具有两个奇异核的分数阶导数及其在热传导问题中的应用

摘要

在本文中，我们提出了一个涉及两个奇异核的分数导数的新概念。建立了与这个新算子相关的一些性质，并给出了一些例子。我们还介绍了分数阶微分方程的一些应用，并提出了一种基于Picard迭代的数值算法来逼近解。最后，给出了在热传导问题中的应用。

1介绍

在应用科学的许多应用中，使用带奇异核的分数阶导数可以获得比使用标准导数导出的模型更真实的模型（参见示例[2–7,10,11,13,14]). 文献中包含了具有奇异核的分数阶导数的各种概念。最著名的是Riemann–Liouville分数导数和Caputo分数导数（参见示例[12,22]). 有关其他定义，请参见，例如[1,8,15–21]以及其中的参考文献。

在[1]，阿尔梅达介绍了ψ-卡普托分数导数是卡普托导数的推广。也就是说，给定\（在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中为\psi\）具有\（磅/平方英寸>0）、和\（f在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中），左侧分数阶导数\（α在（n-1，n）中）属于（f）关于ψ由定义

$$\bigl（{}^{C}\！D_{a}^{alpha，\psi}f\bigr）^{n} （f）\biggr）（t），\quad a<t\leq b$$

哪里

$$\bigl（I{a}^{theta，\psi}h\bigr）（t）=\frac{1}{\varGamma（\theta）}\int_{a}^{t}\psi'（s）\bigl（\psi（t）-\psi（s）\ bigr，^{theta-1}h（s），ds，\quad\theta>0$$

右侧阶分数导数α属于（f）关于ψ由定义

$$\bigl（{}^{C}\！D_{b}^{alpha，\psi}f\bigr）^{n} （f）\biggr）（t）、\quad a\leq t<b$$

哪里

$$\bigl（I_{b}^{theta，\psi}h\bigr）（t）=\frac{1}{\varGamma（\theta）}\int_{t}^{b}\psi'（s）\bigl（\psi（s）-\psi（t）\bigr）^{theta-1}h（s）\，ds，\quad\theta>0$$

在特定情况下\（磅/平方英寸（t）=t\）,\（{}^{C}\！D_{a}^{alpha，\psi}\）减少到左侧的Caputo分数导数，以及\（{}^{C}\！D_{b}^{alpha，\psi}\）减少到右侧的Caputo分数导数。对于其他示例ψ，可以获得其他已知的分数运算符，例如Caputo–Hadamard的分数导数（参见[7])以及Caputo–Erdélyi–Kober的分数导数（参见[9]). 在所有上述概念中，分数导数只涉及一个奇异核。

本文提出了两个奇异核分数导数的新概念\（k{1}（t，s）=\frac{1}{\varGamma（\theta+1）}\varphi'（\tarphi（t）-\varphi（s））^{\theta}\）和\（k{2}（s，\tau）=frac{1}{varGamma（\mu+1）}\psi'（\tau，其中\（-1<θ）,\（\mu<0\）建议使用。我们建立了与这个引入的算子相关的一些性质，并给出了它在分数阶微分方程中的一些应用。即，我们研究了一类高阶非线性分数阶边值问题解的存在唯一性，并提供了一种基于Picard迭代的数值逼近方法。还提供了对热传导问题的应用。

在Sect。 2引入了具有两个奇异核的分数阶导数算子，并建立了一些性质。特殊情况\（\varphi=\psi\）第节讨论。 三。在Sect。 4，我们研究了一个高阶非线性分数阶边值问题。即，利用Banach不动点定理，我们建立了解的存在唯一性，并提供了一种基于Picard迭代的数值算法来逼近解。在Sect。 5给出了在热传导问题中的应用。

2具有两个奇异核的分数导数

首先，我们修正了一些符号。我们表示为\（\mathbb{N}\）正整数的集合。让\（n\in\mathbb{n}\）和\（a，b\in\mathbb｛R｝\）具有\（a<b）.让

$$\varPhi^{（n）}=\bigl\{\varPhi\in C^{n}\bigl（[a，b]，\mathbb{R}\bigr）：\varPhi'（t）>0，a\leq-t\leq-b\bigr\}$$

对于\（\varphi\in\varphi^｛（n）｝\），让

$$L_｛\varphi｝^｛（n）｝=biggl（\frac｛1｝｛\varphi’（t）｝\frac｛d｝｛dt｝\biggr）^｛n｝$$

定义2.1

让\（α，β在（n-1，n）中）,\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）,\（\psi\in\varPhi^{（n）}\）和\（f在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中）.左侧\（（\varphi，\psi）\）-分数导数（f）带参数\（（α，β））由定义

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）^{C} D类_{a} ^{\beta，\psi}f\biger）（t），\quad a<t\leq b$$

(1)

右侧\（（\varphi，\psi）\）-分数导数（f）带参数\（（α，β））由定义

$$\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）^{C} D类_{b} ^{\beta，\psi}f\biger）（t），\quad a\leq t<b$$

(2)

备注2.1

发件人(1)，对于所有人\（a），一个有

$$开始{aligned}\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）^{s}\psi'（\tau）\bigl（\psi（s）-\psi（\tau）\bigr）^{n-\beta-1}\bigl-（L_{\psi}^{（n）}f\bigr）（\tau）\，d\tau\biggr）\，ds.\end{aligned}$$

