基于键的线性动力学模型的预处理快速配置方法

摘要

我们为基于静态键的周动力模型开发了一种快速配置方法。在分析刚度矩阵结构的基础上，找到了一种可用于Krylov子空间迭代法的快速矩阵矢量乘法。在本文中，我们还提出了一个有效的预条件来加速Krylov子空间迭代法的收敛。利用刚度矩阵的块-Toeplitz–Toeplitz块（BTTB）型结构，我们给出了块-循环-块（BCCB）型预处理器。数值实验表明了预处理快速配置方法的有效性。

1介绍

近几十年来，周动力模型在许多研究领域得到了应用，如复合材料层合板的破坏与损伤、裂纹扩展与分支、裂纹成核、固体相变、冲击损伤、混凝土损伤等[1——7]。与固体或流体力学的经典理论不同，后者通常由偏微分方程建模[8——10]，周动力模型没有明确涉及位移的任何空间导数。因此，它为自发形成不连续性或其他奇异性的问题提供了更自然的描述。

到目前为止，已经发展并分析了几种非局部扩散模型和周动力模型以及其他相关非局部模型的数值方法，如有限元离散化、有限差分法、有限体积法、配置法和无网格法[1，11——15]。然而，从数学上讲，由于这些模型的非局部性，由有限元法或配置法得出的刚度矩阵通常是满对角或密集对角。广泛使用的Krylov子空间迭代方法需要\（O（N^{2}）\）存储刚度矩阵的内存\（O（N^{2}）\）每次迭代中求解相关线性系统的计算工作，其中N个是空间节点的数量。因此，对周动力模型的模拟通常很耗时，特别是对于大规模问题（例如多维周动力模型）。

一些研究工作致力于减少周动力模型相应数值格式的存储需求和计算[15——18]。这些工作是基于对刚度矩阵的Toeplitz或Toeplitz-型结构的分析，以及可用于Krylov子空间迭代法的快速矩阵-向量乘法技术。在[18]，通过仔细研究刚度矩阵的BTTB型结构，开发了基于键的二维线性周动力模型的快速配置方法\（\mathbf{答}_{2N}\）然而，从数值实验中我们可以发现收敛速度较慢，特别是当核函数的奇异性较强时。

在本文中，我们遵循从年开始的工作[18]并针对线性动力学模型，提出了一种预处理的快速配置方法。我们提供了一个有效的预条件来加速Krylov子空间迭代方法的收敛。论文的其余部分组织如下。在Sect。 2，我们回顾了在[18]。然而，刚度矩阵是通过对未知项进行不同于未知项排列的重新排序来重写的[18]。在Sect。 三，我们分析了刚度矩阵的每个块矩阵都是一个BTTB矩阵。基于此分析，可以减少每个Krylov子空间迭代中的操作和刚度矩阵存储。在Sect。 4为了加快Krylov子空间迭代法的收敛速度，提出了一种BCCB型预条件器。在Sect。 5，我们进行了几个数值实验来研究该预处理器的性能。在Sect。 6，我们得出结论。

2双线性配置方法

我们考虑以下基于二维键的线性周动力学模型：

$$开始{aligned}&\int_{B_{delta}f{f}（\mathbf{x}\in\varOmega_{c}。\结束{对齐}$$

（1）

在这里C类是微模函数

$$\mathbf{C}\bigl（\mathbf{x}^{prime}，\mathbf1{x}\bigr）=\sigma\bigle（\bigl\vert\mathbf}x}^}\prime}-\mathbf2{x}\ bigr\vert\bigr vert}\otimes\frac{（\mathbf{x}^{\prime}-\mathbf{x}）}{\vert\mathbf}x}^2\prime}-\mathbf1{x}\vert}\ biggr]$$

（2）

\（\varOmega:=（0，x_{R}）\次（0，y_{R{）\）表示矩形域；\（\mathbf{x}:=（x，y）^{T}\）和\（\mathbf{x}^{\prime}:=（x^{\prime}，y^{\rime}）^{T}\）是参考配置中粒子的位置；\（\mathbf{u}（\mathbf{x}）：=[v（\mathdf{x{），w（\mathcf{xneneneep）]^{T}\）和\（\mathbf{u}（\mathbf{x^{prime}}）：=[v表示粒子的位移x个和\（\mathbf{x^{\prime}}\）关于参考配置。\（\sigma（\cdot）\）是核心函数；\（增量>0）是材料的地平线；\（B_{\delta}（\mathbf{x}）\）假设是一个中心位于x个具有δ为半径；\（\varOmega_{c}\）表示周围的边界区Ω带宽度δ;\（\mathbf{f}（\mathbf{x}）：=[f^{v}（\tathbf{x{），f^{w}（\T）]^{T}）表示外力密度；\（\mathbf{g}（\mathbf{x}）：=[g^{v}（\tathbf{x{），g^{w}（\T）]^{T}）是规定的非局部边界数据施加在边界区上\（\varOmega_{c}\）。为了清楚起见，我们显示了域Ω，\（\varOmega_{c}\）、和\（B_{\delta}（\mathbf{x}）\）在图中1.

图1

左图(一)显示域之间的关系Ω和边界区\（\varOmega_｛c｝\）带宽度δ; 右图(b条)表示积分域\（B_{\delta}（\mathbf{x}）\）英寸(1)，这是一个以为中心的开放磁盘x个具有半径δ

给定两个n个-维向量

$$\mathbf{V}=\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\\vdots\\V_{n}\end{pmatriax}，\qquad\mathbf}W}=\begin{pmartrix}W_{1{\\W_2}\\vdot \\W_{n{}\end{pmatricx}$$

张量积⊗中的'(2)定义为

$$\mathbf{V}\otimes\mathbf{W}=\begin{pmatrix}V_{1} w个_{1} &v（&v）_{1} w个_{2} &\cdots&v_{1} w个_{n} \\v（\\v）_{2} w个_{1} &v（&v）_{2} w个_{2} &\ddots（&v）_{2} w个_{n} \\vdots&\ddots&\ ddots和\ vdots \\v_{n} w个_{1} &v（&v）_{n} w个_{2} &\cdots&v_{n} w个_{n} \结束{pmatrix}$$

