关于Hermite–Hadamard型不等式\（\mathcal{T}\）-凸区间值函数

摘要

在本文中，我们介绍了地图的概念\（\mathcal{T}\）和间隔值\（\mathcal{T}\）-凸的，并给出一些基本性质。此外，我们在以下情况下推广了分数阶Hermite–Hadamard不等式\（\mathcal{T}\）-区间值函数的凸和Ostrowski型不等式。给出了几个例子来说明结果。

1介绍

为了减少数学计算中的误差，首次提出了区间分析法。此外，它还广泛应用于工程、经济、统计等许多领域。特别是在工程领域，该动力学模型可以解决许多经常涉及多个不确定参数或区间系数的动力学问题。摩尔写的专著[13]是对该理论相关研究的第一次系统回顾。2009年，Stefanini引入了g的概念H（H）-差和gH（H）-中的导数[18]它解决了两个区间之间的减法问题。自那时以来，区间分析理论不断发展。2015年，卢普莱斯库在[11]. 2019年，查尔科·卡诺处理了g的代数H（H）-中的可微区间值函数[5]. 区间分析、区间微分方程、区间优化等相关问题的研究越来越受到重视。

凸性的重要性反映在数学的各个领域。在过去的几年里，经典凸被推广到了其他不同的类型，例如调和凸，小时-凸面，第页-凸等。2017年，Costa在[6]. 基于Costa的工作，许多与实函数有关的凸性已逐渐推广到区间值函数的情况。同时，一些不等式也得到了扩展，如Hermite–Hadamard不等式、Gauss不等式、Ostrowski不等式（有关详细信息，请参见[7,10,12,14–17,19]). 基于Lupulescu的工作，2019年，Budak和Tunç提出了区间值函数的右侧Riemann–Liouville分数积分，并研究了分数Hermite–Hadamard不等式。在2020年，德拉戈米尔对与不同复合函数相关的实函数的凸性给出了一个新的推广[9]. 受上述工作的启发，我们定义了一个地图\（\mathcal{T}\）并介绍\（\mathcal{T}\）-本文中的凸区间值函数。给出了一些重要的性质。在此之后，我们给出了Hermite–Hadamard不等式、分数阶Hermite-Hadamard-不等式和Ostrowski型不等式的一些新的推广。此外，地图的概念\（\mathcal{T}\）和\（\mathcal{T}\）-凸函数可以作为模糊值函数、区间优化和区间值微分方程的有力工具。

在Sect。 2，我们提供了区间分析的基本理论和一些性质。的定义\（\mathcal{T}\）和\（\mathcal{T}\）-凸形是在第节中提出的。 三在此基础上，第节给出了Hermite–Hadamard型不等式、分数阶Hermite-Hadamard-型不等式和分数阶Ostrowski型不等式的表述。 三和4.

2前期工作

首先，让\（\mathcal{克}_{c} =\{I=[a，b]\mid a，b\in\mathbb{R}，a\leq b\}\）表示属于的所有非空间隔的集合\（\mathbb{R}\）.任何间隔的长度\（I=[a，b]\in\mathcal{克}_{c} \）可以由定义\（ell（I）：=b-a\）.

对于两个间隔\（A=[A^{-}，A^{+}]\）和B\（=[b^{-}，b^{+}]\）属于\（\mathcal{克}_{c} \）,\（A\子条款B\）当且仅当\（a ^｛-｝\ geq b ^｛-｝\）和\（a ^{+}\leq b ^{+{）。两个区间之间代数运算的一些基本性质可以在[13]. 现在我们给出以下重要属性。

定义2.1

([18])

对于任何\（甲、乙类{克}_{c} \），gH（H）-之间的差异A类,B类可以定义如下：

$$A\ominus_{g}B=\textstyle\begin{cases}{[A^{-}-b^{-}，a^{+}-b^{+{]，}&\text{if}\ell（a）\geq\ell^{-}-b^{-}]，}&\text{if}\ell（A）<\ell。\结束{cases}$$

(2.1)

特别是，如果\（B=B\in\mathbb{R}\）是一个常数，那么

$$A\ominus_{g}B=\bigl[A^{-}-B，A^{+}-B\bigr]$$

g的更多属性H（H）-不同之处在于[18].

豪斯多夫-庞培距离\（\mathcal{H}:\mathcal{克}_{c} \times\mathcal时间{克}_{c} \右箭头[0，\infty）\）之间A类和B类由定义\（\mathcal{H}（A，B）=最大值^{-}-b^{-}\转换，\转换a^{+}-b^{+{}\转换\}\）.然后\（\数学｛K｝_{c} ，\mathcal{H}）\）是一个完整且可分离的度量空间（请参见[8]).

基于此，地图\（\|\cdot\|\）:\（\mathcal{克}_{c} \右箭头[0，\infty）\）由定义\（\|A\|\）:=\（\max\{|a^{-}|，|a^}+}|\}=\mathcal{H}（a，\{0\}）\）是上的规范\（\mathcal{克}_{c} \）因此，\（（\mathcal）{克}_{c} ，\|\cdot\|）\）是赋范拟线性空间（参见[11]).

在本文中，我们使用符号F类和G公司以指代区间值函数。让我对于任何\（F:I\右箭头\mathcal{克}_{c} \）这样的话\（F=[F^{-}，F^{+}]\），我们这么说F类是ℓ-增加（或ℓ-减少）打开我如果\（\ell（F）:I\rightarrow[0，\infty）\）正在上增加（或减少）我.如果\（\ ell（F）\）是单调的我然后我们说F类是ℓ-单调的\（[a，b]\）.

定义2.2

([11])

让\（F:I\右箭头\mathcal{克}_{c} \）.F类据说在\（I中的x_{0}\）如果

$$\lim_{x\rightarrow-x_{0}}\bigl\VertF（x）\ominus_{g}F（x_{0}）\bigr\Vert=0$$

(2.2)

我们表示为\（C（I，\mathcal{克}_{c} ）\）上所有连续区间值函数的集合\（[a，b]\）.然后\（C（I，\mathcal{克}_{c} ）\）是相对于范数的完全赋范空间\（F\|{c}:=I}中的max_{x\|F（x）\|\）.