类似地，从(2)，对于所有人\（a \ leq t<b \），一个有

$$开始{aligned}\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）^{b}\psi'（\tau）\bigl（\psi（\tau）-\psi（s）\bigr）^{n-\beta-1}（-1）^{n}\bigle（L_{\psi}^{（n）}f\bigr）（\tau）\，d\tau\biggr）\，ds.\end{aligned}$$

在\（C（[a，b]，\mathbb{R}）\）我们考虑规范

$$\Vert f\Vert _{\infty}=\max\bigl\{\bigl\ Vert f（t）\bigr\Vert:a\leq t\leq b\bigr\}，\quad f\ in C\bigl（[a，b]，\mathbb{R}\bigr）$$

我们捐赠\（C^｛n｝（[a，b]，\mathbb｛R｝）\）符合规范

$$\Vert f\Vert=\sum_｛K=0｝^｛n｝\bigl\Vert L_｛\psi｝^｛（K）｝f\bigr\Vert｛infty｝，\ quad f\ in C^｛n｝\bigl（[a，b]，\mathbb｛R｝\bigr）$$

哪里\（磅/平方英寸\varPhi ^｛（n）｝\）.

定理2.1

让\（α，β在（n-1，n）中）,\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）,\（\psi\in\varPhi^{（n）}\）和\（f在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中）.然后

$$\bigl\vert\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr a<t \leq b$$

(3)

和

$$\bigl\vert\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr a \leq t<b$$

(4)

证明

让\（a）.然后

$$\begin{aligned}和\bigl\vert\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）\bigr\vert\&\quad\leq\frac{\Vertf\vert}{\varGamma}\biggl（\int_{a}^{s}\psi'（\tau）\bigl（\psi（s）-\psi（\tau）\biger）^{n-\beta-1}\，d\tau\biggr）\，ds\\&\quad\leq\frac{\Vert f\Vert}{\varGamma（n-\alpha）\varGamma（n-\beta+1{（psi（t）-\psi（a））^{n-\beta}（\varphi\varGamma（n-\beta+1）}\Vert f\Vert，\end{对齐}$$

这证明了(三). 使用类似的估计，可以得出(4). □

推论2.1

让\（α，β在（n-1，n）中）,\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）,\（\psi\in\varPhi^{（n）}\）和\（f\在C^｛n｝（[a，b]，\mathbb｛R｝）\中）.然后

$$\lim_{t\到^{+}}\bigl（D_{a}^{（alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）=0$$

(5)

和

$$\lim_{t\到b^{-}}\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）=0$$

(6)

证明

将限额视为\（指向^{+}）英寸(三), (5)如下所示。类似地，将极限视为\（t到b^{-}）英寸(4), (6)如下。□

拿

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（a）=0$$

一个从(5)那个\（C（[a，b]，mathbb{R}）中的（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\）类似地

$$\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（b）=0$$

一个从(6)那个\（D_｛b｝^｛（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）｝f\在C（[a，b]，\mathbb｛R｝）\中）因此，根据定理3.1，可以得到以下内容。

推论2.2

让\（α，β在（n-1，n）中）,\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）和\（\psi\in\varPhi^{（n）}\）.然后,对于任何\（g\在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中\）,我们有

$$\bigl\Vert D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}g\bigr\Vert_{\infty}\leq C\Vert g\Vert\quad\textit{和}\quad\bigl\Vert D_}^{（\alha，\be塔），（\ varphi$$

哪里

$$C=\frac{（\varphi（b）-\varpi（a））^{n-\alpha}}{\varGamma（n-\alfa+1）}\frac}（\psi（b）-\psi（a），^{n-\ beta}}{\varGamma（n-\beta+1）}$$

引理2.1

让\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）和\（在C^{1}（[a，b]，\mathbb{R}）中为f\）.然后

$$\lim_{\theta\到0^{+}}\bigl（I_{a}^{\theta，\varphi}f\bigr）（t）=f（t），\四元a<t\leqb$$

(7)

和

$$\lim_{\theta\到0^{+}}\bigl（I_{b}^{\theta，\varphi}f\bigr）（t）=f（t），\quad a\leq t<b$$

(8)

证明

让\（θ>0）一个有

$$\bigl（I{a}^{theta，\varphi}f\bigr）（t）=\frac{1}{\varGamma（\theta）}\int_{a}^{t}\varphi'（s）\bigl（\varphi（t）-\varphis）\bingr）^{theta-1}f（s）\，ds$$

分块集成，获得

$$\bigl（I{a}^{theta，\varphi}f\bigr）$$

传递到极限\（\theta\到0^{+}\）在上述等式中(7)如下所示。类似地，一个人有

$$\bigl（I_{b}^{theta，\varphi}f\bigr）（t）=\frac{1}{\varGamma（\theta）}\int_{t}^{b}\varphi'（s）\bigl（\varphi（s）-\varfi（t）\biger）^{theta-1}f（s）\，ds$$

分块集成，获得

$$\bigl（I_{b}^{theta，\varphi}f\biger）$$

传递到极限\（\theta\到0^{+}\）在上述等式中(8)如下。□

定理2.2

让\（n-1<β<n）,\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）,\（\psi\in\varPhi^{（n）}\）和\（f在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中）.

