关于Hermite–Hadamard型不等式\（tgs\）-基于广义分数次积分的凸函数

摘要

在这篇研究文章中，我们建立了一些Hermite–Hadamard型不等式\（tgs\）-通过Katuganpola分数积分和ψ-Riemann–Liouville分数积分。通过这些结果，我们给出了一些新的Hermite–Hadamard型不等式\（tgs\）-通过Riemann–Liouville分数次积分和经典积分得到的凸函数。

1介绍

凸函数及其推广在最优化理论和其他科学领域中具有重要作用。这些函数有许多积分不等式（参见[1，10，16]). Hermite–Hadamard不等式[4，5]对于凸函数\（\chi:\mathcal{H}\rightarrow\mathbb{R}\）在间隔上\（\mathcal{H}\）实线的

$$\chi\biggl（\frac{h{1}+h{2}}{2}\biggr）\leq\frac{1}{h_{2} -小时_{1} }\int^{h{2}}{h{1}}\chi（g）\，dg\leq\frac{\chi$$

（1）

为所有人\（h{1}，h{2}\在mathcal{h}\中）具有\（h{1}<h{2}\）。通过使用Hermite–Hadamard不等式（参见[2，三，6，12，14]).

分数微积分[8]由于其长期记忆方法，在不同的科学领域发挥了关键作用。在[15]，Sarikaya等人证明了分数次积分的一些Hermite–Hadamard型积分不等式，并给出了一些应用。在[10，11，13]，作者为新的分数次共形积分算子、Katuganpola分数次积分和ψ-Riemann–Liouville分数积分。

受Liu等人的启发[9]和依据[11，13]，我们用ψ-Riemann–Liouville分数积分和Katuganpola分数积分。

2准备工作

在这一节中，我们给出了一些对本文至关重要的定义和相关结果。

定义2.1

([18])

让\（\chi:\mathcal{H}\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）是一个非负函数。然后χ被称为\（tgs\）-凸的，如果它满足以下不等式：

$$\chi\bigl（rh{1}+（1-r）h{2}\bigr）\leqr（1-r$$

(2)

为所有人\（h{1}，h{2}\在mathcal{h}\中）和\（在[0,1]\中）.

定义2.2

([8])

让\（L[h{1}，h{2}]\中的chi\）右手边和左手边的Riemann–Liouville分数积分\（J^{\alpha}_{h{1}+}\chi\）和\（J^{\alpha}_{h_{2}-}\chi\）订单的\（\alpha>0\）具有\（h{2}>h{1}\geq0\）由定义

$$J^{\alpha}_{h{1}+}\chi（g）=\frac{1}{\varGamma（\alpha$$

和

$$J^{\alpha}_{h_{2}-}\chi（g）=\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{g}^{h_2}}（t-g）^{alpha-1}\chi（t）\，dt，\quad g<h_2}$$

分别，其中\（\varGamma（\cdot）\）Gamma函数定义为\（\varGamma（\alpha）=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{\α-1}\，dt\）.

定义2.3

([7])

让\（[h{1}，h{2}]\子集\mathbb{R}\）是一个有限的区间。然后，左侧和右侧的Katuganpola分数阶积分\（\alpha（>0）\）属于\（X中的chi^{p}_{c} （h｛1｝，h｛2｝）\）由定义

$${}^{\rho}I^{\alpha}_{h{1}+}\chi（g）=\frac{\rho ^{1-\alpha{}{\varGamma（\alpha）}\int_{h_{1}}^{g}\bigl（g^{\rro}-t^{\hro}\bigr）$$

和

$${}^{\rho}I^{\alpha}_{h_{2}-}\chi（g）=\frac{\rho^{1-\alpha}}{\varGamma（\alpha）}\int_{g}^{h{2}}\bigl（t^{\rho}-g^{\hro}\bigr）^{\alpha-1}t^{\rho-1}\chi（t）\，dt$$

具有\（h{1}<g<h{2}\）和\（\rho>0\）.在这里\（X）^｛p｝_{c} （h｛1｝，h｛2｝）\）(\（c\in\mathbb{R}，1\leq p\leq\infty\）)是那些复值勒贝格可测函数的空间χ在\（[h{1}，h{2}]\）对于其中\（\|\chi\|_{X^{p}_{c} }<\infty\），其中规范定义为

$$\Vert\chi\Vert_{X^{p}_{c} ｝=\bigl（\int _｛h｛1｝｝^｛h｛2｝｝\bigl\vert t^｛c｝\chi（t）\bigr\vert ^｛p｝\frac｛dt｝｛t｝\biggr）^｛1/p｝$$

对于\（1），\（c\in\mathbb{R}\）对于这个案例\（p=\infty\），

$$\Vert\chi\Vert_{X^{\infty}_{c}}=\mathop{\operatorname{ess}\，\operator name{sup}}_{h_{1}\leq t\leq h_{2}}\bigl[t^{c}\bigle\Vert\chi（t）\bigr\Vert\bigr]$$

在这里\（\operatorname{ess}\，\operator name{sup}\）代表本质至上。

定义2.4

([8，17])

让\（（h{1}，h{2}）\（-\infty\leqh{1{<h{2{\leq\infty）\）是有限或无限实数区间，并且\（伽马>0）.让\（磅/平方英寸（x））是一个递增的正单调函数\（（h{1}，h{2}]\）具有连续导数\（（h{1}，h{2}）\）然后是左侧和右侧ψ-函数的Riemann–Liouville分数次积分χ关于ψ在\（[h{1}，h{2}]\）由定义

$$\begin{aligned}和\mathcal{I}^{\gamma:\psi}_{h_{1}+}\chi（g）=\frac{1}{\varGamma（\gamma）}\int_{h_1}}^{g}\psi'（z）\bigl（\psi（g）-\psi（z）\ bigr）_{2}-}\chi（g）=\frac｛1｝｛\varGamma（\gamma）｝\int _｛g｝^｛h｛2｝｝\psi'（z）\bigl（\psi（z）-\psi（g）\bigr）^｛\gamma-1｝\chi（z）\，dz，\end｛aligned｝$$

分别是。

Liu等人[9]通过建立Hermite–Hadamard型不等式ψ-凸函数的Riemann–Liouville分数积分。

引理2.1

([9])

让 \（\chi:[h{1}，h{2}]\rightarrow\mathbb{R}\）是一个可微映射，对于 \（0\leqh{1}<h{2}\），和 \（在L_1}[h_1}，h_2}]\中为chi\）.让 \（磅/平方英寸（克））是一个递增的正单调函数 \（（h｛1｝，h｛2｝]\），带连续导数 \（磅/平方英寸（克））在 \（（h{1}，h{2}）\）和 \（伽马\in（0,1）\）.那么以下分数积分等式成立:

$$\开始{aligned}&\frac{\chi（h{1}）+\chi{2}-\压裂{varGamma（\gamma+1）}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}\bigl[\mathcal{I}^{\gamma:\psi}_{\psi^{-1}（h{1}）+}-1}（h{1}）\biger）\bigr]\\&\quad=\frac{1}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}}\int_{\psi^{-1}（h{1}）}_{2}-\psi（g）\biger）^{\gamma}\bigr]\bigl（\chi'\circ\psi\bigr）（g）\fsi'（g）\，dg。\结束{对齐}$$

(3)

引理2.2

([9])

