用重定义的三次B样条函数对Caputo时间分数阶Allen–Cahn方程的数值研究

摘要

提出了一种基于重定义三次B样条（RCBS）函数和有限差分公式的配点方法来研究时间分数阶Allen–Cahn方程（ACE）的近似解。我们离散时间分数阶导数\（在（0,1]\）中为α通过使用有限差分公式，并将RCBS函数用于空间离散。我们发现数值格式是有序的\（O（h^{2}+\增量t^{2-\α}）\）并且无条件稳定。我们通过一些受齐次/非齐次边界约束的数值例子来测试该方法的计算效率。与文献中的结果相比，仿真结果与精确解吻合得更好。

1介绍

非线性演化方程在工程、物理、化学和生物学的各个领域有着广泛的应用，如化学反应、气体和流体力学、弹性、光纤、相对论、固态和等离子体物理、生态学和生物力学等[1]. 行波方程的分析和数值研究一直是研究人员感兴趣的课题。分数第一积分法[2]分数经验函数法[三]，分数\（\急性{G}/G\）-扩建方案[4]，分数变量法[5]，分数修正的试探方程算法[6]，分数次方程法[7]，分数阶最简单方程公式[8]，以及使用分数复变换的Tanh方法[9]是解决分数阶非线性问题的一些有效且著名的方法。

到目前为止，由于时间分数阶相场模型在相变领域备受关注，人们对其进行了深入的研究[10]. 大多数两个非常重要的相场偏微分方程（PDE）模型，即Allen–Cahn和Cahn–Hilliard模型，都已经过了严格的研究[11]. Allen–Cahn模型用于描述晶体固体中相界的运动[12]. 它还出现在其他一些应用中，如两种不可压缩流体的混合物、囊泡膜和固体的成核[13–15].

在本文中，我们考虑了铁合金相分离数学模型中出现的以下时间分数ACE[1]:

$$\frac{\partial^{\alpha}u（z，t）}{\particalt^{\alpha}}-\frac}\partial ^{2}u（z，t）{\partitalz^{2{}+\bigl（u（z、t）\bigr）^{3} -u个（z，t）=f（z，t），在[a，b]中为四z，在[0，t]中为t$$

(1)

以初始条件为准

$$u（z，0）=\phi_{0}（z）$$

（2）

和边界条件

$$u（a，t）=\psi_{1}（t），\qquad u（b，t）=\psi_{2}（t）$$

(3)

哪里\（\phi_{0}（z）\）和\（\psi{i}（z）\）假设是具有连续一阶导数的光滑函数。分数阶导数有很多解释[16–19]. 然而，我们认为卡普托意义下的分数导数为[20]

$$\frac{\partial^{\alpha}u（z，t）}{\particalt^{\alpha}}=\int_{0}^{t}\frac}\partial u（z、tau）}{\ partial\tau}\frac{d\tau}{\varGamma（1-\alpha）（t-\tau）^{\阿尔法}，\quad\alpha\in（0,1]$$

(4)

哪里Γ是常用的伽马函数。文献中有大量关于时间分数ACE解析解的工作。Esen等人[21]采用同伦分析方法（HAM）求解时间分数ACE的精确解。中讨论了时空分数ACE的精确解[22]通过分数次细分扩散方法。中的作者[23]在Seki–Lindenberg次扩散-反应模型的背景下，研究了次扩散ACE中区域的粗化。亚萨尔和吉瑞森鲁[24]使用\（（\压裂{\急性{G}}{G}.\压裂{1}{G{）\）-扩展算法。Guner等人[25]利用第一积分、消去函数和\（（\压裂{\急性{G}}{G}）\）-膨胀法。翟等人[26]应用稳健的显式算子分裂谱方法求解非局部分数Allen–Cahn模型。Akagi讨论了分数阶Allen–Cahn、Cahn–Hilliard和多孔介质方程弱解的存在唯一性[27].

塔里克和阿克兰[1]提出了一种确定时间分数ACE精确解的分析方法。应用分数复变换方法将方程化简为非线性常微分方程。为了探索空间分数ACE的数值解，Hou等人[28]分别采用有限差分和Crank–Nicolson格式进行时间和空间离散化。Li等人[29]探讨了具有两个不互溶流体相的流体混合物研究中产生的时空分数阶Allen–Cahn相场方程的数值解。Hosseini等人提出了时间分数ACE的一些新的精确解[30]从共形分数导数的角度出发，使用了一种新的Kudryashov方法。

最近，Sakar等人[31]提出了一种基于迭代再生核方法（IRKM）的数值格式来研究时间分数ACE的近似解。Liu等人[32]开发了一种基于有限差分公式和傅里叶谱方法的数值方案，用于求解一维和二维时间分数ACE。Yin等人研究了非线性空间分数ACE的光滑和非光滑解[33]采用基于时间二网格有限差分的快速算法。Inc等人[34]将时间分数ACE方程和时间分数Klein–Gordon方程简化为相应的非线性分数ODE，并采用显式幂级数方法求解这些分数ODE。Khalid等人[35]提出了一种基于三次修正扩展基样条函数的时间分数阶扩散波方程数值方法。中的作者[36]采用非多项式五次样条函数对含有乘积项的四阶分数次边值问题进行了数值研究。

本文提出了一种用于时间分数ACE数值研究的重定义三次B样条（RCBS）算法。Caputo时间分数导数用有限差分公式离散，而空间导数用RCBS函数离散。这种方法对于分数阶ACE的数值求解是新颖的，据我们所知，时间分数ACE的样条解还没有研究过。此外，该格式对齐次和非齐次边界条件同样有效。

本文的结构如下。章节2发展了时间离散化、三次B样条函数和空间离散化的简要描述。在Sect。 三，我们讨论了该算法的稳定性。理论收敛性分析见第。 4关于三个试验问题数值结果的讨论已在第。 5.