定义2.3

([18])

让\（F:I\右箭头\mathcal{克}_{c} \），我们这么说\（F（x）\）是gH（H）-差速器处于\（I中的x_{0}\）如果存在\（\mathcal{D}\in\mathcal{克}_{c} \）这样的话

$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{F（x_{0}+h）\ominus_{g}F（x{0}）}{h}=\mathcal{D}$$

(2.3)

\（\mathcal{D}\）以这种方式定义的是用符号表示的\（F^{\素数}（x_{0}）\）、和\（F^｛\prime｝（x_｛0｝）\）据说是gH（H）-的导数\（F（x）\）在\（x{0}\）.

有关g的更多详细信息H（H）-导数，请参见[5]. 让\（F:I\右箭头\mathcal{克}_{c} \）这样的话\（F=[F^{-}，F^{+}]\）我们这么说F类是\（（i）\）-克H（H）-可在上微分我如果F类是ℓ-在上增加我和\（F^{\prime}=[（F^{-}）^{\prime}，（F^}+}）同样，我们也这么说F类是\（二）-克H（H）-可在上微分我如果F类是ℓ-在上减少我和\（F^{\prime}=[（F^{+}）^{\prime}，（F^}-}）.

区间值函数Lebesgue积分的引入可以在[1]和[2]. 对于\（1），让\（L^{p}（I，\mathcal{克}_{c} ）\）是一套第页-上的次Lebesgue可积区间值函数我微积分基本定理的下一个陈述可以在[11].

定理2.4

让 \（F:[s，t]\rightarrow\mathcal{克}_{c} \）是克H（H）-可在上微分 \（[s，t]\）.如果 \（L^{1}中的F^{\prime}（[s，t]，\mathcal{克}_{c} ）\）和 F类 是 ℓ-单调 \（[s，t]\）,然后

$$F（x）\ominus_{g}F（s）=\int^｛x｝_{s} F^{\prime}（\tau）\，d\tau，\quad x\ in[s，t]$$

(2.4)

通过区间值Lebesgue积分的基本性质很容易得到以下结果，因此我们省略了证明。

推论2.5

让 \（F，G:[s，t]\rightarrow\mathcal{克}_{c} \）.如果 \L^{1}中的（F，G（[s，t]，mathcal{克}_{c} ）\）,然后

$$\biggl\Vert\int_{s}^{t}F\ominus_{g}\int_{s}^{t}g\biggr\Vert\leq\int_}s}^}\t}\Vert F\omnius_{g}g\ Vert$$

(2.5)

三 \（\mathcal{T}\）-区间值函数的凸

在本节中，我们定义映射\（\数学｛T｝\）并介绍\（\mathcal{T}\）-与经典凸相比，可被视为“弱”凸的意义。让\（I\子集\mathbb{R}\）是任意有限区间。

考虑一下地图\（\mathcal{T}:\mathcal{克}_{c} \rightarrow\mathcal（右箭头）{克}_{c} \）令人满意的\（\mathcal｛T｝（A）\substeq A\）,\（对于所有A\ in\ mathcal{克}_{c} \）.我们表示\（\mathfrak{T}\）根据所有这些地图的系列，即。，\（\mathfrak{T}=\{\mathcal{T}\mid\mathcal}:\mathcal{克}_{c} \rightarrow\mathcal（右箭头）{克}_{c} \text{和}\mathcal{T}（A）\subseteq A，对于mathcal中的所有A{克}_{c} \}\）.

我们定义了部分订单关系“⪯“协议双方\（\mathcal{T}（T）_{1} ，\mathcal{T}（T）_{2} \in\mathfrak{T}\）这样，对所有人来说\（在mathcal中{克}_{c} \）,

$$\数学{T}（T）_{1} \precq\mathcal（程序）{T}（T）_{2} \quad\text{当且仅当}\quad\\mathcal{T}（T）_{1} （A）\supseteq\mathcal{T}（T）_{2} （A）$$

现在我们给出了区间值函数凸性的一个新的推广。

定义3.1

让\（\mathcal｛T｝\ in \mathfrak｛T｝\）和\（F:I\右箭头\数学{克}_{c} \）我们这么说F类是\（\mathcal{T}\）-凸如果，对于任何\（0\leq\theta\leq 1\）和\（I中的x，y\）,

$$\theta\mathcal{T}\bigl（F（x）\bigr）+（1-\theta）\mathcal{T}\ bigl$$

(3.1)

对于任何\（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\），我们表示

$$CX_{\mathcal{T}}（I，\mathcal{克}_{c} ）=\{F:I\rightarrow\mathcal{克}_{c} ，F\text{is}\mathcal{T}\text{-凸}\}$$

备注3.2

对于这个案例\（\mathcal{T}=\mathca{ID}\in\mathfrak{T}\）是身份图，即。，\（\mathcal{ID}（A）=A\）对于任何\（在mathcal中{克}_{c} \），然后我们得到了中区间值函数的经典凸[6]，我们表示

$$CX（我，\mathcal｛K｝_{c} ）=\{F:I\rightarrow\mathcal{克}_{c} ，F\text{是凸的}\}$$

例3.3

我们认为\（\mathcal{T}\）由定义

$$\mathcal{T}（A）=\textstyle\begin{cases}{[e^{A^{-}}，A^{+}]}&\text{if}e^{A-}}<A^{+/}，\\{A}&\text{if}e^{A^{-{}}\geqa^{++}，\end{cases{$$

对于任何\（A=[A^{-}，A^{+}]\在mathcal中{克}_{c} \）显然，\（\mathcal｛T｝\ in \mathfrak｛T｝\）和\（\数学｛T｝\）定义明确。接下来，让我们\（传真：[1,2]\rightarrow\mathcal{克}_{c} \）由提供\（F（x）=[ln（x^{2}），x+2]\）。我们可以验证\（F（x）\）是\（\mathcal{T}\）-凸但决不凸$[1,2]$.

