隐式分数阶q微分方程的存在性和Ulam稳定性

摘要

本文研究了一类隐式分数阶q微分方程的存在唯一性和Ulam–Hyers–Rassias稳定性结果。对Banach空间中解的存在唯一性的一些不动点定理作了一些应用，然后证明了我们的问题是广义Ulam–Hyers–Rassias稳定的。最后一节给出了两个示例。

1介绍

分数阶微分方程最近已应用于工程、数学、物理和其他应用科学的各个领域[33]. 关于分数阶微积分和分数阶微分方程理论中的一些基本结果，我们请读者参阅专著[4，5，6，23，32，39]、报纸[24，34，36，37，38，40]以及其中的参考文献。近年来，人们对分数阶微分方程和含有Caputo分数阶导数的包含的初边值问题解的存在性给予了相当大的关注；[5，22]. 许多作者分析了隐式分数阶微分方程；参见示例[4，5，11，12，13]以及其中的参考文献。

对泛函微分方程和积分方程的Ulam稳定性的研究给予了相当大的关注；参见专著[6，19]、报纸[1，2，三，20，28，30，31]以及其中的参考文献。

分数q微分方程是19世纪初提出的[7，15]近年来受到了极大的关注。关于q微分方程和分数q微分方程的初值和边值问题的一些有趣的结果可以在[9，10，16，17]以及其中的参考文献。在中考虑了隐式分数阶q积分方程[18]。

本文讨论了以下隐式分数阶q微分方程解的存在性、唯一性和Ulam–Hyers–Rassias稳定性：

$$\bigl（{}^{c} 天_{q} ^{\alpha}u\bigr）（t）=f\bigl（t，u（t），\bigle（{}^{c} D类_{q} ^｛\alpha｝u\bigr）（t）\bigr），\quad t\在I:=[0，t]中$$

(1)

具有初始条件

$$u（0）=u_{0}$$

(2)

哪里\（q\ in（0,1）\），\（在（0,1]\）中为α，\（T>0），\（f:I\次{\Bbb{R}}\次{\ Bbb{R}}\到{\Bb{R}}\）是给定的连续函数，并且\({}^{c} D类_{q} ^{\alpha}\）是Caputo分数阶q微分α.

本文首次研究隐式Caputo分数阶q微分方程。

2前期工作

考虑完整的度量空间\（C（I）：=C（I，{\Bbb{R}}）连续函数的我进入之内\（{\Bbb{R}}\）配备通常的公制

$$d（u，v）：=\max_{t\in I}\bigl\vert u（t）-v（t）\bigr\vert$$

请注意\（C（I）\）是具有上确界（一致）范数的Banach空间

$$\Vert-u\Vert_{infty}:=\sup_{t\in-I}\bigl\Vert-u（t）\bigr\Vert$$

像往常一样，\（L^{1}（I）\）表示可测函数的空间\（v:I\右箭头{\Bbb{R}}\）其中勒贝格可与范数积分

$$\Vertv\Vert_{1}=\int_{I}\bigl\vertv（t）\bigr\Vert\，dt$$

让我们回顾一下分数q-微积分的一些定义和性质。对于\（位于Bbb{R}中），我们设置

$$[a]_{q}=\压裂{1-q^{a}}{1-q}$$

功率的q模拟\（（a-b）^{n}\）是

$$（a-b）^{（0）}=1，\quad\quad（a-b；\四元组a，b\在{\Bbb{R}}中，n\在{\ Bbb{n}}$$

一般来说，

$$（a-b）^｛（\alpha）｝=a ^｛\alpha｝\prod_｛k=0｝^｛infty｝\bigl（\frac｛a-bq^｛k｝｝｛a-bq^｛k+\alpha｝｝\biggr）；\{\Bbb{R}}中的四元组a、b、\alpha\$$

定义2.1

([21])

q-gamma函数定义为

$$\varGamma_{q}（\xi）=\压裂{（1-q）^{（xi-1）}}{（1-q）^}{\xi-1}}；\四元\xi\在{\Bbb{R}}-\{0，-1，-2，\ldots\}中$$

注意，q-gamma函数满足\（\varGamma{q}（1+\xi）=[\xi]{q}\varGamma{q}（\xi.

