随机修正Kawahara方程的适定性

摘要

本文考虑随机修正Kawahara方程的Cauchy问题，该方程是一个五阶浅水波方程。我们证明了中数据的局部完备性\（H^{s}（\mathbb{R}）\）,\（秒-1/4）此外，我们得到了\（L^{2}（\mathbb{R}）\）解决。由于相位函数的非零奇异性，提出了不动点变元和傅里叶约束方法。

1介绍

本文研究随机修正Kawahara方程的Cauchy问题：

$$\frac{\partial u}{\partic t}+\alpha\frac}\partial^{5}u}{\ partial x^{5{}+\beta\frac{\paratil^{3}u}}{\部分x^{3{}+\ gamma\frac\\partial u}{\protial x}+\muu^{2}\frac[\partial-u}{部分x}=\varPhi\frac{\ partic^{2} B类}{\部分t\部分x}$$

(1)

哪里\（\alpha\neq 0\）,β和γ是实数，μ是复数，u个是根据定义的随机过程\（（x，t）\in\mathbb{R}\times\mathbb{R_{+}}\）,Φ是线性运算符，并且B类是上的双参数布朗运动\（\mathbb{R}\times\mathbb{R_{+}}\）即零均值高斯过程，其相关函数由下式给出

$$\mathbb{E}\bigl（B（x，t）B（y，s）\bigr）=（x\wedge y）（t\wedge s），\quad t，s\geq 0，x，y\in\mathbb{R}$$

(2)

通常，协方差算子Φ可以用内核来描述\（\数学{K}（x，y）\）噪声的相关函数由下式给出

$$\mathbb{E}\biggl（\varPhi\frac{\partial）^{2} B类}｛\partial t\partial x｝（x，t）\varPhi\frac｛\partial^{2} B类}{\部分t\部分x}（y，s）\biggr）=c（x，y）\delta_{t-s}$$

哪里\（t，s \geq 0）,\（x，y\in\mathbb｛R｝\）,δ是Dirac函数

$$c（x，y）=\int_{\mathbb{R}}\mathcal{K}（x，z）\mathca{K}（y，z）\，dz$$

考虑一个固定概率空间\（（\varOmega，\mathcal{F}，P）\）适合过滤\（（\mathcal）{F}（F）_{t} ）{t\geq0}\）像往常一样，我们可以重写等式右侧(1)作为圆柱形Wiener过程的时间导数\（L^{2}（\mathbb{R}）\）通过设置

$$W（t）=\frac{\partialB}{\paratilx}=\sum_{i\in\mathbb{N}}\beta_{i}（t）e{i}$$

(3)

哪里\（（e_{i}）_{i\in\mathbb{N}}）是的正交基\（L^｛2｝（\mathbb｛R｝）\）和\（（beta{i}）{i\in\mathbb{N}}）是一系列相互独立的实布朗运动\（（\varOmega，\mathcal{F}，P）\）.让我们重写公式(1)其形式如下：

$$\textstyle\begin{cases}du+（\alpha u{5x}+\beta u{3x}+\ gamma u{x}+\su^{2} u个_{x} ），dt=\varPhi\，dW（t），\\u（x，0）=u_{0}（x）。\结束{cases}$$

(4)

为了获得方程的局部适定性(1)，我们主要研究柯西问题的一般温和公式(4):

$$u（t）=u（t）u_{0}+\int_{0{^{t} U型（t-s）\bigl（\mu u^{2} u个_{x} \bigr）\，ds+\int_{0}^{t} U型（t-s）\varPhi\，dW（s）$$

（5）

在这里，\（U（t）=\mathfrak{F}（F）_{x} ^{-1}\exp（-it\phi（\xi））\mathfrak{F}（F）_{x} \）是与线性化方程相关的酉算子组：

$$u_{t}+\αu_{5x}+\βu_{3x}+\gamma u_{x}=0，\quad（x，t）\in\mathbb{R}\times\mathbb{R{+}}$$

(6)

哪里\（\phi（\xi）=\alpha\xi^{5}-\β\xi^{3}+\gamma\xi）是相位函数\（\mathfrak{F}（F）_{x} \）（或“\（\hat{\cdot}\） ”) 是x个变量。我们注意到相位函数ϕ具有非零奇异性。这与线性Korteweg–de Vries（KdV）方程的相位函数不同（参见[1])并给解决问题带来一些困难。为了避免这些困难，我们消除了相位函数的奇异性ϕ通过使用傅里叶限制运算符[2]:

$$P美元^{N} （f）=\int_{|\xi|\geqN}e^{ix\xi}\hat{f}（\xi）\，d\xi，\qquad P_{N} （f）=\int_{|\xi|\leq N}e^{ix\xi}\hat{f}（\xi）\，d\xi，\quad\对于所有N>0$$

