛T｝（0），\mathcal｛H｝（0），\mathcal｛E｝（0））=（0.3,0.3,0.3）\）和\（β{12}=0.745）

图15

求解模拟(69)使用(74)以及\（（mathcal{T}（0），mathcal}H}（1），mathcal{E}（2））=（0.3517，0.1115，0.4951））和\（β{12}=0.92）

6.5Mittag-Lefler定律分形分数导数

在本小节中，我们在(4). 所以，我们实现了

$$\begin｛collected｝｛｝_｛0｝^｛\mathsf｛FF-ABC｝｝\mathcal{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}，\tau}{\mathcal{t}}}\马塔尔{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}，\tau}{\mathcal{H}}{D}（D）_{t} ^{{\boldsymbol{\alpha}}，\tau}{\mathcal{E}}$$

(75)

其中函数的Mittag-Leffer定律的分形分数导数\（{\phi}（t）\）定义为[11]

$$\开始{aligned}&{0}^{\mathsf{FF-ABC}}\mathcal{D}（D）_{t} ^{{黑体符号{\alpha}}，\tau}{\phi}（t）\\&\quad=\frac{\mathsf{B}（{\boldsymbol{\alfa}}）}{n-{{\bolsymbol{\alba}}}}\frac}{d^{\psi}}\int_{0}^{t}{\ph}\alpha}}{n-{\boldsymbol{\alpha{}}（t-{\eta}）^{\bolsymbol{\alfa}}\biggr]d{\eta}，四元n-1<{\boldsymbol{\alpha}}，\psi\len\in\mathbb{n}，\ end{aligned}$$

(76)

和\（\frac{d}{dt^{psi}}\phi（u）\）在中引入(62).

将Atangana–Baleanu积分应用于(75)，我们获得

$$开始{聚集}{\mathcal{T}}（T）={\matchcal{T}{（0）+\frac{\taut^{\tau-1}（1-{\boldsymbol{\alpha}}）}{\Gamma{F}（F）_{1} \bigl（t，\mathcal{t}（t ^{t}\delta^{\tau-1}\mathcal{F}（F）_{1} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}），\mathcal{H}}（1-{\boldsymbol{\alpha}}）}{\Gamma（{\bolssymbol}\alpha{}）{\mathcal{F}（F）_{2} \bigl（t，\mathcal｛t｝（t），\mathcal｛H｝（t），\mathcal｛E｝（t），x_｛4｝（t）\bigr）\\hphantom｛\mathcal｛H｝｝（t）=｝{F}（F）_{2} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}），\mathcal{H}}（1-{\boldsymbol{\alpha}}）}{\Gamma（{\bolssymbol}\alpha{}）{\mathcal{F}（F）_{3} \bigl（t，\mathcal{t}（t ^{t}\delta^{\tau-1}\mathcal{F}（F）_{3} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}），\mathcal{H}（}\ta}），\mathcal{E}。\结束{聚集}$$

(77)

根据中提出的方案[11]，我们得到

$$\开始｛对齐｝&\开始｛对齐｝｛\mathcal{T}（T）_{n+1}}&={\mathcal{T}（T）_{0}}+\frac{\tau{t{n}^{alpha-1}}（1-{\boldsymbol{\alpha}}）}{\Gamma{F}（F）_{1} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）\\\\quad｛｝+\frac｛\tau｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｛\Gamma（｛\boldsymbol｛\alpha｝）\mathsf｛B｝（｛\boldsymbol｛\alpha｝）｝\sum_｛\zeta=0｝^｛n｝\ int _｛t_｛\zeta｝｝^｛t_｛j+1｝｝\ delta ^｛\tau-1｝\mathcal{F}（F）_{1} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}），\mathcal{H}{高}_{n+1}}&={\mathcal{高}_{0}}+\frac{\tau{t{n}^{alpha-1}}（1-{\boldsymbol{\alpha}}）}{\Gamma{F}（F）_{2} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）\\\\quad｛｝+\frac｛\tau｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｛\Gamma（｛\boldsymbol｛\alpha｝）\mathsf｛B｝（｛\boldsymbol｛\alpha｝）｝\sum_｛\zeta=0｝^｛n｝\ int _｛t_｛\zeta｝｝^｛t_｛j+1｝｝\ delta ^｛\tau-1｝\mathcal{F}（F）_{2} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}），\mathcal{H}{电子}_{n+1}}&={\mathcal{电子}_{0}}+\frac{\tau{t{n}^{alpha-1}}（1-{\boldsymbol{\alpha}}）}{\Gamma{F}（F）_{3} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）\\\\quad｛｝+\frac｛\tau｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｛\Gamma（｛\boldsymbol｛\alpha｝）\mathsf｛B｝（｛\boldsymbol｛\alpha｝）｝\sum_｛\zeta=0｝^｛n｝\ int _｛t_｛\zeta｝｝^｛t_｛j+1｝｝\ delta ^｛\tau-1｝\mathcal{F}（F）_{3} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}），\mathcal{H}（}\ta}），\mathcal{E}。\end{aligned}\end{alinged}$$