定义2.2

([21])

阶的q导数\（在{\Bbb{n}}\中）函数的\（u:I\到{\Bbb{R}}\）由定义\（（D_{q}）^{0}u)（t） =u（t）\），

$（D_{q} u个)（t）：=大（D_{q}^{1} u个\大r）（t）=frac{u（t）-u（qt）}{（1-q）t}；\四元组\neq0，\qquad（D_{q} u个)（0）=\lim_{t\to0}（D_{q} u个)（t）$$

和

$$\bigl（D_{q}^{n} u个\较大）（t）=\bigl（D_{q} 天_{q}^{n-1}u\较大）（t）；\I中的四元组t，{1,2，\ldots\}中的n$$

设置\（I_{t}:={tq^{n}:n\在{\Bbb{n}}\}\cup\{0\}\中）.

定义2.3

([21])

函数的q积分\（u:I_{t}\到{\Bbb{R}}\）由定义

$$（我_{q} 单位)（t）=\int_{0}^{t} u个（s） \，d_{q} 秒=\sum_{n=0}^{\infty}t（1-q）q^{n} （f）\bigl（tq^{n}\biger）$$

假设级数收敛。

我们注意到\（（D）_{q} 我_{q} u个)（t） =u（t）\），而如果单位在0处连续，则

$$（我_{q} D类_{q} u个)（t）=u（t）-u（0）$$

定义2.4

([8])

Riemann–Liouville分数阶q积分\（{\Bbb{R}}_{+}:=[0，\infty中的\alpha\）函数的\（u:I\到{\Bbb{R}}\）由定义\（（I_{q}）^{0}u)（t） =u（t）\）、和

$$\bigl（I_｛q｝^｛\alpha｝u\bigr）（t）=\int_｛0｝^｛t｝\frac｛（t-qs）^｛（\alpha-1）｝｝｛\varGamma_｛q｝（\alpha）｝u（s）\，d_{q} 秒;\I中的四线组$$

引理2.5

([26])

对于 \（{\Bbb{R}}_{+}:=[0，\infty中的\alpha\）和 \（\lambda\ in（-1，\infty）\）我们有

$$\bigl（I_｛q｝^｛\alpha｝（t-a）^｛（\lambda）｝\bigr）（t）=\frac｛\varGamma_｛q｝（1+\lambda）｝｛\varGamma（1+\lambda+\alpha）｝（t-a）^｛（\lambda+\alpha）｝；\四元0<a<t<t$$

特别地，

$$\bigl（I{q}^{alpha}1\bigr）（t）=\frac{1}{\varGamma{q}（1+\alpha）}t^{（\alpha）}$$

定义2.6

([27])

Riemann–Liouville分数阶q导数\（{\Bbb{R}}_{+}\中的alpha\）函数的\（u:I\到{\Bbb{R}}\）由定义\（（D_{q}）^{0}u)（t） =u（t）\）、和

$$\bigl（D_{q}^{alpha}u\bigr）（t）=\ bigl；\I中的四边形$$

哪里\（[\alpha]\）是的整数部分α.

定义2.7

([27])

阶的Caputo分数q导数\（{\Bbb{R}}_{+}\中的alpha\）函数的\（u:I\到{\Bbb{R}}\）由定义\(({}^{C} D类_{q}^{0}u)（t） =u（t）\）、和

$$\bigl（{}^{C} D类_{q} ^{\alpha}u\bigr）（t）=\bigl；\I中的四线组$$

引理2.8

([27])

让 \（{\Bbb{R}}_{+}\中的alpha\）.那么下面的等式成立:

$$\bigl（I_{q}^{\alpha}{}^{C} D类_{q} ^{\alpha}u\bigr）（t）=u（t）-\sum_{k=0}^{[\alpha]-1}\frac{t^{k}}{\varGamma_{q}（1+k）}\bigl（D_{q{^{k} 单位\较大）（0）$$