让\（F:I\右箭头\mathcal{克}_{c} \）和\（I中的a、b）具有\（a<b），我们这么说F类是凸的，如果\（θF（a）+（1-θ）F（b）对于任何\（[0,1]\中的θ）.左侧部分\（θF（a）+（1-θ）F（b））可以被视为\（F（x）\）在\（[a，b]\）（参见图1). 实际上，任何凸形\（F（x）\）可以控制在我，表示长度\（F（x）\）不可能总是在增加。因此，凸区间值函数在区间优化、区间数据处理等领域具有很大的优势。

图1

凸区间值函数\（F=[F^{-}，F^{+}]\）。红色虚线表示\（θF（a）+（1-θ）F（b））

对于任何\（F=[F^{-}，F^{+}]\）是凸的当且仅当\（f ^｛-｝\）是凸的，并且\（f^{+}\）是凹面的（参见[6]). 所以，我们可以找到一张合适的地图\（\mathcal{T}\）作为任何F类具有良好的属性，但在经典意义上从不凸，并处理这些F类作为“凸”函数。

我们现在给出该映射的一些基本属性\（\mathcal{T}\）.

定理3.4

让 \（\mathcal{T}（T）_{1} ，\mathcal{T}（T）_{2} \in\mathfrak{T}\）,然后 \（\mathcal{T}（T）_{1} \precq\mathcal（程序）{T}（T）_{2}\)当且仅当

$$CX_{\mathcal{T}（T）_{1} }（I，\数学{克}_{c} ）\substeq CX_{\mathcal{T}（T）_{2} }（I，\mathcal）{克}_{c} ）$$

此外,

$$CX（我，\mathcal{克}_{c} ）\substeq CX_{mathcal{T}}（I，\mathcal{克}_{c} ）\quad\textit｛for any｝\mathcal｛T｝\in\mathfrak｛T｝$$

证明

假设\（F\在CX_｛\mathcal中{T}（T）_{1} }（I，\mathcal）{克}_{c} ）\）.自\（\mathcal{T}（T）_{1} \precq\mathcal（程序）{T}（T）_{2}\)，对于任何\（在mathcal中{克}_{c} \），我们有\（\mathcal{T}（T）_{1} （A）\supseteq\mathcal{T}（T）_{2} （A）\）.然后

$$\开始{对齐}F\bigl（\theta x+（1-\theta）y\bigr）&\supseteq\theta\mathcal{T}（T）_{1} \bigl（F（x）\bigr）+（1-\θ）\mathcal{T}（T）_{1} \bigl（F（y）\bigr）\\&\supseteq\theta\mathcal{T}（T）_{2} \bigl（F（x）\bigr）+（1-\ttheta）\mathcal{T}（T）_{2} \bigl（F（y）\bigr），\end{对齐}$$

这意味着\（CX_{mathcal中的F\{T}（T）_{2} }（I，\mathcal）{克}_{c} ）\）.

相反，对于任何\（CX_{mathcal中的F\{T}（T）_{1} }（I，\数学｛K｝_{c} ）\），我们有\（CX_{mathcal中的F\{T}（T）_{2} }（I，\mathcal）{克}_{c} ）\）。它表明如果\（\theta\mathcal{T}（T）_{1} （F（x））+（1-θ）{T}（T）_{1} （F（y））小节F（θx+（1-θ）y），然后\（\theta\mathcal{T}（T）_{2} （F（x））+（1-θ）{T}（T）_{2} （F（y））小节F（θx+（1-θ）y）因此，我们有

$$\theta\mathcal美元{T}（T）_{2} \bigl（F（x）\bigr）+（1-\θ）\mathcal{T}（T）_{2} \bigl（F（y）\bigr）\subseteq\theta\mathcal{T}（T）_{1} \bigl（F（x）\bigr）+（1-\theta）\mathcal{T}（T）_{1} \bigl（F（y）\bigr）$$

和\（\数学{T}（T）_{2} （F（x））{T}（T）_{1} （F（x））\）。否则，我们可以假设\（\mathcal{T}（T）_{2} （F（x））\supset\mathcal{T}（T）_{1} （F（x））\）.对于案例\（\theta\mathcal{T}（T）_{1} （F（x））+（1-θ）{T}（T）_{1} （F（y））=F（θx+（1-θ）y）这就是矛盾。由于…的任意性F类和我，我们获得\（\mathcal{T}（T）_{1} \precq\mathcal（程序）{T}（T）_{2}\).

最后，\（\mathcal{T}（A）\subseteq A=\mathcal{ID}（A）\）和\（\mathcal{ID}\preceq\mathcal{T}\）对于任何\（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）。因此，

$$CX（我，\mathcal{克}_{c} ）\substeq CX_｛\mathcal｛T｝｝（I，\mathcal{克}_{c} ）$$

 □

定理3.5

考虑 \（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）.对于 \（n=0,1,2，\ldots\） ,让 \（\mathcal{T}^{0}=\mathcal{ID}\）和 \（\mathcal{T}^{n+1}=\mathca{T}\circ\mathcal{T}^{n}\）,然后 \（\mathcal｛T｝^｛n｝\in \mathfrak｛T｝\）.此外,

$$CX_{mathcal{T}^{n}}（I，\mathcal{克}_{c} ）\substeq CX_{mathcal{T}^{n+1}}（I，\mathcal{克}_{c} ）$$

证明

对于所有人\（在mathcal中{克}_{c} \），采取\（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\），我们有\（\mathcal｛T｝（A）\substeq A\）。自\（mathcal{T}（A）在mathcal中{克}_{c} \），很明显

$$\mathcal{T}^{2}（A）=\mathcal{T}\bigl$$

重复这个步骤，我们得到

$$\mathcal{T}^{n}（A）\subseteq\mathcal{T}^{n-1}（A）\substeq\cdots\subseteq\mathcal{T}$$

这意味着\（\mathcal{T}^{n}\在\mathfrak{T}\中）和\（\mathcal{T}^{n}\precq\mathcal{T}^{n+1}\）.根据定理3.4，我们有

$$CX_{mathcal{T}^{n}}（I，\mathcal{克}_{c} ）\substeq CX_{mathcal{T}^{n+1}}（I，\mathcal{克}_{c} ）$$

 □

推论3.6

让 \（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）和 \（F:I\右箭头\mathcal{克}_{c} \）.如果 \（CX（I，mathcal{克}_{c} ）\）,然后 \（F\在CX_{mathcal{T}}中（I，mathcal｛K｝_{c} ）\）.