2方法描述

2.1时间离散化

让时间间隔\（[0，T]\）被分成M（M）等长子区间\（增量t=\压裂{t}{M}\）例如\（0=t_{0}<t_{1}<cdots<t_{M}=t\），其中\（t_{n}=n\增量t\）,\（n=0,1，\点，M \）.等式中给出的Caputo定义(4)对于时间，分数导数可以改写为

$$开始{aligned}\frac{\partial^{\alpha}u（z，t_{n+1}）}{\particalt^{\alpha}}&=\int_{0}^{t_{n+1}}\frac{\partitalu{n}\int_{t_{k}}^{t{k+1}}\frac{\partialu（z，\tau）}{\partical\tau}\frac{d\tau}{\varGamma（1-\alpha）（t_{n+1}-\tau，^{\alpha}}）。\结束{对齐}$$

(5)

使用正向差分公式，公式(5)可以修改为

$$开始{aligned}\frac{\partial^{\alpha}u（z，t{n+1}）}{\particalt^{\alpha}}&=\frac{1}{\varGamma（1-\alpha）}\sum_{k=0}^{n}\frac{u（z、t{k+1}\tau}{（t_{n+1}-\tau）^{alpha}}+\eta_{Delta t}^{n+1}\\&=\frac{1}{varGamma（1-\alpha）}\sum_{k=0}^{n}\frac{u（z，t_{k+1}）-u（z、t_{k}）}{Delta t}\ int_{t_{n-k}}^{t_{n+1-k}}\压裂{d\rho}{\rho^{\alpha}}+\eta_{\Delta t}^{n+1}\\&=\frac{1}{\varGamma（1-\alpha）}\sum_{k=0}^{n}\frac}u（z，t{n-k+1}）-u（z、t{n-k}）}{\Deltat}\int_{t{k}}^{t{k+1}}压裂{d\rho}{rho^{alpha}}+\ta{三角洲t}^{n+1}\\&=\frac{1}{varGamma（2-\alpha）}\sum_{k=0}^{n}压裂^{\alpha}}\bigl[（k+1）^{1-\alphaneneneep-（k）^{1-\alpha}\bigr]+\eta_{\Delta t}^{n+1}。\结束{对齐}$$

因此

$$\frac{\partial^{\alpha}u（z，t_{n+1}）}{\particalt^{\alpha}}=\frac{1}{\varGamma（2-\alpha）}\sum_{k=0}^{n}\delta_{k}\frac}u（z，t_{n-k+1}$$

（6）

哪里\（\delta_{k}=（k+1）^{1-\alpha}-（k）^{1-\ alpha}\）,\（ρ=t_{n+1}-\tau），以及截断错误\（\eta_{\Delta t}^{n+1}\）有界，

$$\bigl\vert\eta_{\Delta t}^{n+1}\bigr\vert\leq\varpi（\Delta t）^{2-\alpha}$$

(7)

哪里ϖ是一个有限常数。

引理2.1

系数\（\增量{r}\）具有以下特征[20]:

• \（\delta_{0}=1\）,\（\delta_｛k｝>0\）,\（k=1，\点，n\）;

• \（\delta_｛0｝>\delta_｛1｝>\delta_｛2｝>\cdots>\delta_｛k｝\rightarrow0\）作为\（k\rightarrow\infty\）

• \（sum_{k=0}^{n}（\delta_｛k｝-\增量{k+1}）+\增量{n+1}=（1-\增量{1}）+总和{k=1}^{n-1}（\增量_{k}-\增量{k+1}）+\增量{n}=1\）.

替换公式(6)到等式(1)，我们得到

$$开始{对齐}[b]&\sum_{k=0}^{n}\frac{\delta_{k}{\varGamma（2-\alpha）^{2} u个（z，t_{n+1}）}{\部分z^{2}}+f（z，t_{n+1{）-f\bigl（u（z，t{n}）\bigr），\end{aligned}$$

(8)

哪里F类是一个非线性项，例如\（F（u（z，t））=u^{3}（z，t）\）。我们可以用以下形式写出最后一个方程式：

$$（r-1）u^{n+1}-ru^{n}+r\sum_{k=1}^{n}\delta_{k}\bigl（u^{n-k+1}-u^{n-k}\bigr）=\biggl（\frac{\partial^{2} u个}{\部分z^{2}}\biggr）^{n+1}+f^{n+1}-f^{n}$$

(9)

哪里\（r=\frac{1}{\varGamma（2-\alpha）（\Delta t）^{\alpha}}\）,\（u（z，t{n+1}）=u^{n+1}）,\（n=0,1，\点，M \）.

2.2三次B样条函数

考虑空间间隔\（[a，b]\）分成N个分段等距长度子区间\（h=z_{j} -z（-z）_{j-1}=\压裂{b-a}{N}\）,\（j=1，\点，N），因此\（a=z{0}<z{1}<cdots<z{N}=b\）在典型的三次B样条配置方法中\（U^{*}（z，t）\）精确解\（u（z，t）\）是

$$U^{*}（z，t）=\sum_{j={-1}}^{N+1}\gamma_{j}（t）B_{j{（z）$$

(10)

哪里\（gamma{j}（t））是待计算的与时间相关的未知数。三次B样条函数在节点处是两次可微的\（z_｛j｝\）在域上\（[a，b]\）并保持相同的性质，如非负性、局部支持性、凸性、全性质、对称性、单位分划性和几何不变性。混合函数\（B_{j}（z）\）三次B样条曲线的表示形式如下[37]:

$$B_{j}（z）=\frac{1}{6h^{3}}\textstyle\begin{cases}^{3}-4（zz{j-1}）^{3}，&\mbox{代表}z\in[z{j-1}，z{j}），\\4（zz_{j+1}）^{3}-（zz{j+2}）^{3}，&\mbox{用于[z{j}，z{j+1}）中的}z\，\\-（zz_{i+2}$$

(11)

哪里\（B_{-1}，B_{0}，\点，B_}N+1}\）可以作为域上的样条基\（[a，b]\）。的值\（B_{j}（z）\）,\（B'_{j}（z）\）、和\（B''{j}（z）\）表中给出了1[38].

