一类非线性耦合隐式切换奇异分数阶微分系统的稳定性分析第页-拉普拉斯语

摘要

摘要研究一类含拉普拉斯算子的非线性耦合隐式切换奇异分数阶微分系统解的存在性、唯一性和Hyers–Ulam稳定性\（φ{p}）.所提出的问题由两种分数阶导数组成，即Riemann–Liouville分数阶导数β和Caputo分数阶导数σ，其中\（m-1<β）,\（σ<m）,\（m\in\{2,3，\dots\}\）在进行主要结果之前，借助格林函数将系统转换为等效积分形式。利用Schauder不动点定理和Banach压缩原理，证明了解的存在唯一性。主要结果通过实例进行了验证。

1介绍

分数微分方程（FDE）出现在应用数学的不同分支中。最近，人们已经清楚地认识到，涉及分数阶导数的系统和过程的数学模型经常出现在物理、化学、生物、粘弹性、控制假设、推测、流体动力学、流体力学、空气动力学、信息处理系统网络、，显著性和图像处理；看那些引人注目的专著[22,24,37]. 分数阶微分模型的研究与这样一个事实相关，即它们比对应的整数阶模型更准确地描述了实际现象。这种强烈兴趣背后的原因是，FDE为描述许多材料和工艺的记忆和继承属性提供了实用工具。因此，FDE近年来取得了重大发展；参见[5,6,13,28,30,32,34,35,41,45]了解更多详细信息。

分数阶模型解的存在性理论是FDE领域最有趣的研究领域之一，受到了研究者的广泛关注。上述部分已经对整数阶微分方程（DE）进行了广泛的研究。然而，对于任意顺序的DE，仍有许多方面需要进一步研究和研究。不同的数学家从不同的方向探索了FDE解的存在性[1,2,三,9,12,17,21,27]. 另一个势在必行且更引人注目的研究领域是整数阶和非整数阶DE的稳定性分析，最近已引起了更多关注。第一次尝试是由乌拉姆本人发起的，后来在年得到了海尔斯的确认[19]. 这就是为什么这种稳定性被称为Ulam–Hyers（UH）稳定性。此外，Rassias引入了Ulam–Hyers–Rassias（UHR）稳定性；从乌拉姆的角度看最近报道的一些稳定性结果[4,7,20,29,33,38,42,43,44,47,48,49,50]. 需要注意的是，上述感兴趣的领域（存在性和稳定性）通常在黎曼-刘维尔和卡普托衍生品的背景下进行审议。上述结果也可用于研究Caputo-Fabrizio衍生物[10,11,14,15,16,23].

在微分方程和积分方程的求解中，不动点理论的概念非常重要。给出了不同的不动点定理，它们在上述方程中有许多应用。在中可以找到几个重要的不动点定理[18,39,46].

为了完整性和比较性，我们在此汇集了一些相关的结果。在[26]，刘等。研究了分数阶Sturm–Liouville边值问题的存在性结果：

$$\textstyle\开始{cases}D_{0^{+}}^{\sigma}（\varPhi（\rho（t）））{1-\sigma'}u（t）-b_{0}\lim_{t\rightarrow0}\varPhi^{-1}（t^{1-\sigma}）\rho（t）D_{0^{+}}^{\sigma'}u\varPhi^{-1}（t^{1-\sigma}）\rho（t）D_{0^{+}}^{\sigma'}u（0）+D_{0}\lim_{t\rightarrow1}t^{1-\sigma'}u（t）=0，\end{cases}$$

哪里\（D_｛0^｛+｝｝^｛\sigma｝\）,\（D_{0^{+}}^{\sigma'}\）表示Riemann–Liouville分数阶导数σ和\（西格玛）分别是，\（a_{0}，b_{0{，c_{0neneneep，d_{0}\in\mathcal{R}\），同时\（\rho:（0,1）\rightarrow\mathcal{R}^{+}\）是给定的连续函数。功能\（f：（0,1）\times\mathcal{R}\times\ mathcal}\rightarrow\mathcal{R}\）是一个拟Carathéodory函数，在点处可能是奇异的\（t=0,1）. The第页-拉普拉斯算子Φ定义为\（\varPhi（s）=|s|^{p-2}\）逆运算符表示为\（\varPhi^{-1}=|s|^{q-2}\），其中\（压裂{1}{p}+压裂{1{q}=1\）分析基于著名的Leray–Schauder替代原则。

