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连续和离散模型的进展

理论与现代应用

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奇异分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性第页-拉普拉斯语

差分方程研究进展 体积 2020，物品编号：83(2020)引用这篇文章

摘要

本文证明了一类奇异分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性第页-拉普拉斯算子。本文的主要结果是通过构造上下解的单调迭代序列并应用比较结果得到的。最后，我们还提供了一个支持存在性定理的示例。我们的结果推广了文献中的一些相关结果。

1介绍

分数阶微积分及其在科学和工程许多领域的各种应用在近几十年来得到了广泛的关注和迅速的发展。分数微分方程已用于物理、化学、空气动力学、聚合物流变学、流体流动现象、波传播、信号理论、电路、控制理论和粘弹性材料等过程的数学建模[1–7]以及其中的参考文献。

出现了许多关于分数阶微分方程初值或边值问题解的存在性的研究论文；参见[8–19]. 我们注意到，最近在[10,11]. 此外，一些论文考虑了最近的分数阶边值问题第页-拉普拉斯语[12–14,20,21]中使用了上下方法和单调迭代技术[12–14].

利用单调迭代法和上下解，Jankowski[11]考虑以下具有非线性边界条件的分数阶微分方程：

$$\textstyle\begin{cases}（D_{T}^{q} u个)（t） =f（t，u（t）），在[0，t）中的四元t，t>0，\\0=g（上划线{u}（0），上划线{u}（t）），结束{cases}$$

哪里（f）∈C类([0,T型]×对,对),克∈C类(对×对,对)、和\（D_{T}^{q} u个\)是u的右手Riemann–Liouville分数导数\（0<q<1，上横线{u}（a）=（T-T）^{1-q}u（t） |_{t=a}，a=0，t\）.得到了初始条件为点的非线性分数阶微分方程唯一解的存在性结果T型利用Mittag-Lefler函数和逐次逼近方法，得到了一类相关线性分数阶微分问题的存在性结果。在此基础上，给出了该问题具有极值解的充分条件。

Ding等人[12]将上述问题推广到以下分数阶边值问题第页-通过上下法和单调迭代法得到的拉普拉斯算子：

$$\textstyle\begin{cases}D_{0^{+}}^{\beta}（\phi_{p}（D_{0 ^{+{}}^{\alpha}u（t））=f（t，u（t{D}（D）_{0^{+}}^{\alpha}u（t）|_{t=0}=0，\qquad g（\波浪线{u}（0），\波浪线}（1））=0，\结束{cases}$$

哪里\（0<\alpha，\beta\le 1,1<\alfa+\beta\ le 2）,\（D_{0^{+}}^{\alpha}\）是Riemann–Liouville分数阶导数α,\（φ{p}（t）=|^{p-2}吨，p>1\）是第页-拉普拉斯算子，（f）∈C类([0,1]×对×对,对),克∈C类(对×对,对),u个˜(0)=t吨1负极αu个(t吨)|t吨=0和\（波浪线{u}（1）=t^{1-\alpha}u（t）|{t=1}\）通过构造上下解的两个定义明确的单调迭代序列，研究了极值解的存在唯一性。

基于上述工作，本文研究了一类奇异分数阶微分方程极值解的存在唯一性第页-拉普拉斯算子与更一般的非线性边界条件

$$\textstyle\begin{cases}D_{0^{+}}^{\beta}（\phi_{p}（D_{0 ^{+{}}^\alpha}u（t））=f（t，u（t}^{\alpha}u}（0），\overline{D_{0^{+}}^{\ alpha}u}（t））=0，\end{cases}$$
(1.1)

哪里\（0<\alpha，\beta\le 1，1<\alfa+\beta\ le 2，r=\frac{1-\beta}{p-1}\）,\（D_{0^{+}}^{\alpha}\）是Riemann–Liouville分数阶导数α,\（φ{p}（t）=|^{p-2}吨\（p>1）\）是第页-拉普拉斯算子，（f）∈C类([0,T型]×对×对,对),克∈C类(对×对,对),小时∈C类(对×对,对),u个˜(c（c）)=t吨1负极αu个(t吨)|t吨=c（c）、和\（\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}u}（c）=t^{r} 天^{\alpha}_{0^{+}}u（t）|_{t=c}，c=0，t\）。

存在问题(1.1)，边值条件\（g（x，y）=0，h（x，y）=0）是一类一般条件。什么时候？\（h（x，y）=x）这个问题(1.1)成为问题所在[12]. 这些条件可以涵盖反周期[22]或其他非线性边界条件。此外，功能u个其导数在0和T型.因此问题(1.1)可以将这些问题概括为[12–14]. 因此，我们的结论可以更广泛。我们在这里不仅得到了极值解的存在唯一性，而且还得到了收敛于解的迭代序列。

关于边值问题的一些相关结果第页-用单调迭代法得到的拉普拉斯算子，非线性项的单调型条件（f）关于功能u个或其衍生物通常是必需的。在本文中，我们只考虑函数\（f+M\phi_{p}（D_{0^{+}}^{\alpha}u（t））不（f）受制于单调类型的条件。

本文组织如下。在教派。 2，我们提供了一些预备知识，初值条件下线性分式问题的存在性结果和一个比较结果。在教派。 三通过构造两个定义明确的单调上下解迭代序列，建立了极值解的存在唯一性定理。最后，作为理论结果的应用，给出了一个例子来说明存在性结果。