表1三次B样条的系数及其在节点处的导数\（z{j}\）

近似解\（（（U^{*}）{j}^{n}=U^{x}（z_{j}，t^{n{）\）在n个第个时间级别\（\gamma{j}\）可以写为

$$\textstyle\begin{cases}{6（U^{*}）}_{j}^{n}=\gamma_{j-1}^{n}+4\gamma_{j}^{n{+\gamma-{j+1}^{n}，\\2h（U^}_{z}）_{j{n}=\gamma_{j-1}^{无}-\伽马{j+1}^{n}，\\h^{2}（U^{*}{zz}）{j}^{n}=\gamma{j-1}^{n} -2个\伽玛{j}^{n}+\gamma{j+1}^{n}。\结束{cases}$$

(12)

2.3重新定义的三次B样条函数

通常，在配置技术中，当样条函数的基消失时，会施加Dirichlet型结束条件，但CBS函数\（B_｛-1｝，B_｛0｝，\点，B_｛N+1｝\）不要在边界处消失。因此，我们重新定义了这些基，以便在规定Dirichlet型结束条件时，它们在边界处消失[38,39].

样条曲线解\（U（z，t）\）精确解\（u（z，t）\）通过消除\（\gamma_{-1}^{n}\）和\（\gamma_{N+1}^{N}\）根据方程式(10)如下：

$$U（z，t）=\widetilde{W}（z，t）+\sum_{j={0}}^{N}\gamma_{j}（t）\widetelde{乙}_{j} （z）$$

（13）

其中权重函数\（\widetilde{W}（z，t）\）和RCBS\（\widetilde{乙}_{j} （z）\）函数如下所示

$$\begin{aligned}&\widetilde{W}（z，t）=\frac{{乙}_{-1}（z）}{{乙}_{-1}（z{0}）}\psi{1}（t）+\压裂{{乙}_{N+1}（z）}{{乙}_{N+1}（z_{N}）}\psi_{2}（t），\end{aligned}$$

(14)

$$\开始{aligned}&\textstyle\begin{cases}\widetilde{乙}_{j} （z）=B_{j}（z）-\分形{{乙}_{j} （z{0}）}{{乙}_{-1}（z{0}）}{乙}_{-1}（z），&j=0,1，\\widetilde{乙}_{j} （z）=B_{j}（z），&j=2，\点，N-2，\\widetilde{乙}_{j} （z）=B_{j}（z）-\分形{{乙}_{i} （z_{N}）}{{乙}_｛｛N+1｝｝（z_｛N｝）｝{乙}_{{N+1}}（z），&j=N-1，N。结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(15)

使用等式(13)在等式中(9)，我们获得

$$开始{聚集}（r-1）\Biggl（\widetilde{W}^{n+1}（z，t）+\sum_{j={0}}^{n}\gamma_{j}^{n+1}（t）\widetelde{乙}_{j} （z）\Biggr）-r \Biggl（\widetilde｛W｝^｛n｝（z，t）+\sum_｛j＝｛0｝｝^｛n｝\gamma_｛j｝^｛n｝（t）\widetilde{乙}_{j} （z）\Biggr）\\qquad{}+r\sum_{k=1}^{n}\delta_{k}\Biggl（\widetilde{W}^{n-k+1}（z，t）+\sum_{j={0}}^{n}\gamma_{j}^{n-k+1}（t）\widetelde{乙}_{j} （z）-\widetilde{W}^{n-k}（z，t）-\sum_{j={0}}^{n}\gamma_{j}^{n-k}{乙}_{j} （z）\Biggr）\\quad{}=\widetilde{西}_{zz}^{n+1}（z，t）+\sum_{j={0}}^{n}\gamma_{j}^{n+1}（t）\widetilde{B}'_{j{（z）+f^{n+1}-f^{n}。\结束{聚集}$$

让\（（{\widetilde{W}{^{*}}}）^{n+1}\）是从权重函数得到的合成项。然后最后一个方程变成

$$\开始{对齐}[b]&（r-1）\sum_{j={0}}^{N}\gamma_{j}^{N+1}（t）\widetilde{乙}_{j} （z）-r\sum_{j={0}}^{N}\gamma_{j}^{N}（t）\widetilde{乙}_{j} （z）\\&\qquad+r\sum_{k=1}^{n}\delta_{k}\Biggl（\sum_{j={0}}^{n}\gamma_{j}^{n-k+1}（t）\widetilde{乙}_{j} （z）-\sum_{j={0}}^{N}\gamma_{j}^{N-k}（t）\widetilde{乙}_{j} （z）\Biggr）\\&\quad=\sum_{j={0}}^{N}\gamma_{j}^{N+1}（t）\widetilde{B}''{j}（z）+f^{N+1}-f^{无}-\bigl（{\widetilde{W}{^{*}}}\bigr）^{n+1}。\结束{对齐}$$

(16)

出租\（g^{n+1}=f^{n+1}-f^{无}-（{\widetilde{W}{^{*}}}）^{n+1}\）并使用表中给出的值1使用等式(14)和(15)在等式中(16)，经过一些简化后，我们形成了一个递归关系：

$$\textstyle\开始{cases}\rho{0}\gamma^{n+1}_{0}=g^{n+1}，&j=0，\\rho{1}\gamma{j-1}^{n+1}+\rho_{2}\gama{j}^{n+1}+\rro_{1}\gamma_j+1}^{n+1}\\quad=\frac{r}{6}（\gamma{j-1{6}^}+4\gamma{j}^{n}+\gamma_{j+1}^{n}-\gamma{j}^{n-k}）\\qquad{}+（\gamma{j+1}^{n-k+1}-\gamma_{j+1}^{n-k}）]-g^{n+1}，&j=1，点，n-1，\\rho{0}\gamma^{n+1}_{n}=g^{n+1}，&j=n，结束{case}$$