为了方便下一章，我们还给出了矩阵情况下张量乘积的定义。给定两个矩阵\（\mathbf{A}=（A_{i，j}）\in\mathbb{R}^{p，q}\）和\（\mathbf{B}\in\mathbb{R}^{R，s}\），的张量积一个和B类定义如下：

$$\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}=\begin{pmatrix}A{1,1}\mathbf1{B}&A{1,2}\mathbf{B}和\cdots&A{1，q}\mat血红蛋白{B}\\A{2,1}\mathbf{B{和A{2,2}\methbf{B}&\ddots&A{2，q}\ mathbf}B}\\vdots&\ddot&\vdots\\A{p，1}\mathbf{B}&A{p、1}\mathbf{B}&\cdots&A{p，q}\mathbf{B{end{pmatrix}$$

让\（N_{x}\）和\（N_｛y｝\）是正整数。我们定义了一个空间分区Ω̄通过\（x{i}：=ih{x}\）对于\（i=0,1，\ldot，N_{x}\）和\（y{j}:=jh{y}\）对于\（j=0,1，\ldots，N_{y}\），其中\（h_{x}:=x_{R}/N_{x{）和\（h_{y}:=y_{R}/N_{y{）是x个和年方向。处理边界区域上的离散化\（\varOmega_{c}\），我们将分区扩展到\（（x{i}，y{j}）\）对于\（i=-K+1，\ldot，-1,0,1，\ldots，N_{x}，N_}x}+1，\ldots，N_[x}+K-1）和\（j=-L+1，\ldots，-1,0,1，\ldot，N_{y}，N_}y}+1，\ltots，N_[y}+L-1\）.给，

$$K:=\lceil\delta/h_{x}\rceil，\qquad L:=\lceil\delta/h_{y}\rcuil$$

(3)

天花板是\（\增量/h{x}\）和\（\增量/h{y}\）分别是。

让\（psi（\xi）=1-|\xi|\）对于\（[-1,1]\中的“xi”）否则为零。二维金字塔函数\（φ{i，j}（x，y））居中于\（（x{i}，y{j}）\）可以表示为

$$\phi_{ij}（x，y）=\psi\biggl（\frac{x-x_{i}}{h_{x}}\biggr）\psi\ biggl$$

(4)

然后试验功能v（v）和w个在位移矢量中u个可以写为

$$开始{对齐}&v（x，y）=\sum_{i'=-K+1}^{N_{x}+K-1}\sum__{j'=-L+1}^}N_{y}+L-1}v_{i'，j'}\phi_{i''，j'{（x，y]），\\&w（x，y）=\sam_{i=-K+1}^{N_{x{+K-1}\sum_{j'=-L+1}^ y}+L-1}w_{i'，j'}\phi_{i`，j'{（x，y）。\结束{对齐}$$

(5)

我们选择\（（x{i}，y{j}）\）对于\（i=1，\ldots，N_{x} -1个\)和\（j=1，\ldots，N_{y} -1个\)作为我们的搭配点。通过替换(5)到(1)，我们得到以下配置方案：

$$开始{aligned}&\int_{B_{delta}（x_{i}，y_{j}）}\frac{\sigma（\vert（x'-x_{i}，y’-y_{j}）\vert-\sum_{i'=-K+1}^{N_{x}+K-1}\sum_{j'=-L+1}^{N_{y}+L-1}v_{i'，j'}\phi_{i`，j'{大（x'，y'\bigr）\Biggr]\\&\四{}+\bigl\Biggl[w_{i，j}-\sum_{i'=-K+1}^{N_{x}+K-1}\sum_{j'=-L+1}^{N_{y}+L-1}w_{i'，j'}\phi_{i`，j'{（x'，y'\bigr）\Biggr]\Biggr \}\，dx'\，dy'=f^{v}（x_{i}，y_{j}），\\&\int{B_{\delta}（x_{i}，y_{j}）}\frac{\sigma（\vert（x'-x_{i}，y’-y_{j}+1}个^{N_{x}+K-1}\sum_{j'=-L+1}^{N_}y}+L-1}w_{i'，j'}\phi_{i`，j'{bigl（x'，y'\bigr）\Biggr]\\&\四{}+\bigl N_{x}+K-1}\sum_{j'=-L+1}^{N_{y}+L-1}v_{i'，j'}\phi_{i`，j'{bigl（x'，y'\bigr）\Biggr]\Biggr\}\，dx'\，dy'=f^{w}（x_{i}，y_{j}），\\&\qquad 1\lei\leN_{x} -1个，1\le j \le N_{y} -1。\结束{对齐}$$

(6)

让\（N=（N_{x} -1个)（N_{y} -1个)\)就是未知数。如果我们定义未知向量\（\mathbf{u}_{2N}\）右侧向量如下：

$$\开始{aligned}\mathbf{u}_{2N}:={}&[v_{1,1}，v_{2,1}_{x} -1个，1}，v_{1,2}，\ldot，v__{N_{x} -1个，2｝，\\&&\cdots，v_{1，N_{y} -1个}，\ldot，v_{N_{x} -1个，N个_{y} -1个}，\\&w_{1,1}，w_{2,1}_{x} -1个，1｝，w_｛1,2｝，\ldots，w_｛N_{x} -1个，2}，\\&\cdot，w_{1，N_{y} -1个}，\ldot，w_{N_{x} -1个，N个_{y} -1个}]^{T}，\\mathbf{f}_{2N}:={}&\bigl[f^{v}（v）_{1,1}，f^{v}（v）_{2,1}，\ldot，f^{v}（v）_{否_{x} -1个，1}，f^{v}（v）_{1,2}，\ldot，f^{v}（v）_{否_{x} -1个，2}，\\&\cdot，f^{v}（v）_{1，N_{y} -1个}，\ldot，f^{v}（v）_{否_{x} -1个，N个_{y} -1个}，\\&f^{w}_{1,1}，f^{w}_｛2,1｝，\ldots，f^{w}_{否_{x} -1个，1}，f^{w}_{1,2}，\ldot，f^｛w｝_｛N_{x} -1个，2}，\\&\cdot，f^{w}_{1，N_{y} -1个}，\ldot，f^{w}_{否_{x} -1个，N个_{y} -1个}\bigr]^{T}，\end{aligned}$$

（7）

那么配置方案可以写成以下矩阵形式：

$$\mathbf美元{答}_{2N}\mathbf{u}_{2N}=\mathbf{f}_{2N}$$

(8)

其中2N个-乘2N个刚度矩阵\（\mathbf{答}_{2N}\）可以表示为以下形式，其中每个矩阵块N个订单：

$$\mathbf美元{答}_{2N}=\开始{pmatrix}\mathbf{答}_{N} ^{v，v}&\mathbf{答}_{N} ^{v，w}\\mathbf{答}_{N} ^{w，v}&\mathbf{答}_{N} ^{w，w}\结束{pmatrix}$$