2前期工作

让\（J=[0，T]\）是实轴上的闭合区间对众所周知\（C[0，T]\）是连续函数的Banach空间\（[0，T]\）进入之内对符合规范\（[0，t]}|u（t）|\）.表示\（C_{\lambda}[0，T]\）通过

$$C_{\lambda}[0，T]=C（0，T]）中的\bigl\{u\$$

哪里\（[0,1）中的\lambda\）.然后\（C_{\lambda}[0，T]\）也是具有范数的Banach空间\（\|u\|_{C_{\lambda}}=\|t^{\lampda}u\|{C}\）很明显\（C[0，T]：=C_{0}[0，T]\子集C_{\lambda}[0对于\（0\le\lambda\le\delta<1）和\（C_{\lambda}[0，T]\子集L[0，T]\）(\（L[0，T]\）是定义在上的勒贝格可积实函数的空间\（[0，T]\）). 定义\（C_{r}^{\alpha}[0，T]\）通过

$$C_{r}^{\alpha}[0，T]=\bigl\{u（T）\in C_{1-\alpha{[0，T]：\bigl（D_{0^{+}}^{\ alpha}u\bigr）（T）\ in C_}r}[0，T]\bigr\}$$

哪里\（0<\alpha，\beta\le 1，r=\frac{1-\beta}{p-1}，p>1\）和\（p+\beta>2）.它是一个具有范数的Banach空间\（\|u\|_{C_{r}^{alpha}}=\|u\ |_{C_1-\alpha}}+\|D_{0^{+}}^{\alpha}u\|{C_{r{}}）（请参见引理2.2[14]).

我们介绍了分数微积分理论的一些有用的定义和基本事实；有关更多详细信息，请参阅[1,2].

定义2.1

([1])

黎曼-刘维尔分数积分\（I^{\alpha}_{0^{+}}\）由提供

$$I^{\alpha}_{0^{+}}f（t）=\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}f（s）\，ds$$

和分数导数\（D^{\alpha}_{0^{+}}\）由定义

$$D^{\alpha}_{0^{+}}f（t）=\frac{1}{\varGamma（n-\alpha）}\biggl（\frac{D}{dt}\bigr）^{n}\int_{0}^{t}}}f\bigr）（t）$$

哪里n个负极1<α≤n个,n个∈N个，前提是存在积分。

引理2.1

([1])

假设我们有这个函数\（u在C（0，T]\cap L（0，T]\）中具有阶分数导数\（\alpha\（0<\alpha\le 1）\）属于的\（C（0，T]\cap L（0，T]\）。然后

我0+α天0+αu个(t吨)=u个(t吨)+c（c）t吨α负极1对一些人来说c（c）∈对;天0+α我0+αu个(t吨)=u个(t吨)。

引理2.2

([12，引理2.1]）

假设\（0<\beta\leq 1）,M（M）∈对,κ∈对,\（u（t）\在C_{1-\beta}[0，t]\中）和\（h（t）\在C_{1-\β}[0，t]\中）。然后是线性分数初值问题

$$\textstyle\begin{cases}D^{\beta}_{0^{+}}u（t）+Mu（t）=h（t），\四元t\in（0，t]，\\t^{1-\ beta}u（t）|_{t=0}=\kappa，\结束{casesneneneep$$

具有以下积分表示解以下为：

$$u（t）=\varGamma（\beta）\kappa t^{\beta-1}E_{beta，\beta}\bigl$$

哪里\（E_{\beta，\beta}（x）=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{\varGamma（k\beta+\beta）}\）是Mittag-Leffler函数。它是连续的和非负的[1,8].

引理2.3

假设\（0<\alpha，\beta\leq 1）,M（M）是一个常量,k个0,小时0∈对,\（u（t）\在C_{r}^{\alpha}[0，t]\中）和\（C_{1-\beta}[0，t]\中的\ eta（t）\）。那么下面的线性分式初值问题以下为：

$$\textstyle\begin{cases}D^{\beta}_{0^{+}}（\phi_{p}（D^{alpha}_{0 ^{+{}u（t）））+M\phi_}}^{\alpha}u}（0）=h_{0}，\结束{cases}$$
（2.1）

具有积分形式的唯一解

$$\开始{aligned}u（t）={}&k_｛0｝t^{α-1}+\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\phi_{q}\biggl[\varGamma（\beta）\phi_}p}β-1}E_{\beta，\beta}\bigl（-M（s-\tau）^{\beta{\bigr）\eta（\t au）\，d\tau\biggr]\，ds，\end{aligned}$$
(2.2)

哪里\（\ phi _｛q｝\）是的反函数\（φ{p}）。

证明

让\（v（t）=φ{p}（D^{alpha}{0^{+}}u（t）），那么我们有\（φ{p}（t^{r} D类^{\alpha}_{0^{+}}u（t））=t^{1-\beta}v（t），0<t\leqT\）因此，问题(2.1)转换为以下分数初始值问题：

$$\textstyle\begin{cases}D^{\beta}_{0^{+}}v（t）+Mv（t。\结束{cases}$$

来自Lemma2.2，我们发现

$$v（t）=\varGamma（\beta）\phi_{p}（h_{0}）t^{beta-1}E_{beta，\beta}\bigl$$
(2.3)

和\（v（t）在C_{1-\beta}[0，t]\中），因此

$$D^{\alpha}_{0^{+}}u（t）=\phi_{q}\biggl[\varGamma（\beta）\ eta（s）\，ds\biggr]$$
(2.4)