证明

假设\（CX（I，mathcal{克}_{c} ）\），那么对于任何\（I中的x，y\）和\（[0,1]\中的θ），我们有

$$\begin{aligned}F\bigl（\theta x+（1-\theta）y\bigr）&\supseteq\mathcal{T}\bigl（F\bigle（\tea x+（1-\theta。\结束{对齐}$$

因此，\（F\在CX_{mathcal{T}}中（I，mathcal{克}_{c} ）\）. □

下一个例子表明推论的逆3.6不是真的。

示例3.7

采取\（F（x）=[ln（x^{2}），x+2]\）在示例中3.3，并让

$$\mathcal{T}（A）=\textstyle\begin{cases}{[（A^{-}）+1，A^{+}]}&\text{if}\ell（A。\结束{cases}$$

我们可以核实一下\（F\在CX_{mathcal{T}}中（I，mathcal{克}_{c} ）\），但是\（在CX（I，mathcal{克}_{c} ）\）.

现在，我们给出了Hermite–Hadamard型不等式\（\mathcal{T}\）-凸区间值函数。采取\（I=[s，t]\）哪里\（\leq t\）和\（s，t\in\mathbb{R}\）.

定理3.8

让 \（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）和 \（F\在CX_{mathcal{T}}中（[s，T]，\mathcal{克}_{c} ）\）.如果 \L^{1}（[s，T]，mathcal）中的（F，mathcal{T}\circ F\{克}_{c} ）\）,然后

$$\frac{\mathcal{T}（F（s））+\mathcal{T}（F（T））}{2}\subseteq\frac{1}{T-s}\int^{t}（t）_{s} F（x）\，dx$$

(3.2)

和

$$\压裂{1}{t-s}\int^{t}（t）_{s} \mathcal{T}\bigl（F（x）\bigr）\，dx\subseteq F\biggl（\frac{s+T}{2}\biggr）$$

(3.3)

证明

自\（F\在CX_{mathcal{T}}中（[s，T]，\mathcal{克}_{c} ）\），我们有

$$\theta\mathcal{T}\bigl（F（s）\bigr）+（1-\theta）\mathcal{T}\ bigl$$

正在集成θ结束$[0,1]$，然后

$$\frac{\mathcal{T}（F（s））+\mathcal{T}（F（T））}{2}\subseteq\int^{1}_｛0｝F\bigl（θs+（1-θ）t\bigr）\，d\θ$$

拿\（x=θs+（1-θ）t），我们获得(3.2).

最后，让我们考虑一下

$$\frac{s+t}{2}=\frac{thetas+（1-\theta）t}{2]+\frac{（1-\ttheta）s+\thetat}{2}$$

然后

$$F\biggl（\frac{s+t}{2}\biggr）\supseteq\frac}\mathcal{t}（F（θs+（1-\theta）t））+\mathcal{t}（F（（1-\ttheta）s+\theta t））}{2}$$

正在集成θ结束$[0,1]$，我们有

$$F\biggl（\frac{s+t}{2}\biggr）\supseteq\frac{1}{2{\biggl[\int^{1}_{0}\mathcal{T}\bigl（F（\theta s+（1-\theta）T\biger）\bigr）\，d \theta+\T^{1}_{0}\mathcal{T}\bigl（F（1-\theta）s+\theta T\bigr）\bigr，d\theta \biggr]$$

通过改变变量\（τ=1-θ），我们获得

$$\int美元^{1}_{0}\mathcal{T}\bigl（F（1-\theta）s+\theta T\bigr）\bigr，d\theta=\T^{1}_{0}\mathcal{T}\bigl（F（\tau s+（1-\tau）T）\bigr）\，d\tau$$

这意味着

$$F\biggl（\frac{s+t}{2}\biggr）\supseteq\int^{1}_{0}\mathcal{T}\bigl（F\bigl+（1-\theta）T\bigr）\，d\theta$$

拿\（x=θs+（1-θ）t），我们获得(3.3). □

定理3.9

让 \（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）和 \（F\在CX_{mathcal{T}}中（[s，T]，\mathcal{克}_{c} ）\）.如果 \（L^{1}（[s，T]，\mathcal）中的\mathcal{T}\circ F\{克}_{c} ）\cap CX_{\mathcal{T}}（[s，T]，\mathcal{克}_{c} ）\）,然后

$$\frac{\mathcal{T}^{2}（F（s））+\mathcal{T}^{2neneneep（F（T））}{2}\subseteq\frac{1}{T-s}\int^{t}（t）_{s} \mathcal{T}\bigl（F（x）\bigr）\，dx\subseteq F\biggl（\frac{s+T}{2}\biggr）$$

(3.4)

证明

自\（\mathcal{T}\circ F\）是\（\mathcal{T}\）-凸的，我们很容易得到

$$\theta\mathcal{T}^{2}\bigl$$

正在集成θ结束$[0,1]$,

$$\frac{\mathcal{T}^{2}（F（s））+\mathcal{T}^{2{（F（T））}{2}\subseteq\int^{1}_{0}\mathcal{T}\bigl（F\bigl+（1-\theta）T\bigr）\，d\theta$$

因此，

$$\frac{\mathcal{T}^{2}（F（s））+\mathcal{T}^{2neneneep（F（T））}{2}\subseteq\frac{1}{T-s}\int^{t}（t）_{s} \mathcal{T}\bigl（F（x）\bigr）\，dx$$

与合并(3.3)，结果直接如下。□

示例3.10

考虑\（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）和\（传真：[1,2]\rightarrow\mathcal{克}_{c} \）在示例中3.3。我们获得

$$\begin{aligned}&F\biggl（\frac{s+t}{2}\biggr）=F\bigl（\frac{3}{2{biggr^{t}（t）_{s} \mathcal{T}\bigl（F（x）\bigr）\，dx=\int^{2}_{1} \bigl[x^{2}，x+2\bigr]\，dx=\biggl[\frac{7}{3}，\frac}7}{2}\biggr]，\end{aligned}$$