(9)

在(9)，子矩阵中的条目\（\mathbf{答}_{N} ^{v，v}\）定义为

$$A_{m，n}^{v，v}:=\int_{B_{delta}（x_{i}，y_{j}）}\frac{\sigma（\vert（x'-x_{i}，y’-y_{j}）{{（x'-x_{i}）^{2}+（y'-y_}）_{m，n}-\φ{i'，j'}\bigl（x'，y'\bigr）\，dx'\，dy'$$

(10)

类似地，子矩阵中的条目\（\mathbf{答}_{N} ^｛v，w｝\）和\（\mathbf{答}_{N} ^｛w，w｝\）由提供

$$A_{m，n}^{v，w}：=\int_{B_{\delta}（x_{i}，y_{j}）}\frac{\sigma（\vert（x'-x_{i}，y’-y_{j}）{（x'-x_{i}）^{2}+（y'-y_}）\bigr）\bigl（\delta_{m，n}-\phi_{i'，j'}\bigl（x'，y'\bigr）\bigr.）\，dx'\，dy'$$

(11)

和

$$A_{m，n}^{w，w}:=\int_{B_{delta}_{m，n}-\φ{i'，j'}\bigl（x'，y'\bigr）\，dx'\，dy'$$

(12)

分别是。\（\mathbf{答}_{N} ^{v，w}=\mathbf{答}_{N} ^{w，v}\）.功能\（φ{i，j}（x，y））表示网格点处的二维双线性基函数\（（x{i}，y{j}）\）.全球指数米和n个与指数相关\（（i，j）\）和\（（i'，j'）\）通过

$$\开始{对齐}&m=（j-1）\次（N_{x} -1个)+i，\quad 1\leqslate i\leqsleat N（四个1）_{x} -1个，1斜j斜N_{y} -1个，\\&n=\bigl（j'-1\bigr）\次（n_{x} -1个)+i'，\quad 1\leqsland i'\leqslate N_{x} -1个，1\leqsland j’\leqslead N_{y} -1。\结束{对齐}$$

(13)

在(7)\（f）^{v}（v）_{i，j}\）和\（f）^{w}_{i，j}\）定义如下：

$$\开始｛对齐｝f^{v}（v）_｛i，j｝＝｛}&f^｛v｝（x_｛i｝，y_｛j｝｛j｝）｝\frac｛\sigma（\vert（x'-x_｛i｝，y'-y_｛j｝）\vert）｝（（x'-x_｛i｝）^｛2｝+（y'-y_｛j｝）^｛2｝）｝\时间\bigl（x'-x{i}\bigr）^{2} 克^{v} （x_{i^{\prime\prime}}，y_{j^{\prime\prime}}+1\lej^{prime\prime}\le0\位于N_{y}\lej_{prime\trime}\le N_{y}+L-1}}\int_{B_{delta}（x_{i}，y_{j}）}\frac{\sigma（\vert（x'-x{i}，y'-y{j}）\vert}）\phi_{i^{\prime\prime}，j^{\prime\prime}}\bigl（x'，y'\bigr）\，dx'\，dy'，\\f^{w}_{i，j}={}&f^{w}（x_{i}，y_{j}{B_{\delta}（x_{i}，y_{j}）}\frac{\sigma（\vert（x'-x_i})}\\&\times\bigl（x'-x_{i}\bigr）\bigl（y'-y_{j}\biger）g^{v}上N_{x}\lei^{prime\prime}\leN_{x}+K-1}}\sum_{-L+1 \lej^{prime\prime}\le0\topanN_{y}\lej^{prime\prime}\leN_{y}+L-1}}\int_{B_{delta}（x_{i}，y_{j}bigr）^{2}g^{w}（x_{i^{prime\prime}}，y_{j^{prime\prime}}）\phi_{i_{prime\ prime}，j^{prime \prime{}\bigl（x'，y'\bigr，dx'，dy'。\结束{对齐}$$

(14)

三刚度矩阵的结构

定理1

每个子矩阵\（\mathbf{答}_{N} ^{v，v}\），\（\mathbf{答}_{N} ^{v，w}\），和\（\mathbf{答}_{N} ^{w，w}\）具有BTTB结构.更准确地说，每个矩阵都可以表示为\（（N_{y} -1个)\)-通过-\（（N_{y} -1个)\)块-具有块带宽的带状Toeplitz矩阵\（2L+1），

$$\mathbf美元{答}_{N} ^{I}=\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{我}_{0}&\cdots&\mathbf{T}^{我}_{五十} &\mathbf{0}&\cdots&\mathpf{0{0}&\mathbf{0neneneep&\cdot&\mat血红蛋白{0}\\vdots&\ ddots&\\ddots＆\ ddots&\ ddot&\ ddotes&\^{我}_｛-L｝&&ddots&&mathbf｛T｝^{我}_{0}&\ddots&\ddot&\mathbf{0}&\ddotes&\addots&\ mathbf}0}\\mathbf{0}&\ddots&\ddot&\mathbf}T}^{我}_{0}&\ddots&\ddot和\mathbf{0}和\ddots和\ mathbf^{我}_{0}&\ddots&\ddotes&\mathbf{0}\\mathbf}0}&\ ddots&\ddots&\mathbf{0}&\ ddot&\ddot&\ mathbf^{我}_{0}&\ddots&\mathbf{T}^{我}_{五十} \\vdots&\ddots&\ ddots&\ ddots&\ ddot&\ ddotes&\ ddots&\tdots&\ vdots\\mathbf{0}&\cdots&\T mathbf}0}&\ cdots&\T mathbf{0}&\T^{我}_{-L}&\cdots&\mathbf{T}^{我}_｛0｝\end｛pmatrix｝$$

(15)