对于\（v（t）在C（0，t]\cap L（0，t）中，我们有\（C_{r}[0，t]\子集C（0，t]\cap L（0，t）\中的D_{0^{+}}^{\alpha}u（t）.引理2.1收益率

$$\开始{对齐}u（t）={}&ct^{\alpha-1}+\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\phi_{q}\biggl[\varGamma（\beta）\phi_p}（h_{0{）s^{\beta-1}E_{\beta，\beta}\bigl（-Ms^{\ beta}\bigr）\\&{}+\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\beta-1}E_{\beta，\beta}\bigl（-M（s-\tau）^{\ beta}\bigr）\eta（\tao）\，d\tau\biggr]\，ds.\end{aligned}$$

凭借\（\波浪线{u}（0）=k{0}\），我们得到\（c=k{0}\）和

$$\开始{aligned}u（t）={}&k_{0}吨^{α-1}+\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\phi_{q}\biggl[\varGamma（\beta）\phi_}p}β-1}E_{\beta，\beta}\bigl（-M（s-\tau）^{\beta{\bigr）\eta（\t au）\，d\tau\biggr]\，ds.\end{aligned}$$
(2.5)

相反，很明显\（u（t）\在C_{1-\alpha}[0，t]\中）和\（\波浪线{u}（0）=k{0}\）.注意到\（D_{0^{+}}^{\alpha}t^{\alpha-1}=0\）,\（D_{0^{+}}^{\alpha}I^{\alpha}u=u\）,\（对于C（0，T]\cap L（0，T]\）中的所有u和差异化(2.5)有秩序地α，我们到达(2.4). 自\（C_{1-\beta}[0，t]\中的\ eta（t）\），很明显\（φ_｛p｝（D_｛0^｛+｝｝^｛\alpha｝u（t））\在C_｛1-\β｝[0，t]\中）、和\（C_{r}[0，t]\中的D_{0^{+}}^{\alpha}u（t）\）.使用\（φ{p}）至(2.4)然后乘以\（t^{1-\beta}\），我们得到

$$开始{对齐}t^{1-\beta}\phi_{p}\bigl（D_{0^{+}}^{\alpha}u（t）\bigr bigl（-M（t-s）^{\beta}\bigr）\eta（s）\，ds，\end{aligned}$$

和\（t）^{r} D类_｛0^｛+｝｝^｛\alpha｝u（t）| _｛t=0｝=h｛0｝\）.用顺序微分上述方程β，来自引理2.2，我们发现

$$D_{0^{+}}^{\beta}\bigl（\phi_{p}\bigle（D_{0 ^{+{}}^{\alpha}u（t）\bigr）\biger）+M\phi_{p}\ bigl$$

这就完成了证明。□

引理2.4

（比较结果）

如果\（u（t）\在C_{r}^{\alpha}[0，t]\中）并满足

$$\textstyle\begin{cases}D^{\beta}_{0^{+}}（\phi_{p}（D^{alpha}_{0 ^{+{}u（t）））+M\phi_}（D ^{alpha}_{0 ^+}}u（t u}（0）\geq 0，\end{cases}$$

哪里M（M）是一个常量,然后\（D^{\alpha}_{0^{+}}u（t）\ge 0\）和\（u（t）\ge 0）对于\（在（0，t]\）中。

证明

让\（w（t）=φ{p}（D^{alpha}{0^{+}}u（t）），然后\（在C_{1-\beta}[0，t]\中为w（t））并满足

$$\textstyle\begin{cases}D_{0^{+}}^{\beta}w（t）+Mw（t$$

因此\（w（t）\ge 0）对于\（在（0，t]\）中，通过引理2.2.自\（φ{p}（x））不会减少，\（u（t）\）满足

$$\textstyle\begin｛cases｝D^｛\alpha｝_｛0^｛+｝｝u（t）\ge 0，\quad t\in（0，t]，\\\\宽波浪号｛u｝（0）\geq 0。\结束{cases}$$

因此，我们得到\（u（t）\ge 0）,\（在（0，t]\）中来自Lemma2.1.这个引理是完整的。□

三主要结果和示例

为了使用单调迭代方法，我们引入了一对上下解的定义。

定义3.1

A函数\（u（t）\在C_{r}^{\alpha}[0，t]\中）被称为问题的下解(1.1)如果它满足

$$\textstyle\bbegin｛cases｝D_｛0^｛+｝｝^｛\beta｝}（0），\overline｛D_｛0^｛+｝｝^｛\alpha｝u｝（t））\geq 0。\结束{cases}$$
(3.1)

A函数\（v（t）\在C_{r}^{\alpha}[0，t]\中）被称为问题的上解(1.1)如果它满足

$$\textstyle\begin{cases}D_{0^{+}}^{\beta}（\phi_{p}（D_{0 ^{+{}}^{\alpha}v（t）））\gef（t，v（t ^{+}}^{\alpha}v}（0），\overline{D_{0^{+{}}^}\alpha}v}（t））\leq 0。\结束{cases}$$
(3.2)

我们的主要结果需要以下假设。

\（（H_{1}）\）以下为：

假设\（C_{r}^{alpha}[0，T]\中的u_{0}，v_{0{\）是问题的上下解决方案(1.1)分别为和\（u_{0}（t）\le v_{0neneneep（t），t\in（0，t]\）。

\（（H_{2}）\）以下为：

存在一个常量M（M）这样的话

$$f\bigl（t，u（t），D_{0^{+}}^{\alpha}u（t u（t）\较大）\较大]$$

对于\（u_{0}（t）\leu（t）\tev（t。

\（（H_{3}）\）以下为：

存在常量\（\lambda{1}>0，\lambda{2}\ge0\）这样的话

$$g（x{1}，y{1}）-g（x}2}，y{2}）\le\lambda{1}（x_{2} -x个_{1} ）-\lambda{2}（y_{2} -年_{1}) $$