• （一） 如果\({}^{C} D类_{a} ^｛\beta，\psi｝f\在C^｛1｝中（[a，b]，\mathbb｛R｝）\）,然后

  $$\lim_｛\alpha\ to n ^｛-｝｝\bigl（D_｛a｝^｛（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）｝f\bigr）（t）=\bigl（｛｝^{C} D类_{a} ^{\beta，\psi}f\biger）（t），\quad a<t\leq b$$

• （二） 如果\({}^{C} D类_{b} C^{1}（[a，b]，\mathbb{R}）中的^{β，\psi}f,然后

  $$\lim_{\alpha\到n^{-}}\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）^{C} D类_{b} ^{\beta，\psi}f\biger）（t），\quad a\leq t<b$$

证明

使用(1)和(7)，（I）如下。类似地，使用(2)和(8)，（II）如下。□

定理2.3

让\（α，β在（n-1，n）中）,\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）,\（\psi\in\varPhi^{（n+1）}\）和\（在C^{n+1}（[a，b]，\mathbb{R}）中为f\）.对于所有人\（a）,

$$开始{aligned}&\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）\\&\quad=\frac{α-1}\bigl（\psi（s）-\psi（a）\bigr）^{n-\beta}\，ds\\&\qquad{}+\frac{1}{\varGamma（n-\alpha）\varGamma（n+1-\beta）}\int_{a}^{t}\varphi'（s）\bigl）}f\bigr）（\tau）\，d\tau\biggr）\，ds.\end{aligned}$$

(9)

对于所有人\（a \ leq t<b \）,

$$开始{对齐}和\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）\\&\quad=\frac{（-1）^{n}\biger）^{n-\alpha-1}\bigl（\psi（b）-\psi（s）\bigr）^{n-\beta}\，ds\\&\qquad{}-\frac{1}{\varGamma（n-\alfa）\varGamma（n+1-\beta）}\int_{t}^{b}\varphi'（s）\bigl{\psi}^{（n）}f\bigr）（\tau）\，d\tau\biggr）\，ds.\end{aligned}$$

(10)

证明

方程式(9)以下为(1)和[1，定理1]。(10)以下为(2)和[1，定理1].□

推论2.3

让\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）,\（\psi\in\varPhi^{（n+1）}\）和\（在C^{n+1}（[a，b]，\mathbb{R}）中为f\）.然后

$$\lim_｛\alpha\ to n^｛-｝｝\Bigl（\lim_｛\beta\ to n^｛-｝｝\Bigl（D_｛a｝^｛（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）｝f\bigr）（t）\bigr）=\Bigl（L_｛\psi｝^｛（n）｝f\bigr）（t），quad a＜t\leq b$$

(11)

和

$$\lim_{\alpha到n^{-}}\Bigl（\lim_{\beta\到n^}-}}\ Bigl$$

(12)

证明

让\（a<t\ leq b\）。来源(9)，用于\（n-1<α<n），一个有

$$开始{aligned}&\lim_{\beta\到n^{-}}\bigl（D_{a}^{（alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）s）\biger）^{n-\alpha-1}\，ds\\&\qquad{}+\frac{1}{\varGamma（n-\alfa）}\int_{a}^{t}\varphi'（s）\bigl（\varphi（t）-\varfi（s）\bigr）^{n-\alpha-1}\biggl（\int_{a}^{s}\frac{d}{d\tau}\ bigl+1）}\bigl（L_{\psi}^{（n）}f\bigr）（a）\\&\qquad{}+\frac{1}{\varGamma（n-\alpha）}\int_{a}^{t}\varphi'（s）\bigl（\varphi（t）-\varphis（s）\bigr）^{n-\alpha-1}\bigl$$

因此，将极限视为\（\alpha\到n^{-}\）、和使用(7), (11)如下所示。同样，对于\（a \ leq t<b \），使用(10)和(8), (12)如下。□

三案例\（\varphi=\psi\）

让\（α，β在（n-1，n）中）,\（\psi=\varphi\in\varphi^{（n）}\）和\（f在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中）。在这种情况下，由(1)，对于所有人\（a），一个获得

$$\begin{aligned}\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）^{C} D类_{a} ^{\beta，\varphi}f\bigr）（t）\\&=I{a}^{n-\alpha，\varfi}\bigl。\结束{对齐}$$

使用半群属性（请参见[1])，我们有

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）$$

(13)

同样，通过(2)，一个获得

$$\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）^{n} L（左）_{\varphi}^{（n）}f\bigr）（t），\quad a\leq t<b$$

(14)

3.1案例\（2n-1<\alpha+\beta<2n\）

在这种情况下，使用(13)，有一个

$$\bigl（D_｛a｝^｛（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）｝f\bigr）（t）=\bigl（I_｛a｝^｛n-（\alpha+\beta-n），\varphi｝L_｛\varphi｝^｛（n）｝f\bigr）（t），\quad a＜t\leq b$$

即。

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）=\bigle（{}^{C} D类_{a} ^{\alpha+\beta-n，\varphi}f\bigr）（t），\quad a<t\leq b$$

类似地，使用(14)，一个获得

$$\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）=\bigle（{}^{C} D类_{b} ^{\alpha+\beta-n，\varphi}f\bigr）（t），\quad a\leq t<b$$