在[25]，Li研究了含有非线性积分边界条件的分数阶微分方程正解的存在性第页-形式的拉普拉斯算子：

$$\textstyle\boot｛cases｝D^｛\alpha｝（\phi _｛p｝（｛｝^{c} D类^{σ}u（t）））+f（t，u（t^{c} D类^{\sigma}u（0））=[\phi{p}（{}^{c} D类^{\sigma}u（0））]'=（{}^{c} D类^{\sigma}u（1））=0，\\u''（0）=u'（1）=0^{1} u个（t） \varphi（t）\，dt，\结束{cases}$$

哪里\（D^{\alpha}\）,\（｛｝^{c} D类^{\西格玛}\）表示Riemann–Liouville和Caputo分数阶导数α和σ分别为和\（φ=|s|^{p-2}\）,\（p>1）.功能φ满足\（\varphi:[0,1]\到\mathcal｛R｝^｛+｝\）具有\（L^{1}[0,1]\中的\varphi\）,\（\int_{0}^{1}\varphi（t）\，dt>0\）和\（\int_{0}^{1} t吨\varphi（t）\，dt>0\）,\（a，b\in\mathcal{R}^{+}\）具有\（\int_{0}^{1}\varphi（t）\，dt<a\），其中\（b>a\）、和\（f:[0,1]\次（0，\infty）\到（0，\ infty是连续的。利用Avery–Henderson不动点定理，对上述问题得到了新的结果。

在[8]阿尔卡扎赞等。研究了一类形式奇异的非线性分数阶微分方程的存在性和稳定性结果：

$$\textstyle\begin{cases}{}^{c} D类^{\西格玛}[\phi_{p} D类^{β}u（t）]+F{1}（t）\psi{1}（t，u（t））=0，\\（[\phi_{p} D类^｛\beta｝u（0）]）^｛（j）｝=0，\dquad j=0，\dots，m-1，\\I^｛k-\beta｝（u（0））=0，\dquad k=2，3，\dots，m，\\D^｛\delta｝（u（1））=0，\end｛cases｝$$

哪里\（D^{\beta}\）和\(^{c} D类^{\西格玛}\）分别表示Riemann–Liouville和Caputo分数阶导数β和σ,\（m-1<β）,\（\sigma\leq m\）,\（m\in\{2,3，\dots\}\）,\（1<delta\leq 2）.非线性第页-拉普拉斯算子\（φ{p}）在表单中具有表达式\（φ{p}（θ）=frac{theta}{|\theta|^{2-p}}）,\（φ{p}（0）=0\），带反转\（\ phi _｛q｝\）也就是说，\（φ{q}=φ^{-1}_{p} \）这样的话\（压裂{1}{p}+压裂{1{q}=1\）.非线性函数\（\psi_{1}\in\mathcal{C}[0,1]\）对于t吨,u个利用一些经典的不动点定理证明了主要结果。

本文的目的是使用[8]为了检验具有奇异形式的非线性耦合隐式切换奇异分数阶微分方程组解的存在性、唯一性以及不同类型的Hyers–Ulam稳定性：

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}{}^{c} D类^{\西格玛}[\phi_{p} D类^{\beta}u（t）]+\mathcal{F}（F）_{1} （t）\psi{1}（t，u（t），{}^{c} D类^{\rho}[\phi_{p} D类^｛\beta｝v（t）]）=0，quad t\in\mathrm｛J｝=｛]0,1[｝，\\｛｝^{c} D类^{\rho}[\phi_{p} D类^{\beta}v（t）]+\mathcal{F}（F）_{2} （t）\psi{2}（t，{}^{c} D类^{\西格玛}[\phi_{p} D类^{β}u（t）]，v（t））=0，四t在\mathrm{J}中，（[\phi_{p} D类^{\beta}u（0）]）^{（j）}=0，\quad j=0,1，\dots，m-1，\\（[\phi_{p} D类^{\beta}v（0）]）^{（j）}=0，\quad j=0,1，\dots，m-1，\\I^{k-\beta{（u（0））=I^{k-\betaneneneep（v（0$$