对于\（\波浪号{u}_｛0｝（0）\le x_｛1｝\le x_｛2｝\le波浪{v}（v）_{0}(0)\)和\（\波浪号{u}_｛0｝（T）\le y_｛1｝\le y_｛2｝\le \波浪{v}（v）_{0}（T）\）。

\（（H_{4}）\）以下为：

存在常量\（\mu{1}>0，\mu{2}\ge0）这样的话

$$h（x{1}，y{1}.）-h（x{2}，y{2}.）\le\mu_1}（x_{2} -x个_{1} ）-\mu{2}（y_{2} -年 _{1}) $$

对于\（\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}u_{0}}（0）\lex_{1}\lex_2}\le\overline{D_}0^{+/}}^}^{\ alpha}v_{0{}}，（0）\）和\（\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}u_{0}}。

定理3.1

假设（f）∈C类([0,T型]×对×对,对),克∈C类(对×对,对),小时∈C类(对×对,对)和\（（H_{1}）\）–\（（H_{4}）\）持有。然后存在序列\（{u_{n}（t）\}，\{v_{nneneneep（t）\}子集C_{r}^{alpha}[0，t]\）这样的话\（lim{n\to\infty}u{n}=x，lim{n\to\infty}v{n}=y）在\（（0，T]\）和\（x，y）区间上的最小解和最大解\（[u{0}，v{0}]\）问题的关键(1.1),分别地,哪里

$$[u_{0}，v_{0{]=\bigl\{u\在C_{r}^{\alpha}[0，T]中：u_{0:}（T）\leu（T）\ lev_{0/}（T），T\in（0，T]，\ tilde{u}_{0}（0）\le\颚化符{u}（O）\le\tilde{v}（v）_{0}（0）\bigr\}$$

那就是,任何解决方案\（u\在[u{0}，v{0}]\中）,

$$u_{0}\leu_{1}\le\cdots\leu_}n}\le\tots\lex\leu\ley\le\tods\lev_{n}\le\cdots\lev_}1}\le v_{0{0}$$

和

$$\开始{对齐}D_{0^{+}}^{\alpha}u_{0}&\le D_{0 ^{+{}}^}\alpha}u_{1}\le\cdots\le D_}{0 ^}+}}}y\le\cdots\leD_{0^{+}}^{\alpha}v_{n}\le\cdots\\&\leD_}0^{+/}}^}\alpha{v_{1}\leD_A{0^}+}}^{\alpha}v_0}。\结束{对齐}$$

证明

让\（F（u（t））：=F（t，u（t。对于\（n=1,2，\ldots\） , 我们定义

$$\textstyle\bbegin｛cases｝D_｛0^｛+｝｝^｛\beta｝（\phi｛p｝（D_｛0^｛+｝^｛\alpha｝u｛n｝（t））+M\phi｛p｝（D_｛0^｛+｝^｛\alpha｝u｛n｝（t））=F（u｛n-1｝（t））+M\phi｛p｝（D_｛0^｛+｝^｛\alpha｝u｛n-1｝（t）），\\quad t\in（0，t]，\\\波浪号{u}_{n} （0）=\ tilde{u}_{n-1}（0）+\frac{1}{\lambda{1}}g（\波浪线{u}_{n-1}（0），\波浪号{u}_｛n-1｝（T）），\\\\overline｛D_｛0^｛+｝｝^｛\alpha｝u_｛n｝｝（0）=\overline｛D_｛0^｛+｝｝^｛\alpha｝u _｛n-1｝｝（0）+\frac｛1｝｛\mu_｛1｝｝h（\overline｛D_ 0^｛+｝｝^｛\alpha｝u _｛n-1｝｝（T）），\end｛cases｝$$
(3.3)

和

$$\textstyle\开始{cases}D_{0^{+}}^{beta}（t）），在（0，t]，波浪号{v}（v）_{n} （0）=\ tilde{v}（v）_{n-1}（0）+\frac{1}{\lambda{1}}g（\波浪线{v}（v）_{n-1}（0），\波浪号{v}（v）_｛n-1｝（T）），\\\\overline｛D_｛0^｛+｝｝^｛\alpha｝v_｛n｝｝（0）=\overline｛D_｛0^｛+｝｝^｛\alpha｝v_｛n-1｝｝（0）+\frac｛1｝｛\mu_｛1｝｝h（\overline｛D_ 0^｛+｝^｛\alpha｝v_｛n-1｝｝）（0），\overline｛D_ 0^｛+｝｝^｛\alpha｝v_｛n-1｝｝｝（T））。\结束{cases}$$
(3.4)

发件人\（C_{r}^{alpha}[0，T]\中的u_{0}，v_{0{\），我们有\（C_{r}[0，t]\中的D_{0^{+}}^{\alpha}u_{0}和\（F（u_{0}（t））+\phi_{p}（D_{0^{+}}^{\alpha}u_{0:}.鉴于引理2.3、功能\（u{1}，v{1}\）在空间中有很好的定义\（C_{r}^{\alpha}[0，T]\）通过归纳，我们可以推断出\（u{n}，v{n}\）在空间中有很好的定义\（C_{r}^{\alpha}[0，T]\）。