因此，以下结果成立。

定理3.1

让\（α，β在（n-1，n）中）,\（\varphi\in\varphi^{（n）}\）和\（f在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中）.假设\（2n-1<α+β<2n\）.然后

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\varpi）}f\bigr）（t）=\bigle（{}^{C} D类_{a} ^{\alpha+\beta-n，\varphi}f\bigr）（t）=\bigl（D_{a}^{（\beta，\alpha），（\varphi，\valphi）}f\ bigr（t），\quad a<t\leq b$$

和

$$\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\valphi）}f\bigr）（t）=\bigle（{}^{C} D类_{b} ^{\alpha+\beta-n，\varphi}f\bigr）（t）=\bigl（D_{b}^{（\beta，\alpha），（\varphi，\valphi）}f\ bigr（t），\quad a\leq t<b$$

3.2案例\（2n-2<α+β<2n-1）

在这种情况下，使用(13)，用于\（a），一个有

$$开始{对齐}和\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）'（s）\bigl（\varphi（t）-\varphi\bigr）^{2n-\alpha-\beta-1}\bigl-（L_{\varphi}^{（n）}f\biger）（s）\，ds\\&\quad=\frac{1}{\varGamma（2n-\alpha-\beta）}\int_{a}^{t}\bigl$$

分块集成，获得

$$开始{对齐}[b]&\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）\\&\quad=\frac{1}{\varGamma（2n-\alpha-\beta r]{s=a}^{t}\\&\qquad{}+\frac{（2n-\alpha-\beta-1）}{\varGamma（2n-\alpha-\beta）}\int_{a}^}\bigl（\varphi（t）-\varfi（s）\bigr）^{2n-\alpha-\beta-2}\varphi'（s）\ bigl}^{（n-1）}f\bigr）（a）+g{n}（t），\end{aligned}$$

(15)

哪里

$$开始{对齐}g_{n}（t）=&\frac{1}{\varGamma（（n-1）-（\alpha+\beta-n））}\\&{}\times\int_{a}^{t}\bigl（\varphi（t \结束{对齐}$$

现在，我们讨论两个案例。

•\（n=1）在这种情况下，有一个

$$\begin{aligned}g{1}（t）=&\frac{1}{\varGamma（1-（\alpha+\beta））}\int_{a}^{t}\bigl（\varphi（t。\结束{对齐}$$

因此，通过(15)，可以推断出

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）=\frac{-1}{\varGamma（2-\alpha-\beta$$

•\（第2页）在这种情况下

$$g_{n}（t）=\bigl（{}^{C} D类_{a} ^{\alpha+\beta-n，\varphi}f\bigr）（t）$$

因此，通过(15)有人推断

$$开始{对齐}和\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）\\&\quad=-\frac{1}{\varGamma（2n-\alpha-\beta^{C} D类_{a} ^{\alpha+\beta-n，\varphi}f\bigr）（t）。\结束{对齐}$$

类似地，使用(14)，用于\（a \ leq t<b \）和\（第2页），一个获得

$$开始{对齐}和\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）\\&\quad=\frac{1}{\varGamma（2n-\alpha-\beta+\bigl（{}^{C} D类_{b} ^{\alpha+\beta-n，\varphi}f\bigr）（t）\end{aligned}$$

和用于\（n=1）,

$$开始{对齐}和\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）\\&\quad=\frac{-1}{\varGamma（2-\alpha-\beta●●●●。\结束{对齐}$$

因此，我们得到以下结果。

定理3.2

让\（α，β在（n-1，n）中）,\（第2页）,\（\varphi\in\varphi^{（n）}\）和\（f在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中）.假设\（2n-2<α+β<2n-1）.然后

$$开始{对齐}和\bigl^{C} D类_{a} ^{\alpha+\beta-n，\varphi}f\bigr）（t）\\&\quad=\bigl（D_{a}^{（\beta，\alpha），（\varphi，\valphi）}f\ bigr（t），\quad a<t\leq b，\end{aligned}$$

和

$$开始{对齐}和\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\varphi）}f\bigr）（t）\\&\quad=\frac{（\ varphi（b）-\varphi（t））^{2n-\alpha-\beta-1}}{\varGamma（2n-\alpha-\beta）}（-1）}^{C} D类_{b} ^{\alpha+\beta-n，\varphi}f\bigr）（t）\\&\quad=\bigl（D_{b}^{（\beta，\alpha），（\varphi，\valphi）}f\ bigr（t），\quad a\leq t<b.\end{aligned}$$

定理3.3

让\（0<α，β<1）,\（\varphi\in\varphi^｛（1）｝\）和\（在C^{1}（[a，b]，\mathbb{R}）中为f\）.假设\（0<\alpha+\beta<1\）.然后

$$\begin{aligned}和\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\ varphi）}f\bigr）（t）\\&\quad=\frac{-1}{\varGamma（2-\alpha-\beta）\\&\quad=\bigl（D_{a}^{（\beta，\alpha），（\varphi，\varphi）}f\bigr）（t），\quad a<t\leq b，\结束{对齐}$$

和

$$开始{对齐}和\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\varphi）}f\bigr）（t）\\&\quad=\frac{-1}{\varGamma（2-\alpha-\beta）\\&\quad=\bigl（D_{b}^{（\beta，\alpha），（\varphi，\varphi）}f\bigr）（t），\四边形a\leq t<b.结束{对齐}$$