让 \（\chi:[h{1}，h{2}]\rightarrow\mathbb{R}\）是一个可微映射，对于 \（0\leqh{1}<h{2}\），和 \（在L_1}[h_1}，h_2}]\中为chi\）.让 \（磅/平方英寸（克））是一个递增的正单调函数 \（（h{1}，h{2}]\），带连续导数 \（磅/平方英寸（克））在 \（（h{1}，h{2}）\）和 \（伽马\in（0,1）\）.那么以下分数积分等式成立:

$$\beart｛aligned｝&&frac｛\varGamma（\gamma+1）｝｛2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}\bigl[\mathcal{I}^{\gamma:\psi}_{\psi^{-1}（h{1}）+}}）\biger）\bigr]\\&\qquad{}-\chi\biggl（\frac{h{1}+h{2}}{2}\biggr）\\&\quad=\int_{\psi^{-1}（h{1{）}^{\psia^{-1{（h}2}）}k\bigl（\chi'\circ\psi\bigr）（g）\psi'（g）\，dg\&\qquad{}+\frac{1}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}}\int_{\psi^{-1}（h{1}）}_{2}-\psi（g）\biger）^{\gamma}\bigr]\bigl（\chi'\circ\psi\bigr）（g）\fsi'（g）\，dg，\end{对齐}$$

(4)

哪里

$$\begin{aligned}k=\textstyle\begin{cases}\frac{1}{2}，&\psi^{-1}（\frac}h{1}+h{2}}{2{）\leqz\leq\psii^{1}{2}）。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

三Katuganpola分数积分不等式

在本节中，我们发现了一个Hermite–Hadamard不等式\（tgs\）-通过Katugampola分数积分的凸函数。

定理3.1

让 \（阿尔法>0）和 \（\rho>0\）.让 \（\chi:[h_{1}^{\rho}，h_{2}^{\ rho}]\子集\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）是一个非负函数 \（0\leqh{1}<h{2}\）和 \（X中的chi^{p}_{c} （h{1}^{\rho}，h{2}^{）.如果χ也是一个 \（tgs\）-上的凸函数 \（[h{1}^{\rho}，h{2}^{\ rho}]\），那么以下不等式成立:

$$开始{对齐}和2\chi\biggl（\frac{h{1}^{\rho}+h{2}^{\tho}}{2}\biggr）alpha}{h{1}+}\chi\bigl（h{2}^{\rho}\bigr）+{}^{\ rho}I^{\alpha}_{h_{2}-}\chi\bigl（h{1}^{\rho}\biger）\bigr]\\&\quad\leq\frac{\alpha。\结束{对齐}$$

(5)

证明

让\（在[0,1]\中）.考虑\（x，y\在[h{1}，h{2}]\中），\（h{1}\geq0\），由定义\（x^{\rho}=r^{\rro}h{1}^{\ρo}+（1-r^{\ρo}）h{2}^{\ rho}\），\（y^{\rho}=r^{\rro}h{2}^{\ρo}+（1-r^{\ρo}）h{1}^{\ rho}\）.自χ是一个\（tgs\）-上的凸函数\（[h{1}^{\rho}，h{2}^{\ rho}]\），我们有

$$\chi\biggl（\frac{x^{\rho}+y^{\rro}}{2}\biggr）\leq\frac}\chi（x^{\ rho}）+\chi$$

然后我们有

$$4\chi\bigl（\frac｛h｛1｝^｛\rho｝+h｛2｝^｛\rho｝｝｛2｝\biggr）\leq\chi\bigl（r^｛\rho｝h｛1｝^｛\rho｝+\bigl（1-r^｛\rho｝\bigr）h｛2｝^｛\rho｝\bigr）+\chi\bigl（r^｛\rho｝\bigr）h｛1｝^｛\rho｝\bigr）$$

(6)

将的两边相乘(6)由\（r^{\alpha\rho-1}\），\（阿尔法>0）然后将所得不等式与第页结束$[0,1]$，我们获得

$$开始{aligned}\frac{4}{\alpha\rho}\chi\biggl（\frac}h{1}^{\rho{+h{2}^{\ rho}}{2}\biggr）\leq{}&\int^{1}_{0}r^{\alpha\rho-1}\chi\bigl^{1}_{0}r^{\alpha\rho-1}\chi\bigl}-h{1}^{\rho}}\biggr）^{\alpha-1}\chi\bigl（g^{\rro}\bigr）\frac{g^{\rho-1}}{h{1}^{\hro}-h{2}^{-h{1}^{\rho}}{h{2}^{\ rho}-h{1}^{\rro}}\biggr）varGamma（\alpha）}{（h{2}^{\rho}-h{1}^{\ rho}）^{\alpha}}\bigl[{}^{\\rho}I^{\alpha}_{h{1}+}\chi\bigl_{2}-}\chi\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr]。\结束{对齐}$$

（7）

这建立了第一个不等式。为了证明第二个不等式(5)，我们首先观察到，对于\（tgs\）-凸函数χ，我们有

$$\chi\bigl（r^{\rho}h_{1}^{\rro}+\bigle（1-r^{\ rho}\bigr）h_{2}^{\\rho}\ bigr$$

和

$$\chi\bigl（r^{\rho}h_{2}^{\hro}+\bigl$$

通过添加这些不等式，我们得到

$$\chi\bigl（r^{\rho}h_{1}^{\rro}+\bigr（1-r^{\\rho}\biger）h_{2}^{\ rho}\ biger）+\chi\bigl}\bigr）\bigl（\chi\bigle（h{1}^{\rho}\biger）+\chi\bill（h{2}^{\ rho}\ biger）\bigr$$

(8)

将的两边相乘(8)由\（r^{\alpha\rho-1}\），\（阿尔法>0）然后将所得不等式与第页结束$[0,1]$，我们获得

$$\frac{\rho^{\alpha-1}\varGamma（\alpha）}{（h_{2}^{\rho}-h_{1}^{\ rho}）^{\alpha}}\bigl[{}^{\\rho}I^{\阿尔法}_{h_{1{+}\chi\bigl_{2}-}\chi\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr]\leq 2\int_{0}^{1} 第页^{\alpha\rho+\rho-1}\bigl（1-r^{\rho}\bigr$$

(9)

自

$$\int美元^{1}_{0}\bigl（r^{\alpha\rho+\rho-1}-r^{\阿尔法\rho+2\rho-1}\bigr）\，dt=\frac{1}{\rho（\alpha+1）（\阿尔法+2）}$$

(9)成为

$$\frac{\rho^{\alpha-1}\varGamma（\alpha）}{（h_{2}^{\rho}-h_{1}^{\ rho}）^{\alpha}}\bigl[{}^{\\rho}I^{\阿尔法}_{h_{1{+}\chi\bigl_{2}-}\chi\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr]\leq\frac{2（\chi（h_1}^{\ rho}）+\chi$$

(10)

因此(7)和(10)给予(5). □

备注3.1

（1） 通过出租\（\rho\右箭头1\）英寸(5)定理的3.1我们得到了中定理3.1的不等式3.1[18].

（2） 通过让\（\rho\右箭头1\）和\（阿尔法=1）英寸(5)定理的3.1我们得到了中定理2.1的不等式2.2[18].