在以下情况下\（\varPhi\equiv 0\）（不存在噪音影响），等式(1)简化为确定性修正Kawahara方程：

$$u{t}+\αu{5x}+\βu{3x}+\gammau{x}+\tu^{2} u个_{x} =0，\quad（x，t）\in\mathbb{R}\times\mathbb{R_{+}}$$

(7)

如上所述[三–5]，等式(7)是一个五阶浅水波动方程。它是在研究具有表面张力的水波时产生的，其中邦德数取临界值，邦德数表示浅水区表面张力的无量纲大小。如果我们考虑一种现实情况，即流体表面受到非恒定压力的影响，或者该层的底部不平坦，那么在等式中添加一个强迫项是有意义的(7). 这个术语可以由外部压力的梯度或其图形定义底部的函数的梯度给出[6,7]. 本文主要研究强迫项为加性白噪声类型的情况。这导致我们研究随机五阶浅水波方程(1). 通过白噪声泛函分析，可以研究非线性随机偏微分方程（SPDE）的解析白噪声泛函数解。这个问题正在吸引越来越多的关注[8–15].

众所周知，柯西问题(4)对于中的数据来说，在本地是很合适的\（H^{s}（\mathbb{R}）\）,\（s\in\mathbb{R}\），如果在任何有限时间内T型，存在一个局部连续映射\（H^{s}（\mathbb{R}）中的u_{0}\）到一个独特的解决方案\（在C（[0，T]；H^{s}（\mathbb{R}）中为u）如果解映射一直存在，我们说柯西问题(4)是全球性的[16]. 在[17]年，霍获得了一个当地的良好成绩\（H^{s}（\mathbb{R}）（s>-11/8）\）对于川原方程。此外，贾和霍[18]证明了Kawahara方程的局部适定性，并对数据进行了修正\（H^｛s｝（\mathbb｛R｝）\）具有\（s>-7/4\）和\（第1/4页）分别是。Tao和Cui给出了Kaup–Kupershmidt方程的第一个适定性结果[19]. 他们证明了他们的柯西问题在\（H^{s}（\mathbb{R}）\）对于\（秒>5/4）和\（s>301/108）分别是。此后，赵和顾[20]将初始数据空间的规则性降低到\（秒>9/8）并在[19]. 此外，使用傅里叶约束方法，在中建立了Kaup–Kupershmidt方程的局部适定性结果[18]中的数据\（H^{s}（\mathbb{R}）\）具有\（s>0\）和\（s>-1/4\）分别是。

如果\（阿尔法=伽马=0），模型(7)简化为著名的修正KdV方程：

$$u{t}+\betau{3x}+\muu^{2} u个_{x} =0，\quad（x，t）\in\mathbb{R}\times\mathbb{R_{+}}$$

(8)

方程的适定性(8)由Kenig、Ponce和Vega研究[21]. 他们证明了它的柯西问题在\（H^{s}（\mathbb{R}）\）对于\（第3/4页）还有Ponce[1]讨论了一般的五阶浅水波方程：

$$u{t}+u{x}+c_{1} u个u{x}+c_{2} u个_{3x}+c{3}u{x}u{xx}+c_{4} u个u_｛3x｝+c_｛5｝u_｛5x｝=0，\quad（x，t）\in\mathbb｛R｝\times\mathbb｛R_｛+｝｝$$

(9)

并给出了中数据的柯西问题的全局适定性结果\（H^{4}（\mathbb{R}）\）.社民党的良好运作一直是大量工作的主题。德·布瓦德和德彪西[22]考虑白噪声型随机项强迫的随机KdV方程。他们证明了解的存在唯一性\（H^{1}（\mathbb{R}）\）中鞅解的存在性\（L^{2}（\mathbb{R}）\）分别在加性噪声和乘性噪声的情况下。自那时以来，许多研究人员更加关注一些SPDE的Cauchy问题，并获得了一些局部和全局的适定性结果[15,23–25].

本文的目的是研究随机修正Kawahara方程的Cauchy问题(1)，其中随机力是加性白噪声类型的。通过使用Fourier限制方法、Banach不动点定理和一些基本不等式，我们证明了方程(1)对于中的数据来说，在本地是很合适的\（H^{s}（\mathbb{R}），s\geq-1/4\）此外，我们为\（L^{2}（\mathbb{R}）\）解决。本文概述如下。章节2包含我们新结果的精确陈述和一些重要的函数空间。在Sect。 三，我们通过傅里叶限制方法和一些基本不等式给出了随机卷积项的估计。在Sect。 4，我们使用第节中证明的随机估计。 三以及Banach不动点定理，以获得方程的局部适定性结果(1). 在Sect。 5，我们扩展了我们的技术，并给出了方程的全局适定性结果(1). 章节6用于总结和讨论。