3.3案例\（α+β=2n-1）

在这种情况下，使用(13)，用于\（a），一个有

$$开始{aligned}\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）\nint_{a}^{t}\varphi'（s）\bigl（L_{\varphi}^{（nf\biger）（s）\，ds\\=&\bigl（L_{\varphi}^{（n-1）}f\bigr）。\结束{对齐}$$

类似地，使用(14)，用于\（a \ leq t<b \），一个获得

$$\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}f\bigr）（t）=（-1）^{n}\bigl$$

因此，我们得到以下结果。

定理3.4

让\（α，β在（n-1，n）中）,\（\varphi\in\varphi^{（n）}\）和\（f在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中）.假设\（α+β=2n-1）.然后

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\ varphi）}f\bigr）（t）=\bigle$$

和

$$\begin{aligned}\bigl（D_{b}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\ varphi）}f\bigr）（t）&=（-1）^{n}\bigr[\bigl[（L_{\varphi}^{（n-1）}f \bigr]（b varphi，\varphi）}f\bigr）（t），\quad a\leq t<b.\end{aligned}$$

示例3.1

让\（0<α，β<1）.考虑功能

$$f（t）=\bigl（\varphi（t）-\varphi（0）\bigr）^{2}，\quad 0\leq t\leq 1$$

(16)

哪里\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）.签署人(13)，一个有

$$\bigl（D_{0}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\varphi）}f\bigr）$$

也就是说，

$$\begin{aligned}和\bigl（D_{0}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\ varphi）}f\bigr）（t）\\&\quad=\frac{1}{\varGamma（2-\alpha-\beta-\alpha-\beta）}\int_{0}^{t}\bigl（\varphi（t）-\varphi\bigr）^{1-\alpha--\beta}\bigl（\varphi（s）-\varfi（0）\bigr）\varphi'（s）\，ds\\&\quad=\frac{2 alpha-\beta}\bigl（\varphi（s）-\varfi（0）\bigr）\varphi'（s）\，ds.\end{aligned}$$

使用变量的变化\（z=\frac｛\varphi（s）-\varphi（0）｝｛\varphi（t）-\varphi（0）｝\），一个获得

$$\begon｛aligned｝\bigl（D_｛0｝^｛（\alpha，\beta），（\varphi，\varphi）｝f\bigr）（t）=&&frac｛2（\varphi（t）-\varphi（0）^｛3-\alpha-\beta｝｝｛\varGamma（2-\alpha-\beta）｝\int _｛0｝^｛1｝（1-z）^｛（2-\alpha-\beta）-1｝z ^｛2-1｝\，dz \\=&&frac｛2（\varphi（t）-\varphi（0）^｛3-\alpha-\beta｝｝｛\varGamma（2-\alpha-\beta）｝B（2-\alpha-\beta，2）\\=&&frac｛2｝｛\varGamma（4-\alpha-\beta）｝\bigl（\varphi（t）-\varphi（0）\bigr）^｛3-\alpha-\beta｝，\end｛aligned｝$$

哪里B类是beta函数。请注意

$\lim_{（\alpha，\beta）\ to（1^{-}，1^{-o}）}\bigl（D_{0}^{（\ alpha、\beta$$

这证实了(11). 数字1–三显示的一些图形\（（D_{0}^{（alpha，beta），（varphi，varphi）}f）（t）\）用于不同的功能φ和不同的值\（（\alpha，\beta）\）.

图1

的图形\（（D_{0}^{（alpha，beta），（varphi，varphi）}f）（t）\）,（f）由提供(16)和\（\varphi（t）=t\）

图2

的图形\（（D_{0}^{（alpha，beta），（varphi，varphi）}f）（t）\）,（f）由提供(16)和\（\varphi（t）=（t+1）^{2}\）

图3

的图形\（（D_{0}^{（alpha，beta），（varphi，varphi）}f）（t）\）,（f）由提供(16)和\（瓦尔斐（t）=ln（t+1））

根据与上面类似的论证，我们得到了一个定理。

定理3.5

让\（α，β在（0,1）中）和\（θ>0\）.让

$$f（t）=\bigl（\varphi（t）-\varphi（a）\bigr）^{\theta}，\quad a\leq t\leq b$$

哪里\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）.然后

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\ varphi）}f\bigr）（t）=\frac{\varGamma（\theta+1）}{\varGamma（2-\alpha-\beta+\theta）}\bigl-（\varfi（t）-\valphi（a）\biger）^{\theta+1-\alpha--\beta}，\quad a<t\leqb$$

Mittag-Lefler函数\（E_{\theta}\）,\（θ>0），由定义

$$E_{\theta}（t）=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{\varGamma（\thetak+1）}，\quadt\geq0$$

定理3.6

让\（\rho>0\）和\（0<α，β<1）具有\（1<\alpha+\beta<2\）.让

$$f（t）=E_｛\alpha+\beta-1｝\bigl（\rho\bigl（\varphi（t）-\varphi（a）\bigr）^｛\alpha+\beta-1｝\bigr），\quad a\leq t\leq b$$

哪里\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）.然后

$$\bigl（D_{a}^{（alpha，\beta），（varphi，\varphi）}f\bigr）（t）=\rho f（t），\quad a<t\leq b$$

证明

根据定理3.1，一个有

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\varpi）}f\bigr）（t）=\bigle（{}^{C} D类_{a} ^{\alpha+\beta-1，\varphi}f\bigr）（t）$$