特别地，如果 \（（0,1）中的α），然后

$$\bigl（I_｛q｝^｛\alpha｝｛｝^{C} D类_{q} ^{\alpha}u\bigr）（t）=u（t）-u（0）$$

根据上述引理，为了定义问题的解决方案(1)–(2)，我们需要以下引理。

引理2.9

让 \（f:I\时间{\Bbb{R}}\时间{\ Bbb{R}}\右箭头{\Bb{R}{\）这样的话 \（C（I）中的f（\ cdot，u，v）\），对于每个 \（u，v\在{\Bbb{R}}\中）.然后是问题(1)–(2)等价于求积分方程解的问题

$$g（t）=f\bigl（t，u_{0}+\bigl-（I_{q}^{alpha}g\bigr）（t），g（t$$

(3)

如果 \（g（\cdot）\在C（I）中\），是这个方程的解，然后

$$u（t）=u_{0}+\bigl（I_{q}^{\alpha}g\bigr）（t）$$

证明

让单位解决问题(1)–(2)，然后让\（g（t）=（{}^{C} D类_{q} ^{\alpha}u）（t）\）; 对于\（I中的t）.我们将证明这一点\（u（t）=u{0}+（I{q}^{alpha}g）（t）、和克满足等式(三). 从引理2.8，我们有\（u（t）=u{0}+（I{q}^{alpha}g）（t），很容易看出等式(1)暗示(三). 反过来，如果单位满足积分方程\（u（t）=u{0}+（I{q}^{alpha}g）（t），如果克满足等式(三)，然后单位是问题的解决方案(1)–(2).□

现在，我们考虑乌拉姆问题的稳定性(1)–(2). 让\（epsilon>0\）和\（\varPhi:I\到{\Bbb{R}}_{+}\）是一个连续函数。我们考虑以下不等式：

$$\begin｛aligned｝&\bigl|\bigl（｛｝^{c} D类_{q} ^{\alpha}u\bigr）（t）-f\bigl（t，u（t），\bigle（{}^{c} 天_{q} ^{\alpha}u\bigr）（t）\biger）\bigr|\leq\epsilon；\I中的四边形，结束{对齐}$$

(4)

$$\开始{aligned}&\bigl|\bigl（{}^{c} D类_{q} ^{\alpha}u\bigr）（t）-f\bigl（t，u（t），\bigle（{}^{c} D类_{q} ^{\alpha}u\bigr）（t）\bigr|\leq\varPhi（t）；\I中的四边形，结束{对齐}$$

(5)

$$\开始{aligned}&\bigl|\bigl（{}^{c} D类_{q} ^{\alpha}u\bigr）（t）-f\bigl（t，u（t），\bigle（{}^{c} D类_{q} ^{\alpha}u\bigr）（t）\bigr|\leq\epsilon\varPhi（t）；\I中的四边形t\结束{对齐}$$

(6)

定义2.10

([5，30])

这个问题(1)–(2)如果存在实数，Ulam–Hyers是否稳定\（c{f}>0\）这样，对于每个\（epsilon>0\）以及每个解决方案\（C（I）中的u）关于不平等(4)有一个解决方案\（C（I）中的v）第页，共页(1)–(2)带有

$$\bigl\vert u（t）-v（t）\bigr\vert\leq\epsilon c_{f}；\I中的四线组$$

定义2.11

([5，30])

这个问题(1)–(2)如果存在，则广义Ulam–Hyers稳定\（c_{f}:c（{\Bbb{R}}_{+}，{\Bb{R}{_{+{）\）具有\（c{f}（0）=0\）这样，对于每个\（epsilon>0\）以及每个解决方案\（C（I）中的u）关于不平等(4)有一个解决方案\（C（I）中的v）第页，共页(1)–(2)带有

$$\bigl\vert u（t）-v（t）\bigr\vert\leq c_{f}（\epsilon）；\I中的四线组$$

定义2.12

([5，30])

这个问题(1)–(2)乌拉姆-海尔斯-拉西亚斯在以下方面是否稳定Φ如果存在实数\（c_{f，\varPhi}>0\）这样，对于每个\（epsilon>0\）以及每个解决方案\（C（I）中的u）关于不平等(6)有一个解决方案\（C（I）中的v）第页，共页(1)–(2)带有

$$\bigl\vert u（t）-v（t）\bigr\vert\leq\epsilon c_{f，\varPhi}\varPhi（t）；\I中的四线组$$

定义2.13

([5，30])

这个问题(1)广义Ulam–Hyers–Rassias相对于Φ如果存在实数\（c_{f，\varPhi}>0\）使得对于每个解决方案\（u\在C_{\gamma中，\ln}\）关于不平等(5)有一个解决方案\（v\在C_{\gamma中，\ln}\）第页，共页(1)–(2)带有

$$\bigl\vert u（t）-v（t）\bigr\vert\leq c_{f，\varPhi}\varPhi（t）；\I中的四线组$$

备注2.14

很明显

• （i） 定义2.10 ⇒定义2.11，

• （ii） 定义2.12 ⇒定义2.13，

• （iii） 定义2.12对于\（\varPhi（\cdot）=1） ⇒定义2.10.