其中上标\（I=（v，v），（v，w）\），或\（（w，w）\）.此外，每个矩阵块\（\mathbf{T}（T）_{j} ^{I}\），具有\（-L\leqslant j\leqslant L\），是一个\（（N_{x} -1个)\)-通过-\（（N_{x} -1个)\)带带宽的带状Toeplitz矩阵\（2K+1）

$$\mathbf美元{T}（T）_{j} ^{I}=\开始{pmatrix}{t}^{我}_{0，j}&\cdots&{t}^{我}_{K，j}&{0}&\cdots&{0}&{0{&\cdots&{0{0}\\vdots&\ddots&\ ddots&\ddots&\ ddots&\ ddot&\ vdots\\{t}^{我}_{-K，j}&\ddots&{t}^{我}_{0，j}和\ ddots和\ ddot和{0}和\ddots^{我}_{0，j}&\ ddots&\ ddot&{0}&\ddots&{0}\\vdots&\ddot&\ ddotes&\ ddots&\\ddots和\ ddots&\ vdots \\{0}&\ddots&{0{&\ddot^{我}_{0，j}和\ ddots和\ ddot和{0}和^{我}_{0，j}&\ddots&{t}^{我}_{K，j}\\vdots&\ ddots&\ddots&\ ddots&\ ddot&\ ddotes&\ ddots&\\ddots＆\ vdots\\{0}&\ cdots&{0}&\cdots&{0}＆{t}^{我}_{-K，j}&\cdots&{t}^{我}_{0，j}\结束{pmatrix}$$

(16)

证明

我们只研究了\（\mathbf{答}_{N} ^{v，v}\）.分析\（\mathbf{答}_{N} ^｛v，w｝\）和\（\mathbf{答}_{N} ^{w，w}\）类似。通过扩展矩阵\（\mathbf{答}_{N} ^{v，v}\），我们很容易找到\（\mathbf{答}_{N} ^{v，v}\）可以写成以下形式：

$$\mathbf{答}_{N} ^{v，v}=\begin{pmatrix}{\mathbf{B}}{1,1}&{\mathbf{B{}{1,1}&\cdots&{\mathbf{B}}{1，N_{y} -1个}\\{mathbf{B}}_{2,1}&{mathbf{B}{{2,2}&\ddots&{mathbf{B{}}_2，N_{y} -1个}\\vdots&\ddots&\ ddots＆\vdots\\{\mathbf{B}}_{N_{y} -1个，1}&{\mathbf{B}}_{N_{y} -1个，2}&\cdots&{\mathbf{B}}_{N_{y} -1个，N个_{y} -1个}\结束{pmatrix}$$

(17)

这里，每个块矩阵\（{\mathbf{B}}_{j，j'}\）订单的\（N_{x} -1个\)表示行的交互j个和行\（j’\）在离散系统中\（1\leq-j\leq-N_{y}-1\）和\（1 \leq j’\leq N_{y}-1）.来自(11)和(13)，我们可以找到条目\（A）^{v，v}_{m，n}\neq 0\）当且仅当

$$\operatorname{supp}（\phi_{i'，j'}）\cap B_{delta}（x_{i}，y_{j}）\neq\emptyset$$

(18)

因此，所有矩阵块\（{\mathbf{B}}_{j，j'}\）具有\（|j-j'|>L\）英寸(17)消失。然后\（\mathbf{答}_{N} ^{v，v}\）是一个\（2L+1）块带矩阵，可以表示为以下形式：

$$\mathbf美元{答}_{N} ^{v，v}=\begin{pmatrix}{\mathbf{B}}{1,1}&{\mathbf{B{}{1,2}&\cdots&{\mathbf{B}}{1，L+1}&\mathbf{0}&\cdots&\mathbf{0{\\{\mathpf{Bneneneep}{2,1}&}\mathbf1{B}{{{2,2}&\ ddots&\ cdots&\ddots&\ cdots&\mathbf{0}\\vdots&\ ddots&\\ddots&\ddots＆\ ddots&\vdots\\{\mathbf{B}}_{L+1,1}&&ddots&&ddots&&ddots&&vdots \\\mathbf｛0｝&&ddots&&ddots&&ddots&&mathbf｛0｝\\\mathbf｛0｝&&ddots&&ddots&&ddots&&ddots&&mathbf｛B｝_｛N_{y} -L-1，N个_{y} -1个}\\vdots&\ddots&\ ddots&\ ddots&\ ddot&\ ddotes&\ addots&\\vdots\\\mathbf{0}&\mathbf}&\cdots&\tathbf{0}&{\mathbf{B}_{N_{y} -1个，N个_{y} -L-1型}&\cdots&{\mathbf{B}}_{N_{y} -1个，N个_{y} -1个}\结束{pmatrix}$$

（19）

此外，在每个矩阵块中\（{\mathbf{B}}_{j，j'}\），我们有\（A）^{v，v}_{m，n}=0\）对于\（|i-i'|>K\）也就是说，\（{\mathbf{B}}_{j，j'}\）是一个\（2K+1）带状矩阵表示为

$$\mathbf美元{乙}_{j，j'}=\begin{pmatrix}{{b}}_{j，j'}^{1,1}&{b}_{j，j'{{1,2}&\cdots&{b{}_{j，j'}^{1，K+1}&{0}&\cdots&}0}\\{b}{j，j′}^2,1}&}{b}{j，ddots&\cdots&\ ddots＆\ cdots＆{0}\\vdots&\\ddots&\ ddots&\ ddot&\ ddotes&\ ddots&\vdots\\{{b}}_{j，j'}^{K+1,1}&\ ddos&\ ddot&\ ddotes&\ addots&\\ddots&\vdot \\{0}&\ddots&\ddot和\ ddots&\ ddots和\ ddot和_{y} -K-1，N个_{y} -1个}\\vdots&\ddots&\ ddots&\ ddots&\ ddot&\ ddotes&\ vdots\\{0}&\mathbf{0}&\cdots&\tmathbf}0}&{b}}_{j，j'}^{N_{y} -1个，个_{y} -K-1}&\cdots&{{b}}_{j，j'}^{N_{y} -1个，N个_{y} -1个}\结束{pmatrix}$$

（20）

通过引入以下翻译：

$$\xi_{1}=x'-x_{i}，\qquad\xi_{2}=y'-y_{j}$$

（21）

条目\（\mathbf{答}_{m，n}^{v，v}\）在中给出(11)可以简化为

$$A{m，n}^{v，v}=\int_{B_{delta}（0,0）}\frac{\xi_{1}^{2}\sigma（\Vert（\xi_1}，\xi_2}）\Vert）}{\xi_1{2}+\xi_2{2}^}\biggl（\delta_{m，n}-\psi\biggl（\frac{\xi_{1} -x个_{i'-i}}{h{x}}\biggr）\psi\biggl（\frac{\xi_{2} -年_{j'-j}}{h{y}}\biggr）\bigger）\，d\xi{1}\，d_xi{2}$$

(22)