和

$$\frac{\mathcal{T}^{2}（F（s））+\mathcal{T}^{2neneneep（F（T））}{2}=\ frac{\ mathcal}T}^}2}$$

自

$$\biggl[\frac{e+4}{2}，\frac}7}{2{biggr]\subseteq\biggl[\frac{7}{3}，\frac{7}{2}\biggr]\subsetoq\bigbl[\ln\frac}9}{4}，\ frac{7}{2}\bigbr]$$

这意味着

$$\frac{\mathcal{T}^{2}（F（s））+\mathcal{T}^{2neneneep（F（T））}{2}\subseteq\frac{1}{T-s}\int^{t}（t）_{s} \mathcal{T}\bigl（F（x）\bigr）\，dx\subseteq F\biggl（\frac{s+T}{2}\biggr）$$

因此，定理3.9已验证。

推论3.11

让 \（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）和 \（F\在CX_｛\mathcal｛T｝｝｝中（[s，T]，\mathcal{克}_{c} ）\）.如果 \（L^{1}（[s，T]，mathcal{克}_{c} ）\cap CX_{\mathcal{T}}（[s，T]，\mathcal{克}_{c} ）\）,然后

$$开始{aligned}&\frac{mathcal{T}^{n+1}（F（s））+\mathcal}T}^}n+1}（F（T））}{2}\\&\quad\substeq\frac}{T}\int^{t}（t）_{s} \mathcal{T}^{n}\bigl（F（x）\bigr）\，dx\subseteq\mathcal{T}^{n-1}F\biggl（\frac{s+t}{2}\biggr），\quad n=1,2，\ldots。\结束{对齐}$$

(3.5)

备注3.12

让\（n=1）在推论中3.11，我们得到定理3.9此外，对于这种情况\（\mathcal{T}\equiv\mathcal{ID}\），我们得到了经典的Hermite–Hadamard不等式。

4分数积分不等式

在本节中，我们将介绍分数阶Hermite–Hadamard型不等式和Ostrowski型不等式\（\mathcal{T}\）-凸区间值函数。不久前，Budak在[三].

让\（L^{1}中的F\（[s，t]，\mathcal{克}_{c} ）\），左边的Riemann–Liouville分数积分F类由定义（参见[11])

$$\mathfrak美元{日本}_{s^{+}}^{\alpha}F（x）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{s}^{x}（x-\tau）$$

(4.1)

其中Γ是Euler伽马函数。同时，右端的Riemann–Liouville分数积分F类由定义（参见[三])

$$\mathfrak{日本}_{t^{-}}^{\alpha}F（x）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{x}^{t}（\tau-x）^{\alpha-1}F（\tau）\，d\tau，\四元x<t，\alpha>0$$

(4.2)

Riemann–Liouville分数阶积分的更多性质可以在[11]. 现在我们可以给出以下声明\（\mathcal{T}\）-凸区间值函数。

定理4.1

让 \（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）和 \（F\在CX_｛\mathcal｛T｝｝｝中（[s，T]，\mathcal｛K｝_{c} ）\）.如果 \L^{1}（[s，T]，mathcal）中的（F，mathcal{T}\circ F\{克}_{c} ）\）,然后

$$\frac{\mathcal{T}（F（s））+\mathcal{T}（F（T））}{2}\subseteq\fracc{\Gamma（\alpha+1）}{2（T-s）^{\alpha}}\bigl[\mathfrak{日本}_{s+}^{\alpha}F（t）+\mathfrak{日本}_{t-}^{\alpha}F（s）\bigr]$$

(4.3)

和

$$\frac{\Gamma（\alpha+1）}{2（t-s）^{\alpha}}\bigl[\mathfrak{日本}_{s+}^{\alpha}\mathcal{T}\bigl（F（T）\bigr）+\mathfrak{日本}_{t-}^{\alpha}\mathcal{t}\bigl（F（s）\biger）\bigr]\substeq F\biggl（\frac{s+t}{2}\biggr）$$

(4.4)

证明

自\（F\在CX_{mathcal{T}}中（[s，T]，\mathcal{克}_{c} ）\），我们有

$$\theta\mathcal{T}\bigl（F（s）\bigr）+（1-\theta）\mathcal{T}\ bigl$$

和

$$（1-\theta）\mathcal{T}\bigl（F（s）\bigr）+\theta\mathcal{T}\ bigl$$

哪里\（[0,1]\中的θ）.将上述两个不等式相加，我们得到

$$\mathcal{T}\bigl（F（s）\bigr）+\mathcal{T}\ bigl$$

乘以\（\θ^{\α-1}\），使用\（阿尔法>0）和集成θ结束$[0,1]$，然后

$$\开始{aligned}&\int^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}\bigl[\mathcal{T}\bigle（F（s）\bigr）+\mathcal{T}\figl（F（T）\biger）\biger]\，d\theta\\&\quad\substeq\int^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}\bigl[F\bigl（\theta s+（1-\theta）t\bigr）+F\bigle（（1-\ttheta）s+\theta t\bigr）\bigr]\，d\theta。\结束{对齐}$$

对于左侧，

$$\int美元^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}\bigl[\mathcal{T}\bigr$$

对于右侧，取\（x=θs+（1-θ）t）在第一个积分中\（y=（1-θ）s+θt）在第二个积分中，我们得到

$$\开始｛对齐｝&\ int^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}F\bigl（\thetas+（1-\theta）t\bigr）\，d\theta+\int^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}F\bigl（（1-\theta）s+\theta\tbigr），d\theta\\&\quad=\frac{1}{（t-s）^{\alpha}}\int^{t}（t）_{s} （t-x）^{\alpha-1}F（x）\，dx+\frac{1}{（t-s）^{\ alpha}}\int^{t}（t）_{s} （y-）^{\alpha-1}F（y）\，dy\\&\quad=\frac{\Gamma（\alpha）}{（t-s）^{\ alpha}}\bigl[\mathfrak{日本}_{s+}^{\alpha}F（t）+\mathfrak{日本}_{t-}^{\alpha}F（s）\bigr]。\结束{对齐}$$