定理3.2

让 \（阿尔法>0）和 \（\rho>0\）.让 \（\chi:[h_{1}^{\rho}，h_{2}^{\ rho}]\子集\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）是上的可微非负映射 \（（（h{1}^{\rho}，h{2}^{）\）具有 \（0\leqh{1}<h{2}\）.如果 \（|\chi'|\）是 \（tgs\）-凸的 \（[h{1}^{\rho}，h{2}^{\ rho}]\），那么下面的不等式成立:

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{\chi（h{1}^{\rho}）+\chi{2}-\frac{\rho^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}{2（h{2}^{\rho}-h{1}^{\rho}）_{2}-}\chi\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{h{2}^{\ rho}-h{1}^{\rro}}{（\alpha+2）（\alfa+3）}\bigl[\bigl\vert\chi'\bigl（h{1\rho}\ bigr rho}\bigr）\bigr\vert\bigr]。\结束{对齐}$$

(11)

证明

发件人(7)一个人可以拥有

$$开始{对齐}和\frac{\rho^{\alpha-1}\varGamma（\alpha_{2}-}\chi\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr]\\&\quad=\int^{1}_｛0｝r^｛\alpha\rho-1｝\chi\bigl（r^｛\rho｝h｛1｝^｛\rho｝+\bigl（1-r^｛\rho｝\bigr）h｛2｝^｛\rho｝\bigr）\，dr+\int^{1}_{0}r^{\alpha\rho-1}\chi\bigl$$

(12)

通过按部分积分，我们得到

$$开始{对齐}和\frac{chi（h{1}^{\rho}）+\chi（h{2}^{\rho}}+}\chi\bigl（h{2}^{\rho}\bigr）+^{\rro}I^{\alpha}_{h_{2}-}\chi\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr]\\&\quad=\frac{h{2}^{\ rho}-h{1}^{\rro}}{\alpha}\int_{0}^{1} 对^{\rho（\alpha+1）-1}\bigl[\chi'\bigl（r^{\rho}h{2}^{\rro}+\bigr \，dr.\end{对齐}$$

(13)

通过使用三角形不等式和\（tgs\）-的凸性\（|\chi'|\），我们获得

$$\beign｛aligned｝&\biggl\vert\frac｛\chi（h｛1｝^｛\rho｝）+\chi（h｛2｝^｛\rho｝）｝｛\alpha\rho｝-\frac｛\rho ^｛\alpha-1｝\varGamma（\alpha）｝｛（h｛2｝^｛\rho｝-h｛1｝^｛\rho｝）^｛\alpha｝bigr）+｛｝^｛\rho｝I^｛\alpha｝_｛h_{2}-}\chi\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{h{2}^{\ rho}-h{1}^{\rro}}{\alpha}\int_{0}^{1} 第页^{\rho（\alpha+1）-1}\bigl\vert\chi'\bigl \vert\，dr\\&\quad\leq\frac{h{2}^{\rho}-h{1}^{\ rho}}{\alpha}\int_{0}^{1} 第页^{\rho（\alpha+1）-1}\bigl[\chi'\bigl（r^{\rho}h{2}^{\rro}+\bigr（1-r^{\\rho}\biger）h_{1}^{\ rho}\ bigr）+\chi'\ bigl \，dr\\&\quad=\frac{2（h{2}^{\rho}-h{1}^{\ rho}）}{\alpha}\int_{0}^{1} 第页^{\rho（\alpha+1）-1}r^{\rho}\bigl}^{\rho} . \结束{对齐}$$

(14)

将上述不等式的两边乘以\（\压裂{\alpha\rho}{2}\），我们得到了所需的不等式(11).□

推论3.3

考虑定理的类似假设3.2.

1如果 \（\rho=1\），然后

$$\begin{aligned}&\biggl\vert\frac{\chi（h{1}）+\ch（h{2}）}{2}-\frac{\varGamma（\alpha+1）}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\alpha}}\bigl[J^{\alpha}_{h{1}+}\chi（h{2}）+J^{\alpha}_{h_{2}-}\chi（h{1}）\bigr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{h_{2} -小时_{1} }{（\alpha+2）（\alfa+3）}\bigl[\bigl\vert\chi'（h{1}）\bigr\vert+\bigl\ vert\chi`（h{2}）\ bigr\ vert\bigr]。\结束{对齐}$$

(15)

2如果 \（\rho=\alpha=1\），然后

$$\开始{aligned}\biggl\vert\frac{\chi（h{1}）+\chi{2}-\压裂{1}{h_{2} -小时_{1} ｝\int _｛h｛1｝｝^｛h｛2｝｝\chi（g）\，dg\biggr\vert\leq\frac｛h_{2} -小时_{1} }{12}\bigl[\bigl\vert\chi'（h{1}）\bigr\vert+\bigl\fort\chi'（h2}）\ bigr\verst\bigr]。\结束{对齐}$$

(16)

为了获得更多结果，我们需要以下引理，在中也得到了证明[11].

引理3.1

([11])

让 \（阿尔法>0）和 \（\rho>0\）.让 \（\chi:[h｛1｝^｛\rho｝，h_｛2｝^｛\rho｝]\subet \mathbb）{右}_{+}=[0，\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）是上的可微映射 \（（（h{1}^{\rho}，h{2}^{）\）具有 \（0\leqh{1}<h{2}\）.如果存在分数积分，则以下等式成立:

$$\开始{对齐}&\frac{\chi（h{1}^{\rho}）+\chi{2}-\裂缝{\rho^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}{2_{2}-}\chi\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr]\\&\quad=\frac{\rho}\chi'\bigl（r^{\rho}h{1}^{\rro}+\bigl-（1-r^{\ rho}\bigr）h{2}^{\ρ}\biger）\，dr.\end{aligned}$$

(17)

证明

通过使用中引理2的证明中的类似参数[15]。首先考虑

$$开始{对齐}&\int_{0}^{1}\bigl（1-r^{\rho}\bigr（r^{\rho}h{1}^{\rro}+（1-r^{\ rho}）h{2}^{）}{\rho^{\rho}-h{2}^{\rho}}\int_{0}^{1}\bigl{2}^{\rho}}{h{2}^{\rho}-h{1}^{\\rho}}\biggr）^{\alpha-1}\cdot\frac{g^{\rho-1}{h{1}^{\rro}-h_2}^{（h{{\rho}）}-\frac{\rho ^{\alpha-1}\varGamma（\alpha+1）}{（h{2}^{\rho2}-h_{1}^{）^{\α+1}}\cdot{}^{\ rho}I{h_{2}-}^{\alpha}\chi\bigl（g^{\rho}\bigr）\bigg|{g=h{1}}。\结束{对齐}$$

(18)

同样，我们可以证明

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1} 第页^{\rho\alpha}\cdot r^{\rho-1}\chi'\bigl）}+\frac{\rho^{\alpha-1}\varGamma（\alpha+1）}{（h{2}^{\rho}-h{1}^{\rho}）^{\alpha+1}}\cdot{}^{\ rho}I{h{1}+}^{alpha}\chi\bigl（g^{\rro}\bigr）\bigg{g=h{2}}。\结束{对齐}$$

（19）

因此，从(18)和(19)我们得到(17). □

定理3.4

让 \（\alpha>0\）和 \（\rho>0\）.让 \（\chi:[h{1}^{\rho}，h{2}^{\ rho}]\子集\mathbb{右}_{+}\rightarrow\mathbb{R}\）是上的可微非负映射 \（（（h{1}^{\rho}，h{2}^{）\）这样的话 \（在L_{1}[h{1}，h{2}]\中为chi'\）具有 \（0\leqh{1}<h{2}\）.如果 \（|\chi'|^{q}\）是 \（tgs\）-凸的 \（[h{1}^{\rho}，h{2}^{\ rho}]\）对于一些固定的 \（q \ geq 1 \），那么下面的不等式成立:

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{\chi（h{1}^{\rho}）+\chi{2}-\frac{\rho^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}{2（h{2}^{\rho}-h{1}^{\rho}）_{2}-}\chi\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（h_2}^{\ rho}-h_1}^{）}{2}\biggl（\ frac{2}{\alpha+1}\bighr）^{1-1/q}\\&\quad{}\times\biggl{（alpha+2）（\alpha+3）}\biggr]\bigl[\bigl\vert\chi'\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr\vert^{q}+\bigl\ vert\chi'\bigl（h{2}^{\rho}\biger）\bigr\vert^{q}\bigr]\biggr）^{1/q}。\结束{对齐}$$

（20）

证明

使用引理3.1幂平均不等式和\（tgs\）-的凸性\（|\chi'|^{q}\），我们获得

$$开始{对齐}和\bigl\vert I{\chi}（\alpha，\rho，h{1}，h{2}）\bigr\vert\\&\quad=\biggl\vert\frac{\rho（h{2{{\rho}-h{1}^{\rhoS}）}{2}\int_{0}^{1}\bigl\\bigl（1-r^{\rro}\bigr）^\alpha}-\bigl{\rho}\bigr）^{\alpha}\biger\}r^{\rho-1}\chi'\bigl（r^{\ rho}h{1}^{\hro}+\bigl-（1-r^{\\rho}\ bigr，dr\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{\rho（h{2}^{\rho}-h_{1}^{\\rho}）}{2}\biggl（int_{0}^{1}\bigl\vert\bigl（1-r^{\rro}\bigr）^{\alpha}-\bigl{1-1/q}\\&\qquad{}\times\biggl（\int_{0}^{1}\bigl\vert\bigl（1-r^{\rho}\bigr）^{\alpha}-\bigl\bigr\vert r^{\rho-1}\bigl\vert\chi'\bigl}）}{2}\biggl（\int_{0}^{1}\bigl\{\bigl（1-r^{\rho}\bigr）^{\alpha}+\bigle（r^{\sho}\biger）^{\ alpha}\biger\}r^{\rho-1}\，dr\biggr）^{1-1/q}\\&\qquad{}\times\biggl（\int_{0}^{1}\bigl\{\bigl \bigr）\bigr\vert^{q}+\bigl\vert\chi'\bigl（h{2}^{\rho}\biger）\biger\vert|{q}\bigr]\，dr\biggr）^{1/q}。\结束{对齐}$$

（21）

通过使用变量的变化\（t=r^{\rho}\），我们得到

$$\开始{对齐}&\int_{0}^{1}\bigl\{\bigl（1-r^{\rho}\bigr）^{\alpha}+\bigle（r^{\sho}\biger）^{\ alpha}\biger\}r^{\rho-1}\，dr\\&\quad=\int_}0}^}\bigl（1-r ^{\rro}\bigr）{0}^{1}\bigl（r^{\rho}\bigr）^{\alpha}r^{\sho-1}\，dr\\&\quad=\frac{2}{\rho（\alpha+1）}，\end{aligned}$$

(22)

$$开始{对齐}&\int_{0}^{1}\bigl\{\bigl r）^{\alpha}r^{\rho-1}r^}\rho}\bigl（1-r^{\sho}\bigr）\，dr+\int_{0}^{1}\bigle（r^{\ rho}\ bigr\bigl（1-r^{\rho}\bigr）\，dr\\&\quad=\frac{1}{\rho}\beta（2，\alpha+2）+\frac}{\rro（\alpha+2）（\alfa+3）}。\结束{对齐}$$

(23)

因此使用(23)和(22)英寸(21)我们得到(20). □

推论3.5

考虑定理的类似假设3.4.

1如果 \（\rho=1\），然后

$$\begin{aligned}&\biggl\vert\frac{\chi（h{1}）+\ch（h{2}）}{2}-\frac{\varGamma（\alpha+1）}{2（h_{2} -小时_{1} ）^｛\alpha｝｝\bigl[J^｛\alpha｝_｛h｛1｝+｝\chi（h｛2｝）+J^｛\alpha｝_｛h_{2}-}\chi（h｛1｝）\bigr]\biggr\vert\\&&quad\leq\frac｛（h_{2} -小时_{1} ）}{2}\biggl（\frac{2}{\alpha+1}\bigr）^{1-1/q}\\&\qquad{}\times\biggl（\biggl[\beta（2，\alpha+2）+\frac{1}{（\alpha+2）（\alfa+3）}\bighr]\bigl[\bigl\vert\chi'（h{1}）\bigr\vert^{q}+\bigl\ vert\chi（h{2}）^{q}\bigr]\biggr）^{1/q}。\结束{对齐}$$

(24)

2如果 \（\rho=\alpha=1\），然后

$$\begin{aligned}&\biggl\vert\frac{\chi（h{1}）+\ch（h{2}）}{2}-\压裂{1}{h_{2} -小时_{1} }\int_{h{1}}^{h{2}}\chi（g）\，dg\biggr\vert\&\quad\leq\frac{（h_{2} -小时_{1} ）}{2}\biggl（\frac{2（\vert\chi'（h{1}）\vert^{q}+\vert\chi'（h}2}）\ vert^}）}{3}\bigr）^{1/q}。\结束{对齐}$$

(25)

定理3.6

让 \（阿尔法>0）和 \（\rho>0\）.让 \（\chi:[h{1}^{\rho}，h{2}^{\ rho}]\子集\mathbb{右}_{+}\rightarrow\mathbb{R}\）是上的可微非负映射 \（（（h{1}^{\rho}，h{2}^{）\）这样的话 \（在L_{1}[h{1}，h{2}]\中为chi'\）具有 \（0\leq h｛1｝<h _｛2｝\）.如果 \（|\chi'|^{q}\）是 \（tgs\）-凸的 \（[h{1}^{\rho}，h{2}^{\ rho}]\）对于一些固定的 \（q \ geq 1 \），那么下面的不等式成立:

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{\chi（h{1}^{\rho}）+\chi{2}-\裂缝{\rho^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}{2_{2}-}\chi\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（h_{2}^{\ rho}-h_{1}^{\rro}）}{2}\biggl ^{\rho}\bigr）\bigr\vert^{q}+\bigl\vert\chi'\bigl（h{2}^{\rro}\bigr）\ bigr\vert^{q}\biger]\biggr）^{1/q}。\结束{对齐}$$

(26)

证明

使用引理3.1幂平均不等式和\（tgs\）-的凸性\（|\chi'|^{q}\），我们获得

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{\chi（h{1}^{\rho}）+\chi{2}-\frac{\rho^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}{2（h{2}^{\rho}-h{1}^{\rho}）_{2}-}\chi\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr]\biggr\vert\\&\quad=\biggl\vert\frac{\rho（h{2}^{\ rho}-h_{1}^{\rro}）}{2}\int_{0}^{1}\bigl\{\bigr\ \bigr\}r^{\rho-1}\chi'\bigl（r^{\rho}h{1}^{\hro}+\bigl-（1-r^{\ rho}\bigr）h{2}^{\，dr\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{\rho（h_2}^{\rho}-h_{1}^{\\rho}）}{2}\biggl（\int_{0}^{1}r^{\rro-1}\，dr\bigr）^{1-1/q}\\&\qquad\}times\biggl ^{\alpha}-\bigl（r^{\rho}\bigr）^{\rho}\biger）\bigr\vert^{q}\，dr\biggr bigl（1-r^{\rho}\bigr）^{\alpha}+\bigl\bigl[\bigl\vert\chi'\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\bigr\vert^{q}+\bigl\fort\chi'\bigl（h{2}^{\ rho}\biger）\bigrar\vert^}\biger]\，dr\biggr）^{1/q}。\结束{对齐}$$