人们可以对不平等现象有类似的评论(4)和(6).

定义2.15

([29])

非递减函数\（\phi:{\Bbb{R}}_{+}\到{\Bb{R}{{+}）如果满足以下条件之一，则称为比较函数：

• (1) 对于任何\（t>0）我们有

  $$\lim_{n\to\infty}\phi^{（n）}（t）=0$$

  哪里\（φ{（n）}）表示n个第次迭代ϕ.

• (2) 功能ϕ是正确的并且满足

  $$\phi（t）<t\quad\对于所有t>0$$

备注2.16

选择\（φ（t）=kt）具有\（0<k<1）给出了经典的巴拿赫压缩映射原理。

为了我们的目的，我们需要以下不动点定理。

定理2.17

([14，25])

让 \（（X，d）\）是一个完整的度量空间，并且 \（T:X\至X\）是这样的映射

$$d\bigl（T（x），T（y）\bigr）\leq\phi\bigl$$

哪里ϕ是比较函数.然后T型在中具有唯一的固定点X（X）.

定理2.18

（Schauder不动点定理[35])

让X（X）成为巴拿赫空间，D类是的有界闭凸子集X（X）和 \（T:D\至D\）是一个紧凑连续的映射.然后T型中至少有一个固定点D类.

三存在结果

在本节中，我们关注问题解的存在性和唯一性(1)–(2).

定义3.1

通过问题的解决(1)–(2)我们是指连续函数\（C（I）中的u）满足等式(1)上的我和初始条件(2).

以下假设将在续集中使用。

\（（H_{1}）\）:

功能（f）满足广义Lipschitz条件：

$$\bigl\vert f（t，u_{1}，v_{1{）-f（t，u _{2}，v _{2{）\bigr\vert\leq\phi_{1}\bigl（\vert u_{1} -u个_{2} \vert\bigr）+\phi_{2}\bigl（\vert v_{1} -v型_{2} \vert\bigr）$$

对于\（I中的t）和\（u{1}，u{2}，v{1}，v{2}\在{\Bbb{R}}\中），其中\（\phi_{1}\）和\（\phi_{2}\）是比较函数。

\（（H｛2｝）\）:

存在功能\（p，d，r在C（I，[0，\infty）中）具有\（r（t）<1）这样的话

$$\bigl\vert f（t，u，v）\bigr\vert\leq p（t）+d（t）\vert u\vert+r（t）\ vert v\vert，\quad\text{表示I\text{中的每个}t和{\Bbb{r}}中的}u，v$$

设置

$$p^{\ast}=I}p（t）中的\sup_{t\，I}d（t）的\qquad d^{\ast}=\sup_}t\，I}r（t）内的\qqquad r^{\last}=\sup_{t\t$$

首先，我们证明了该问题的一个存在唯一性结果(1)–(2).

定理3.2

假设假设 \（（H｛1｝）\）持有.然后存在一个独特的问题解决方案(1)–(2)在我.

证明

通过使用引理2.9，我们将问题转化为(1)–(2)变成一个不动点问题。考虑操作员\（N:C（I）\右箭头C（I由定义

$$（Nu）（t）=u{0}+\bigl（I{q}^{alpha}g\bigr）（t）；\I中的四边形$$

（7）

哪里\（g在C（I）中）这样的话

$$g（t）=f\bigl（t，u（t），g（t$$

让\（u，v在C（I）中）然后，对于\（I中的t），我们有

$$\bigl\vert（Nu）（t）-（Nv）（t_{q} 秒, $$

(8)