让\（j{1}'-j{1{=j{2}'-j{2}=l，-l\leql\leqL\），并让

$$\begin{aligned}&m_{1}=（j_{1}-1）（N_{x}-1）+i，\quad 1\leqi \leqN_{x}-1，1\leq j_{1}\leq N_{y}-1，\\&N_{1}=\bigl（j'_{1}-1\biger）（N_{x}-1）+i'，\quad 1\leqi'\leqN_{x}-1，1\leq j'_{1}\leq N_{y}-1，\\&m_{2}=（j_2}-1）（N_{x}-1-）+i，\ quad 1\\leq i\leq N_{x{-1（j'{2}-1\biger）（N_{x}-1）+i'，\quad 1\leqi'\leqN_{x}-1，1\leq j'{2}\leq N_{y}-1。\结束{对齐}$$

(23)

然后我们观察到，因为\（1\leq i，i'\leq N_{x} -1个\)，

$$开始{对齐}b_{j{1}，j'{1}}^{i，i'}&=A_{m_1}，n_{1}^{v，v}\\&=int_{b_{delta}^{2}}\biggl（δ{m{1}，n{1}}-\psi\biggl（frac{xi_{1} -x个_{i'-i}}{h{x}}\biggr）\psi\biggl（\frac{\xi_{2} -年_{j’_{1} -j个_{1} }}{h_{y}}\biggr）\大gr）\，d\xi_{2}，n{2}}-\psi\biggl（\frac{\xi_{1} -x个_{i'-i}}{h{x}}\biggr）\psi\biggl（\frac{\xi_{2} -年_｛j’_{2} -j个_{2} }}{h_{y}}\biggr）\，d\xi_{1}\，d_xi_{2}\\&=A{m_{2{，n{2}}^{v，v}=b_{j{2}，j'{2}^{i，i'}。\结束{对齐}$$

(24)

根据(24)，我们已经证明\（\mathbf{乙}_{j{1}，j'{1}}=\mathbf｛B｝_｛j_｛2｝，j’_｛2｝｝\）如果块矩阵\（\mathbf{乙}_{j{1}，j'{1}\）和\（\mathbf{乙}_{j{2}，j'{2}\）在同一条对角线上。

让\（i{3}’-i{3}=i{4}'-i{4}=k，-k\leqk\leqK\），并让

$$\begin{aligned}&m_{3}=（j-1）（N_{x}-1）+i{3}，\quad 1\leqi{3{3}\leqN_{x}-1，1\leq j\leq N_{y}-1，\\&N_{3{=\bigl qj'\leqN_{y}-1，\\&m_{4}=（j-1）（N_{x}-1）+i_{4{，\quad 1\leqi_{4]\leqn_{x{-1，1\leq j\leqN2_y}-1=\bigl（j'-1\bigr）（N_{x}-1）+i'_{4}，\quad 1\leqi'_}4}\leqN_{x}-1，1\leq j'\leq N_{y}-1。\结束{对齐}$$

(25)

然后我们观察到

$$开始{对齐}b_{j，j'}^{i_{3}，i'{3}}&=A_{m_{3{，n_{3neneneep}^{v，v}\\&=int_{b_{delta}（0,0）}\frac{xi_{1}^{2}\sigma（\Vert（\xi_1}，\xi_2}）\Vert）}{xi_1}^2}+\xi_{2}^{2}}\biggl（δ{m{3}，n{3}}-\psi\biggl（frac{xi_{1} -x个_{我'_{3} -i_{3} }}{h{x}}\biggr）\psi\biggl（\frac{\xi_{2} -年_{j'-j}}{h_{y}}\biggr）\ biggrδ{m{4}，n{4}}-\psi\biggl（\frac{\xi_{1} -x个_{我'_{4} -i_{4} }}{h{x}}\biggr）\psi\biggl（\frac{\xi_{2} -年_{j'-j}}{h{y}}\biggr）\大gr）\，d\xi_{1}\，d_xi_{2}\\&=A_{m_{4}，n_{4{}^v，v}=b_{j，j'}^{i_{4]，i'{4}}。\结束{对齐}$$

(26)

根据(26)，我们得出每个块矩阵\（\mathbf{乙}_{j，j'}\）是带状Toeplitz矩阵。组合(24)和(26)，我们完成证明。□

推论1

刚度矩阵\（\mathbf{答}_{2N}\）可以存储在\（O（N）\）回忆.

证明

从结构上看\（\mathbf{答}_｛2N｝\），我们只证明了块矩阵\（\mathbf{答}_{N} ^{v，v}\）可以存储在\（O（N）\）回忆。来自定理1我们可以发现矩阵\（\mathbf{答}_{N} ^{v，v}\）只能通过存储以下内容来存储\（（2K+1）\）-由-\（（2L+1）\）条目：

$$\mathbf{G}=\begin{pmatrix}t_{-K，-L}^{v，v}&\cdots&t_{-K，0}^{v，v}&\cdots&t_{-K，L}^{v，v}\\vdots&\ddots&\ ddots&\ddots&\vdots\\t_{0，-L}^v，v{&\cdotes&t{0,0}^{v，v{&\cdots&t_{0，L}^{v，v}\\vdots&\ddots&\ vdots＆\ddots&\vdots\\t_{K，-L}^{v、v}&\cdots&t_{K，0}^{v，v{&\cdot&t_}K，j}^{v，v}\end{pmatrix}$$

（27）

因此，\（\mathbf{答}_{2N}\）可以存储在\（O（4*（2K+1）*（2L+1））=O（N）\）记忆。□

推论2

对于任何矢量\（u\in\mathbb{R}^{2N}\），矩阵-矢量乘法\（\mathbf{答}_{2N}\mathbf{u}\）可以在中执行\（O（N\log N）\）操作.