2主要成果

在给出主要结果的精确陈述之前，我们引入了一些符号和假设。

定义1

对于\（s，b\in\mathbb{R}\），空间\（\mathfrak{X}（X）_{s，b}\）定义为Schwartz函数空间的完成\（\mathcal{S}（\mathbb{R}^{2}）\）关于规范

$$\垂直u\Vert_{\mathfrak{X}（X）_{s，b}}=\bigl\Vert U（-t）U\bigr\Vert_{H_{x}^{s} H（H）_{t} ^{b}}=\bigl\垂直\langle\xi\rangle^{s}\bigl\langle\tau+\phi（\xi）\bigr\rangle{F} u个\bigr\Vert_{L^{2}_{\xi}左^{2}_{\tau}}$$

(10)

哪里\（\langle\cdot\rangle=1+|\cdot|\）.

定义2

对于\（T>0\）,\（\mathfrak{X}（X）_{s，b}^{T}\）是限制空间\（[0，T]\）的函数\（\mathfrak{X}（X）_{s，b}\）被赋予了规范

$$\垂直u\Vert_{\mathfrak{X}（X）_{s，b}^{T}}=\inf\bigl\{\Vert\widetilde{u}\Vert_{mathfrak{X}（X）_{s，b}}:\widetilde{u}\in\mathfrak{X}（X）_{s，b}，u=\widetilde{u}|_{[0，T]}\bigr\}$$

(11)

定义3

让H（H）成为希尔伯特空间，\（L_{2}^{0}:=L_{2}^{0}（L^{2}（\mathbb{R}））；H）\）是Hilbert–Schmidt运算符的空间\（L^{2}（\mathbb{R}）\）进入之内H（H）符合规范

$$\Vert\varPhi\Vert_｛L_｛2｝^｛0｝｝｝＝\sum_｛i\geq 1｝\Vert\varPhi e_｛i｝\Vert^{2}_{H} $$

(12)

哪里\（（e{i}）{i\geq1}\）是中的正交基\（L^{2}（\mathbb{R}）\）.何时\（H=H^{s}（\mathbb{R}）\），我们写\（L_{2}^{0}=L_{2]^{0，s}\）.

定理1

假设 \（s\geq-\frac{1}{4}\）,\（L_{2}^{0，s}\中的\varPhi\） \（b>\压裂{1}{2}\）和b条距离 \（\压裂{1}{2}\）.如果 \（H^{s}（\mathbb{R}）中的u_{0}\）几乎可以肯定 \（\omega\in\varOmega\）和 \（u{0}\）是 \（\mathcal{F}（F）_{0}\)-可测量的.然后,几乎可以肯定 \（\omega\in\varOmega\）,存在一个常数 \（T_{\omega}>0\）以及独特的解决方案u个柯西问题(4)在 \（[0，T_{\omega}]\）满足

$$u\in C\bigl（[0，T_｛\omega｝]；H^｛s｝（\mathbb｛R｝）\bigr）\cap\mathfrak{X}（X）_{s，b}^{T_{\omega}}$$

事实上\（L^{2}\）-修正Kawahara方程解的范数保持不变[4]. 因此，在\（s=0），我们可以获得等式的全局存在性结果(1). 准确地说，我们有以下几点。

定理2

让 \（L^{2}中的u_{0}（\varOmega，L^{2]（\mathbb{R}））成为 \（\mathcal{F}（F）_{0}\)-可测量的初始数据,然后让 \（\varPhi\在L_｛2｝^｛0，0｝\中）.然后是解决方案u个由定理给出1是全局的并且满足

$$u\在L^{2}\bigl（\varOmega；C\bigle（[0，T_{0}]；H^{s}（\mathbb{R}）\bigr）中，\quad\textit{表示任何}T_{0{>0$$

三随机卷积估计

在这一节中，利用傅里叶约束方法、随机积分的性质和一些基本不等式，我们给出了等式中最后一项的估计(5)，即随机卷积：

$$u_{l}（t）：=\int_{0}^{t}u（t-s）\varPhi\，dW（s）$$

(13)

选择\（C_{0}^{infty}（\mathbb）中的\chi\{右}_{+} )\)这样的话

$$\chi（t）=\textstyle\begin{cases}0&t<0，t\geq2，\\1&0\leqt\leq1。\结束{cases}$$

因此，\（H^{b}（\mathbb{R}）中的\ chi\）对于任何\（b>\压裂{1}{2}\）.让\（H_{t}^{b}:=H_{b}（[0，t]；\mathbb{R}）\）是时间变量中的Sobolev空间t吨按照规范：

$$\垂直\psi\垂直^{2}_{H_{t}^{b}}:=\垂直\psi\垂直^{2}_｛L^｛2｝（\mathbb｛R｝）｝+\ int _｛\mathbb｛R｝｝\ int _｛\mathbb｛R｝｝\ frac｛\vert\psi（t_｛1｝）-\psi（t_｛2｝）\ vert^｛2｝｝｝｛\vert_{1} -吨_{2} H_{t}^{b}中的\vert^{1+2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}，\quad\psi\$$