（27）

由于使用变量的变化\（t=r^｛\rho｝\），我们得到

$$开始{对齐}&\int_{0}^{1}\bigl\{\bigl r）^{\alpha}r^{\rho-1}r^}\rho}\bigl（1-r^{\sho}\bigr）\，dr+\int_{0}^{1}\bigle（r^{\ rho}\ bigr\bigl（1-r^{\rho}\bigr）\，dr\\&\quad=\frac{1}{\rho}\beta（2，\alpha+2）+\frac}{\rro（\alpha+2）（\alfa+3）}。\结束{对齐}$$

（28）

因此使用(28)英寸(27)我们得到(26). □

推论3.7

考虑定理的类似假设3.6.如果 \（\rho=1\），然后

$$\begin{aligned}&\biggl\vert\frac{\chi（h{1}）+\ch（h{2}）}{2}-\裂缝{varGamma（\alpha+1）}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\alpha}}\bigl[J^{\alpha}_{h{1}+}\chi（h{2}）+J^{\alpha}_{h_{2}-}\chi（h{1}）\bigr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（h_{2} -小时_{1} ）}{2}\biggl（\biggl[\beta（2，\alpha+2）+\frac{1}{（\alpha/2）（\alfa+3）}\bigr]\bigl[\bigl\vert\chi'（h{1}）\bigr\vert^{q}+\bigl\ vert\chi（h{2}）\ bigr\vert^{q}\bigr）^{1/q}。\结束{对齐}$$

(29)

定理3.8

让 \（chi{1}），\（chi{2}）具有实际价值，对称于 \（压裂{h{1}^{\rho}+h{2}^{\ rho}}{2}），非负和 \（tgs\）-凸函数 \（[h{1}^{\rho}，h{2}^{\ rho}]\），哪里 \（\rho>0\）.然后，为所有人 \（h{1}，h{2}>0\）和 \（阿尔法>0），我们有

$$\frac{\rho^{\alpha}\^{\rho}I^{\alpha}_{h{1}+}1}^{\rho}，h_{2}^{\tho}）+N（h_{1}^}，h2}^{）]}{\varGamma（\alpha+5）}$$

（30）

和

$$开始{对齐}和8\chi_{1}\biggl（\frac{h_{1{^{\rho}+h_{2}^{\rro}}{2}\bigr{α}{h{1}+}，h_{2}^{\rho}）+N（h_{1}^{\tho}，h_}2}^}）]}{\varGamma（\alpha+5）}，\end{aligned}$$

(31)

哪里 \（M（h{1}^{\rho}，h{2}^{\rho{）=\chi{1}和 \（N（h{1}^{\rho}，h{2}^}）=\chi{1}-（h{1}）\chi{2}-（h{2}）+\chi{1}-（h2}）.

证明

自\（chi{1}）和\（chi{2}）是\（tgs\）-凸函数\（[h{1}，h{2}]\），我们可以

$$\chi_{1}\bigl（r^{\rho}h{1}^{\rro}+\bigr（1-r^{\\rho}\biger）h{2}^{\ rho}\ bigr）\leqr^{\ρo}\bigl \rho}\bigr）$$

和

$$\chi_{2}\bigl（r^{\rho}h_{1}^{\rro}+\bigl \rho}\biger）\bigr）$$

根据以上内容，我们获得

$$\begon｛aligned｝&\chi｛1｝\bigl（r^｛\rho｝h｛1｝^｛\rho｝+\bigl（1-r^｛\rho｝\bigr）h｛2｝^｛\rho｝\bigr）\chi｛2｝\bigl（r^｛\rho｝h｛1｝^｛\rho｝+\bigl（1-r^｛\rho｝\bigr）h｛2｝^｛\rho｝\bigl（1-r^｛\ rho｝\bigr）^｛2｝\bigl（\chi｛1｝\bigl（h｛1｝^｛\rho｝\bigr）+\chi｛1｝\bigl（h｛2｝^｛\rho｝\bigr）\bigl（\chi｛2｝\bigl（h｛1｝^{\rho}\biger）+\chi{2}\bigl（h{2}^{\rho}\bigr）。\结束{对齐}$$

(32)

将的两边相乘(32)由\（\frac{r^{\alpha\rho-1}}{\varGamma（\alpha）}\），\（阿尔法>0）然后将所得不等式与第页结束$[0,1]$，我们获得

$$\开始{aligned}&\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{1} 第页^{\alpha\rho-1}\chi_{1}\bigl&\quad\leq\frac{（\chi_1}（h_1}^{\rho}）+\chi_1{（h_2}^{））^{1} 第页^｛2\rho｝\bigl（1-r^｛\rho｝\bigr）^｛2｝\，dr\end｛aligned｝$$

（33）

通过变量的变化\（t=r^{\rho}\），我们得到

$$\int_{0}^{1} 第页^{2\rho}\bigl（1-r^{\rho}\ bigr）^{2}\，dr=\frac{2\alpha（\alpha+1）}{\rho \varGamma（\alpha+5）}$$

(34)

也通过出租\（x^{\rho}=r^{\rro}h{1}^{\ρo}+（1-r^{\ρo}）h{2}^{\ rho}\），我们获得

$$\开始{aligned}&\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{1} 第页^{\alpha\rho-1}\chi_{1}\bigl&\quad=\frac{\rho^{\alpha-1}\^{\rho}I^{\alpha}{h{1}+}。\结束{对齐}$$

(35)

因此从(33)–(35)，我们得到(30).

再次使用\（tgs\）-的凸性\（chi{1}）和\（chi{2}）在\（[h{1}^{\rho}，h{2}^{\ rho}]\），我们发现

$$\开始{对齐}和\chi_{1}\biggl（\frac{h{1}^{\rho}+h{2}^{\ rho}}{2}\bigr h{1}^{\rho}+（1-r^{\rro}）h{2}^{\ rho}{2}+\frac{r^{\ρo}h{2{^{\ρo}+\biggl（\frac{r^{\rho}h{1}^{\rro}+（1-r^{\sho}）h{2}^{\\rho}}{2}+\ frac{r ^{\ρ}h{2{{\rho}+（1-r^{\ rho}）h _{1}^{\r o}}{2}\biggr）\\&\quad\leq\frac}{1}{4}\bigl[\chi_{1}\bigl\\&\qquad{}\ times\frac{1}{4}\bigl[\chi_{2}\bigr ^{\rho}\biger）\bigr]\\&\quad=\frac{1}{16}\bigl[\chi_{1}\bigle^{\rho}+\bigl r^{\rho}\bigr）h{1}^{\rro}\\&\qquad{}+\chi_{1}\bigl+\bigl（1-r^{\rho}\bigr）h{1}^{\rro}\\&\qquad{}+\chi_{1}\bigl.ρ}\bigr）h{2}^{\rho}\biger）\bigr]。\结束{对齐}$$

(36)