证明

我们将向量除以u个分成两半。那就是，

$$\mathbf{u}=\begin{pmatrix}\mathbf{u}_{1} \\\数学BF{u}_{2} \结束{pmatrix}$$

(28)

在哪儿\（\mathbf{u}_{1} ，\mathbf{u}_{1} \in\mathbb{R}^{N}\）.因此

$$\mathbf{答}_｛2个｝u=\开始｛pmatrix｝\mathbf{答}_{N} ^{v，v}&\mathbf{答}_{N} ^{v，w}\\mathbf{答}_{N} ^{v，w}&\mathbf{答}_{N} ^{w，w}\结束{pmatrix}\开始{pmatricx}\mathbf{u}_{1} \\ mathbf{u}_{2} \end｛pmatrix｝=\ begin｛pmatrix｝\mathbf{答}_{N} ^{v，v}\mathbf{u}_{1} +\mathbf{答}_{N} ^{v，w}\mathbf{u}_{2} \\ mathbf{答}_{N} ^{v，w}\mathbf{u}_{1} +\mathbf{答}_{N} ^{w，w}\mathbf{u}_{2} \结束{pmatrix}$$

(29)

由于矩阵的BTTB结构\（\mathbf{答}_{N} ^{v，v}\），\（\mathbf{答}_{N} ^{v，w}\）、和\（\mathbf{答}_{N} ^{w，w}\），矩阵-向量乘法\（\mathbf{答}_{N} ^{v，v}\mathbf{u}_{1}\)，\（\mathbf{答}_{N} ^｛v，w｝\mathbf{u}_{2} \），\（\mathbf{答}_{N} ^{v，w}\mathbf{u}_{1}\)、和\（\mathbf{答}_{N} ^{w，w}\mathbf{u}_{2} \）可以在中计算\（O（N\log N）\）操作[19]。因此，总矩阵向量乘法\（\mathbf{答}_{2N}\mathbf{u}\）可以在中进行计算\（O（4N）=O（N）操作。□

4预处理快速Krylov子空间方法

在Krylov子空间迭代法中，每次迭代都由矩阵-向量乘法和相关的向量运算组成。因此，由于前一节中证明的快速矩阵-向量乘法，可以开发出快速Krylov子空间迭代方法。它可以减少来自\（O（N^{2}）\）到\（O（N\log N）\）每个Krylov子空间迭代。此外，根据推论2，内存需求也可以从\（O（N^{2}）\）到\（O（N）\）然而，由于核函数的奇异性，迭代次数可能仍然很大σ因此，我们需要引入一个有效的预条件来减少迭代次数和总的计算成本。

对于BTTB型矩阵\（\mathbf{A_{2N}}\），一个简单的预条件可以选择为

$$\mathbf美元{C}（C）_{F，1}=\begin{pmatrix}\mathbf{C}（C）_{F，1}^{v，v}&\mathbf{C}（C）_{F，1}^{v，w}\\mathbf{C}（C）_{F，1}^{w，v}&\mathbf{C}（C）_｛F，1｝^｛w，w｝\end｛pmatrix｝\in\mathbb｛R｝^｛2N｝$$

(30)

哪里\（\mathbf{C}（C）_{F，1}^{v，w}=\mathbf{C}（C）_{F，1}^{w，v}\）和每个矩阵\（\mathbf{C}（C）_{F，1}^{I}\在\mathbb{R}^{N\次N}\），使用\（I=（v，v）\），\（（v，w）\）或\（（w，w）\），写为[19——21]

$$\mathbf美元{C}（C）_{F，1}^{I}=\begin{pmatrix}\mathbf{C}^{我}_{0}&\cdots&\mathbf{C}^{我}_{五十} &\mathbf{0}&\cdots&\mathbf{0{0}&\mathbf{0}&\cdots&\mat血红蛋白{0}\\vdots&\ddots&\ ddots&\ ddots&\ ddot&\ddot&^{我}_{-L}&\ddots&\mathbf{C}^{我}_{0}&\ddots&\ddot和\mathbf{0}和\ddots和\ddot以及\mathbf{0}\\mathbf}0}&\ ddots&\ddots-\mathbf1{C}^{我}_{0}&\ddots&\ddot和\mathbf{0}和\ddots和\ mathbf^{我}_{0}&\ddots&\ddotes&\mathbf{0}\\mathbf}0}&\ ddots&\ddots&\mathbf{0}&\ ddot&\ddot&\ mathbf^{我}_{0}&\ddots&\mathbf{C}^{我}_{五十} \\vdots&\ddots&\ ddots&\ ddots&\ ddot&\ ddotes&\ ddots&\\ddots＆\ vdots\\mathbf{0}&\cdots&\tathbf{0}&\mathbf}^{我}_{-L}&\cdots&\mathbf{C}^{我}_{0}\结束{pmatrix}$$

(31)

其中矩阵块\（\mathbf{C}（C）_{l} ^{I}\），使用\（-L\le L\le L\），是Toeplitz矩阵的Chan循环矩阵\（\mathbf{T}（T）_{l} ^{I}\）:

$$\mathbf美元{C}（C）_{l} ^{I}=\begin{pmatrix}c_{0，l}^{I{我}&c_{1，l}我}&\cdots&c_{N_{x} -3个，l}^{I}&c_{N_{x} -2个，l}^{I}\\c_{-1_{x} -3个，l｝^｛I｝\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&c｛3-N_｛x｝，l｝^｛I｝&\ddots&c｛0，l｝^｛I｝&c｛1，l｝^｛I｝\\c｛2-N_｛x｝，l｝^｛I｝&c｛3-N_｛x｝，l｝^｛I｝&cdots&c｛-1，l｝^｛I｝&c｛0，l｝^｛I｝\end｛pmatrix｝$$

(32)

在(32)，对角线\（\mathbf{C}（C）_{l} ^{I}\）由提供

$$c_{-k，l}^{I}=\textstyle\begin{cases}\frac{（N_{x} -1-千)t_｛-k，l｝^｛I｝+k t_｛N_{x} -1-千，l}^{I}}{N_{x} -1个}，&0\le k\le N_{x} -2个，\\c_{1-N_{x} -k个，l}^{I}，&2-N_{x}\le k<0。\结束{cases}$$

（33）

然而，这个预条件不容易反转。因此，我们在本文中考虑以下预处理器，称为BCCB型预处理器：

$$\mathbf美元{C}（C）_{F，2}=\begin{pmatrix}\mathbf{C}（C）_{F，2}^{v，v}&\mathbf{C}（C）_{F，2}^{v，w}\\mathbf{C}（C）_{F，2}^{w，v}&\mathbf{C}（C）_{F，2}^{w，w}\结束{pmatrix}$$

(34)