接下来，使用[1，引理2]，预期结果如下。□

定理3.7

让\（\rho>0\）和\（0<α，β<1）具有\（0<α+β<1）.让

$$f（t）=E_{1-\alpha-\beta}\bigl$$

哪里\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）.然后

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\ varphi）}f\bigr）（t）=\frac{f（t）}{\rho}-\biggl[\frac}（\varfi（t）-\varphi（a））^{1-\alpha-\beta}}{\varGamma$$

证明

根据定理3.3，一个有

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\ varphi）}f\bigr）（t）=\frac{-1}{\varGamma（2-\alpha-\beta$$

为所有人\（a）另一方面，一个基本的计算给了我们

$$\bigl（I_{a}^{1-（\alpha+\beta），\varphi}f\bigr）（t）=\frac{f（t）-1}{\rho}$$

为所有人\（a<t\ leq b\）因此，结合上述等式，我们得到了期望的结果。□

备注3.1

通过定理3.6和3.7有人认为，如果\（0<\rho<1），然后

$$\lim_{（\alpha+\beta）\到1^{-}}\bigl（D_{a}^{（\ alpha，\beta$$

4分数阶微分方程的应用

让\（α，β在（n-1，n）中）,\（\varphi\in\varphi^{（1）}\）和\（\psi\in\varPhi^{（n）}\）。我们首先考虑这个问题

$$\textstyle\boot｛cases｝（D_｛a｝^｛（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）｝y）（t）=\西格玛（t），\ quad a＜t＜b，\\（L_｛\psi｝^｛（k）｝y）（a）=\μ_｛k｝，\ quad k＝0.1，\ldots，n-1，\结束｛cases｝$$

(17)

哪里\（C^{1}（[a，b]，\mathbb{R}）中的\sigma\）和\（\西格玛（a）=0\）.

4.1号提案

问题(17)有一个独特的解决方案\（y\在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中\）,由以下给出

$$y（t）=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\mu_{k}}{k！}\bigl（\psi（t）-\psi（a）\bigr）^{k}+I_{a}^{beta，\psi}\bigle（I{a}^{1-（n-\alpha），\varphi}L_{\varphi}^{（1）}\sigma\biger）（t），\quad a\leq t\leq b$$

(18)

证明

让年是以下给定的函数(18). 人们很容易发现

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}\bigl（\psi（\cdot）-\psi（a）\bigr）^{k}\biger）（t）=0，\quad k=0,1，\ldots，n-1$$

因此，使用(1)，一个有

$$\begin{aligned}\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}y\bigr）（t）=&D_{a}^{（\alfa，\贝塔），（\farphi，\ psi）}I_{a{^{，\psi}\bigle ^{n-\alpha，\varphi}{}^{C}\！D_{a}^{β，\psi}I{a}β，\ psi}\bigl（I{a{^{1-（n-\alpha），\ varphi}L_{\varphi}^{（1）}\sigma\bigr）（t）。\结束{对齐}$$

使用属性（请参见[1])\（{}^{C}\！D_{a}^{beta，\psi}I{a}，\psi}f=f\），一个获得

$$\bigl（D_{a}^{（alpha，\beta），（\varphi，\psi）}y\bigr）（t）=I_{a{^{n-\alpha、\varphi}\bigl（I_{a}^{1-（n-\alfa），\varphi{L_{\varphineneneep ^{$$

接下来，使用半群属性，我们有

$$\begin{aligned}\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}y\bigr）（t）=&\bigl（t）-\西格玛（a）。\结束{对齐}$$

自\（σ（a）=0）有人推断

$$\bigl（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}y\bigr）（t）=\sigma（t）$$

另一方面，可以很容易地检查

$$\bigl（L_{\psi}^{（k）}y\bigr）（a）=\mu_{k}$$

为所有人\（k=0,1，\ldot，n-1）因此，函数年由提供(18)解决(17).

现在，假设\（y\在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中\）是的解决方案(18). 由(1)，一个有

$$I_{a}^{n-\alpha，\varphi}\bigl（{}^{C}，\psi}y\bigr）（t）=\sigma（t）$$

这就产生了

$$｛｝^｛C｝\！（t）$$

即。

$$\bigl（｛｝^｛C｝\！D_｛a｝^｛\beta，\psi｝y\bigr）（t）=\bigl（｛｝^｛C｝\！D_｛a｝^｛n-\alpha，\ varphi｝\ sigma\bigr）（t）$$

那么我们有

$$I_｛a｝^｛\beta，\psi｝\bigl（｛｝^｛C｝\！D_｛a｝^｛\beta，\psi｝y\bigr）（t）=I_｛a｝^｛\beta，\psi｝\bigl（｛｝^｛C｝\！D_｛a｝^｛n-\alpha，\varphi｝\sigma\bigr）（t）=I_｛a｝^｛β，\psi｝\bigl（I_｛a｝^｛1-（n-\alpha），\varphi｝L_｛\varphi｝^｛（1）｝\西格玛\比格尔）（t）$$

(19)

另一方面，有人（参见[1])

$$I{a}^{beta，\psi}\bigl$$

使用初始条件，可以获得

$$I{a}^{beta，\psi}\bigl$$

(20)