哪里\（C（I）中的g，h）这样的话

$$g（t）=f\bigl（t，u（t），g（t$$

和

$$h（t）=f\bigl（t，v（t），h（t$$

发件人\（（H_{1}）\），我们获得

$$\bigl\vert g（t）-h（t）\bigr\vert\leq\phi_{1}\bigl$$

因此

$$\bigl\vert g（t）-h（t）\bigr\vert\leq（\mathit{Id}-\phi{2}）^{-1}\phi{1}\bigl（\bigl|u（t）-v（t）\bigr|\bigr）$$

哪里身份证件是标识函数。

设置

$$L:=\sup_{t\在I}\int_{0}^{t}\frac{（t-qs）^{（\alpha-1）}}{\varGamma_{q}（\alpha）}\，d中_{q} 秒, $$

和\（\phi:=L（\mathit｛Id｝-\phi{2}）^{-1}\phi{1}\）.来自(8)，我们得到

$$\begin{aligned}\bigl\vert（Nu）（t）-（Nv）（t。\结束{对齐}$$

因此，我们得到

$$d\bigl（N（u），N（v）\bigr）\leq\phi\bigl$$

因此，根据定理2.17，操作员N个具有唯一的不动点，这是问题的唯一解决方案(1)–(2).□

定理3.3

假设假设 \（（H_{2}）\）持有.如果

$$r^{\ast}+Ld^{\asp}<1$$

那么问题来了(1)–(2)上至少定义了一个解决方案我.

证明

让N个是中定义的运算符(7). 设置

$$R\geq\frac{Lp^{\ast}}{1-R^{\ast}-Ld^{\st}}$$

考虑封闭凸球\（B_{R}=\{u\在C（I）中：\|u\|_{infty}\leqR\}\）.

让\（B_{R}中的u）然后，针对每个\（I中的t），我们有

$$\bigl\vert（Nu）（t）\bigr\vert\leq\int_{0}^{t}\frac{（t-qs）^{（\alpha-1）}}{\varGamma_{q}（\alpha）}\bigl\ vert g（s）\biger\vert\，d_{q} 秒, $$

哪里\（g在C（I）中）这样的话

$$g（t）=f\bigl（t，u（t），g（t$$

通过使用\（（H_{2}）\），每个\（I中的t）我们有

$$\begin{aligned}\bigl\vert g（t）\bigr\vert&\leq p（t）+d（t）\figl\vert u（t）\tigr\vert+r（t）\ bigl\vert g（t）\biger\vert\\&\leq p^{\ast}+d^{\last}\vert u\vert_{\infty}+r^{\ast}\bigr\ vert g ^{\ast}\bigl\vert g（t）\bigr\vert。\结束{对齐}$$

因此

$$\bigl\vert g（t）\bigr\vert\leq\frac{p^{\ast}+d^{\ast}R}{1-R^{\st}}$$

因此

$$\bigl\Vert N（u）\bigr\Vert_{\infty}\leq\frac{L（p^{ast}+d^{ast{R）}{1-R^{\ast}}$$

这意味着

$$\bigl\Vert N（u）\bigr\Vert_{\infty}\leq R$$

这证明了N个映射球\（B_{R}\）进入之内\（B_{R}\）.我们将向操作员证明\（N:B_{R}\至B_{R}\）连续且紧凑。证明将分三步进行。

第1步:N个是连续的。

让\（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）是这样的序列\（u{n}\右箭头u\）在里面\（B_{R}\）然后，针对每个\（I中的t），我们有

$$\beign｛aligned｝\bigl\vert（Nu_｛n｝）（t）-（Nu）（t）\bigr\vert&&leq\int_｛0｝^｛t｝\frac｛（t-qs）^｛（\alpha-1）｝｝｛\varGamma_｛q｝（\alpha）｝\bigl\vert\bigl（g_｛n｝（s）-g（s）\bigr）\bigr\vert\，d_{q} 秒，\结束{对齐}$$