(1.1)

哪里\（D^{\beta}\）和\（｛｝^{c} D类^{\西格玛}\）分别表示Riemann–Liouville和Caputo分数阶导数β和σ,\（m-1<β）,\（\sigma\leq m\）,\（m\in\{2,3，\dots\}\）,\（1<delta\leq 2）、和\（\mathcal{F}（F）_{1} （\cdot）\）,\（\mathcal{F}（F）_{2} （\cdot）\）是上的线性有界运算符\（\mathcal{R}\）此外，非线性第页-拉普拉斯算子\（φ{p}）在表单中具有表达式\（φ{p}（θ）=frac{theta}{|\theta|^{2-p}}）,\（φ{p}（0）=0\），带反转运算符\（\ phi _｛q｝\）也就是说，\（φ{q}=φ^{-1}_{p} \）这样的话\（压裂{1}{p}+压裂{1{q}=1\）.非线性函数\（\psi_｛1｝，\psi_｛2｝\in\mathcal｛C｝[0，1]\）对于t吨,u个,v（v）。

目前的工作安排如下：在Sect。 2，我们将介绍一些基本的定义和断言，这些定义和断言将在接下来的部分中使用。在教派。 三我们陈述并证明了我们的主要存在性结果。我们在Section中讨论了所建议问题的Ulam稳定性。 4举例说明了与建议结果的一致性。

2基本定义和断言

在这里，我们陈述了一些基本事实、定义和引理，它们将贯穿本文。

让\（\mathrm{C}（\mathrm{J}，\mathcal{X}）\）是形式所有连续功能的空间\（u（t）：\mathrm{J}\rightarrow\mathcal{X}\）,\（在数学中{J}）很明显\（\mathrm{C}（\mathrm{J}，\mathcal{X}）\）是具有范数的Banach空间\（\|u\|=\max\{|u（t）|，t\in\mathrm｛J｝\｝\）此外，我们了解到\（\mathrm{C}（\mathrm{J}，\mathcal{X}）\times\mathrm{C}（\mathr m{J{，\mathcal{X}）\）是具有范数的Banach空间\（\|（u，v）\|=\|u\|+\|v\|\）。

定义2.1

([22])

让\（\alpha\in\mathcal{R}^{+}\）然后是函数在Riemann–Liouville意义下的非整数阶积分\（\theta:\mathbf{\mathsf{J}}\rightarrow\mathcal{R}\）表示为

$$开始{对齐}\mathcal{I}^{\alpha}\theta（t）=\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\theta\，ds，\end{aligned}$$

这样，右边的积分是在上逐点定义的\（\mathcal{R}^{+}\）。

定义2.2

([22])

让\（\alpha\在（n-1，n]\n）具有\（n-1=[\alpha]\）然后是Caputo意义下的非整数阶导数\（\theta:[a，b]\rightarrow\mathcal{R}\）声明为

$$开始{aligned}\frac{d^{\alpha}}{dt^{\alpha}}\theta（t）=\int_{a}^{t}\frac{（t-s）^{n-\alpha-1}}{\varGamma（n-\alfa）}\biggl（\frac}d\alpha}{ds^{n}}\ttheta（s）\biggr）\，ds.\end{aligned}$$

特别是，如果第页在间隔上定义\（[a，b]\）和\（在（0,1]\）中为α，然后

$$开始{aligned}\frac{d^{\alpha}}{dt^{\alpha}}\theta（t）=\frac{1}{\varGamma（1-\alpha）}\int_{a}^{t}\frac{\theta'（s）}{（t-s）^{\阿尔pha}}\，ds，\quad\text{where}\theta`（s）=\frac{d\theta（s）{ds}。\结束{对齐}$$

需要注意的是，右边的积分是逐点定义的\（\mathcal{R}^{+}\）。

定义2.3

([22])