首先，我们证明\（u{0}（t）\leu{1}和\（D_{0^{+}}^{\alpha}u_{0}（t）\leD_{0对于\（在（0，t]\）中。

让\（δ（t）：=φ{p}（D_{0^{+}}^{\alpha}u{1}（t））.定义\（u{1}\）假设\（u{0}\）较低的解决方案是否意味着

$$D_{0^{+}}^{\beta}\delta（t）+M\delta$$

和\（\波浪号{u}_{1} （0）-\波浪号{u}_{0}（0）=\frac{1}{\lambda{1}}g（\波浪线{u}_{0}（0），\波浪线{u}_{0}（T））\ge 0\）,\（吨^{r} D类_{0^{+}}^{\alpha}u{1}（0）-t^{r} D类_{0^{+}}^{\alpha}u{0}（0）=\frac{1}{\mu{1}}h（t^{r} D类{0^{+}}^{\alpha}u{0}（0），t^{r} D类_{0^{+}}^{\alpha}u_{0}（T））\ge 0\），因此我们\（D_{0^{+}}^{\alpha}u_{0}（t）\le D_{0和\（u_{1}（t）\ge u_{0}（t），t\in（0，t]\）通过引理2.4。

使用类似的方法，我们可以证明\（v{1}（t）\le v{0}（t）\）和\（D_{0^{+}}^{\alpha}v_{1}（t）\le D_{0为所有人\（在（0，t]\）中现在，我们把\（xi（t）=\phi{p}（D_{0^{+}}^{\alpha}v{1}（t.来自(3.3), (3.4)和\（（H_{2}）\），我们有

$$D_{0^{+}}^{\beta}\xi（t）+M\xi}（t）\biger）\bigr]\ge 0$$
(3.5)

我们发现，通过\（（H_{3}）\）和\（（H_{1}）\）,

$$\开始{aligned}\波浪线{v}（v）_{1} （0）-\颚化符{u}_{1} （0）&=\波浪线{v}（v）_{0}（0）+\frac{1}{\lambda{1}}g\bigl（\波浪线｛v｝_{0}（0），\波浪线{v}（v）_｛0｝（T）\bigr）-\biggl[u_｛0｝（0）+\frac｛1｝｛\lambda _｛1｝｝g\bigl（\tilde{u}_{0}（0），\波浪线{u}_{0}（T）\bigr）\biggr]\\&=\frac{1}{\lambda_{1}}\bigl[\lambda \bigl（\波浪线{v}（v）_｛0｝（0）-\波浪号{u}_{0}（0）\bigr）+g\bigl（\波浪线{v}（v）_{0}（0），\波浪线{v}（v）_{0}（T）\bigr）-g\bigl（\波浪线{u}_｛0｝（0），\波浪号{u}_{0}（T）\biger）\bigr]\\&\ge\frac{1}{\lambda_{1}}\bigl[\lambda _{1{\bigl（\波浪线{v}（v）_｛0｝（0）-\波浪号{u}_{0}（0）\bigr）-\lambda_{1}\bigl（\tilde{v}（v）_{0}（0）-\波浪线{u}_{0}（0）\大）+\lambda_{2}（\波浪线{v}（v）_{0}（T）-\波浪线{u}_{0}（T）\bigr]\\&=\frac{\lambda_{2}}{\lampda_{1}}\bigl（\波浪线{v}（v）_{0}（T）-\波浪线{u}_{0}（T）\biger）\ge 0。\结束{对齐}$$
(3.6)

同样，

$$\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}v_1}}（0）-\overline{D_}0^{+/}}^}\alpha{u_1}}（0）\geq\frac{\mu_2}}{\mu_1}}\bigl}u_{0}}（T）\bigr）\ge 0$$
(3.7)

它源自(3.5)–(3.7)和引理2.4那个\（D_{0^{+}}^{\alpha}v_1}（t）和\（v_{1}（t）\ge u_{1neneneep（t），t\in（0，t]\）。

接下来，我们展示一下\（u{1}，v{1}\）是问题的上下解(1.1)分别是。

发件人(3.3)和条件\（（H_{2}）\）–\（（H_{4}）\），我们有

$$\开始{aligned}D_{0^{+}}^{\beta}\bigl（\phi_{p}\bigle（D_{0 ^{+{}}^}\alpha}u_{1}（t）\bigr）={}&F\bigl-（u_{0}（t）\biger）-F\bigl-u_{1\bigr{p}\bigl（D_{0^{+}}^{\alpha}u_{1}（t）\bigr）-\phi_{p}\ bigl（t） \bigr）-\phi_{p}\bigl（D_{0^{+}}^{\alpha}u_{0}+F\bigl（u_{1}（t）\bigr）\\={}&F\bigle（u_1}（t）\biger）\end{对齐}$$

和

$$\开始{aligned}0={}&g\bigl（\tilde{u}_｛0｝（0），\波浪号{u}_{0}（T）\bigr）-g\bigl（\波浪线{u}_{1} （0），\波浪形{u}_{1}（T）\bigr）+g\bigl（\波浪形{u}_{1} （0），\ tilde{u}_{1} （T）\bigr）-\lambda _｛1｝\bigl[\tilde｛u｝_｛1｝（0）-\tilde{u}_{0}（0）\bigr]\\le{}&g\bigl（\波浪线{u}_{1} （0），\ tilde{u}_{1} （T）\biger）-\lambda_{2}\bigl（\波浪线{u}_{1} （T）-\颚化符{u}_{0}（T）\bigr），\\0={}&h\bigl（\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}u_{0}}（0），\overline{D_0^{+{}}^}（T）\biger）-h\bigl-（\overrine{D_0_0^{+/}}^\alpha{u_{1}}{\alpha}u_{1}}（T）\bigr）\\&{}+h\bigl（\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}u_1}}}^{\alpha}u_{1}}（0）-\上划线{D_{0^{+}}^{\alfa}u_0}}行{D_{0^{+}}^{\alpha}u_{1}}（T）-\上一行{D_（0^{+）}^{\ alpha}u（T）\biger）。\结束{对齐}$$

自\（\波浪号{u}_{1} （T）\ge\tilde{u}_｛0｝（T），T^{r} D类_{0^{+}}^{\alpha}u_{1}（T）\geq T^{r} D类_{0^{+}}^{\alpha}u_{0}（T）\），上述不等式意味着

$$g\bigl（\波浪线{u}_{1} （0），\ tilde{u}_{1} （T）\biger）\ge 0，\qquad h\bigl$$

这证明了\（u{1}\）是问题的较低解决方案(1.1). 同样，我们可以证明\（v{1}\）是的上解(1.1).