(78)

现在使用拉格朗日多项式分段插值公式(64)，我们获得

$$\开始{aligned}&\mathcal{T}（T）_{n+1}=\mathcal{T}（T）_{0}+\frac{\tau{t{n}^{\alpha-1}}{F}（F）_{1} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）\\&\hphantom{\mathcal{T}（T）_{n+1}=}{}+\frac{\tau\hbar^{{\boldsymbol{\alpha}}}{\Gamma{F}（F）_{1} （t_｛\zeta｝，\mathcal）{T}（T）_{\zeta}，\mathcal{高}_{\zeta}，\mathcal{E}_{\zeta}）\bigl[（-\zeta+1+n）^{\boldsymbol{\alpha}}（-\zeta+n+{\bold symbol}\alpha}+2）\\&\hphantom{\mathcal{T}（T）_{n+1}=}{}-（-\zeta+n）^{{\boldsymbol{\alpha}}}（-\zeta+n+2{\bolssymbol}\alpha}+2）\bigr]\\&\hphantom{\mathcal{T}（T）_{n+1}=}{}-{t{\zeta-1}^{\alpha-1}}\mathcal{F}（F）_{1} （t{\zeta-1}，\mathcal{T}（T）_{\zeta-1}，\mathcal{高}_｛\zeta-1｝，\mathcal｛E｝_｛\zeta-1｝）\bigl[（-\zeta+1+n）^｛\boldsymbol｛\alpha｝+1｝-（-\zeta+n）^｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝｝（-\zeta+n+｛\boldsymbol｛\alpha｝｝+1）\bigr]\bigr]，\\\\begin｛collected｝\mathcal{高}_{n+1}=\mathcal{高}_{0}+\frac{tau{t{n}^{alpha-1}}（1-{boldsymbol{alpha}}）}{\Gamma（{boldsymbol{\alpha}）{\mathcal{F}（F）_{2} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）\\\hphantom{\mathcal{高}_{n+1}=}{}+\frac{\tau\hbar^{{\boldsymbol{\alpha}}}{\Gamma{F}（F）_{2} （t_{\泽塔}，\mathcal{T}（T）_{\zeta}，\mathcal{高}_｛\zeta｝，\mathcal｛E｝_｛\zeta｝）\bigl[（-\zeta+1+n）^｛\boldsymbol｛\alpha｝｝｝（-\zeta+n+｛\boldsymbol｛\alpha｝｝+2）\\\\hphantom｛\mathcal{高}_{n+1}=}{}-（-\zeta+n）^{{\boldsymbol{\alpha}}}（-\zeta+n+2{\bolssymbol}\alpha}+2）\bigr]\\hphantom{\mathcal{高}_{n+1}=}{}-{t{\zeta-1}^{\alpha-1}}\mathcal{F}（F）_{2} （t{\zeta-1}，\mathcal{T}（T）_{\zeta-1}，\mathcal{H}_{\zeta-1}、\mathcal{E}_{\zeta-1-}）\bigl[（-\zeta+1+n）^{\boldsymbol{\alpha}}+1}-（-\zeta+n）铝{电子}_{n+1}=\mathcal{电子}_{0}+\frac{tau{t{n}^{alpha-1}}（1-{boldsymbol{alpha}}）}{\Gamma（{boldsymbol{\alpha}）{\mathcal{F}（F）_{3} （t{n}，\mathcal{T}（T）_{n} ，\mathcal{高}_{n} ，\mathcal{电子}_{n} ）\\\hphantom{\mathcal{电子}_{n+1}=}{}+\frac{\tau\hbar^{{\boldsymbol{\alpha}}}{\Gamma{F}（F）_{3} （t_{\泽塔}，\mathcal{T}（T）_{\zeta}，\mathcal{高}_{\zeta}，\mathcal{E}_{\zeta}）\bigl[（-\zeta+1+n）^{\boldsymbol{\alpha}}（-\zeta+n+{\bold symbol}\alpha}+2）\\hphantom{\mathcal{电子}_{n+1}=}{}-（-\zeta+n）^{{\boldsymbol{\alpha}}}（-\zeta+n+2{\bolssymbol}\alpha}+2）\bigr]\\hphantom{\mathcal{电子}_{n+1}=}{}-{t{\zeta-1}^{\alpha-1}}\mathcal{F}（F）_{3} （t{\zeta-1}，\mathcal{T}（T）_{\zeta-1}，\mathcal{高}_{\zeta-1}，\mathcal{E}_{\zeta-1}）\bigl[（-\zeta+1+n）^{\boldsymbol{\alpha}}+1}-（-\zeta+n）#^{\bloldsymbol{\alfa}}}（-\ zeta+n+{\bold symbol}\alpha{}+1）\bigr]\bigr]，\end{聚集}\end{aligned}$$

(79)