Riemann–Liouville意义下的非整数阶导数σ对于函数\（\theta：（0，\infty）\rightarrow\mathcal{R}^{+}\）由定义

$$D^{\sigma}_{1^{+}}\θ$$

其中右边的积分是逐点连续的，并定义在区间上\（（0，\infty）\）和\（\lceil\sigma\rceil\）是的整数部分σ。

引理2.4

([8])

让 \（σ\ in（m-1，m]\）,\（数学{C}^{m-1}中的θ）,和 \（｛｝^{c} D类^{\西格玛}\） 是Caputo分数导数。然后

$$ {}^{c} 我^{\西格玛}{}^{c} D类^{西格玛}θ（t）=\theta（t）+b{1}+b_{2} t吨+b条_{3} t吨^{2} +\cdots+b_{m} t吨^{m-1}$$

哪里 \（b_｛i｝\in\mathcal｛R｝\）,\（i=1，2，\点m \）,\（m=[\sigma]+1）。

引理2.5

([8])

让 \（σ\ in（m-1，m]\）,\（数学{C}^{m-1}中的θ）,和 \（D^{\sigma}\） 是Riemann–Liouville分数导数。然后

$$I^{\sigma}D^{\sigma}θ（t）=\theta（t）+c_{1} t吨^{\西格玛-1}+c_{2} t吨^{\sigma-2}+\cdots+c_{m} t吨^{\西格玛-m}$$

哪里 \（c｛i｝\in\mathcal｛R｝\）,\（i=1，2，\点m \）,\（m=[\sigma]+1）。

引理2.6

([36]，Arzelä–Ascoli定理）

操作员 \（\mathcal{H}:\mathcal{乙}_{r} \cap（\bar{\varOmega}_{1}/\varOmega_{2}）\rightarrow\mathcal{乙}_{r} \） 称为紧当且仅当 \（\mathcal{H}\） 一致有界且不连续。

引理2.7

（Schauder不动点定理[39])

让 \（\mathcal{S}\neq\emptyset\） 是Banach空间的凸闭子集 \（\mathcal{X}\）。让 \（\phi:\mathcal{S}\rightarrow\mathcal{S}\） 是一个连续的操作员，这样 \（\phi（\mathcal{S}）\） 是相对紧凑的 \（\mathcal{X}\）。然后是操作员系统 ϕ 中至少有一个固定点 \（\数学｛S｝\）。

引理2.8

([27])

让 \（\phi_{p}:\mathcal{R}\rightarrow\mathcal{R}\） 是非线性的 第页-拉普拉斯算子,那就是,\（\phi_{p}（\zeta）=|\zeta|^{p-2}\zeta\）,\（\zeta\in\mathcal{R}\）。然后

$$\frac{d\phi_{p}}{d\zeta}=（p-1）\vert\zeta\vert^{p-2}$$

算子的一些基本性质\（φ{p}）具体如下：

\（（\mathcal）{答}_{1})\)以下为：

如果\（1<p \leq 2）,\（泽塔{1}）,\（\泽塔{2}>0\）,\（0<\varrho\leq|\zeta_{1}|\）,\（|\泽塔{2}|\），然后

$$\bigl\vert\phi{p}（\zeta{1}）-\phi{p{}（\ zeta{2}）\bigr\vert\leq（p-1）\varrho^{p-2}\vert\zeta_{1}-\泽塔{2}$$

\（（\mathcal）{答}_{2})\)以下为：

对于\（p>2）,\（|\zeta_{1}，\zeta_2}|\leq\varrho*\），然后

$$\bigl\vert\phi{p}（\zeta{1}）-\phi{p{}（\ zeta{2}）\bigr\vert\leq（p-1）\varrho^{p-2}\vert\zeta_{1}-\泽塔{2}$$

引理2.9

([31])

让 \（\mathcal{X}\） 成为巴拿赫空间 \（\mathcal{B}\子集\mathcal{X}\） 做一个不空虚的人,关闭,和凸集。如果地图 \（\mathcal{H}:\mathcali{B}\rightarrow\mathcal{B}\） 是紧凑的,然后 \（\mathcal{H}\） 有一个固定点。