在哪里\（I=（v，v）\），\（（v，w）\），或\（（w，w）\），\（\mathbf{C}（C）_{F，2}^{I}\）表示的BCCB矩阵\（\mathbf{答}_{N} ^{I}\），它可以由\（\mathbf{C}（C）_{F，1}^{I}\）定义于(31). 更准确地说，\（\mathbf{C}（C）_{F，2}^{I}\）可以表示为

$$\mathbf{C}（C）_{F，2}^{I}=\begin{pmatrix}\tilde{\mathbf{C}}_{0}^{I}&\tilde}\mathbf{C}{1\}^{I}&\cdots&\tilde{mathbf}C}}{N_{y} -3个}^{一} &\波浪线{\mathbf{C}}_{N_{y} -2个}^{一} \\波浪线{\mathbf{C}}_{-1}^{I}&\tilde{\mathbf{C{}_{0}^{I}&\ddots&\ddotes&\波浪线{\ mathbf}C}}_{N_{y} -3个}^{I} \\vdots&\dodots&\dodots&\dodots&\dodots&\dodots\\vdots\\\\tilde｛\mathbf｛C｝｝_｛3-N_｛y｝｝^｛I｝&&\tilde｛\mathbf｛C｝｝_｛1｝^｛I｝\\\\tilde｛\mathbf｛C｝｝_｛2-N_｛y｝^｛I｝&&\tilde｛\mathbf C｝｝_｛3-N_｛y｝｝｝^｛I｝&&\cd ots&&tilde｛\mathbf｛C｝｝_｛-1｝^｛I｝&&tilde｛\mathbf｛C｝｝_｛0｝^｛I｝\end｛pmatrix｝$$

(35)

其中每个循环矩阵块由

$$\tilde{\mathbf{C}}_{-k}^{I}=\textstyle\begin{cases}\frac{（N_{y} -1-千)\马特布夫{C}（C）_{-k，l}^{I}+k\mathbf{C}（C）_{否_{y} -1-千，l}^{I}}{N_{y} -1个}，&0\le k\le N_{y} -2个，\\mathbf{C}（C）_{1-N（1-N）_{y} -k个，l}^{I}，&2-N_{y}\le k<0。\结束{cases}$$

(36)

让\（\mathbf{F}（F）_{n} \）成为n个-阶离散傅里叶变换矩阵和\（\mathbf{我}_{2} \）是二阶单位矩阵

$$\mathbf美元{我}_{2} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatricx}$$

让\（\mathbf{F}（F）_{2} =\mathbf{F}（F）_{否_{y} -1个}\奥提姆语\mathbf{F}（F）_{否_{x} -1个}\)是二维离散傅里叶变换矩阵\（\mathbf{F}（F）_{2} ^｛*｝=（\mathbf{F}（F）_{否_{y} -1个}\奥提姆语\mathbf{F}（F）_{否_{x} -1个})^{*}\)是二维傅立叶逆变换矩阵。然后是矩阵\（\mathbf{C}（C）_｛F，2｝\）可以分解为以下形式：

$$\开始{aligned}\mathbf{C}（C）_{F，2}&=（\mathbf{我}_{2} \tomes\mathbf{F}（F）_{2} ）\boldsymbol｛\varLambda｝\bigl（\mathbf{我}_{2} \tomes\mathbf{F}（F）_{2} ^{*}\bigr）\\&=（\mathbf{我}_{2} \tomes\mathbf{F}（F）_{2} ）\begin{pmatrix}\boldsymbol{\varLambda}^{v，v}&\boldsymbol{\varLambeda}^{v，w}\\boldsympol{\valLambda{^{w，v}&\bodsymbol{\varLambda}^{w、w}\end{pmmatrix}\bigl（\mathbf{我}_{2} \tomes\mathbf{F}（F）_{2} ^{*}\biger）。\结束{对齐}$$

(37)

在这里\（\boldsymbol{\varLambda}^{I}\）是一个对角矩阵，其中主对角线上的项是矩阵的特征值\（\mathbf{C}（C）_{F，2}^{I}\）对于\（I=（v，v）\），\（（v，w）\），或\（（w，w）\）也就是说，\（\boldsymbol{\varLambda}^{I}\）可以写为

$$\boldsymbol{\varLambda}^{I}=\begin{pmatrix}\lambda_{1,1}^{I}&0&\cdots&0\\0&\lambda _{2,2}^I}&\cdot&0\\vdots&\ddots&\ vdots\\0&0&\ cdots\\lambda_{N，N}^I{end{pmatricx}$$

(38)

反转矩阵\（\mathbf{C}（C）_{F，2}\）快速，我们考虑求解线性方程的计算成本

$$\mathbf美元{C}（C）_{F，2}\mathbf{y}=\mathbf{d}$$

(39)

对一些人来说\（\mathbf{d}\in\mathbb{R}^{2N}\）.

定理2

对于任何矢量\（\mathbf{d}\in\mathbb{R}^{2N}\），线性系统(39)可以在中解决\（O（N\log N）\）操作.

证明

回想一下\（\mathbf{C}（C）_{F，2}^{I}\）可以在中计算\（O（N\log N）\）通过二维快速傅立叶变换（2DFFT）进行操作。因此∧需要\（O（N\log N）\）操作。发件人(37)，以反转\（\mathbf{C}（C）_{F，2}\）有效地，我们需要计算Λ高效。

我们引入一个置换矩阵P（P）这样的话

$$\mathbf{P}^{*}\boldsymbol{\varLambda}\mathbf{P}=\begin{pmatrix}\tilde{\boldsymbol{\\varLambda}}_{1,1}&\mathbf-{0}&\cdots&\mathbf{0}\\mathbf}0}&\ tilde{\ boldsymbol{\valLambda{0}_{2,2}&\cdots&\ mathbf}0}\\vdots&\\ddots&\vdots \\mathbf{0}&\mathbf}0}&\ cdots&\波浪线{\boldsymbol{\varLambda}}_{N，N}\end{pmatrix}，$$

(40)

在哪里\（1 k N），

$$\tilde{\boldsymbol{\varLambda}}{k，k}=\begin{pmatrix}\lambda_{k，k}^v，v}&\lambda _{k、k}^{v，w}\\lambda _{k，k}^{w，v}&\lampda _{k，k}^{w、w}\end{pmatricx}$$

(41)

因此，每个矩阵块\（波浪线{\boldsymbol{\varLambda}}_{k，k}\）具有\（1 k N）是一个2乘2矩阵。它需要\（O（1）\）要反转的操作\（波浪线{\boldsymbol{\varLambda}}_{k，k}\）相应地，逆矩阵的总体计算工作Λ是\（O（N）\）操作。逆矩阵\（\mathbf{C}（C）_{F，2}\），我们还必须计算\（（\mathbf{我}_{2} \tomes\mathbf{F}（F）_{2} ）\mathbf{u}\）和\（（\mathbf{我}_{2} \时间\数学{F}（F）_{2} ^{*}）\mathbf{u}\）对一些人来说\（\mathbf{u}\in\mathbb{R}^{2N}\）。它需要\（O（N\log N）\）使用2DFFT和二维快速傅里叶逆变换（2DIFFM）进行运算。