结合这两部分，我们得到了第一个不等式。

接下来，因为

$$\frac{s+t}{2}=\frac{theta s+（1-\theta）t}{2}+\frac{（1-\ttheta）s+\theta t}{2]$$

我们有

$$F\biggl（\frac{s+t}{2}\biggr）\supseteq\frac}\mathcal{t}（F（θs+（1-\theta）t））+\mathcal{t}（F（（1-\ttheta）s+\theta t））}{2}$$

乘以\（\θ^{\α-1}\），使用\（阿尔法>0）和集成θ结束$[0,1]$，然后

$$\开始{aligned}&\int^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}F\biggl（\frac{s+t}{2}\biggr）\，d\theta\\&\quad\supseteq\frac{1}{2{\biggl[\int^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}\mathcal{T}\bigl（F（\theta s+（1-\theta）T\bigr）\bigr^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}\mathcal{T}\bigl（F（1-\theta）s+\theta T \bigr）\biger）\，d\theta\biggr]。\结束{对齐}$$

与之前相同，对于左侧，

$$\int美元^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}F\biggl（\frac{s+t}{2}\biggr）\，d\theta=\frac}{1}{\alfa}F\bigl（\frac{s+t}{2{\bigger）$$

对于右侧，

$$\开始{aligned}&\int^{1}_｛0｝\ttheta^｛\alpha-1｝\mathcal｛T｝\bigl（F\bigl（\ttheta s+（1-\ttheta）T\bigr）\bigr）\，d\ttheta+\int^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}\mathcal{T}\bigl（F（1-\theta）s+\theta\tbigr）\bigr{日本}_{s+}^{\alpha}\mathcal{T}\bigl（F（T）\bigr）+\mathfrak{日本}_{t-}^{\alpha}\mathcal{t}\bigl（F（s）\bigr）\biger]。\结束{对齐}$$

结合这两部分，我们得到了第二个不等式。□

定理4.2

让 \（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）和 \（F\在CX_{mathcal{T}}中（[s，T]，\mathcal{克}_{c} ）\）.如果 \（\mathcal｛T｝\循环F\在L^｛1｝中（[s，T]，\mathcal｛K｝_{c} ）\cap CX_{\mathcal{T}}（[s，T]，\mathcal{克}_{c} ）\）,然后

$$开始{对齐}和\frac{\mathcal{T}^{2}（F（s））+\mathcal{T}^{2{（F）（T））}{2}\\&\quad\substeq\frac{\Gamma（\alpha+1）}{2（T-s）^{\alpha}}\bigl[\mathfrak{日本}_{s+}^{\alpha}\mathcal{T}\bigl（F（T）\bigr）+\mathfrak{日本}_{t-}^{\alpha}\mathcal{t}\bigl（F（s）\biger）\bigr]\substeq F\biggl（\frac{s+t}{2}\biggr）。\结束{对齐}$$

(4.5)

证明

自\（\mathcal{T}\circ F\）是\（\mathcal{T}\）-凸的，我们很容易得到

$$\theta\mathcal{T}^{2}\bigl$$

类似地，我们得到

$$（1-\theta）\mathcal{T}^{2}\bigl$$

通过将上述两个不等式相加，我们得到

$$\mathcal{T}^{2}\bigl（F（s）\bigr）+\mathcal{T}^2}\bigl（F（T）\biger）\subseteq\mathcali{T}\bigle$$

乘以\（\θ^{\α-1}\），使用\（阿尔法>0）和集成θ结束$[0,1]$，然后

$$\开始{aligned}&\int^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}\bigl[\mathcal{T}^{2}\bigr^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}\mathcal{T}\bigl（F（\theta s+（1-\theta）T\bigr）\bigr^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}\mathcal{T}\bigl（F（1-\theta）s+\theta T \bigr）\biger）\，d\theta。\结束{对齐}$$

对于左侧，

$$\整数^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}\mathcal{T}^{2}\bigl$$

对于右侧，

$$\开始{aligned}&\int^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}\mathcal{T}\bigl（F（\theta s+（1-\theta）T\bigr）\bigr^{1}_{0}\theta^{\alpha-1}\mathcal{T}\bigl（F（1-\theta）s+\theta\tbigr）\bigr{日本}_{s+}^{\alpha}\mathcal{T}\bigl（F（T）\bigr）+\mathfrak{日本}_{t-}^{\alpha}\mathcal{t}\bigl（F（s）\bigr）\biger]。\结束{对齐}$$

因此，我们得到

$$\frac｛\mathcal｛T｝^｛2｝（F（s））+\mathcal｛T｝^｛2｝（F（T））｝｛2｝\substeq\frac｛\Gamma（\alpha+1）｝｛2（T-s）^｛\alpha｝｝\bigl[\mathfrak｛J｝_{s+}^{\alpha}\mathcal{T}\bigl（F（T）\bigr）+\mathfrak{日本}_{t-}^{\alpha}\mathcal{t}\bigl（F（s）\bigr）\biger]$$

与结合(4.4)，我们完成了证明。□

示例4.3

让\（传真：[1,2]\rightarrow\mathcal{克}_{c} \）由……提供\（F（x）=[\sqrt{x}，6]\），并让

$$\mathcal{T}（A）=\textstyle\begin{cases}{[（A^{-}）^{2}，（A^}+}）-1]}&\text{if}$$

对于任何\（在mathcal中{克}_{c} \）首先，我们注意到\（F\在CX_{mathcal{T}}中（[1,2]，\mathcal{克}_{c} ）\）和\（L^{1}（[1,2]，\mathcal）中的\mathcal{T}\circ F\{克}_{c} ）\cap CX_{mathcal{T}}（[1,2]，\mathcal{克}_{c} ）\）.那么我们有

$$\开始｛对齐｝&&mathfrak{日本}_{1^{+}}^{\frac{1}{2}}\mathcal{T}\bigl（F（2）\bigr）=\frac}1}{\Gamma（1/2）}\int_{1}^{2}（2-\tau）[\frac{10}{3}，10\biggr]，\\&\mathfrak{日本}_{2^{-}}^{\frac{1}{2}}\mathcal{T}\bigl（F（1）\bigr）=\frac}1}{\Gamma（1/2）}\int_{1}^{2}（\tau-1）[\frac{8}{3}，10\biggr]，\end{aligned}$$