使用数学归纳法，我们知道

$$开始{对齐}开始{校准}和u{0}{+}}^{\alpha}u_{1}\le\cdots\le D_{0^{+}{^{\alpha}u_{n}\leD_{0 ^{+{}}^}\alpha{u_{n+1}\\&\幻影{D_{0 ^{+}}\勒D_{0^{+}}^{\alpha}v_{n}\le\cdots\le D_{0 ^{+{}}^{\alpha}v_{1}\le D_}0^{+}}^}\alpha{v_{0}，\end{aligned}\end{arigned}$$
(3.8)

对于\（在（0，t]\）中和\（n=1,2,3，\ldots\） .

序列\（{t^{1-\alpha}u{n}\}\）和\（\{t^{r} 天_{0^{+}}^{\alpha}u{n}\}\）一致有界且等距[14]. 类似地，我们可以证明序列\（{t^{1-\alpha}v{n}\}\）和\（\{t^{r} D类_{0^{+}}^{\alpha}v{n}\}\）一致有界且等距。Arzela–Ascoli定理保证\（{t^{1-\alpha}u{n}\}\）和\（｛t^｛1-\alpha｝v_｛n｝\｝\）汇聚到\（t^{1-\alpha}x（t）\）和\（t^{1-\alpha}y（t）\）一致开启\（[0，T]\）分别为；\（\{t^{r} D类_{0^{+}}^{\alpha}u{n}\}\）和\（\{t^{r} D类_{0^{+}}^{\alpha}v{n}\}\）汇聚到\（\{t^{r} D类_{0^{+}}^{\alpha}x（t）\}\）和\（\{t^{r} D类_{0^{+}}^{\alpha}y（t）\}\）一致开启\（[0，T]\）分别是。因此\（\|u_{n} -x个\|_{C_{r}^{\alpha}}\rightarrow 0，\|v_{n} -年\|_{C_{r}^{alpha}}\右箭头0\（n\rightarrow\infty）\）。

通过积分表示(2.2)对于线性分式问题，解\（u｛n｝（t）\）问题的(3.3)可以表示为

$$开始{对齐}u_{n}（t）={}&t^{α-1}k_{n-1}+\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\phi_{q}\biggl[\varGamma（\beta）\phi_}（h_{n-1）s^{\beta-1}E_{beta，\beta}\bigl（-Ms^{beta}大）\\&{}+\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\beta-1}E_{\beta，\beta}\bigl（-M（s-\tau）^{\ beta}\bigr）\eta_{n-1}（\tau，\biggr]\，d\tau，\四边形t\in（0，t]，\end{对齐}$$

哪里\（k{n-1}=widetilde{u}_{n-1}（0）+\frac{1}{\lambda}g（\widetilde{u}_{n-1}（0），\widetilde{u}_{n-1}（T））,\（eta_{n-1}（s）=F（u_{n-1}（s））+M\phi_{p}（D^{alpha}_{0^{+}}u{n-1）和\（h｛n-1｝=\overline｛D_｛0^｛+｝｝^｛\alpha｝u_｛n-1｝｝｝（0）+\frac｛1｝｛\mau｛1｝｝h（\overline｛D_ 0^｛+｝^｛\alpha｝u_｛n-1｝｝（T））\）。

假设（f）应用支配收敛定理，\（x（t）\）满足以下积分方程：

$$\开始{对齐}x（t）={}&t^{\alpha-1}\widetilde{x}（0）+\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\ phi_{q}\biggl[\varGamma（\beta）\phi_{p}（h{0}）s^{\beta-1}E_{beta，\beta}\bigl（-Ms^{beta}\big r）\\&{}+\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\beta-1}E_{\beta，\beta}\bigl（-M（s-\tau）^{\ beta}\ bigr）\eta（\tau，\biggr]\，d\tau，\quad t\in（0，t]，\end{对齐}$$

哪里\（h_{0}=\上划线{D_{0^{+}}^{\alpha}x}（0），eta（s）=F（x（s））+M\phi_{p}.通过引理2.3，我们知道\（x（t）\）是问题的解决方案(1.1). 用同样的方法，我们可以证明\（y（t）\）也是问题的解决方案(1.1)，并满足\（u{0}\lex\ley\lev{0}\）在\（（0，T]\）。

为了证明这一点\（x（t），y（t）\）是的极值解(1.1)，让\（u\在[u{0}，v{0}]\中）是这个问题的任何解决方案(1.1). 我们认为\（u_{n}\leu\lev_{n{，t\in（0，t]\）对一些人来说n个.让\（\zeta（t）=\phi｛p｝（D_｛0^｛+｝｝^｛\alpha｝u（t））-\phi｛p｝（D_｛0^｛+｝｝^｛\alpha｝u｛n+1｝（t）），\varrho（t）=\phi｛p｝（D_｛0^｛+｝^｛\alpha｝v｛n+1｝（t））-\phi p｝（D_｛0^｛+｝^｛\alpha｝u（t）））然后，根据条件\（（H_{2}）\），我们看到了

$$D_{0^{+}}^{\beta}\zeta（t）+M\zeta第0页$$

和

$$D_｛0^｛+｝｝^｛\beta｝\varrho（t）+M\varrho（t）=F\bigl（v_{n｝（t）\bigr）-F\bigl（u（t）\bigr）+M\bigl[\phi_{p｝\bigl（D_｛0^｛+｝｝^｛\alpha｝v_{n｝\bigr）-\phi_{p｝\bigl（D_｛0^｛+｝｝^｛\alpha｝v\bigr）\bigr]\ge 0$$