定义2.10

（乌尔斯[40]，定义2）

让\（\mathcal{X}\）成为巴拿赫空间\（\varUpsilon_{1}，\varUpsilon_{2}:\mathcal{X}\times\mathcali{X}\rightarrow\mathcal{X}\）是两个操作员。然后是系统

$$\开始{aligned}\textstyle\开始{cases}y（t）=\varUpsilon_{1}（y，z）（t），\\z（t）=\varUpsilon_{2}（y，z）$$

(2.1)

如果存在常数，则称为Hyers–Ulam稳定\（\digamma{j}（j=1,2,3,4）>0）具有\（α{j}（j=1,2）>0），对于每个解决方案\（（y^{*}，z^{*{）\in\mathcal{X}\times\mathcal{X}\）不等式

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\Vert y^{*}-\varPhi（y^{}，z^{*{）\Vert\leq\alpha_{1}，\\Vert z^{**}-\varPsi（y^}，z ^{*neneneep）\Vert\leq\alpha_{2}，\end{casesneneneep \displaystyle\end{alinged}$$

(2.2)

有一个解决方案\（（\widetilde{y}，\widetelde{z}）\in\mathcal{X}\times\mathcal{X}\）系统的(2.1)，满足

$$\begin{aligned}\textstyle\begin}-cases}\Verty^{*}-\widetilde{y}\Vert\leq\digamma_{1}\alpha_{1{+\digama_{2}\alfa_{2{，\\Vertz^{*{-\wide tilde{z}\Vert_leq\diagamma_}3}\ alpha_}+\digamma_{4}\algama_}。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2.3)

定义2.11

让\（{J}），其中\（J=1,2，\点，k\），是矩阵的特征值（实数或复数）\（\digamma\in\varpi^{k\乘以k}\）.然后是术语光谱半径\（\alpha（\digamma）\）属于\（\digamma\in\varpi^{k\乘以k}\）定义为

$$\begin{aligned}\alpha（\digamma）=\max\bigl\{vert\nu_{J}\vert\text{表示}J=1,2，\dots，k\bigr\}。\结束{对齐}$$

众所周知，矩阵对应的系统\（\digamma\in\varpi^{k\乘以k}\）将收敛到零，如果\（\alpha（\digamma）\）小于1。

定理2.12

（乌尔斯[40]，定理4）

考虑一个Banach空间 \（\mathcal{X}\） 并定义两个运算符 \（\varUpsilon_{1}，\varUpsilon_{2}:\mathcal{X}\times\mathcali{X}\rightarrow\mathcal{X}\） 这样的话

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\Vert\varUpsilon_{1}（\mathbf{y}，\mathbf{z}{y}（y）-\mathbf{y}^{*}\Vert+\digamma_{2}\Vert\mathbf｛z｝-\mathbf｛z｝^｛*｝\Vert，\\\\Vert\varUpsilon _｛2｝（\mathbf｛y｝，\mathbf｛z｝）-\varUpsilon _｛2｝（\mathbf｛y｝^｛*｝，\mathbf｛z｝^｛*｝）\Vert\leq\digamma _｛3｝\Vert\mathbf{y}（y）-\mathbf{y}^{*}\Vert+\digamma_{4}\Vert\mathbf｛z｝-\mathbf{z}^{*}\垂直。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

如果矩阵的谱半径

$$\begin{aligned}\digamma=\begin{pmatrix}\digamma_{1}和\digama_{2}\\digamma_{3}和\ digamma_{4}\end{pmartrix}\ end{aligned}$$

小于一,然后是与操作系统相关的不动点(2.1)海尔斯-乌拉姆稳定吗。

三存在结果

本节专门研究解决方案的存在性。第一个结果借助格林函数将所提出的问题转化为等效积分形式。

定理3.1

让 \（磅/平方英寸{1}）,\（psi{2}） 是可积函数 \（u，v\in\mathrm{C}（\mathrm{J}，\mathcal{X}） 满足(1.1).然后,对于 \（3<西格玛）,\（\beta，\rho\leq m\）,\（m\geq 4）,切换耦合系统的求解