(17)

哪里\（\rho_{0}=\frac{6}{h^{2}}\）,\（\rho{1}=（\压裂{r-1}{6}-\压裂{1}{h^{2}}）、和\（\rho{2}=2（\压裂{r-1}{3}+\压裂{1}{h^{2}}）.方程组(17)以矩阵形式表示为

$$A\gamma^{n+1}=rB\Biggl[\sum_{k=0}^{n-1}（\delta_{k}-δ_｛k+1｝）\γ^｛n-k｝+\δ_$$

(18)

哪里

$$\begin{aligned}&A=\begin{pmatrix}\rho_{0}&0&&&\\rho_}1}&\rho_{2}&\rro_{1}&&&\\rho_1}&\\rho{2}&\rho{1}&&\\{2}&\rho{1}\\&&&&0&\rho{0}\end{pmatrix}，\qquad\gamma^{n+1}=\begin{pmatricx}\gamma{0}^{n+1}\\gamma_｛1｝^｛n+1｝\\vdots\\\gamma_｛n-1｝^｛n+1｝\\gamma_｛n｝^｛n+1｝\end｛pmatrix｝，\\＆B=\ begin｛pmatrix｝0&0&&&&\\frac｛1｝｛6｝&\ frac｛4｝｛6｝&\ frac｛1｝｛6｝&\ frac｛4｝｛6｝&\ frac｛1｝\&&&&&&\dodots&&\\\&&&&\frac｛1｝｛6｝&&\frac｛4｝｛6｝&&\frac｛1｝｛6｝&&&&\frac｛1｝｛6｝&&\frac｛4｝｛6｝&\frac{1}{6}\\&&&&0&0&0 \end{pmatrix}，\qquad G=\begin{pmatriax}G{0}^{n+1}\\G{1}^{n+1}\\vdots\\G{n-1}^}{n+1}\\G_{n}^{n+1}。\结束{对齐}$$

使用等式中给出的初始条件(2)，我们得到了初始向量\（\gamma^{0}=[\gamma_{0}^{0{，\gamma_1}^{0}，\dots，\gama_{N}^{0}]^{T}\）需要启动迭代过程。我们采用以下初始条件：

$$\textstyle\begin{cases}（U_{z}）_{j}^{0}=\phi_{0}'（z_{j{），&j=0，\\（U）_{j}^{0}=\ph_{0{（z_}），&j=1，\点，N-1，\\$$

(19)

这给了\（N+1）线性方程组，可以写成

$$A\gamma^{0}=b_{0}$$

(20)

哪里

$$A=\begin{pmatrix}\frac{2}{h}&\frac{1}{h{0&&&\\frac{1}}{6}&\frac{4}{6{&\\frac{1}{6}&&&\\frac}6}&\frac}4}{6}&\fric{1}6}&\frac{4}{6}&\frac{1}{6{&&&\frac:1}{6}&\frac{4{6}&\frac.1}{6}\\&&&&0&\frac-1}{h}&-\frac}2}{h{end{pmatrix}，\quad\quad b_{0}=\begin{pmatrix}\phi_{0{'（z_{0neneneep）\\phi_{0}（z_}1}）\\vdots\\\phi_}0}（z _{N-1}，）\\phi_{0}'（z_{N}）\end{pmatricx}$$

三稳定性分析

如果错误在执行过程中没有传播，则认为数值算法是稳定的[40]. 在这里，我们使用傅里叶方法对所提方案进行稳定性分析。让\（\varPhi^{n}\）以傅里叶模式表示增长因子\（\波浪线{\varPhi}^{n}\）为其近似值。错误\（\lambda_{i}^{n}\）在n个第个时间级别由下式给出

$$\lambda^{n}=\varPhi^{无}-\波浪线{\varPhi}^{n}$$

(21)

哪里\（\lambda^{n}=[lambda_{1}^{n{，\lambda_{2}^{n}，\dots，\lampda_{n-1}^}]^{T}）.

为了简单起见，我们研究了方程(17)对于线性情况(\（g=0）)只有。使用公式(21)和(17)，我们得到了表单中的舍入错误

$$开始{对齐}[b]&\rho_{1}\lambda_{j-1}^{n+1}+\rho_2}\lampda_{j}^{n+1}+\rho_1}\lambeda_{j+1}^{n+1}\\&\quad=\frac{r}{6}\bigl \bigr）\\&\qquad-\frac{r}{6}\sum_{k=1}^{n}\delta_{k}\bigl[\bigl（\lambda_{j-1}^{n-k+1}-\lambda_{j-1}^{n-k}\bigr-\lambda_{j}^{n-k}\bigr）+\bigl（\lambda{j+1}^{n-k+1}-\lambdata_{j+1{^{n-k}\biger）\bigr]。\结束{对齐}$$

(22)

误差方程满足初始条件

$$\lambda{j}^{0}=\phi_{0}（z_{j}），\quad j=1，\dots，N$$

(23)

并且类似地，边界条件变成

$$\lambda_{0}^{n}=\psi_{1}（t_{n}）$$

(24)

以傅里叶形式定义网格函数：

$$\lambda ^｛n｝=\textstyle\ begin｛cases｝\lambda_｛q｝^｛n｝，&z_{q}-\压裂{h}{2}<z\leqz{q}+\frac{h}}，q=1，\dots，N-1，\\0，&a\leqz \leqa+\frac{h}{2}\mbox{或}b-\frac{h}[2}\leq z\leq b.\end{cases}$$

(25)

现在，以傅里叶级数形式，\（\lambda^{n}（z）\）可以表示为

$$\lambda^{n}（z）=\sum_{-\infty}^{\infty}\epsilon_{n}（m）e^{\frac{2i\pimz}{b-a}}，四元n=0，\点，m$$

（26）

哪里

$$\epsilon_{n}（m）=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\lambda^{n}（z）e^{\frac}-2i\pimz}{b-a}}\，dz$$