(14)

现在，我们陈述并证明随机卷积的估计(13)如下所示。

引理1

假设 \（s，b\in\mathbb{R}\）具有 \（b>\压裂{1}{2}\）,然后让 \（L_{2}^{0，s}\中的\varPhi\）.然后 \（u{l}\）由定义(13)满足

l^{2}中的$$\chi u_{l}（\varOmega，\mathfrak{X}（X）_{s，b}）$$

和

$$\mathbb{E}\bigl（\Vert\chi u_{l}\Vert^{2}_{\mathfrak（马特拉克）{X}（X）_{s，b}}\bigr）\leq N（b，\chi）\Vert\varPhi\Vert^{2}_{L_{2}^{0，s}}$$

(15)

哪里 \（N（b，chi））是一个取决于b条,\（芝加哥）^{b}_{t} }\）,\（\|t|^{\frac{1}{2}}\chi\|_{L^{2}_{t} }\）和 \（\|t|^{\frac{1}{2}}\chi\|{L^{\infty}{t}}\）.

证明

让我们介绍一下功能

$$w（t，\cdot）=\chi（t）\int_{0}^{t}U（-s）\varPhi\，dW（s），\quad t\in\mathbb{右}_{+}. $$

（16）

这意味着\（U（t）w（t，\cdot）=\chi（t）U{l}（t因此，通过公式(10)，我们有

$$\开始{aligned}\mathbb{E}\bigl（\Vert\chi u_{l}\Vert^{2}_{\mathfrak（马特拉克）{X}（X）_{s，b}}\bigr{F}（F）_{x} w（t，\xi）\bigr\vert^{2}\，d\tau\，d\\xi\biggr）\\=&\int_{\mathbb{R}}\bigl（1+\vert\xi\vert\bigr）^{2s}\mathbb{E}\bigr（\bigl\vert\mathfrak{F}（F）_{x} w（\cdot，\xi）\bigr\Vert^{2}_{H_{t}^{b}}\bigr）\，d\xi。\结束{对齐}$$

(17)

根据扩展(三)圆柱Wiener过程和等式(14)，我们有

$$\mathbb{E}\bigl（\bigl\Vert\mathfrak{F}（F）_{x} w（\cdot，\xi）\bigr\版本^{2}_{H_{t}^{b}}\biger）=S_{1}+S_{2}$$

（18）

哪里

$$\begin{aligned}&S_{1}=\sum_{i\in\mathbb{N}}\vert\hat{\varPhie_{i}}\vert^{2}\biggl[\mathbb{e}\bigl（\biggl \vert\chi（t）\int_{0}^{t}e^{is\phi（\xi）}\，d\beta_{i{（S）\biggr\vert^{2}_｛L^｛2｝（\mathbb｛R｝）｝\biggr）\biggr]，\end｛aligned｝$$

(19)

$$\begin{aligned}&S_{2}=\sum_{i\in\mathbb{N}}\vert\hat{\varPhie_{i}}\vert^{2}\biggl[\mathbb{e}\bigl（\int_{mathbb}R}}\int_}\mathbb2{R}}）\frac{\vert\chi（t_{1}）\ int_{0}^{t_1}}e^{is\phi（\xi）}\，d\beta_{i}（S）-\chi（t_{2}）\int_{0}^{t{2}}e^{is\phi（\xi_{1} -吨_{2} \vert^{1+2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}\biggr）\biggr]。\结束{对齐}$$

(20)

从Itóisometry公式中，我们得到

$$\begin{aligned}S_{1}=&\sum_{i\in\mathbb{N}}\vert\hat{\varPhie_{i}}\vert^{2}\int_{0}^{2{\bigl\vert\chi（t）\bigr\vert^{2]\mathbb{e}\biggl（\biggl\vert\int_{0}^{t}e^{is\phi（\xi）}\，d\beta_{i{（S）\biggr \vert^{2}\biggr）\，dt\\=&\bigl\vert\vert t\vert^}\frac{1}{2}}\chi\bigr\vert^{2}_{左^{2}_{t} }\sum_{i\in\mathbb{N}}\vert\hat{\varPhie_{i}}\vert^{2}。\结束{对齐}$$

(21)