$$\textstyle\begin{cases}{}^{c} D类^{\西格玛}[\phi_{p} D类^{\beta}u（t）]+\mathcal{F}（F）_{1} （t）\psi{1}（t，u（t），{}^{c} D类^{\rho}[\phi_{p} D类^{β}v（t）]）=0，\quad t在\mathrm{J}中，\\{}^{c} D类^{\rho}[\phi_{p} D类^{\beta}v（t）]+\mathcal{F}（F）_{2} （t）\psi{2}（t，{}^{c} D类^{\西格玛}[\phi_{p} D类^{β}u（t）]，v（t））=0，四t在\mathrm{J}中，（[\phi_{p} D类^{\beta}u（0）]）^{（j）}=0，\quad j=0,1，\dots，m-1，\\（[\phi_{p} D类^{\beta}v（0）]）^{（j）}=0，\quad j=0,1，\dots，m-1，\\I^{k-\beta{（u（0）$$

(3.1)

等价于积分方程

$$\begin{aligned}u（t）=&\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（t，s）\phi_{q}\biggl（\nint_{0}^{s}（s-\tau）^{sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\end{对齐}$$

和

$$\begin{aligned}v（t）=&\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（t，s）\phi_{q}\biggl（\int_}0}^}s}（s-\tau）^{sigma-1}\mathcal{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^｛\beta｝u（\tau）\bigr），v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds，\end｛aligned｝$$

哪里 \（\mathcal{G}^{beta}（t，s）\） 是格林函数，由

$$\mathcal｛G｝^｛\beta｝（t，s）=\textstyle\beart｛cases｝\frac｛-（t-s）^｛\beta-1｝｝｛\varGamma（\beta）｝-\frac｛t^｛\beta-1｝（1-s）^｛\beta-\delta-1｝｝｛\varGamma（\beta）｝，&s\leq t\leq 1，t\in\mathrm｛J｝=（0,1），\\frac｛-t^｛\beta-1｝（1-s）^｛\beta-\delta-1｝｝伽马（β）｝，&t\leq s\leq 1。\结束{cases}$$

（3.2）

证明

让\（u，v\in\mathcal{C}（\mathrm{J}，\mathcal{X}）是…的解决方案(3.1)，然后

$$\textstyle\begin{cases}{}^{c} D类^{\西格玛}[\phi_{p} D类^{\beta}u（t）]+\mathcal{F}（F）_{1} （t）\psi{1}（t，u（t），{}^{c} D类^{\rho}[\phi_{p} D类^{β}v（t）]）=0，\quad t在\mathrm{J}中，\\{}^{c} D类^{\rho}[\phi_{p} D类^{\beta}v（t）]+\mathcal{F}（F）_{2} （t）\psi{2}（t，{}^{c} D类^{\西格玛}[\phi_{p} D类^{β}u（t）]，v（t））=0，四t在\mathrm{J}中，（[\phi_{p} D类^{\beta}u（0）]）^{（j）}=0，\quad j=0,1，\dots，m-1，\\（[\phi_{p} D类^{\beta}v（0）]）^{（j）}=0，\quad j=0,1，\dots，m-1，\\I^{k-\beta{（u（0））=I^{k-\betaneneneep（v（0。\结束{cases}$$

自

$$ {}^{c} D类^{\sigma}（\phi_{p}\bigl（D^{\beta}u（t）\bigr）+\mathcal{F}（F）_{1} （t）\psi{1}\bigl（t，u（t），{}^{c} D类^{\rho}\bigl[\phi_{p} D类^{\beta}v（t）\bigr]\bigr）=0$$

(3.3)

哪里\（m-1<\西格玛<m\）,\（m-1<\beta\leq m\）,\（在数学中{J}）.使用引理2.4，我们有

$$\begin{aligned}\phi_{p}\bigl（D^{beta}u（t）\bigr）=&-b_{0}-b_{1} t-b型_{2} t吨^{2}-\cdot-b_{m-1}吨^{m-1}\\&{}-\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\sigma-1}\mathcal{F}{1}（s）\psi_{1}\bigl（s，u（s），{}^{c} D类^{\rho}\bigl[\phi_{p} D类^{\beta}v（s）\bigr]\bigr）。\结束{对齐}$$

(3.4)