(27)

应用范数，我们得到

$$开始{对齐}和\bigl\Vert\lambda^{n}\bigr\Vert_{2}=\Biggl（\sum_{i=1}^{n-1}h\bigl\ Vert\lambda{i}^{n{\bigr\ Vert^{2}\Biggr）r\Vert^{2}\，dz+\sum_{i=1}^{n-1}\int_{z_{我}-\压裂{h}{2}}^{z_{i}+\frac{h}}}\bigl\vert\lambda^{n}\bigr\vert^{2}\，dz+\int_{b-\frac}h}{2]^{b}\bigl\vert\lambda^}，dz\Biggr）}\bigr\vert_{2}^{2}=\int_{a}^{b}\bigl\vert\lambda^{n}\biger\vert^{2{\，dz.\end{aligned}$$

因此

$$开始{对齐}[b]&\bigl\Vert\lambda^{n}\bigr\Vert_{2}^{2}=\sum_{-\infty}^{\infty}\bigl\ Vert\epsilon_{n}\sum_{-\infty}^{\infty}\bigl\Vert\epsilon_{n}（m）\bigr\Vert^{2}\Biggr）。\结束{对齐}$$

(28)

让\（\lambda_{j}^{n}=\epsilon_{n}e^{i\nujh}\）是傅里叶级数形式的解，其中\（i=\sqrt{-1}\）和\（\nu={\frac{2\pim}{b-a}}\）.

使用表达式\（\lambda_{j}^{n}=\epsilon_{n}e^{i\nujh}\）在等式中(22)然后除以\（e^{i\nu j h}\），我们获得

$$开始{对齐}[b]&\rho_{1}\epsilon_{n+1}e^{-i\nuh}+\rho{2}\epsilon_{n+1}+\rro_{1}\epsion_{n+1}e^{i\nuh{\\&\quad=\frac{r}{6}\bigl（\epsilen_{n} e（电子）^{-i\nuh}+4\ε{n}+\ε_{n} e（电子）^{i\nuh}\bigr）\\&\qquad-\frac{r}{6}\sum_{k=1}^{n}\delta_{k}\bigl[（epsilon_{n-k+1}-\epsilon_{n-k}）e^{-i\nuh{+4（epsilen_{n-k+1}-\ epsilon_n-k}h}\bigr]。\结束{对齐}$$

(29)

使用关系\（e^{i\nuh}+e^{-i\nuh{=2\cos（\nuh）\），我们可以通过以下方式收集类似术语：

$$\epsilon_{n+1}=\frac{1}{b^{*}}\epsilen_{无}-\裂缝{1}{b^{*}}\sum{k=1}^{n}\delta{k}（\epsilon{n-k+1}-\epsilen{n-k}）$$

(30)

哪里\（b^{*}=1+\frac{12\sin^{2}（\nuh/2）-h^{2{（2+\cos（\nuh））}{ah^{2neneneep（2+\ cos（\nuh）））}\），我们可以看到\（b^{*}\geq1\）.

定理1

中给出的完全隐式方案(17)是无条件稳定的，如果\（|\epsilon_{n}|\leq|\epsilon_{0}|\）,\（n=0,1，\点，T\次M\）,哪里\（\epsilon_{n}\）是的解决方案(30).

证明

首先，我们必须通过归纳法证明\（|\epsilon_{n}|\leq|\epsilon_{0}|\）对于\（n=0，\点，T\乘以M\）.

对于\（n=0），等式(30)采取形式

$$\vert\epsilon_{1}\vert=\frac{1}{b^{*}}\vert\εsilon_}0}\vert_leq\vert\εsilon_0}\vert，\quad b^{**}\geq1$$

让我们假设结果\（|\epsilon_{n}|\leq|\epsilon_{0}|\）适用于\（n=1,2，点T乘以M-1）.

Now表达式(30)可以写为

$$开始{aligned}\vert\epsilon_{n+1}\vert&\leq\frac{1}{b^{*}}\vert_epsilen_{n}\vert-\\frac{1'{b^}}\sum_{k=1}^{n}\ delta_{k}\bigl ^{*}}\vert\epsilon_{0}\vert-\frac{1}{b^{*{}\sum_{k=1}^{n}\delta_{k}\bigl（\vert\ epsilon_{0}\vert-\vert\epsilon_{0}\vert\bigr）\\&\leq\vert\ epsilon_0}\vert。\结束{对齐}$$

因此

$$\vert\epsilon_{n}\vert\leq\vert\ε_{0}\vert_quad\text{表示}n=0，\点，M$$

(31)

现在，使用公式(28)和(31)，我们得到

$$\bigl\Vert\lambda^{n}\bigr\Vert_{leq}\bigl\ Vert\lambda ^{0}\biger\ Vert_{2}，\quad n=0，\dots，M$$

这证明了隐式方案(17)无条件稳定。□

4收敛性分析

我们采用了[41]研究该算法的一致收敛性。首先，我们陈述以下定理[42,43].

定理2

假设精确解\（u（z，t）在C^{4}[a，b]\中,\（f\在C^｛2｝[a，b]\中）,\（增量=\{a=z_{0}，z_{1}，\ldots，z_}N}=b\}\）是等距分区,每个长度小时,在间隔期间\（[a，b]\）这样的话\（z{j}=jh\）,\（j=1，\点，N）.让\（\波浪线{U}（z，t）\）是空间网格点上给定问题的唯一样条逼近\（z_{j}\in\Delta\）,\（j=0，\点，N\）,那么就全部\（t \geq0）,存在\（\mu_{j}\）,独立于小时,这样的话

$$\bigl\Vert D^{j}（u-\tilde{u}）\bigr\Vert_{infty}\leq\mu_{j}h^{4-j}，\quad j=0,1,2$$