此外，根据条件\（（H_{3}）\），我们有

$$\开始{aligned}\波浪线{u}（0）-\波浪线{u}_{n+1}（0）&=\tilde{u}（O）+\frac{1}{\lambda_{1}}g\bigl{u}_{n} （0）+\frac{1}{\lambda{1}}g\bigl（\波浪线{u}_{n} （0），\ tilde{u}_{n} （T）\bigr）\biggr]\\&=\frac{1}{\lambda{1}}\bigl[\lambda{1}\tilde{u}（0）+g\bigl{u}_{n} （0）+g\bigl（\tilde{u}_{n} （0），\波浪号{u}_{n} （T）\biger）\bigr]\&\ge\frac{\lambda_{2}}{\lampda_{1}}\bigl（\波浪线{u}（T）-\波浪线{u}_{n} （T）\biger）\ge 0\end{对齐}$$

和

$$\开始{aligned}\波浪线{v}（v）_{n+1}（0）-\波浪线{u}（O）&=\波浪线{v}（v）_{n} （0）+\frac{1}{\lambda{1}}g\bigl（\波浪线{v}（v）_{n} （0），\ tilde{v}（v）_{n} （T）\bigr）-\biggl[\tilde{u}（0）+\frac{1}{\lambda-1}g\bigl（\tilde}u}{v}（v）_{n} （0）+g\bigl（\tilde｛u｝（0），\tilde｛u｝（T）\bigr）-（\lambda _｛1｝\tilde｛u｝（0）+g\bigl（\tilde{u}_{n} （0），\tilde{u}_{n}（T）\bigr）\biger]\\&\ge\frac{\lambda_{2}}{\lampda_{1}}\bigl（\tillde{v}_{n}。\结束{对齐}$$

按条件\（（H_{4}）\），我们有

$$开始{对齐}\上划线{D_{0^{+}}^{\alpha}u}（0），上划线{D_{0^{+}}^{\alpha}u}u_{n}}（0），\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}u_{n}（T）\biger）\biggr]\\={}&\frac{1}{\mu_1}}\bigl[\mu_{1}\overline{D_0^{+{}}^\alpha{u}\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}u}（T）\biger）\\&{}-\bigl（\mu_{1}\overline{D_}0^{++}}^}\alpha}u_{n}}（0）+h\ bigl，\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}u_{n}}（T）\biger）\bigr]\\ge{}&\frac{\mu_{2}}{\mu_1}}\bigl{对齐}$$

和

$$开始{对齐}\上划线{D_{0^{+}}^{阿尔法}v_{n+1}}^{\alpha}u}（T）\bigr）\ge 0。\结束{对齐}$$

因此，\（D_{0^{+}}^{\alpha}u_{n+1}（t）\leD_{0 ^{+{}}^}\alpha}u（t）\ leD__{0和\（u_{n+1}（t）\le u（t）\le v_{n+1}（t），t\in（0，t]\）此外，通过归纳法\（x（t）\leu（t）\ ley（t），D_{0^{+}}^{\alpha}x\leD_{0 ^{+{}}^}\alpha}u\leD_{0^}+}}^{\alpha}y\）在\（（0，T]\）通过服用\（到英寸）.证据完整。□

定理3.2

定理中的假设3.1保持不变，存在一个常数N个这样的话

$$f\bigl（t，u（t），D_{0^{+}}^{\alpha}u（t v（t）\较大）\较大]$$
(3.9)

对于\（u_{0}（t）\leu（t）\tev（t,和\（\widetilde{u}_{0}（0）=\widetilde{v}（v）_{0}(0)\),\（\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}u_{0}}（0）=\overline{D_0^{+{}}^}\alpha{v_{0{}}，（0）\）。然后是问题(1.1)在订单间隔中具有唯一的解决方案\（[u{0}，v{0}]\）。

证明

来自定理3.1，我们知道\（x（t）\）和\（y（t）\）是极值解\（x（t）\ le y（t），t \ in（0，t]\）.足以证明\（x（t）\ge y（t），t\in（0，t]\）。

事实上，通过(3.8)和\（\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}u_{0}}（0）=\overline{D_0^{+{}}^}\alpha{v_{0{}}，（0）\），我们知道\（\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}x}（0）=\overline{D_0^{+{}}^}\alpha{y}（O）\）.让\（w（t）=φ{p}（D_{0^{+}}^{\alpha}x（t）），我们有，来自(3.9),

$$\textstyle\开始{cases}D_{0^{+}}^{\beta}w（t）=F（x（t））-F（y（t）。\结束{cases}$$

然后\（w（t）\ge 0，t\in（0，t]\），即。\（D_{0^{+}}^{alpha}x（t）。也通过(3.8)和\（\widetilde{u}_{0}（0）=\widetilde{v}（v）_{0}(0)\)，我们有\（\widetilde{x}（0）=\widetelde{y}（0\）），引理2.4暗示\（x（t）\ge y（t），t\in（0，t]\）因此，我们获得\（x（t）=y（t）\）.问题(1.1)有一个独特的解决方案。证据完整。□