估计\（S_{2}\），我们有

$$\begin{aligned}S_{2}=&\sum_{i\in\mathbb{N}}\vert\hat{\varPhi e_{i}}\verst^{2}\biggl[\mathbb{e}\bigl（\int_{mathbb}R}}\int_\mathbb2{R}}\ frac{\vert\chi（t_{1}）\，d\beta_{i}（S）-\chi（t_{2}）\int_{0}^{t{2}}e^{is\phi（\xi_{1} -吨_{2} \vert^{1+2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}\biggr）\biggr]\\=&2\sum_{i\in\mathbb{N}}\vert\hat{\varPhie_{i}}\vert^{2}\ int_{t{2}>0}\int_{t_1}<t{2{}\frac{\mathbb2{e}（\vert\chi（t_1}）\int_}^{t_{1}}e^{is\phi（\xi）}\，d\beta_{i}（s）-\chi（t_{2}_{1} -吨_{2} \vert^｛1+2b｝｝\，dt_｛1｝\，dt_｛2｝\\leq&\sum_｛i\in\mathbb｛N｝｝\vert\hat｛\varPhi e_｛i｝｝\vert^｛2｝\biggl[2\int _｛t_｛2｝>0｝\int _｛t_｛1｝<0｝\frac｛\vert\chi（t_｛2｝）\vert^｛2｝\mathbb｛e｝（\vert\int _｛0｝^｛t_｛2｝｝e ^｛i s\phi（\xi）｛\，d\β_｛i｝（s）\垂直^｛2｝）｝｛\垂直t_{1} -吨_{2} \vert^{1+2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}\\&{}+2\int_{t{2}>0}\int_}0<t_{1}<t_{2}}\frac{\mathbb{E}\Bigl（\Bigl\vert\textstyle\begin{array}{c}\chiβ{i}（s）-\chi（t{2}）\int_{0}^{t{1}}E^{i是\phi（\xi）}\，d\beta{i}\，+\chi\end{数组}\displaystyle\Bigr\vert^{2}\Bigr）}{\vert t_{1} -吨_{2} \vert^{1+2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}\biggr]\\leq&\sum_{i\in\mathbb{N}}\vert\hat{varPhie_{i}}\vert^{2}[2\int_{t{2}>0}\int_t{1}<0}\frac{\vert\chi（t_{2}）\ vert^2}\mathbb{e}（\vert\int_{0}^{t{2}}e^{is\phi（\xi）}\，d\beta{i}（s）\vert^{2}）}{\vert_{1} -吨_{2} \vert^{1+2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}\\&{}+4\int_{t{2}>0}\int_}0<t{1}<t{2{}\frac{\vert\chi \beta_{i}（s）\vert^{2}）}{\vert t_{1} -吨_{2} \ vert^{1+2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}\，&{}+4\int_{t{2}>0}\ int_{0<t_{1}<t_{2}}\ frac{\vert\chi转换^{2}）}{转换t_{1} -吨_{2} \vert^{1+2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}]\\=&\sum_{i\in\mathbb{N}}\vert\hat{varPhie_{i}}\vert^{2}[i{1}+i{2}+i_{3}]。\结束{对齐}$$

(22)

现在，我们限制\（I_{1}\）,\（I_{2}\）和\（I_{3}\）分别，

$$I_{1}\leq 2\int_{0}^{2} t吨_{1} \bigl\vert\chi（t{2}）\bigr\vert^{2}\int_{t{1}<0}\frac{1}{\vert_{1} -吨_{2} \vert^｛1+2b｝｝\，dt_｛1｝\，dt_｛2｝\leq M_｛b｝\bigl\vert\vert\vert^｛\frac｛1｝{2} -b个}\chi\bigr\垂直^{2}_｛L_｛t｝^｛2｝｝｝$$

(23)

使用公式(16)，我们有

$$开始{对齐}I{2}\leq&4\int_{0}^{\infty}\int_}0}^}{t_{2}}\frac{t_{1}\vert\chi（t{1}）-\chi（t_{2{）\vert^{2}{{_{1} -吨_{2} \垂直^{1+2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}\\leq&4\int_{0}^{2}\int__{0{^{t_2}}\frac{t_1}\Vert\chi（t_{1}）-\chi（t_{2}）\Vert_{2}}{\Vert_{1} -吨_{2} \Vert^{1+2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}\\&{}+4\int_{2{^{\infty}\int_}0}^{2}\frac{t{1}\Vert\chi（t_{1}）\Vert^{2{{\Vert_{1} -吨_{2} \垂直^{1+2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}\\leq&8\Vert\chi\Vert^{2}_{H_{t}^{b}}+4\bigl\Vert\Vert\Vert^{frac{1}{2}}\chi\bigr\Vert^{2}_{L_{t}^{\infty}}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2}\frac{1}{\vert t_{1} -吨_{2} \vert^{1+2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}\\leq&8\vert\chi\vert^{2}_{H_{t}^{b}}+M_{b}\bigl\Vert\Vert\Vert^{frac{1}{2}}\chi\bigr\Vert^{2}_｛L_｛t｝^｛infty｝｝｝。\结束{对齐}$$