（32）

引理4.1

B类-样条曲线集\（\{B_{0}，B_{1}，\ldots，B_[N}\}\）在中显示(10)满足不等式

$$\sum_{j=0}^{N}\bigl\vertB_{j}（z）\bigr\vert\leq\frac{5}{3}，\quad 0\leqz\leq1$$

(33)

证明

通过三角形不等式，我们可以写出

$$\Biggl\vert\sum_{j=0}^{N} B类_{j} （z）\Biggr\vert\leq\sum_{j=0}^{N}\bigl\vertB_{j}（z）\ bigr\vert$$

对于网格点\（z{j}\），我们得到

$$\sum_{j=0}^{N}\bigl\vertB_{j}（z）\bigr\vert=\bigl\ vertB{j-1}$$

此外，对于一个点\（z\在[z{j}，z{j+1}]\中），我们有

$$\sum_{j=0}^{N}\bigl\vert\eta_{j}$$

哪里

$$\bigl\vert B_{j-1}（z）\bigr\vert\leq\frac{1}{6}，\qquad\bigl\overtB_{j}（z）\biger\vert\leq\frac{4}{6{，\quad\ bigl\VertB_{j+1}（x）\bigr\vert\leq \ frac{4}}{6neneneep，\quadr\bigl\ vertB_j+2}}$$

因此

$$\sum_{j=0}^{N}\bigl\vert\eta_{j}（z）\bigr\vert\leq\frac{5}{3}$$

(34)

 □

定理3

让U型是解析精确解u的数值近似对于Eqs. (1)–(三).如果\（f\在C^｛2｝[0,1]\中）,那么我们有

$$\Vert u-u\Vert _{\infty}\leq\varOmega h^{2}，\quad\对于所有t\geq t_{0}$$

(35)

哪里\（\varOmega>0\）是独立于小时,和小时足够小.

证明

让u个是精确的解决方案，让\（波浪线{U}=\sum_{j=0}^{N}c_{j}（t）B_{j{）是的样条曲线近似U型.

让\（Lu（z{j}，t）=Lu,\（j=0，\点，N），为堆积条件。然后

$$L\tilde{U}（z，t）=\widetilde{g}（z_{j}，t），\quad j=0，\dots，N$$

在n个第个时间段，当前的BVP可以用差分方程的形式表示\（L（\波浪线{U}（z_{j}，t）-U（z_{j}，t））\）:

$$开始{对齐}[b]&\rho_1}\xi_{j-1}^{n+1}+\rho_2}\xi_{j}^{n+1}+\ rho_{1}\xi{j+1}^{n+1}\\&\quad=\frac{r}{6}\bigl&\qquad-\frac{r}{6}\sum_{k=1}^{n}\delta{k}\bigl[\bigl（\xi_{j-1}^{n-k+1}-\xi_[j-1}^{n-k}\bigr）+4\bigle（\xi_{j}^{n-k+1}-\xi_{j}^ n-k}\bigr）+\bigl[-\xi{j+1}^{n-k}\bigr）\bigr]-g^{n+1}。\结束{对齐}$$

(36)

此外，边界约束包括

$$\xi_{j-1}^{n+1}+4\xi_j}^{n+1}+\xi_j+1}^{n+1}=0，\quad j=0，n$$

哪里

$$\xi_{j}^{n}=\gamma_{i}^{n} -c_{j} ^{n}，\四个j=0，\点，n$$

和

$$\sigma{j}^{n}=h^{2}\bigl[g{j}^{无}-\widetilde{g_{j}}^{n}\bigr]，\quad j=0，\dots，n$$

很明显(32)那个

$$\bigl\vert\sigma{j}^{n}\bigr\vert=h^{2}\bigl\ vertg{j}^{无}-\widetilde{g{j}}^{n}\bigr\vert\leq\muh^{4}$$

我们定义\（\sigma^{n}=\max\{|\sigma{j}^{n{|；0\leq j\leq n\}\）,\（\波浪号{电子}_{j} ^{n}=|\xi_{j}^{n{|\）、和\（波浪线{e}^{n}=\max\{|e_{j}^{n}|；0\leqj\leqN\}\）.

对于\（n=0），等式(36)给予

$$\rho{1}\xi_{j-1}^{1}+\rho_{2}\xi_{j}^{1}+\rro_{1}\si_{j+1}^{1}=\frac{r}{6}\bigl（\xi_j-1}^{0}+4\xi_ju}^{0{0}+\xi_j}^{n}\biger）-\frac}{1}{h^{2}}\sigma{j}^{1}$$

(37)

哪里\（j=0，\点，N\）和初始条件\（e ^｛0｝=0\）这意味着

$$\rho_｛2｝\si_｛j｝^｛1｝=-\rho_｛1｝\bigl（\si_｛j-1｝^｛1｝+\si_｛j+1｝^｛1｝\bigr）-\frac｛1｝｛h^｛2｝｝\sigma_｛j｝^｛1｝$$

取的绝对值\（\sigma{j}^{n}\）和\（\xi_{j}^{n}\）足够小的小时，我们有

$$\widetilde美元{电子}_{j} {1}\leq\frac{3\muh^{4}}{（r-1）h^{2}+12}$$

使用边界条件，我们得出如下结论

$$\widetilde{e}^{1}\leq\mu_{1}h^{2}$$

(38)

哪里\（\mu_{1}\）不依赖于小时.

在上使用导入程序n个，假设是这样\（\波浪号{电子}_{j} ^{k}\leq\mu_{k}h^{2}\）对于\（k=1，\点，n\）.