将的两边相乘(36)由\（\frac{r^{\alpha\rho-1}}{\varGamma（\alpha）}\），\（阿尔法>0）然后将所得不等式与第页结束$[0,1]$，我们获得

$$\begin｛aligned｝&&frac｛1｝｛\rho\varGamma（\alpha+1）｝\chi｛1｝\bigl（\frac｛h｛1｝^｛\rho｝+h｛2｝^｛\rho｝｛2｝\biggr）\chi｛2｝\biggl（\frac｛h｛1｝^｛\rho｝+h｛2｝^｛\rho｝｝｝｛2｝\biggr）&&quad\leq\frac｛1｝｛16 \varGamma（\alpha）｝\biggl[\int _｛0｝^{1} 对^{\alpha\rho-1}\chi_{1}\bigl（r^{\rho}h{1}^{\rro}+\bigr（1-r^{\\rho}\biger）h{2}^{\ rho}\ bigr）\chi_2}+\int_{0}^{1} 第页^{\alpha\rho-1}\chi_{1}\bigl（r^{\rho}h{2}^{\rro}+\bigr（1-r^{\ rho}\biger）h{1}^{\ρo}\bigr）\chi_2}+\int_{0}^{1} 第页^{\alpha\rho-1}\chi_{1}\bigl（r^{\rho}h{1}^{\rro}+\bigr（1-r^{\\rho}\biger）h{2}^{\ rho}\ bigr）\chi_2}+\int_{0}^{1} 第页^{\alpha\rho-1}\chi_{1}\bigl克]。\结束{对齐}$$

那就是，

$$\开始{对齐}和8\chi_{1}\biggl（\frac{h{1}^{\rho}+h{2}^{\ rho}}{2}\bigr）\chi_2}\bigl{2}^{\rho}-h_{1}^{\\rho}）^{\alpha}}\bigl（h{2}^{\rho}\bigr）\chi_{2}\bigl chi{1}\bigl（h{1}^{\rho}\bigr）\chi{2}\bigle。\结束{对齐}$$

经过一些计算，我们得到了所需的不等式(31). □

备注3.2

1.通过出租\（\rho=1\）在定理中3.8不平等(30)和(31)给出不等式$(3.11)$和$(3.12)$分别在的定理3.2中[18].

2.通过出租\（\rho=\alpha=1\）在定理中3.8不平等(30)成为定理中的不等式$(2.2)$第页，共页[18].

4不等式通过ψ-Riemann–Liouville分数积分

首先，我们通过ψ-黎曼-刘维尔分数积分。

定理4.1

让 \（\chi:[h{1}，h{2}]\rightarrow\mathbb{R}\）是一个积极的功能，对于 \（0\leqh{1}<h{2}\），和 \（在L_1}[h_1}，h_2}]\中为chi\）.让 \（磅/平方英寸（z））是一个递增的正单调函数 \（（h{1}，h{2}]\），带连续导数 \（磅/平方英寸（z））在 \（（h｛1｝，h｛2｝）\）.让χ成为 \（tgs\）-凸函数，那么分数次积分的下列不等式成立:

$$\开始{aligned}&2\chi\biggl（\frac{h{1}+h{2}}{2}\biggr）\\&\quad\leq\frac}\varGamma（\gamma+1）}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}\bigl[\mathcal{I}^{\gamma:\psi}_{\psi^{-1}（h{1}）+}}）\biger）\bigr]\\&\quad\leq\frac{\gamma[\chi（h{1}）+\chi。\结束{对齐}$$

(37)

证明

自χ是\（tgs\）-凸面，我们有

$$\chi\biggl（\frac{u+v}{2}\biggr）\leq\frac{\chi（u）+\ chi（v）}{2^{2}}$$

让\（u=rh{1}+（1-r）h{2}\）和\（v=rh{2}+（1-r）h{1}\），我们得到

$$4\chi\biggl（\frac{h{1}+h{2}}{2}\biggr）\leq\chi\比格尔（rh_{1}+（1-r）h{2{\bigr）+\chi\bigl（rh{2}+（1-r）h}\biger）$$

(38)

乘以\（r^{\gamma-1}\）论不平等的两面(38)然后结合第页结束$[0,1]$意味着

$$\压裂{4}{\gamma}\chi\biggl（\压裂{h{1}+h{2}}{2}\biggr）\leq\int_{0}^{1} 第页^{\gamma-1}\chi\bigl（rh{1}+（1-r）h{2}\bigr）\，dr+\int{0}^{1} 第页^{\gamma-1}\chi\bigl（rh{2}+（1-r）h{1}\bigr），博士$$

(39)

现在考虑一下

$$\开始{对齐}&\frac{\varGamma（\gamma+1）}{2（h_{2} -小时_{1} ）^｛\gamma｝｝\bigl〔\mathcal｛I｝^｛\gamma:\psi｝_｛\psi^｛-1｝（h｛1｝）+｝（\chi\cir\psi）\bigl（\psi^｛-1｝（h｛2｝）\bigr）+\mathcal｛I｝^｛\gamma:\psi｝_｛\psi^｛-1｝（h｛2｝）-｝（\chi\cir\psi）\bigl（\psi^｛-1｝（h｛1｝）\bigr）\\&&quad=\frac varGamma（\gamma+1）｝｛2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}\varGamma（\gamma）}\biggl[\int_{\psi^{-1}（h{1}）}_{2}-\psi（g）\bigr）^{\gamma-1}（\chi\circ\psi）（g）\，dg\\&\qquad{}+\int_{\psi^{-1}{\gamma}{2}\biggl[\int_{\psi^{-1}_{2}-\psi（g）}{h_{2} -小时_{1} }\biggr）^{\gamma-1}\chi\bigl（\psi（g）\bigr）\frac{\psi'（g）}{h_{2} -小时_{1} }\，dg\\&\qquad{}+\int_{\psi^{-1}（h{1}）}^{\psia^{-1{（h}2}）{\biggl（\frac{\psi（g）-h{1}}{h_{2} -小时_{1} }\biggr）^{\gamma-1}\chi\bigl（\psi（g）\bigr）\frac{\psi'（g）}{h_{2} -小时_{1} ｛\，dg\biggr]\\&&quad=\frac｛\gamma｝｛2｝\biggl[\int _｛0｝^{1} 第页^{\gamma-1}\chi\bigl（rh{1}+（1-r）h{2}\bigr）\，dr+\int{0}^{1} 第页^{\gamma-1}\chi\bigl（rh{2}+（1-r）h{1}\bigr），dr\biggr]\\&\quad\geq2\chi\biggl（\frac{h{1{+h{2}}{2}\biggr），\end{aligned}$$

(40)

通过使用(39). 因此，第一个不等式(37)已被证明。

对于下一个不等式，我们考虑

$$\chi\bigl（rh{1}+（1-r）h{2}\bigr）\leqr（1-r$$

和

$$\chi\bigl（rh_{2}+（1-r）h_{1}\bigr）\leqr（1-r$$

我们补充道

$$\chi\bigl（rh{1}+（1-r）h{2}\bigr）+\chi\bigl$$

(41)

乘以\（r^{\gamma-1}\）论不平等的两面(41)然后结合第页结束$[0,1]$意味着

$$\begin｛aligned｝&\ int _｛0｝^{1} 第页^{\gamma-1}\chi\bigl（rh{1}+（1-r）h{2}\bigr）\，dr+\int{0}^{1} 第页^{\gamma-1}\chi\bigl（rh{2}+（1-r）h{1}\bigr）\，dr\\&\quad\leq\frac{2[\chi（h{1{）+\ch（h{2}）]}{（\gamma+1）（\gama+2）}。\结束{对齐}$$