更准确地说，我们给出了求解线性系统的以下步骤(39):

• 评估矩阵∧通过2DFFT。注意，在启动Krylov子空间迭代方法之前，只需要计算一次。它需要\（O（N\log N）\）操作。

• 划分向量d日分成两半。那就是，\（\mathbf{d}=[\mathbf{d}_{1} ，\mathbf{d}_{2} ]^{T}\），其中\（\mathbf{d}_{1} ，\mathbf{d}_{2} \in\mathbb{R}^{N}\）.执行2DFFT\（\mathbf{z}（z）_{1} =\mathbf{F}（F）_{2} \马特布夫{d}_{1}\)和\（\mathbf{z}（z）_{2} =\mathbf{F}（F）_{2} \马特布夫{d}_{2} \）。它需要\（O（N\log N）\）操作。

• 对于\（1），我们求解矩阵方程

  $$\波浪线{\boldsymbol{\varLambda}}_{k，k}\begin{pmatrix}\mathbf{w}_{1} （i）\\mathbf{w}_{2} （i）\end{pmatrix}=\begin{pmatricx}\mathbf{z}（z）_{1} （i）\\\\mathbf{z}（z）_{2} （i）结束{pmatrix}$$

  (42)

  哪里\（\mathbf{w}_{1} （i）\）和\（\mathbf{w}_{2} （i）\）是我向量的第th个元素\（\mathbf｛w｝_{1}\)和\（\mathbf{w}_{2} \）分别是。它需要\（O（N）\）操作。

• 执行二维快速傅里叶逆变换（2DIFFM）\（\mathbf{y}（y）_{1} =\mathbf{F}（F）_{2} ^{*}\mathbf{w}_{1}\)和\（\mathbf{y}（y）_{2} =\mathbf{F}（F）_{2} ^{*}\mathbf{w}_{2} \）.然后我们得到解决方案

  $$\mathbf{y}:=[\mathbf{y}（y）_{1} ，\mathbf{y}（y）_{2} ]^{T}$$

  (43)

  它需要\（O（N\log N）\）操作。

 □

5数值实验

在本节中，我们进行了一些数值实验，以研究预处理快速配置方法与第节中讨论的BCCB型预处理器的性能。 三在数值实验中，我们考虑了周动力模型(1)使用内核函数[15]

$$\sigma\bigl（\bigl\vert（x，y）\bigr\vert\bigr）=\frac｛1｝｛（x^｛2｝+y^｛2｝）^｛1+s｝｝$$

(44)

让\（\varOmega=（0,1）\次（0,1）\）.地平线半径\（增量=1/8）.精确解\（\mathbf{u}（x，y）=（v（x，y），w（x，x））被选为

$$v（x，y）=w（x，y）=x（1-x）y（1-y），\quad（x，x）\ in \varOmega$$

我们还使用v（v）和w个定义\（g ^｛v｝\）和\（g^{w}\）关于边界带\（\varOmega_{c}\）.右侧外力项\（\mathbf{f}（x，y）\）通过极坐标变换计算，如下所示：

$$开始{对齐}&f^{v}（x，y）=\frac{3\pi\delta^{2-2s}}{8-8s}\bigl{3\pi\delta^{2-2s}}{8-8s}\bigl（x-x^{2}\bigr）+\frac{\pi\delta^{2-s}}}{8s}\ bigl-\frac{\pi\delta^{4-2s}}{32-16s}。\结束{对齐}$$

(45)

为了简单起见，我们选择\（h{x}=h{y}=h\）.

我们解线性方程(8)采用共轭梯度平方法（CGS）、无任何预条件的快速共轭梯度平方方法（FCGS）和带BCCB型预条件的快共轭梯度平方算法（BCCB-FCGS）。以下数值实验是在具有8-GB内存的计算机上进行的。迭代终止的精度要求为10⁻⁸.

示例1

在这个数值示例中，我们选择\（s=3/8）英寸(44). 我们提供\（L^{2}\）由CGS解算器、FCGS解算器和BCCB-FCGS解算器生成的网格尺寸的数值解的误差$1/2^{4}$到$1/2^{9}$在表中1我们还提供了这些解算器所消耗的CPU时间以及表中迭代方法的迭代次数1除了快速方法（FCGS和BCCB-FCGS）相对于传统方法（CGS）在内存需求和CPU时间方面的优势外，我们从表中观察到1与没有任何预处理器的FCGS相比，BCCB型预处理器可以显著减少迭代次数和CPU时间。例如，当小时等于2⁹FCGS解算器需要455次迭代和将近3个小时的CPU时间，但BCCB解算器只需要58次迭代和近8分钟的CPU时间而不会损失精度。然而，当我们用\（h=1/2^{10}\），我们发现\（L^{2}\）错误。当我们计算主对角线项时，这种微小的增加可能是由奇异积分引起的\（\mathbf{A}^{v，v}\），\（\mathbf｛A｝^｛v，w｝\）、和\（\mathbf｛A｝^｛w，w｝\）.

表1示例中CGS、FCGS和BCCB-FCGS的性能1

在这个数值实验中，我们还使用线性回归来拟合收敛速度α和相关常数\（C_{\alpha}\）在误差估计中

$$\垂直\mathbf{u}-\mathbf{u_{h}}\Vert_{L^{2}（\varOmega）}\leqslide C_{alpha}h^{alpha}$$

(46)

我们还在表中给出了这些结果1我们看到收敛速度α是次线性的。

示例2

我们选择\（s=0）英寸(44). 我们在表中给出了相应的数值结果2如示例所示1。我们的观察结果与示例中的类似1然而，与表1中显示的结果相比，表中观察到数值解的精度提高，这三种迭代方法的迭代次数减少2.

表2示例中CGS、FCGS和BCCB-FCGS的性能2

6结论

首先，通过对未知量进行重新排序，发展了一种基于静态键的周动力模型的快速双线性配置方法，这与[18]，并通过仔细分析刚度矩阵的结构。这项工作大大减少了从\（O（N^{2}）\）到\（O（N\log N）\）每个Krylov子空间迭代。它还减少了刚度矩阵的存储\（O（N^{2}）\）到\（O（N）\）然而，Krylov子空间迭代法的迭代次数似乎很大，特别是对于核函数具有较强奇异性的周动力模型。本文利用刚度矩阵的结构，构造了一个有效的BCCB型预处理器，以提高快速配置方法的收敛性能。数值实验表明了该预处理方法的有效性。