和

$$\frac{\Gamma（3/2）}{2（2-1）^{1/2}}\bigl[\mathfrak{日本}_{1^{+}}^{\frac{1}{2}}\mathcal{T}\bigl（F（2）\bigr）+\mathfrak{日本}_{2^{-}}^{\压裂{1}{2}}\mathcal{T}\bigl（F（1）\bigr）\biger]=\biggl[\frac{3}{2{，5\biggr]$$

与此同时，我们有

$$F\bigl（\frac｛s+t｝｛2｝\biggr）=F\bigl（\frac｛1+2｝｛2｝\biggr）=\bigl[\frac｛\sqrt｛6｝｝｛2｝，6\biggr]$$

和

$$\frac｛\mathcal｛T｝^｛2｝（F（s））+\mathcal｛T｝^｛2｝（F（T））｝｛2｝=\frac｛\mathcal｛T｝^｛2｝（F（1））+\mathcal｛T｝^｛2｝（F（2））｝｛2｝=\biggl[\frac｛5｝｛2｝，4\biggr]$$

自

$$\biggl[\frac{5}{2}，4\biggr]\subseteq\biggl[\frac{3}{2{，5\biggr]\substeq\bigbl[\frac{\sqrt{6}}{2neneneep，6\biggr]$$

这说明

$$\frac{\mathcal{T}^{2}（F（1））+\mathcal{T}^{2{（F（2））}{2}\subseteq\frac{\Gamma（3/2）}{2（2-1）^{1/2}}\bigl[\mathfrak{日本}_{1^{+}}^{\frac{1}{2}}\mathcal{T}\bigl（F（2）\bigr）+\mathfrak{日本}_{2^{-}}^{\frac{1}{2}}\mathcal{T}\bigl（F（1）\bigr）\biger]\subseteq F\biggl（\frac}{1+2}\biggr）$$

因此，定理4.2已验证。

推论4.4

让 \（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）和 \（F\在CX_{mathcal{T}}中（[s，T]，\mathcal{克}_{c} ）\）.如果 \（L^{1}（[s，T]，mathcal{克}_{c} ）\cap CX_{\mathcal{T}}（[s，T]，\mathcal{克}_{c} ）\）,然后

$$开始{对齐}\frac{\mathcal{T}^{n+1}（F（s））+\mathcal{T}^{n+1}（F（T））}{2}&\subseteq\frac}\Gamma（\alpha+1）}{2（T-s）^{\alpha}}\bigl[\mathfrak{日本}_{s+}^{\alpha}\mathcal{T}^{n}\bigl（F（T）\bigr）+\mathfrak{日本}_{t-}^{\alpha}\mathcal{t}^{n}\bigl（F（s）\biger）\bigr]\\&\subseteq\mathcal{t}^{n-1}\biggl（F\biggl（\frac{s+t}{2}\bigr）\biggr），\quad n=1,2，\ldots。\结束{对齐}$$

(4.6)

备注4.5

让\（n=1\）在推论中4.4，我们得到定理4.2此外，对于这种情况\（\mathcal{T}\equiv\mathcal{ID}\），我们得到了经典的分数阶Hermite–Hadamard不等式。

接下来，我们给出了区间值函数的Ostrowski型不等式。

引理4.6

让 \（\mathcal｛T｝\ in \mathfrak｛T｝\）和 \（F:[s，t]\rightarrow\mathcal{克}_{c} \）.如果 \（\数学｛T｝\循环F\）是 ℓ-单调可微 \（[s，t]\）具有 \C（[s，T]，mathcal）中的（（mathcal{T}\circ F）^{\prime}\{克}_{c} ）\）,然后

$$\bigl\Vert\mathcal{T}\bigl（F（T）\bigr）\ominus _{g}\mathcal{T}\ bigl$$

(4.7)

定理4.7

让 \（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）和 \（F:[s，t]\rightarrow\mathcal{克}_{c} \）.如果 \（\mathcal{T}\circ F\）是 ℓ-单调可微 \（[s，t]\）具有 \C（[s，T]，mathcal）中的（（mathcal{T}\circ F）^{\prime}\{克}_{c} ）\）,那么对于任何 \（x\在[s，t]\中）,

$$\开始{aligned}&\biggl\Vert\frac{\Gamma（\alpha+1）}{2（t-s）^{\alpha}}\bigl[\mathfrak{日本}_{s+}^{\alpha}\mathcal{T}\bigl（F（T）\bigr）+\mathfrak{日本}_{t-}^{\alpha}\mathcal{t}\bigl{\alpha+1}+2（t-x）^{\alba+1}}{2（\alpha+1）（t-s）^{\ alpha}}\biggr）。\结束{对齐}$$

(4.8)

证明

自从我们

$$\开始{aligned}&\frac{\Gamma（\alpha+1）}{2（t-s）^{\alpha}}\bigl[\mathfrak｛J｝_{s+}^{\alpha}\mathcal{T}\bigl（F（T）\bigr）+\mathfrak{日本}_{t-}^{\alpha}\mathcal{t}\bigl}\mathcal{t}\bigl（F（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\end{对齐}$$

和

$$\mathcal{T}\bigl（F（x）\bigr）=\frac{\alpha}{2（T-s）^{\alfa}}\biggl r）\，d\tau\biggr）$$