哪里\（g_｛n｝，g\在C（I）\中）这样的话

$$g{n}（t）=f\bigl（t，u{n}（t），g{nneneneep（t）\bigr）$$

和

$$g（t）=f\bigl（t，u（t），g（t$$

自\（u{n}\右箭头u\）作为\（n\rightarrow\infty\）和（f）是连续函数，我们得到

$$g_{n}（t）\右箭头g（t）\quad\text{作为}n \右箭头\infty，\text{表示I中的每个}t$$

因此

$$\bigl\Vert N（u_{N}）-N（u）\bigr\Vert_{infty}\leq\frac{p^{ast}+d_{ast}R}{1-R^{ast{}}\Vert g_{n} -克\Vert_{\infty}\rightarrow0\quad\text{作为}n\rightarror\infty$$

第2步:\（N（B_{R}）\）有界。这是显而易见的，因为\（N（B_{R}）\子集B_{R}\）和\（B_{R}\）有界。

步骤3:N个将有界集映射为等连续集\（B_{R}\）.

让\（I中的t_{1}，t_{2}），因此\（t{1}<t{2}）然后让\（B_{R}中的u）.那么，我们有

$$\开始{对齐}\bigl\vert（Nu）（t_{1}）-（Nu_{2} -qs（质量）)^{（\α-1）}-（t_{1} -qs（质量）)^{（\alpha-1）}\vert}{\varGamma_{q}（\alpha）}\bigl\vert g（s）\bigr\vert\，d_{q} 秒四元｛｝+\int_｛t_｛1｝｝^｛t_｛2｝｝\frac｛\vert（t_{2} -qs（质量）)^{（\alpha-1）}\vert}{\varGamma_{q}（\alpha）}\bigl\vert g（s）\bigr\vert\，d_{q} 秒，\结束{对齐}$$

哪里\（g在C（I）中）这样的话\（g（t）=f（t，u（t），g（t.因此

$$开始{对齐}\bigl\vert（Nu）（t_{1}）-（Nu_{2} -qs)^{（\alpha-1）}-（t_{1} -qs（质量）)^｛（\alpha-1）｝\vert｝｛\varGamma_｛q｝（\alpha-1）｝\，d_{q} 秒\\&\四{}+\frac{p^{ast}+d^{\ast}R}{1-R^{\ast}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac}\vert（t_{2} -qs（质量）)^{（\alpha-1）}\vert}{\varGamma{q}（\alpha）}\，d_{q} 第条。\结束{对齐}$$

作为\（t{1}\右箭头t{2}\）从那以后G公司是连续的，则上述不等式的右侧趋于零。

通过以上三个步骤和Arzelá–Ascoli定理，我们可以得出以下结论\（N:B_{R}\至B_{R}\）是连续和紧凑的。

从定理的应用2.18，我们推断N个至少有一个解决问题的固定点(1)–(2).□

4乌拉姆稳定性结果

在本节中，我们关注问题的广义Ulam–Hyers–Rassias稳定性结果(1)–(2).

以下假设将在续集中使用。

\（（H_{3}）\）:

存在功能\（C（I，[0，\infty）中的p_{1}，p_{2}，p_{3}）具有\（p{3}（t）<1）这样的话

$$\begin{聚集}\bigl（1+\vert u\vert+\vert-v\vert\bigr）\bigl\vert f（t，u，v）\bigr\vert\\\quad\leq p_{1}（t）\varPhi（t）+p_{2}（t）\varPhi（t。\结束{聚集}$$

\（（H_{4}）\）:

存在\（\lambda_{\varPhi}>0\）这样，对于每个\（I中的t），我们有

$$\bigl（I_{q}^{alpha}\varPhi\bigr）（t）\leq\lambda_{varPhi}\varPhi（t）$$

设置\（\varPhi^{\ast}=\sup_{t\inI}\varPhi（t）\）和

$$p_｛i｝^｛\ast｝=\sup_｛t\ in i｝p_｛i｝（t），\ quad i\ in \｛1,2,3\｝$$

定理4.1

假设假设 \（（H_{3}）\）和 \（（H_{4}）\）持有.如果

$$p_{3}^{\ast}+Lp_{2}^{\st}\varPhi^{\ast}<1$$

然后是问题(1)–(2)至少有一个解决方案，它是广义Ulam–Hyers–Rassias稳定的.

证明

考虑操作员N个定义于(7). 我们可以看到这个假设\（（H｛3｝）\）暗示\（（H_{2}）\）具有\（p\equiv p_{1}\varPhi\），\（等同于p_{2}\varPhi\）和\（等于p{3}\）.