这个\（（φ{p}（D^{beta}u（t）））^{（0）}|{t=0}=0\）暗示着\（-b{0}=0\）或\（b_{0}=0\）因此(3.4)成为

$$\begin{aligned}\phi_{p}\bigl（D^{beta}u（t）\bigr）=&-b_{1} t-b型_{2} t吨^{2}-\cdot-b_{m-1}吨^{m-1}\\&{}-\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\sigma-1}\mathcal{F}{1}（s）\psi_{1}\bigl（s，u（s），{}^{c} D类^{\rho}\bigl[\phi_{p} D类^{\beta}v（s）\bigr]\bigr）。\结束{对齐}$$

(3.5)

差异化(3.5)关于t吨，我们有

$$\开始{aligned}\bigl（\phi_{p}\bigle（D^{beta}u（t）\bigr）\biger）'=&-b_{1} -2b个_{2} t吨-\cdots-（m-1）b_{m-1}吨^{m-2}\\&{}-\frac{1}{\varGamma（\sigma-1）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\sigma-2}\mathcal{F}（F）_{1} （s）\psi_{1}\bigl（s，u（s），{}^{c} D类^{\rho}\bigl[\phi_{p} D类^{\beta}v（s）\bigr]\bigr）。\结束{对齐}$$

使用条件\（（φ_｛p｝（D^｛\beta｝u（t）））'|_｛t=0｝=0\）暗示着\（b{1}=0\）类似地，通过应用条件\（（φ{p}（D^{beta}u（t）））^{（j）}|{t=0}=0\），我们得到\（b{j}=0\）,\（所有j=2,3，点m）因此(3.4)成为

$$\begin{aligned}D^{\beta}u（t）=&-\phi_{p}^{-1}（I^{\sigma}\bigl（\mathcal{F}（F）_{1} （t）\psi{1}\bigl（t，u（t），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（t）\bigr）\biger）\\=&\phi_{q}（I^{\sigma}\mathcal{F}（F）_{1} （t）\psi{1}\bigl（t，u（t），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（t）\bigr）\biger）。\结束{对齐}$$

应用\（我^｛\beta｝\）并使用引理2.5，我们有

$$\开始{aligned}u（t）=&-d_{1} t吨^{\β-1}-d_{2} t吨^{\beta-2}-\cdots-d_{m} t吨^{\beta-m}\\&{}-\frac{1}{\varGamma（\beta）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\beta-1}\phi_{q}（I^{\sigma}\mathcal{F}（F）_{1} （t）\psi{1}\bigl（t，u（t），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（t）\biger）\bigr）。\结束{对齐}$$

(3.6)

放\（I^{k-\beta}u（t）|_{t=0}=0\）对于\（k=2,3，点，米），我们获得\（d_｛2｝=d_｛3｝=\cdots=d_｛m｝=0\）、和使用\（D^{\delta}u（t）|_{t=1}=0\），我们得到

$$d_｛1｝=-\frac｛\varGamma（\beta-\delta）｝｛\varGamma（\beta）｝\phi _｛q｝（I^｛\sigma｝\mathcal{F}（F）_{1} （t）\psi{1}\bigl（t，u（t），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（t）\bigr）\biger）|_{t=1}$$

由此可见

$$开始{对齐}u（t）&=-\frac{1}{\varGamma（\beta）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\beta-1}\phi_{q}\biggl（int_{0}^{s}（s-\tau）^{\sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\biger）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\quad{}-\frac{t^{\beta-1}}{\varGamma（\beta）}\int_{0}^{1}（1-s）{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds.\end{aligned}$$

以类似的方式，我们可以得出这样的结论：

$$v（t）=\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（t，s）\phi_{q}\biggl{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），v（\teau）\biger）\，d\tau\biggr）\，ds$$

(3.7)

哪里\（\mathcal{G}^{beta}（t，s）\）是上面定义的格林函数。□

引理3.2

([8])

格林函数 \（\mathcal{G}^{beta}（t，s）\） 满足以下属性以下为：

\（（\mathcal）{P}（P）_{1})\)以下为：

\（\mathcal{G}^{beta}（t，s）>0\）,\（\对于所有0<s \）,\（t<1）;

\（（\mathcal）{P}（P）_{2})\)以下为：

\（\mathcal{G}^{beta}（t，s）\） 是一个非递减函数，并且 \（最大值{t\in（0,1）}\mathcal{G}^{beta}（t，s）=\mathcal{G}^{beta}（1，s）\）;