哪里

$$\开始{聚集}\mathcal{F}（F）_{1} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}），\mathcal{H}\beta_{13}\mathcal{T}（{\eta}）\mathcal{E}（}\eta{），\\mathcal{F}（F）_{2} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}），\mathcal{H}}）\mathcal{H}（{\eta}）\ bigr]，\\mathcal{F}（F）_{3} \bigl（{\eta}，\mathcal{T}（{\ta}），\mathcal{H}T}（{\eta}）\mathcal{E}。\结束{聚集}$$

(80)

6.6数值模拟

数字16–18演示模型中状态变量的变化(75)when方案(79)用于不同的值\（tau\ in（0,1]\）和\（α=0.95\）在本次模拟中，我们考虑了模型中的以下值：\（β{12}=1\）,\（β{13}=2.5）,\（k{2}=0.6）,\（β{21}=1.5\）,\（k{3}=4.5\）,\（s{3}=1\）,\（a{31}=0.2）、和\（d_{3}=0.5\）。在我们的数值模拟中，\（t{\mathrm{final}}=500\）和\（hbar=0.001）。在图中16，我们采取\（（\mathcal{T}（T），\mathcal{H}（T），\mathcal{E}（c））|_{T=0}=（0.1，0.1，0.1）\）在这种情况下，模型表现出混沌吸引子行为。此外，通过考虑\（（mathcal{T}（T），mathcal}H}（T），mathcal{E}（c））|_{T=0}=（0.3，0.3，0.3））和\（β{12}=0.745）该模型显示了图中的极限环行为17，用于\（\mathcal｛T｝（0）=0.3517\）,\（数学{H}（0）=0.1115）,\（数学{E}（0）=0.4951）、和\（β{12}=0.920），我们在图中所示的解中得到了周期轨道轨迹18.

图16

求解模拟(75)使用(79)以及\（（\mathcal{T}（0），\mathcal{H}（1），\mathcal{E}（2））=（0.1,0.1,0.1）\）

图17

求解模拟(75)使用(79)以及\（\mathcal｛T｝（0），\mathcal｛H｝（0），\mathcal｛E｝（0））=（0.3,0.3,0.3）\）和\（β{12}=0.745）

图18

求解模拟(75)使用(79)以及\（（mathcal{T}（0），mathcal}H}（1），mathcal{E}（2））=（0.3517，0.1115，0.4951））和\（β{12}=0.92）

在图中19和20，我们还研究了当两个参数\（β{12}）和\（c{3}\）分别进行更改。在这两幅图中，我们可以看到，每个参数的变化都会导致变量行为发生一些有意义和有建设性的变化。作为一个生物学结论，我们可以指出这样一个事实，即只有当效应细胞的募集率大于癌细胞的失活率时，才能实现模型的稳定性。换句话说，如果免疫系统无法检测和攻击癌细胞，那么必须使用有效的治疗来控制肿瘤的生长。

图19

求解模拟(43)使用(59)以及\（（mathcal{T}（0），mathcal}H}（O），mathcal{E}（U））=（0.3，0.7，0.7））和\（α=0.98）对于不同的\（β{12}）

图20

求解模拟(43)使用(59)以及\（（mathcal{T}（0），mathcal}H}（O），mathcal{E}（U））=（0.3，0.7，0.7））和\（α=0.98）对于不同的\（c{3}\）

7结论

分数阶微分学中高效数值方法的最新进展对研究人员模拟实际现象有很大帮助。也已经证明，整数阶微分学在某些情况下无法描述某些现象的行为或面临基本问题。在这篇论文中，我们研究了肿瘤免疫模型的动力学，该模型是由于肿瘤细胞的不可预测生长，由一种吸引人的非线性微分方程描述的。这个模型的重要性导致了研究这个问题的许多不同方法。我们在论文中的研究明确了肿瘤细胞如何与免疫系统相互作用。本文与其他关于该系统的论文的主要区别在于，我们对系统结构中的导数使用了新的分数和分形分数定义。2017年，Atangana及其合作者引入了一些新的差异化概念。它们结合了分形导数和分数微分的思想，考虑了记忆、分形效应和非局部性。该模型考虑了幂律、衰退记忆和交叉等过程。值得注意的是，本文中使用的数值方法和分析与[24]. 事实上，这项工作可以被视为对本文内容的补充。这些数学算法的基础是应用分数导数和一阶插值的一些基本公理。研究了模型解的存在唯一性。本文中获得的有趣吸引子意味着这些新的分数和分数分数算子可以比分数导数描述这些系统行为的新方面。其中一些特征无法用传统的整数阶算子来描述。通过数值模拟，我们通过在模型中选取一定的参数和合适的初始条件，证实了模型的混沌动力学。这些结果表明，分数阶导数所考虑的值对问题的动力学行为有显著影响。分形分数算子允许我们描述幂律、衰退记忆和交叉行为的自相似问题。此外，结果中的混沌行为与问题的固有性质完全一致。这些系统被认为是复杂的现实世界问题，无法用经典或分数微分算子来表示。数值模拟证实分数阶的变化具有记忆特性和非常奇怪的复杂动力学行为。本文的结果表明，可以使用本文所用的数值方法描述和研究该领域的其他类似问题。