此外，结合(19)带有(20)有人推断

$$y（t）=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\mu_{k}}{k！}\bigl$$

 □

现在考虑非线性问题

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}（D_{a}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}y）（t）=int _{a}^{t}f（s，y（s））\，ds，\ quad a<t<b，\$$

(21)

哪里\（f:[a，b]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\）是一个连续函数。我们认为

$$\bigl\vert f（t，\lambda）-f（t，\ta）\bigr\vert\leq C_{f}\vert\lambda-\ta\vert$$

(22)

为所有人\（t在[a，b]\中）和\（\lambda，\eta\in\mathbb{R}\），其中

$$0<C_{f}<frac{\varGamma（\beta+1）\varGamma（2-n+\alpha）}{（\varphi（b）-\varfi（a））^{1-n+\alpha}（\psi（b）-\psi（a），^{beta}}$$

(23)

定理4.1

问题(21)只接受一种解决方案\（C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中的y^{*}）.此外,对于任何\（y_{0}\在C（[a，b]，\mathbb{R}）中\）,皮卡德序列\（{y_{n}\}\子集C（[a，b]，\mathbb{R}）\）由定义

$$y_{n+1}（t）=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\mu_{k}}{k！}\bigl（\psi（t）-\psi（a）\biger）^{k}+I_{a}^{beta，\psi}\biggl（I{a}^{1-（n-\alpha），\varphi}\frac{1}{\varphi'}f\bigle（\cdot，y_{n}（\cd ot）\ bigr）（t），\quad a \leq t \leq b$$

一致收敛于\（y^{*}\）.

证明

让A类是中定义的自映射\（C（[a，b]，\mathbb{R}）\）通过

$$（Az）（t）=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\mu_{k}}{k！}\bigl（\psi（t）-\psi（a）\bigr）^{k}+I_{a}^{beta，\psi}\biggl（I{a}^{1-（n-\alpha），\varphi}\frac{1}\varphi'}f\bigle（\cdot，z（\cdoot）\biger）\biggr）（t），\quad a \leq t \leq b$$

即。

$$开始{对齐}（Az）（t）&=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\mu_{k}}{k！}\bigl-\psi（s）\bigr）^{\beta-1}\biggl（\int_{a}^{s}\bigl（\varphi\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds.\end{aligned}$$

按命题4.1,\（y\在C^{n}（[a，b]，\mathbb{R}）中\）是的解决方案(21)当且仅当\（y \在C（[a，b]，\mathbb｛R｝）\中）是的固定点A类.我们将证明这一点A类是中的收缩\（（C（[a，b]，\mathbb{R}），\|\cdot\|_{\infty}）然后，通过Banach的不动点定理，我们得到了期望的结果。对于任何\（y，z\在C（[a，b]，\mathbb{R}）中\），一个有

$$开始{对齐}和\bigl\vert（Az）（t）-（Ay）（t变量phi（s）-\varphi（\tau）\bigr）^{-（n-\alpha）}\bigl\vert f\bigl（\tao，z（\t au）\bigr）-f\bigl（\tau，y（\tau）\biger）\bigr\vert\，d\tau\biggr）\，ds.\end{aligned}$$

使用(22)，我们有

$$开始{对齐}和\bigl\vert（Az）（t）-（Ay）（t \bigl（\varphi（s）-\varfi（\tau）\bigr）^{-（n-\alpha）}\bigl\vert z（\tao）-y（\teau）\biger\vert，d\tau\biggr）\，d\&\quad\leq\frac{C_{f}\Vert-y-z\Vert_{infty}}{\varGamma（\beta）\varGamma（1-n+\alpha）}\int_{a}^{t}\psi'（s）\bigl（\psi（t）-\psi）\bigr）^{-（n-\alpha）}\，d\tau\biggr）\，ds\\&\quad=\frac{C_{f}\Vert-y-z\Vert_{infty}}{\varGamma（\beta）\varGamma（2-n+\alpha）}\int_{a}^{t}\psi'（s）\bigl（\psi（t）-\psi{\infty}}{\varGamma（\beta）\varGamma（2-n+\alpha）}\int_{a}^{t}\psi'（s）\bigl（\psi（t）-\psi（s）\biger$$

哪里

$$L=\frac{（\varphi（b）-\valphi（a））^{1-n+\alpha}（\psi（b）-\psi（a），^{\beta}}{\varGamma（\beta+1）\varGamma（2-n+\alpha）}C_{f}$$

因此，

$$\垂直Ay-Az\垂直_{\infty}\leq L\垂直y-z\垂直_{\inffy}$$

为所有人\（y，z\在C（[a，b]，\mathbb{R}）中\）另一方面，通过(23)，一个有\（0<L<1）因此，A类是一种收缩。□

示例4.1

考虑分数次边值问题

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}（D_{0}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}y）（t）=整型{0}^{t}\frac{\cos（y（s））}{s+\rho}\，ds，\quad 0<t<1，\\y（0）=0，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(24)

哪里\（0<α，β<1）,\（\varphi（t）=t\）,\（psi（t）=ln（t+1））和\（\varGamma（\alpha+1）\varGamma（\beta+1）\rho>（\ln 2）^{\beta}\）.问题(24)是一个特殊的问题(21)带有\（（a，b）=（0,1）\）,\（n=1）,\（\mu_{0}=0\）和

$$f（t，\lambda）=\frac{\cos\lambda}{t+\rho}，\quad（t，\ lambda，）\in[0,1]\times\mathbb{R}$$