(24)

同样，

$$I{3}\leq 4\int_{0}^{2}\int_{0}^{t_2}}\frac{\vert\chi（t_{2}）\vert^{2{}{\vert_{1} -吨_{2} \vert^{2b}}\，dt_{1}\，dt_{2}\leq M_{b}\bigl\vert\vert t\vert^}\frac{1}{2} -b个}\chi\bigr\垂直^{2}_{L_{t}^{2}}$$

(25)

组合(21)–(25)带有(18)，我们得到

$$\mathbb{E}\bigl（\bigl\Vert\mathfrak{F}（F）_{x} w（\cdot，\xi）\bigr\Vert^{2}_{H_{t}^{b}}\biger）\leq N（b，\chi）\sum_{i\in\mathbb{N}}\vert\hat{varPhie_{i}}\vert^{2}$$

(26)

哪里\（N（b，\chi）=M_{b}（\|\chi\|_{H^{b}_{t} }+\||t|^{\frac{1}{2}}\chi\|_{L^{2}_{t} }+\||t|^{\frac{1}{2}}\chi\|_{L^{\infty}{t}}）\）因此，估算(15)来自(17)和(26). □

4局部适定性：定理证明1

根据上一节中证明的随机估计和Banach不动点定理，我们推导出了等式的局部适定性结果(1). 也就是说，本节将致力于定理的证明1.让\（v（t）=U（t）U_{0}\）和\（\bar｛u｝=u（t）-v（t）-u_｛l｝（t）\），然后是等式(5)等于

$$\beart｛aligned｝\bar｛u｝（t）=&&mathcal｛A｝\bar｛u｝（t）\\：=&&frac｛1｝｛3｝\int _｛0｝^｛t｝u（t-s）\ frac｛\partial｝｛\partial x｝\bigl（\bar｛u｝^｛3｝+u｛l｝^｛3｝+v ^｛3｝\\&｛｝+3\bigl（\bar{u} v（v）^{2}+2\bar{u} v（v）u{l}+\bar{u}u{l{2}+\bar{u}^{2} v（v）+\bar{u}^{2} u个_{l} +伏^{2} u个_{l} +v u_{l}^{2}\bigr）\ bigr（s）\，ds.\end{aligned}$$

(27)

因此，本节的目标是证明\（\mathcal{A}\）是中的收缩映射

$$\mathfrak美元{Y}（Y）_{R} ^｛T｝=\bigl\｛\bar｛u｝\in\mathfrak{X}（X）_{s，b}^{T}:\Vert\bar{u}\Vert_{mathfrak{X}（X）_{s，b}^{T}}\leq R\bigr\}，\quad R>0，T>0$$

哪里R（右）和T型分别足够大和足够小。在做这件事之前，我们回顾了之前关于线性和双线性估计的一些结果。

引理2

([23])

假设 \（a>0）,\（b>\压裂{1}{2}\）和b条距离 \（\压裂{1}{2}\）.对于 \（s\in\mathbb{R}\）,\（H^{s}（\mathbb{R}）中的u_{0}\）和 \（f\in\mathfrak{X}（X）_{s，-a}^{T}\）,我们有

$$\biggl\Vert\int_{0}^{t}U（t-\tau）f（\tau{X}（X）_{s，b}^{T}}\leq CT^{1-a-b}\Vert f\Vert_{mathfrak{X}（X）_{s，b}^{T}}$$

(28)

和

$$\垂直v\垂直_{\mathfrak{X}（X）_{s，b}^{T}}\leq\Vertu{0}\Vert_{H^{s}}$$

(29)

引理3

([18])

假设 \（0<a<1）,\（压裂{1}{2}<b）和b条距离 \（\压裂{1}{2}\）.对于 \（b'>\压裂{1}{2}\）,\（s\geq-\frac{1}{4}\）和 \（u{1}，u{2}，u{3}\在\mathcal{S}（\mathbb{R}^{2}）中\）,我们有

$$\biggl\Vert\frac{\partial}{\paratilx}（u_{1} u个_{2} u个_{3} ）\biggr\Vert_{mathfrak{X}（X）_{s，-a}}\leq C\Vertu{1}\Vert_{mathfrak{X}（X）_{s，b'}}\垂直u_{2}\垂直{\mathfrak{X}（X）_｛s，b'｝｝\垂直u_｛3｝\垂直_｛\mathfrak{X}（X）_{s，b'}}$$

(30)

前提是-手侧是有限的.