让单位是不等式的解(5)，让我们假设v（v）是问题的解决方案(1)–(2). 因此，我们有

$$v（t）=u_{0}+\bigl（I_{q}^{\alpha}h\bigr）（t）$$

哪里\（h在C（I）中）这样的话\（h（t）=f（t，v（t），h（t.

从不平等中(5)对于每个\（I中的t），我们有

$$\bigl\vert u（t）-u_{0}-\bigl（I_{q}^{alpha}g\bigr）（t）\bigr\vert\leq\bigl$$

哪里\（g在C（I）中）这样的话\（g（t）=f（t，u（t），g（t.

根据假设\（（H_{3}）\）和\（（H_{4}）\），每个\（I中的t），我们得到

$$\开始{aligned}\bigl\vert u（t）-v（t）\bigr\vert\leq&\bigl\ vert u_{0}-\bigl（I{q}^{\alpha}g\bigr）（s）\bigr\vert+\bigl\vert h（s）\figr\vert\bigr）\，d_{q} 秒\\leq&\bigl（I{q}^{alpha}\varPhi\bigr）}^{\ast}+p_{2}^{\ast}}{1-p_{3}^{\st}}\varPhi（t）\\leq&\biggl[1+2\frac{p_{1}^{\t}+p_2}^{\\ast}}{1-p_{3}^{\ ast}}\biggr]\lambda_{\phi}\varPhi（t）\\：=和c_｛f，\varPhi｝\varPhi（t）。\结束{对齐}$$

因此，问题是(1)–(2)广义Ulam–Hyers–Rassias稳定。□

5示例

示例1

考虑以下隐式分数问题\（\压裂{1}{4}\）-差分方程：

$$\textstyle\开始{cases}（{}^{c} 天_{\压裂{1}{4}}^{\压裂}1}{2}}u）（t）=f（t，u（t），（{}^{c} D类_｛\frac｛1｝｛4｝｝^｛\frac｛1｝｛2｝｝u）（t））；\四边形t\in[0,1]，\\u（0）=1，\结束{cases}$$

(9)

哪里

$$f\bigl（t，u（t），\bigl（{}^{c} D类_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}u\biger）（t）\biger^{c} D类_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}}{2}}u（t）\vert}\biggl（e^{-7}+\frac}1}{e^{t+5}}\bigr）u（t）；\[0,1]中的四象限$$

假设\（（H_{1}）\）对…感到满意

$$\phi{1}（t）=\phi{2}（t）=t^{2}\biggl（e^{-7}+\frac{1}{e^{t+5}}\bigr）t$$

因此，定理3.2意味着我们的问题(9)在上定义了唯一的解决方案$[0,1]$.

示例2

现在考虑以下隐式分数问题\（\压裂{1}{4}\）-差分方程：

$$\textstyle\开始{cases}（{}^{c} D类_{\压裂{1}{4}}^{\压裂}1}{2}}u）（t）=f（t，u（t），（{}^{c} D类_{\压裂{1}{4}}^{\压裂}1}{2}}u）（t））；\四边形t\in[0,1]，\\u（0）=2，\结束{cases}$$

(10)

哪里

$$\textstyle\begin{cases}f（t，x，y）=\frac{t^{2}}{1+\vertx\vert+\vert y\vert}（e^{-7}+\frac}{e^{t+5}}）（t^{2]+xt^{2%+y）；\四元组t\in（0,1]，\\f（0，x，y）=0。\结束{cases}$$

假设\（（H｛3｝）\）对…感到满意\（\varPhi（t）=t^{2}\）和\（p_{i}（t）=（e^{-7}+\压裂{1}{e^{t+5}}）t\）;\（i在{1,2,3}中）因此，定理3.3意味着我们的问题(10)至少在上定义了解决方案$[0,1]$.

此外，假设\（（H_{4}）\）感到满意。的确，对于每一个\（t\in（0,1]\），存在一个实数\（0<ε<1）这样的话\（epsilon<t\leq1）、和

$$开始{对齐}\bigl（I_{q}^{\alpha}\varPhi\bigr）。\结束{对齐}$$

因此，定理4.1意味着问题(10)广义Ulam–Hyers–Rassias稳定。