对于所有人\（在[0,1]\中）和\（\lambda，\eta\in\mathbb{R}\），一个有

$$\begin{aligned}\bigl\vert f（t，\lambda）-f（t，\ta）\bigr\vert=&\biggl\vert\frac{\cos\lambda}{t+\rho}-\frac{\ cos\eta}{t+/rho}\biggr\vert\\\leq&\frac{vert\lambda-\eta\vert}{t++\rho{\\leq&C_{f}\vert\lampda-\rho\vert，\end{alinged}$$

哪里\（C_{f}=\rho^{-1}\）另一方面

$$C_{f}<\frac{\varGamma（\alpha+1）\varGamma（\beta+1）}{（\ln2）^{\beta}}=\frac}\varGarma（\alpha+1）\farGamma$$

因此，根据定理4.1，问题(24)承认独特的解决方案\（C^{1}（[0,1]，\mathbb{R}）中的y^{*}\）此外，对于任何\（y_{0}\在C中（[0,1]，\mathbb{R}）\）Picard序列

$$y_{n+1}（t）=\frac{1}{\varGamma（\beta）\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{t}\frac}{s+1}\biggl[\ln\biggl \tau+\rho}\cos\bigl（y_{n}（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds$$

为所有人\（\leq t\leq 1），一致收敛到\（y^{*}\）.

5热传导问题的分数阶模型

一维热传导的标准傅里叶定律如下所示

$$-\rho\frac{dy}{dx}=z（x），\quad x>0$$

(25)

哪里ρ是材料的导热系数，z（z）是热流密度年是温度。更换\（\压裂{d}{dx}\）通过\（D_{0}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}\），其中\（α，β在（0,1）中），我们得到了(25)

$$-\rho\bigl（D_{0}^{（\alpha，\beta），（\varphi，\psi）}y\bigr）（x）=z（x），\quad x>0$$

(26)

如果\（z（0）=0）和\（y（0）=y_{0}\），按命题4.1，独特的解决方案(26)由提供

$$y（x）=y_{0}-I_{0{0}^{\beta，\psi}\biggl（I{0}^{\alpha，\varphi}L_{\varphi}^{（1）}\frac{z}{\rho}\bigr）（x），\quare x\geq 0$$

即。

$$\开始{对齐}y（x）=&y_{0}-\frac{1}{\rho\varGamma（\beta）\varGarma（\alpha）}\int_{0{^{x}\psi'（\eta）\bigl r）^{\alpha-1}z'（\lambda）\，d\lambda\biggr）\，2\eta。\结束{对齐}$$

(27)

例5.1

考虑(26)带有\（\varphi=\psi\）和\（z（x）=\varphi（x）-\varphi（0）\）。在这种情况下，由(27)，一个有

$$\begin｛aligned｝y（x）&=y_｛0｝-\frac｛1｝｛\rho\varGamma（\beta）\varGamma（\alpha+1）｝\int _｛0｝^｛x｝\varphi'（\eta）\bigl（\varphi（x）-\varphi（\eta）\bigr）^｛\beta-1｝\bigl（\varphi（\eta）-\varphi（0）\bigr）^｛\alpha｝\，d\eta\\&=y_｛0｝-\frac｛（\varphi（x）-\varphi（0））^｛\beta-1｝｝｛\rho\varGamma（\beta）\varGamma（\alpha+1）｝\int _｛0｝^｛x｝\varphi'（\eta）\biggl[1-\frac{（\varphi（\eta-）-\varphi（0））}{（\ varphi[x）-\valphi（0）\varGamma（\beta）\varGamma（\alpha+1）}\int_{0}^{1}（1-w）^{\beta-1}w^{\alpha}\，dw，\end{aligned}$$

产生

$$y（x）=y_{0}-\压裂{1}{\rho\varGamma（\alpha+\beta+1）}\bigl（\varphi（x）-\varphi（0）\bigr）^{\alpha+/\beta}，\quad x\geq 0$$

在案例中观察到\（\varphi（x）=x\）一个有

$$\lim_{（\alpha，\beta）到（1^{-}，1^{->）}y（x）=y_{0}-\裂缝{1}{2\rho}x^{2}$$

这是唯一的解决方案(25)带有\（z（x）=x）和\（y（0）=y_｛0｝\）.数字4–6显示的一些图形年用于不同的功能φ和不同的值\（（α，β））.

图4

的图形\（y（x）\）对于\（\varphi（x）=x\）

图5

的图形\（y（x）\）对于\（\varphi（x）=\ln（x+1））

图6

的图形\（y（x）\）对于\（\varphi（x）=\sqrt{x+1}\）

6结论

本文的目的是提出一个涉及两个奇异核的分数导数的新概念。证明了该算子的一些性质，并给出了一些例子。我们还介绍了分数阶微分方程的一些应用。即，对一类高阶非线性分数阶边值问题建立了一个存在唯一性结果，并提供了一种基于Picard迭代的数值算法来逼近唯一解。此外，还介绍了在热传导问题中的应用。开发新的数值方法来求解分数阶微分方程（或时间分数阶的偏微分方程）将是一件有趣的事情，尤其是在这种情况下\（\varphi\neq\psi\）.