根据引理1,2和三，我们获得

$$\Vert\mathcal{A}\bar{u}\Vert_{mathfrak{X}^{T}（T）_{s，b}}\leq C'T^{1-a-b}\bigl（R^{2}+\Vertu{l}\Vert_{mathfrak{X}^{T}（T）_{s，b}}+\Vertu{0}\Vert_{H^{s}}\biger）$$

(31)

因此，对于\（\bar{u}_{1} ，\bar{u}_{2} \in\mathfrak中{Y}（Y）_{R} ^{T}\），我们得到

$$\垂直\mathcal{A}\bar{u}_{1}-\数学{A}\bar{u}_{2} \垂直{\mathfrak{X}^｛T｝_{s，b}}\leq C'T^{1-a-b}\bigl（R^{2}+\Vertu{l}\Vert_{mathfrak{X}^{T}（T）_｛s，b｝｝+\Vert u_｛0｝\Vert _｛H^｛s｝｝\bigr）\Vert\bar｛u_｛1｝}-\bar｛u_｛2｝｝\Vert _｛\mathfrak｛X｝^{T}（T）_{s，b}}$$

(32)

现在，定义停止时间\（T_{ω}\）通过

$$T_{\omega}=\inf\bigl\{T>0:9C'T^{1-a-b}右_{\omega}^{T}\geq 1\bigr\}$$

(33)

哪里\（R{\omega}^{T}=\Vertu{l}\Vert_{\mathfrak{X}^{T}{{s，b}}+\Vertu_{0}\Vert_{H^{s}}\）。那么\（\mathcal{A}\）使用中心零和半径映射球\（R_{\omega}^{T}\）在里面\（\mathfrak{X}_{s，b}^{T_{omega}}\）融入自身，以及

$$\Vert\mathcal{A}\bar{u{1}}-\mathcal}A}\bar{u{2}}\Vert_{\mathfrak{X}^{T_{omega}}{s，b}}\leq\frac{1}{3}\Vert\bar{u}}-\ bar{u_2}}\Vert_{mathfrak{X}^{T_}}}b}}$$

(34)

根据不动点理论，\（\mathcal{A}\）有一个唯一的不动点，它是(5)英寸\（\mathfrak{X}（X）_{s，b}^{T_{\omega}}\）.请注意\（u=v+\bar{u}+u{l}\在\mathfrak{X}^{T_{omega}}{s，b'}+\mathbrak{X{^{T_}}{s,b}\中）.

在本节的其余部分中，我们通过显示以下内容来完成证明\（u在C（[0，T_{\omega}]，H^{s}（\mathbb{R}）中）.注意\（b，b'>\压裂{1}{2}\）.根据Sobolev嵌入定理，我们有\（v在C（[0，T_{\omega}]，H^{s}（\mathbb{R}）中）.在以下条件下\（L_{2}^{0，s}\中的\varPhi\）事实上\（U（t）\）是中的幺正群\（H^{s}（\mathbb{R}）\）定理6.10在[16]意味着\（u_{l}\在C中（[0，T_{\omega}]；H^{s}（\mathbb{R}））.

现在选择截止函数\（在C_｛0｝^｛infty｝（\mathbb｛R｝）中的\chi _｛T｝\）这样的话\（chi{T}（T）=1）在$[0,2]$,\（\运算符名称｛supp｝\chi _｛T｝\subet[-1,2]\）和\（\chi_{T}（T）=0\）在\（（-\infty，-1]\杯[2，\infty）\）.表示\（\chi_{q}（\cdot）=\chi（q^{-1}（\ cdot））对一些人来说\（q\in\mathbb{R}\）.通过引理三，我们有\（\波浪线{u}^{2}\波浪线{u}_{x} \in\mathfrak中{X}（X）_{s，-a}\）对于任何延长ũ属于u个在里面\（\mathfrak{X}（X）_{s，c}+\mathfrak{X}（X）_{s，b}\）.因此

$$\biggl\Vert\chi_{T}\int_{0}^{T}U（T-s）\bigl（\tilde{U}（s）\tilde{u}_{x} （s）\biger）\biggr\Vert_{mathfrak{X}（X）_{s，1-a}}\leq C\bigl\Vert\tilde{u}（s）\tilde{u}_{x} （s）\bigr\Vert_{mathfrak{X}（X）_{s，-a}}$$

(35)

自\（1-a>\压裂{1}{2}\），然后\（\tillde{u}\in\mathfrak中{X}（X）_{s，b}\子集C（[0，T_{\omega}]；H^{s}（\mathbb{R}））\）.这就完成了定理的证明1.