然后

$$\开始{aligned}&\biggl\Vert\frac{\Gamma（\alpha+1）}{2（t-s）^{\alpha}}\bigl[\mathfrak{日本}_{s+}^{\alpha}\mathcal{T}\bigl（F（T）\bigr）+\mathfrak｛J｝_{t-}^{\alpha}\mathcal{t}\bigl+\int_{s}^{t}（\tau-s）^{\alpha-1}\mathcal{t}\bigl（F（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\\&\qquad{}\ominus_{g}\biggl（int_{s}^{t}（t-\tau）^{\alpha-1}\mathcal{t}\bigl（F（x）\bigr）\，d\tau+\int_{s}^{t}（\tau-s）^}\alpha-1}\matchcal{t}\ bigl alpha}\biggl（\biggl\Vert\int_{s}^{t}（t-\tau）^{alpha-1}\mathcal{t}\bigl（F（\tau（t-\tau）^｛\alpha-1｝\mathcal｛t｝\bigl（F（x）\bigr）\，d\tau\biggr\Vert\\&\qquad｛｝+\biggl\Vert\int _｛s｝^｛t｝（\tau-s）^｛\alpha-1｝\mathcal｛t｝\bigl（F（\tau）\bigr）\，d\tau\ominus _｛g｝\int _｛s｝^｛t｝（\tau-s）^｛\alpha-1｝\mathcal｛t｝\bigl（F（x）\bigr）\，d\tau\biggr\Vert\biggr）。\结束{对齐}$$

按推论2.5和引理4.6，我们获得

$$开始{对齐}和\biggl\Vert\int_{s}^{t}（t-\tau）{s}^{t}（t-\tau）^{\alpha-1}\bigl\Vert\mathcal{t}\bigr（F（\tau\bigr）\bigr\Vert\，d\tau\\&\quad\leq\bigl\Vert（\mathcal{T}\circ F）^{prime}\bigr\ Vert_{c}\int_{s}^{T}（T-\tau）^{alpha-1}\Vert\tau-x\Vert\，d\tau\end{aligned}$$

和

$$开始{对齐}和\biggl\Vert\int_{s}^{t}（\tau-s）{s}^{t}（\tau-s）\bigr）\bigr\Vert\，d\tau\\&\quad\leq\bigl\Vert（\mathcal{T}\circ F）^{prime}\bigr\ Vert_{c}\int_{s}^{T}（\tau-s）^{alpha-1}\Vert\tau-x\Vert\，d:tau。\结束{对齐}$$

结合上述结果，然后

$$\开始{aligned}&\biggl\Vert\frac{\Gamma（\alpha+1）}{2（t-s）^{\alpha}}\bigl[\mathfrak{日本}_{s+}^{\alpha}\mathcal{T}\bigl（F（T）\bigr）+\mathfrak{日本}_{t-}^{\alpha}\mathcal{t}\bigl t-\tau）^{alpha-1}\Vert\tau-x\Vert\，d\tau+\int_{s}^{t}（\tau-s），d\tau\biggr）\\&\quad=\bigl\Vert（\mathcal{T}\circ F）^{prime}\bigr\Vert_{c}\biggl（\frac{（\alpha-1）（T-s）^{\alpha+1}+2（x-s）^}\alpha+1}+2。\结束{对齐}$$

 □

备注4.8

如果我们采取\（\mathcal{T}=\mathcal{ID}\）和\（阿尔法=1）英寸(4.8)，然后我们得到定理4.1[4].

示例4.9

考虑\（传真：[1,2]\rightarrow\mathcal{克}_{c} \）和\（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）在示例中4.3。对于左边，我们检查

$$\biggl\Vert\frac{\Gamma（3/2）}{2（2-1）^{1/2}}\bigl[\mathfrak{日本}_{1^{+}}^{\frac{1}{2}}\mathcal{T}\bigl（F（2）\bigr）+\mathfrak{日本}_{2^{-}}^{\frac{1}{2}}\mathcal{T}\bigl$$

对于任何\（x在[1,2]中）。此外，我们还有

$$开始{对齐}和\bigl\Vert（\mathcal{T}\circ F）^{prime}\bigr\Vert_{c}\biggl{3}{2}}-1}{6}。\结束{对齐}$$

显然，对于任何人\（x在[1,2]中），我们有

$$\biggl\vert x-\frac｛3｝｛2｝\biggr\vert\leq\frac｛4（x-1）^｛\frac｛3｝｛2｝｝+4（2-x）^｛\frac｛3｝｛2｝｝-1｝｛6｝$$

因此，定理4.7已验证（见图2).

图2

示例中的结果图4.9

推论4.10

让 \（\mathcal{T}\in\mathfrak{T}\）和 \（F:[s，t]\rightarrow\mathcal{克}_{c} \）.如果 \（\mathcal{T}\circ F\）是 ℓ-单调可微 \（[s，t]\）具有 \C（[s，T]，mathcal）中的（（mathcal{T}\circ F）^{\prime}\{克}_{c} ）\）,然后

$$\开始{aligned}&\biggl\Vert\frac{\Gamma（\alpha+1）}{2（t-s）^{\alpha}}\bigl[\mathfrak{日本}_{s+}^{\alpha}\mathcal{T}\bigl（F（T）\bigr）+\mathfrak{日本}_{t-}^{\alpha}\mathcal{t}\bigl t-s）^{\alpha+1}}{2^{\alpha}（\alpha+1）（t-s）#^{\阿尔pha}}\biggr）。\结束{对齐}$$

(4.9)

备注4.11

如果我们采取\（\mathcal{T}=\mathcal{ID}\）和\（阿尔法=1），然后我们可以估计两个区间之间的差距并构造一个合适的映射\（\mathcal{T}\）这样的话\（F\在CX_{mathcal{T}}中（[s，T]，\mathcal{克}_{c} ）\）.

5结论

本文介绍了一个新的地图\（\mathcal{T}\）在\（\mathcal{克}_{c} \）并研究了\（\mathcal{T}\）-凸区间值函数。同时，基于这些概念建立了一些新的Hermite–Hadamard型不等式和Ostrowski型不等式。在数学优化领域，与其他方法相比，凸优化的优点是使每个局部极小值成为全局极小值。许多问题类，如最小二乘法、线性规划、几何规划，都是凸优化问题，或者可以通过简单的变换转换为凸优化问题。本文的研究成果可以扩大凸函数的应用范围。因此，在区间凸优化领域，我们的结果比以往更适用。接下来，我们打算使用\（\mathcal{T}\）-凸面。此外，我们可能会研究有关地图的更多细节\（\mathcal{T}\）并讨论其他地图\（\mathcal{克}_{c} \）未来。