那就是，

$$\开始{对齐}&\frac{\varGamma（\gamma+1）}{（h_{2} -小时_{1} ）^｛\gamma｝｝\bigl〔\mathcal｛I｝^｛\gamma:\psi｝_｛\psi^｛-1｝（h｛1｝）+｝（\chi\cir\psi）\bigl（\psi^｛-1｝（h｛2｝）\bigr）+\mathcal｛I｝^｛\gamma:\psi｝_｛\psi^｛-1｝（h｛2｝）-｝（\chi\cir\psi）\bigl（\psi^｛-1｝（h｛1｝）\bigr）\\&&quad\leq\frac｛\gamma[\chi（h｛1｝）+\chi（h｛2｝）]｝｛（\gamma+1）（\gamma+2）｝。\结束{对齐}$$

因此完成了证明。□

备注4.1

（1） 通过让\（磅/平方英寸（克）=克）英寸(37)定理的4.1我们得到了中定理3.1的不等式3.1[18].

（2） 通过出租\（磅/平方英寸（克）=克）和\（伽马=1）英寸(37)定理的4.1我们得到了中定理2.1的不等式2.2[18].

对于接下来的两个结果，我们使用引理2.1和引理2.2分别是。

定理4.2

让 \（\chi:[h{1}，h{2}]\rightarrow\mathbb{R}\）是非负可微映射，对于 \（0\leqh{1}<h{2}\）.让 \（磅/平方英寸（克））是一个递增的正单调函数 \（（h{1}，h{2}]\），带连续导数 \（磅/平方英寸（克））在 \（（h{1}，h{2}）\）和 \（伽马\in（0,1）\）.如果 \（|\chi'|^{q}\）是 \（tgs\）-凸面和 \（问题1），那么以下分数阶积分不等式成立:

$$\beart｛aligned｝&\biggl\vert\frac｛\chi（h｛1｝）+\chi（h｛2｝）｝{2}-｛\frac｛\varGamma（\gamma+1）｝｛2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}\bigl[\mathcal{I}^{\gamma:\psi}_{\psi^{-1}（h{1}）+}-1}（h{1}）\biger）\bigr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{h_{2} -小时_{1} }{2}\biggl[\frac{2}{\gamma+1}\bigl ^{\frac{1}{q}}。\结束{对齐}$$

(42)

证明

首先要注意，对于每个\（g \ in（\psi^{-1}（h{1}），\psi|{-1}（h{2}））\），我们有\（h{1}<psi（g）<h{2}）.让\（r=压裂{h_{2}-\psi（g）}{h_{2} -小时_｛1｝｝\），那么我们有\（psi（g）=rh{1}+（1-r）h{2}）.应用引理2.1和\（tgs\）-的凸性\（|\chi'|\），我们获得

$$\begin{aligned}&\biggl\vert\frac{\chi（h{1}）+\ch（h{2}）}{2}-\压裂{\varGamma（\gamma+1）}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}\bigl[\mathcal{I}^{\gamma:\psi}_{\psi^{-1}（h{1}）+}（\chi\circ\psi）\bigl-1}（h{1}）\biger）\bigr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{1}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}}\int_{\psi^{-1}（h{1}）}_{2}-\psi（g）\bigr）^{\gamma}\bigr\vert\bigl\vert\bigl（\chi'\circ\psi\biger）（g）\ bigr\vert\，d\psi（g_{2} -小时_{1} }{2}\int_{0}^{1}\bigl\vert（1-r）^{\gamma}-r^{\gamma}\bigr\vert\bigl\vert\chi'\bigl（rh_{1}+（1-r_{2} -小时_{1} }{2}\int_{0}^{1}\bigl\vert（1-r）^{\gamma}-r^{\gamma}\bigr\vertr（1-r_{2} -小时_{1} }{2}\int_{0}^{1}\bigl[（1-r）^{\gamma}+r^{\gamma}\bigr]r（1-r_{2} -小时_{1} }{（\gamma+2）（\gama+3）}\bigl[\bigl\vert\chi'（h{2}）+\chi'（h2}）\bigr\vert\bigr]。\结束{对齐}$$

(43)

自

$$\int_{0}^{1}\bigl[（1-r）^{\gamma}+r^{\gamma}\bigr]r（1-r）\，dr=\frac{2}{（\gamma+2）（\gama+3）}$$

我们得到了所需的不等式(42)的\（q=1）.

现在考虑一下这种情况\（q>1）.再次使用引理2.1幂平均不等式和秒-的凸性\（|\chi'|^｛q｝\）在\（[a_｛1｝，a _｛2｝]\），我们得到

$$\begin{aligned}&\biggl\vert\frac{\chi（h{1}）+\ch（h{2}）}{2}-\压裂{\varGamma（\gamma+1）}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}\bigl[\mathcal{I}^{\gamma:\psi}_{\psi^{-1}（h{1}）+}-1}（h{1}）\biger）\bigr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{1}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}}\int_{\psi^{-1}（h{1}）}_{2}-\psi（g）\bigr）^{\gamma}\bigr\vert\bigl\vert\bigl（\chi'\circ\psi\biger）（g）\ bigr\vert\，d\psi（g_{2} -小时_{1} }{2}\int_{0}^{1}\bigl\vert（1-r）^{\gamma}-r^{\gamma}\bigr\vert\bigl\vert\chi'\bigl（rh_{1}+（1-r_{2} -小时_{1} ｝｛2｝\biggl（\int _｛0｝^｛1｝\bigl\vert（1-r）^｛\gamma｝-r^｛\gamma｝\bigr\vert\，dr\biggr）^｛1-\ frac｛1｝｛q｝｝\&&\ qquad｛｝\times\biggl（\int _｛0｝^｛1｝\bigl\vert（1-r）^｛\gamma｝\bigr\vert\chi'\bigl（rh_｛1｝+（1-r）h｛2｝\bigr）\bigr \vert^｛q｝\，dr\biggr）^｛\frac｛1｝｛q｝｝\&&quad=\frac｛h_{2} -小时_{1} ｛2｝\biggl（\int _｛0｝^｛1｝\bigl\vert（1-r）^｛\gamma｝-r^｛\gamma｝\bigr\vert\，dr\biggr）^｛\frac｛q-1｝｛q｝｝\&&\qquad｛｝\times\biggl（\int _｛0｝^｛1｝\bigl[（1-r）^｛\gamma｝+r^｛\gamma｝\bigr]r（1-r）\bigl[\bigl\vert\chi'（h｛2｝）\bigr\vert^｛q｝+\chi'（h｛2｝）\vert^｛q｝\bigr]\，dr\biggr）^｛\frac｛1｝｛q｝｝\\&&quad=\frac｛h_{2} -小时_{1} }{2}\biggl[\frac{2}{\gamma+1}\bigl ^{\frac{1}{q}}。\结束{对齐}$$

(44)

我们有

$$\开始{对齐}\int_{0}^{1}\bigl\vert（1-r）^{\gamma}-r^{\gamma}\bigr\vert\，dr&=\int_}0}^}1/2}\bigle[（1-r}{\gamma+1}\biggl（1-\frac{1}{2^{\gama}}\bigr）。\结束{对齐}$$

这就完成了证明。□

推论4.3

在定理的类似条件下4.2.