让\（\mu=\max\{\mu_{k}:0\leqk\leqn\}\）.然后等式(36)成为

$$开始{对齐}[b]&\rho_{1}\xi_{j-1}^{n+1}+\rho_2}\xi_{j}^{n+1}+\ rho_1}\xi{j+1}^{n+1}\\&\quad=\frac{r}{6}\bigl[（\delta_{0}-\delta{1}）\bigl（\xi{j-1}^{n}+4\xi{j}^{n}+\xi{j+1}^{n}\biger）\\&\qquad+（\delta_{1}-\delta{2}）\bigl（\xi{j-1}^{n-1}+4\xi{j}^{n1}+\xi{j+1}^{n-1}\bigr）+\cdots+（\delta_{n-1}-\delta{n}）\bigl（\xi{j-1}^{1}+4\xi{j}^{1}+\xi{j+1}^{1\bigr）\&\qquad+\delta{n}\bigr 2}。\结束{对齐}$$

(39)

同样，取\（\sigma{j}^{n}\）和\（\xi_{j}^{n}\）用非常小的小时，我们得到

$$\widetilde美元{电子}_{j} ^{n+1}\leq\frac{3\muh^{4}}{（r-1）h^{2}+12}\Biggl（\frac}r}{6}\sum_{k=0}^{n-1}（\delta{k}-\delta_{k+1}）\muh_2}+\muh_{2}\Biggr）$$

此外，从边界条件来看，我们有

$$\宽波浪号{电子}_{j} ^｛n+1｝\leq\mu h^｛2｝$$

因此，对于所有人来说n个，我们有

$$\widetilde美元｛e｝_{j} ^{n+1}\leq\mu h^{2}$$

(40)

现在

$$\widetilde{U}（z，t）-U（z、t）=\sum_{j=0}^{N}\bigl（c_{j}（t）-\gamma_{jneneneep（t）\bigr）B_{j{（z）$$

利用引理4.1，我们到达

$$\垂直\波浪线{U} -U型\Vert_{\infty}\leq\frac{5}{3}\muh^{2}$$

(41)

使用三角形不等式，前面的表达式得出

$$\bigl\Vert u（z，t）-u（z，t）\bigr\Vert _{\infty}\leq\bigl\ Vert u$$

(42)

使用不等式(32)和(41)英寸(42)，我们获得

$$\垂直u-u\垂直{\infty}\leq\mu_{0}h^{4}+\frac{5}{3}\muh^{2}=\varOmega h^{2]$$

哪里\（\varOmega=\mu_{0}h^{2}+\frac{5}{3}\mu\）. □

被证明的定理和关系(7)证明了所提出的数值格式是收敛的。因此

$$\垂直u-u\垂直_{\infty}\leq\varOmega h^{2}+\varpi（\Delta t）^{2-\alpha}$$

哪里ϖ和Ω是实际常数，并且\（在（0,1]\）中为α这意味着该方法的实验收敛阶（EOC）为\（O（h^{2}+\增量t^{2-\α}）\）.

5数值实验与讨论

在本节中，我们提供了三个数值实验来检查所提方案对时间分数ACE的效率。我们通过误差范数测试计算结果\（L_{2}\）和\（L_{\infty}\）实验收敛阶（EOC）为

$$\begin{聚集}L_{2}=\sqrt{h\sum_{i=0}^{N}\bigl\vert U（z_{j}，t）-U（z__{j{，t=\frac{1}{\log2}\log\biggl[\frac{L_{\infty}（N）}{L_}\infty}（2n）}\biggr]。\结束{聚集}$$

所有计算均使用MATHEMATICA 9.0软件进行。

问题1

考虑时间分数ACE[31]:

$$\frac{\partial^{\alpha}u（z，t）}{\particalt^{\alpha}}-\frac}\partial^{2} 单位（z，t）}{\部分z^{2}}+\bigl（u（z，t）\bigr）^{3} -u个（z，t）=f（z，t），\quad z\in[a，b]，t\in[0，t]$$

哪里

$$f（z，t）=（\alpha+1）（z-1）z-t\varGamma（1+\alpha）+\bigl（z^{2} -z（-z）\bigr）^{3}t^{3+3\alpha}-\bigl（z^{2} -z（-z）+2）t^{1+\alpha}$$

初始约束和边界约束可以从精确解中提取\（（z）^{2} -z（-z）)t^{1+\alpha}\）最大绝对误差与IRKM的比较[31]如表所示2,三,4,5。计算结果报告如下\（α=0.7，0.9）,\（t=1）、和\（增量t=0.001）对于\（0.1\leqz\leq0.9\）很明显，与IRKM的结果相比，我们已经取得了自我解释的结果[31]. 表6报告当前的实验结果\（t=1）具有\（增量t=h^{2}\）和\（α=0.25,0.5,0.75）。在表中7、误差标准\（L_{2}\）和\（L_{\infty}\）被制成表格\（α=0.2,0.5,0.8）随着时间的变化t吨.图1描述了精确解和数值解在不同时间水平上的物理行为\（N=80）,\（α=0.6）、和\（\Δt=0.001\）在域中\（z\在[0,1]\中）图中给出的三维图2显示建议方案的准确性\（α=0.6）,\（N=80）,\（增量t=0.001）、和\（t=0.2）。在图中三当\（-1\leq z\leq2）分析精确解和数值解的3D图\（N=100\）,\（α=0.4\）,\（t=0.2）、和\（增量t=0.001）如图所示4.图5显示了数值结果随α对于\（N=20\）,\（t=0.4\）、和\（0\leq z\leq1）.

图1

示例的精确解和数值解1什么时候\（N=80）,\（增量t=0.001）,\（α=0.6）、和\（0\leq z\leq 1\）

图2

示例的精确解和数值解1什么时候\（N=80）,\（α=0.6）,\（t=0.2）、和\（增量t=0.001）

图3

示例的精确和近似解1什么时候\（N=60）,\（增量t=0.001）,\（α=0.4\）、和\（-1\leq z\leq 2）

图4

示例的精确解和数值解1什么时候\（N=100）,\（α=0.4\）,\（t=0.2）,\（增量t=0.01）、和\（-4\leq z\leq5）

图5

示例的数值解1什么时候\（N=20\）,\（t=0.4\）,\（0\leq z\leq1）随变化α

表2示例绝对误差1由IRKM提供[31]在\（t=1）什么时候\（α=0.7）,\（N=100\）、和\（增量t=0.001）

表3示例绝对误差1采用建议的方法\（t=1）什么时候\（α=0.7）,\（N=100\）、和\（增量t=0.001）

表4示例绝对误差1由IRKM提供[31]在\（t=1）什么时候\（α=0.9）,\（N=100\）、和\（增量t=0.001）

表5示例绝对误差1通过在\（t=1）什么时候\（α=0.9\）,\（N=100\）、和\（增量t=0.001）

表6最大绝对值(\（L_{\infty}\）)例如1在\（t=1）具有\（增量t=h^{2}\）和\（z\在[0,1]\中）

表7示例误差标准1什么时候\（N=64）和\（增量t=0.001）

问题2

考虑以下时间分数ACE[29]:

$$\frac{\partial^{\alpha}u（z，t）}{\particalt^{\alpha}}-\frac}\partial^{2} u个（z，t）}{\部分z^{2}}+\bigl（u（z，t）\bigr）^{3} -u个（z，t）=f（z，t），在[a，b]中为四z，在[0，t]中为t$$

源项\（f（z，t）\）右侧的公式为

$$\开始{对齐}f（z，t）&=z\bigl（1-z^{2}\bigr）^{3}t^{2-\alpha}E_{1,3-\alpha}（t）+6\bigle（7z^{4}-10z^{2}+3\大）zt^{2{E_1,3}（t）+\压裂{1}{2} u个（z，t）\\&\quad\times\bigl[u（z，t）-1\bigr]\bigl[2u（z、t）-1\bigr]，\end{aligned}$$

哪里\（E_{\beta，\gamma}（\zeta）\）Mittag–Leffler函数定义为[29]

$$E_{\beta，\gamma}（\zeta）=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\zeta^{k}}{\varGamma（\beta-k+\gamma）}$$

初始和边界条件可以从给定的精确解导出\（z（1-z^{2}）^{3} 吨^{2} E类_｛1,3｝（t）\）为了确认拟议方法的影响和适用性，表中给出了计算中出现的绝对误差8对应不同的值z（z）使用\（α=0.5\）,\（n=10）,\（t=0.1）,\（增量t=0.001）、和\（0\leq z\leq1）。在表中9这个\（L_{2}\）针对不同的α和t吨对于\（h^{-3}\）在域中\（z\在[-1,1]\中）精确解和近似解的图形表示如图6从属于\（N=100\）,\（增量t=0.001）\（α=0.6）、和\（-1\leq z\leq1）示例的精确和近似解的3D图2如图所示7–8.

图6

示例的精确和近似解2什么时候\（N=100\）,\（增量t=0.001）,\（α=0.6）、和\（-1\leq z\leq 1）

图7

示例的精确和近似解2什么时候\（N=16\）,\（α=0.8）,\（t=1）,\（增量t=0.001）、和\（0\leq z\leq 1\）

图8

示例的精确和近似解2什么时候\（N=40\）,\（α=0.3\）,\（t=1）,\（\Δt=0.001\）、和\（-1\leq z\leq 1）

表8示例的绝对误差2在\（t=0.1）具有\（增量t=0.001）,\（α=0.5\）,\（N=10\）、和\（z\在[0,1]\中）

表9误差标准\（L_{2}\）例如2什么时候\（α=0.2）,\（h^{-3}\）,\（增量t=0.01）、和\（z\在[-1,1]\中）

问题3

考虑以下时间分数ACE[32]:

$$\frac{\partial^{\alpha}u（z，t）}{\particalt^{\alpha}}-\frac}\partial^{2} u个（z，t）}{\部分z^{2}}+\bigl（u（z，t）\bigr）^{3} -u个（z，t）=f（z，t），在[a，b]中为四z，在[0，t]中为t$$

其中右侧的强迫项由下式给出

$$f（z，t）=2\frac{t^{2-\alpha}\sin（z）}{\varGamma[3-\alpha]}+t^{2}\sin（z）+\frac{1}{2} u个（z，t）\bigl[u（z，t）-1\bigr]\bigl[2u（z、t）-1\bigr]$$

初始和边界条件为

$$u（z，0）=\phi_{0}（z），\qquad u（a，t）=\psi_{1}（t），\q quad u$$

给定问题的精确解是\（t^{2}\sin（z）\）。在表中10已经给出了精确的数值解\（α=0.9）,\（t=0.1）,\（增量t=0.001）、和\（z\在[0，\pi]\中）此外，使用相同的参数选择也报告了绝对计算误差。这里我们特意采取\（n=10）以证明我们的方法的有效性。在图中9,10,11显示精确解和数值解的2D和3D图。我们可以看到，即使在较大的网格间距下，我们的数值方案也可以有效地逼近时间分数ACE的三次B样条解。

图9

示例的精确解和数值解三什么时候\（N=100\）,\（t=1）,\（增量t=0.0001）,\（α=0.8）、和\（-\pi\leqz\leq\pi\）

图10

示例的精确和近似解三什么时候\（N=20\）,\（α=0.4\）,\（t=0.3\）,\（增量t=0.001）、和\（-\pi\leqz\leq\pi\）

图11

示例的精确和近似解三，何时\（N=80）,\（α=0.5）,\（t=1）,\（增量t=0.001）和\（-2\pi\leqz\leq2\pi\）

表10最大绝对误差(\（L_{\infty}\）)例如三在\（t=0.1）什么时候\（α=0.9）,\（n=10）,\（增量t=0.001）、和\（z\在[0，\pi]\中）

6结束语

我们通过以下评论结束这项工作：

• 基于重新定义的三次B样条配置方法，提出了一种有效的时间分数Allen–Cahn方程近似解算法。

• 该方案分别采用常规的有限差分格式和一组重新定义的三次B样条函数进行时间和空间离散。

• 该方法的无条件稳定性已得到严格证明。

• 收敛的计算顺序与理论估计一致。

• 对三个测试实例进行了数值模拟，结果表明该方案可以有效地用于时间分数问题的数值处理。