5全局适定性：定理证明2

修复\（T_{0}>0\）并假设\（u{0}\）满足定理的条件1。在本节中，我们将提供定理证明2也就是说，我们显示了解决方案u个可以扩展到整个间隔\（[0，T_{0}]\）.让\（（\varPhi_{n}）_{n\in\mathbb{n}}）成为一个序列\（L_{0}^{0,4}\）这样的话

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\varPhi_{n}=\varPhi \quad\text{in}L_{2}^{0,0}$$

(36)

然后让\（（u_{0，n}）_{n\in\mathbb{n}}\）是中的另一个序列\（L^{2}（\varOmega，H^{s}（\tathbb{R}））这样的话

$$\lim_{n\rightarrow\infty}u_{0，n}=u_{0}\quad\text{in}L^{2}\bigl（\varOmega，L^{2]（\mathbb{R}）\bigr）$$

(37)

通过使用类似于[23]，我们可以找到一个独特的解决方案\（u{n}\）在里面\（C（[0，T_{0}]，H^{3}（\mathbb{R}））对于

$$u_{n}=u（t）u_{0，n}+\int_{0}^{t}u（t-s）\biggl（u_{n}^{2}（s）\frac{\partial u_{n}}{\ partial x}$$

(38)

通过在上使用Itó公式\（u{n}\|^{2}_{L^{2}（\mathbb{R}）}\）和鞅不等式（参见[16])，我们有

$$\mathbb｛E｝\Bigl（\sup_｛t\in[0，t_｛0｝]｝\Vert u_｛n｝\Vert^{2}_{左^{2}_{x} }\Bigr）\leq\mathbb{E}\bigl（\Vertu_{0，n}\Vert^{2}_{左^{2}_{x} }\bigr）+C\Vert\varPhi_{n}\Vert^{2}_{L_{2}^{0,0}}$$

(39)

因此，顺序\（（u_{n}）_{n\in\mathbb{n}}）有界且弱星收敛于函数\（L^{2}中的u^{\ast}\（\varOmega；L^{\infty}（[0，T_{0}]；L^}2}（\mathbb{R}）），满足

$$\mathbb{E}\Bigl（\sup_{t\in[0，t_{0}]}\Bigl\Vert-u^{ast}\bigr\Vert^{2}_{左^{2}_{x} }\Bigr）\leq\mathbb{E}\bigl（\Vert-u_{0}\Vert^{2}_{左^{2}_{x} }\bigr）+C\Vert\varPhi\Vert^{2}_{L_{2}^{0,0}}$$

(40)

以与相同的方式\（\mathcal{A}\），定义映射\（\mathcal{答}_{n} \）很容易证明\（\mathcal{答}_{n} \）是一致严格的收缩\（\mathfrak{Y}（Y）_{r（\omega）}^{t（\omega）}\）在里面\（\mathfrak{X}（X）_｛s，b｝^｛T_｛\omega｝｝\）根据不动点定理，存在一个唯一的函数\（u\in\mathfrak{X}（X）_{s，b}^{T_{\omega}}\）这样的话

$$u=u^{\ast}=\lim_{n\rightarrow\infty}u_{n}\quad\text{a.s.in}[0，T_{\omega}]$$

(41)

哪里\（u{n}\）是唯一的不动点\（\mathcal{答}_{n} \）。此外，我们还有

$$\bigl\Vert-u\bigl（t（\omega）\biger）\bigr\Vert_{L^{2}（\mathbb{R}）}\leq\bigl\ Vert-u^{\ast}\bigr\ Vert_{L ^{\infty}（[0，t_{0}]；L^{2]（\mathbb{R}））}$$

（42）

因此，我们可以找到解决方案\（[T_{ω}，2T_{Ω}]\）因此，解决方案u个可以扩展到\（[0，T_｛0｝]\）几乎可以肯定是通过重复。这就完成了定理的证明2.

6总结和讨论

本文致力于利用Fourier约束方法、Banach收缩原理和一些基本不等式来研究非线性SPDE，并证明其解在方便函数空间中的局部和全局适定性结果。我们的注意力集中在随机修正的Kawahara方程上(1)，是一个在随机环境中考虑的五阶浅水波动方程。我们证明了公式(1)对于中的数据来说，在本地是很合适的\（H^{s}（\mathbb{R}）\）,\（第1/4页）它的解可以扩展到全局解\（[0，T_{0}]\）由于相位函数的非零奇异性，提出了傅里叶约束方法ϕ.

确定性修正的川原方程(7)年贾和霍讨论过[18]. 他们证明了在\（H^{s}（\mathbb{R}）\）,\（第1/4页）在本文中，我们扩展了他们的结果，并通过选择新的合适的随机函数空间（例如空间\（\mathfrak{X}（X）_｛s，b｝^｛T｝\）)估计随机卷积(13)在这些空间中。也就是说，我们考虑了五阶浅水波方程的一种现实情况。我们相信，我们在本文中提出的思想也可以应用于数学物理领域中广泛的一类随机非线性演化方程。例如，随机KdV、广义KdV，Hirota–Satsuma耦合KdV和Swada–Kotera方程。