最后，我们用一个例子来说明这个定理3.1。

示例3.1

考虑以下分数周期边值问题：

$$\textstyle\begin{cases}D_{0^{+}}^{\beta}（\phi_{p}（D_{0 ^{+{}}^{\alpha}u（t））=t^{1/2}（1-t）-2[D_{0^{+}}^}\ alpha}u（t{2\varGamma（4/3）}-\widetilde{u}（1））=0，\\（\frac{1}{2}+\overline{D_{0^{+}}^{\alpha}u}$$
(3.10)

哪里\（α=1/2，β=2/3，p=3，T=1）,\（f（t，u，D_{0^{+}}^{\alpha}u）=t^{1/2}（1-t）-2[D_{0 ^{+{}}^}\alpha{u（t）]^{2}+u（t,\（g（x，y）=x（\frac｛\varGamma（5/6）｝｛2\varGamma（4/3）｝-y）\）、和\（h（x，y）=（分形{1}{2}+x）（1-y）。

设置

$$u_{0}（t）\equiv 0，\qquad v_{0neneneep（t）=\frac{\varGamma（5/6）}{\varGamma（4/3）}t^{1/3}，\quad t\in[0,1]$$

很容易验证\（D_{0^{+}}^{1/2}u_{0}（t）等于0，D_{0对于\（t \ in（0,1]\）和

$$t^{1/6}D_{0^{+}}^{1/2}u_{0}{0^{+}}^{1/2}v{0}（t）{t=1}=1$$

因此，

$$开始{对齐}和D_{0^{+}}^{2/3}\bigl埃蒂尔德{u}_{0}（0），\widetilde{u}_{0}（1）\bigr）=0，\qquad h\bigl（t^{1/6}D_{0^{+}}^{1/2}u_{0}（t）|{t=0}，t^{1/1}D_{0。\结束{对齐}$$

这些表明\（u{0}\）是的较低解决方案(3.10). 我们有

$$开始{对齐}和D_{0^{+}}^{2/3}\bigl v_{0}\bigr）\\&\幻影{D_{0^{+}}^{2/3}\bigl，\\&g\bigl（\widetilde{v}（v）_{0}（0），\widetilde{v}（v）_{0}（1）\bigr）=0，h\bigl（t^{1/6}D_{0^{+}}^{1/2}v_{0}（t）|_{t=0}，t^{1/16}D_0^{+{}}^}1/2}v_0}（t）。\结束{对齐}$$

这些表明\（v{0}\）是的上解(3.10)、和\（u{0}（t）\lev{0}（t）\）在\([0,1]\)。

对于\（u{0}\leu\lev\lev{0}\），我们有\（\ phi_｛3｝（D_｛0^｛+｝｝^｛1/2｝v）-\phi_｛3｝（D_｛0^｛+｝｝^｛1/2｝u）=（D_｛0^｛+｝｝^｛1/2｝v）^{2}-（D_{0^{+}}^{1/2}u）^{2}\）和

$$f\bigl（t，u，D_{0^{+}}^{1/2}u\bigr）+2\phi_{3}\bigle（D_{0 ^{+{}}^{1/2}u\ bigr v\le 0$$

因此，\（f（t，u，D_{0^{+}}^{1/2}u）-f（t，v，D_}0^{++}^{1/2}v）\le 2[\phi_{3}（D_{0 ^{+{}}^1/2}v。

此外，\（\frac｛\partial g（x，y）｝｛\partial x｝=\frac｛\varGamma（5/6）｝｛2\varGamma（4/3）｝-y\geq-\frac｛\varGamma（5/6）｝｛2\varGamma（4/3）｝，\frac｛\partial g（x，y）｝｛\partial y｝=-x\）对于\（\widetilde{u}_{0}（0）\le x\le\widetilde{v}（v）_{0}（0），y\在[\widetilde中{u}_{0}（1），\widetilde{v}（v）_{0}（1）]=[0，\frac{\varGamma（5/6）}{\varGamma（4/3）}]\）因此，\（g（u{1}，v{1}）-g（u}2}，v{2}）\le\frac{varGamma（5/6）}{2\varGamma（4/3）}（u_{2} -u个_{1})\)对于\（\widetilde{u}_{0}（0）\leu{1}\leu}2}\le\widetilde{v}（v）_{0}（0），\widetilde{u}_{0}（1）\lev{1}\lev}2}\le\widetilde{v}（v）_{0}(1)\).以同样的方式，\（h（u{1}，v{1}.）-h（u{2}，v{2}.）_{2} -u个_{1})\)，用于\（t^{1/6}D_{0^{+}}^{1/2}u_{0},\（t^{1/6}D_{0^{+}}^{1/2}u_{0}。

因此，条件\（（H_{1}）\）–\（（H_{4}）\）都很满意。存在两个单调迭代序列\（{u{k}）和\（{v_{k}\}\）一致收敛于问题的最小和最大解(3.10)英寸\（[u{0}，v{0}]\）通过定理3.1。

工具书类

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致谢

作者感谢匿名推荐人的宝贵意见和建议。

基金

本文得到了山东建筑大学博士基金项目（XNBS1534）的资助。

作者信息

作者和附属机构

  1. 中国沂水市临沂大学沂水校区

    刘中华

  2. 山东建筑大学理学院，中国济南

    丁有正和赵彩仪

  3. 中国临沂市临沂大学自动化与电气工程学院

    刘成伟

作者
  1. 刘中华
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  2. 丁有正
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  3. 刘成伟
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  4. 赵才义
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Liu，Z.，Ding，Y.，Liu，C。等。奇异分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性第页-拉普拉斯人。Adv Differ等于 2020, 83 (2020). https://doi.org/10.1186/s13662-019-2482-9

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