1如果 \（磅/平方英寸（克）=克），然后我们得到

$$\begin{aligned}&\biggl\vert\frac{\chi（h{1}）+\ch（h{2}）}{2}-｛\frac｛\varGamma（\gamma+1）｝｛2（h_{2} -小时_{1} ）^｛\gamma｝｝\bigl[J^｛\gamma｝_｛h｛1｝+｝\chi（h｛2｝）+J^｛\gamma｝_｛h_{2}-}\chi（h{1}）\bigr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{h_{2} -小时_{1} }{2}\biggl[\frac{2}{\gamma+1}\bigl ^{\frac{1}{q}}。\结束{对齐}$$

(45)

2如果 \（磅/平方英寸（克）=克）和 \（伽马=1），然后我们得到

$$\begin{aligned}&\biggl\vert\frac{\chi（h{1}）+\ch（h{2}）}{2}-\压裂{2}{（h_{2} -小时_{1} ）}\int_{h{1}}^{h{2}\chi（g）\，dg\biggr\vert\&\quad\leq\frac{h_{2} -小时_{1} ｛2｝\biggl〔\frac｛1｝｛2｝\biggr〕^｛\frac｛q-1｝｛q｝｝\biggl（\frac｛vert\chi’（h｛1｝）\vert^｛q｝+\ vert\chi（h｛2｝）\vert^｛q｝｝｝｛3｝\biggr）^｛\frac｛1｝｛q｝｝｝。\结束{对齐}$$

(46)

定理4.4

让 \（\chi:[h{1}，h{2}]\rightarrow\mathbb{R}\）是非负可微映射，对于 \（0\leqh{1}<h{2}\）.让 \（磅/平方英寸（克））是一个递增的正单调函数 \（（h{1}，h{2}]\），带连续导数 \（磅/平方英寸（克））在 \（（h{1}，h{2}）\）和 \（伽马\in（0,1）\）.如果 \（|\chi'|\）是 \（tgs\）-凸面的，那么以下分数阶积分不等式成立:

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{\varGamma（\gamma+1）}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}\bigl[\mathcal{I}^{\gamma:\psi}_{\psi^{-1}（h{1}）+}}）\biger）\bigr]\\&\qquad{}-\chi\biggl（\frac{h{1}+h{2}}{2}\biggr+\压裂{h_{2} -小时_{1} }{（\gamma+2）（\gama+3）}\bigl（\bigl\vert\chi'（h{1}）\bigr\vert+\bigl\ vert\chi（h{2}）\ bigr\verst\bigr）。\结束{对齐}$$

(47)

证明

从引理2.2和\（tgs\）-的凸性\（|\chi'|\），我们有

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{\varGamma（\gamma+1）}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}\bigl[\mathcal{I}^{\gamma:\psi}_{\psi^{-1}（h{1}）+}}）\biger）\bigr]\\&\qquad{}-\chi\biggl（\frac{h{1}+h{2}}{2}\biggr）\biggr\vert\&\quad=\biggl\vert\int_{\psi^{-1}（h{1{）}^{psi^{-1}（h{2}）}k\bigl（\chi'\circ\psi\bigr）（g）\psi'（g）\，dg\\&\qquad{}+\frac{1}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}}\int_{\psi^{-1}（h{1}）}_{2}-\psi（g）\biger）^{\gamma}\bigr]\bigl（\chi'\circ\psi\bigr）qquad{}+\biggl\vert\frac{1}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}}\int_{\psi^{-1}（h{1}）}_{2}-\psi（g）\bigr）^{\gamma}\bigr]\bigl（\chi'\circ\psi\biger）（g）\fsi'（g）\，dg\biggr\vert\\&\quad:=S_{1}+S_{2}，\end{aligned}$$

(48)

哪里

$$\begin{aligned}&S_{1}:=\biggl\vert\int_{\psi^{-1}（h{1}）}^{\psi ^{-1{（h_{2}）{k\bigl（\chi'\circ\psi\bigr）（g）\psi'（g）\，dg\biggr\vert，\&S_{2}:=\ biggl\ vert\frac{1}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}}\int_{\psi^{-1}（h{1}）}_{2}-\psi（g）\biger）^{\gamma}\bigr]\bigl（\chi'\circ\psi\bigr）（g）\fsi'（g）\，dg\biggr\vert，\end{aligned}$$

和k个定义如引理所示2.2。请注意

$$S_{1}=\frac{\chi（h{2}）-\chi$$

（49）

和从定理4.2为了这个案子\（q=1），我们有

$$S_｛2｝\leq\frac｛h_{2} -小时_{1} }{（\gamma+2）（\gama+3）}\bigl（\bigl\vert\chi'（h{1}）\bigr\vert+\bigl\ vert\chi（h{2}）\ bigr\verst\bigr）\bigr）$$

(50)

因此，通过使用(49)和(50)英寸(48)，我们得到(47). □

推论4.5

假设定理的类似条件4.4.

1如果 \（磅/平方英寸（克）=克），然后我们得到

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{\varGamma（\gamma+1）}{2（h_{2} -小时_{1} ）^{\gamma}}\bigl[J^{\gamma}_{h{1}+}\chi（h{2}）+J^{\ gamma}_{h_{2}-}\chi（h{1}）\bigr]-\chi\biggl（\frac{h{1{+h{2}}{2}\biggr）\biggr\vert\\&\quad\leq\frac}\chi_{2} -小时_{1} }{（\gamma+2）（\gama+3）}\bigl（\bigl\vert\chi'（h{1}）\bigr\vert+\bigl\ vert\chi（h{2}）\ bigr\verst\bigr）\bigr）。\结束{对齐}$$

(51)

2如果 \（磅/平方英寸（克）=克）和 \（伽马=1），然后我们得到

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{2}{（h_{2} -小时_{1} ）}\int_{h{1}}^{h{2}}\chi（g）\，dg-\chi\biggl（\frac{h{1}+h{2}}{2}\biggr）\biggr\vert\\&\quad\leq\frac}\chi（h{2）-\chi_{2} -小时_{1} ｛6｝\bigl（\bigl\vert\chi'（h｛1｝）\bigr\vert+\bigl\vert\chi（h｛2｝）\bigr\vert\bigr）。\结束{对齐}$$

(52)

5结论

在本文中，我们在定理中证明了3.1Hermite–Hadamard不等式\（tgs\）-凸函数通过Katuganpola分数积分。来自定理3.2——3.6，我们建立了Hermite–Hadamard型不等式\（tgs\）-凸函数通过Katuganpola分数积分。来自推论3.3和3.5我们得到了一个新的Hermite–Hadamard型不等式\（tgs\）-通过Riemann–Liouville分数积分和经典积分的凸函数。同样来自推论3.7我们得到了一个新的Hermite–Hadamard型不等式\（tgs\）-通过Riemann–Liouville分数积分的凸函数。

另一方面，根据定理4.1我们得到了的Hermite–Hadamard不等式\（tgs\）-凸函数通过ψ-黎曼-刘维尔分数积分。来自定理4.2和4.4，我们建立了Hermite–Hadamard型不等式\（tgs\）-凸函数通过ψ-Riemann–Liouville分数积分。来自推论4.3和4.5我们得到了一个新的Hermite–Hadamard型不等式\（tgs\）-通过Riemann–Liouville分数积分和经典积分的凸函数。