\（（\mathcal）{P}（P）_{3})\)以下为：

\（t^{\beta-1}\max_{t\in（0,1）}\mathcal{G}^{beta}（t，s）\leq\mathcal{G}^{beta}（t，s）\） 对于 \（0<s）,\（t<1）。

我们引入以下假设：

\（（\mathbf{高}_{1})\)以下为：

功能\（\psi_{1}，\psi_2}:\mathrm{J}\times\mathcal{X}\times \mathcal{X}\rightarrow\mathcali{X}\）是连续的，并且\（对于所有u，v，\overline｛u｝，\overline｛v｝\in\mathcal｛X｝\）和\（在数学中{J}），存在\（\mathcal{米}_{\psi_{1}}，\mathcal{米}_{\psi_{2}}，\mathcal{M'}{\psi{1}}这样的话

$$\bigl\Vert\psi_{1}（t，u，v）-\psi_}（t，\overline{u}，\overrine{v}）\bigr\Vert\leq\mathcal{米}_{\psi_{1}}\垂直u-\上划线{u}\垂直+\mathcal{M'}{\psi.{1}{\垂直v-\上划线}\垂直$$

和

$$\bigl\Vert\psi_{2}（t，u，v）-\psi_2}（t，\overline{u}，\overrine{v}）\bigr\Vert\leq\mathcal{米}_{\psi_{2}}\垂直u-\上划线{u}\垂直+\mathcal{M'}{\psi.{2}{\垂直v-\上划线}\垂直$$

\（（\mathbf{高}_{2})\)以下为：

功能\（\psi_{1}，\psi_2}:J\times\mathcal{X}\times\ mathcal}\rightarrow\mathcal{X}\）是完全连续的，\（对于所有u，v\in\mathcal{X}）和\（在数学中{J}），存在非递减的连续线性函数\（\mu_{\psi_{1}}，\mu_}\psi_2}}:\mathcal{R}^{+}\rightarrow\mathcal{R}\）这样的话

$$\bigl\Vert\psi_{1}（t，u，v）\bigr\Vert\leq\phi_{p}\bigl$$

和

$$\bigl\Vert\psi_{2}（t，u，v）\bigr\Vert\leq\phi_{p}\bigl$$

哪里

$$\begin{aligned}和\sup\bigl\{\mu_{\psi_{1}}（t），t\in\mathrm{J}\bigr\}=\mu_}\psi_1}}，\qquad\sup\bigl\{\ mu_{\ psi_2}}}（t），t\in\mathrm{J}\bigr\}=\mu'{\psi{1}}，\qquad\sup\bigl\{\mu'{\psi.{2}}。\结束{对齐}$$

\（（\mathbf{高}_{3})\)以下为：

功能\（\mathcal{F}（F）_{1} ，\mathcal{F}_{2}:（0,1）\rightarrow\mathcal{X}\）非零且连续

$$\垂直\ mathcal{F}（F）_{1} \Vert=\max_{t\in\mathrm{J}}\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \vert<\infty ^｛+｝，\qquad\vert\mathcal{F}（F）_{2} \Vert=\max_{t\in\mathrm{J}}\Vert\mathcal{F}（F）_{2} \vert<\infty^{+}$$

让\（\mathcal{乙}_{r} \子集\mathbf{B}=\mathrm{C}是形式非负函数的锥

$$\马塔尔{乙}_{r} =\Bigl\{（u，v）\in\mathbf{B}，\min_{t\in\mathrm{J}}\Bigl（u（t）+v（t）\bigr$$

和

$$\varOmega（r）=\biggl\{\bigl\Vert（u，v）\bigr\Vert<r，\Vert u\Vert<\frac{r}{2}，\Vertv\Vert<\frac}{2{\biggr\}，\ quad\partial\varOmega（r$$

考虑操作员\（\mathcal{H^{*}}=（\mathcal{H_{*}{{1}，\mathca{H^}}{{2}）：\mathcal{乙}_{r} /{（0,0）}\右箭头{\mathbf{B}}\），其中\（\mathcal{H^{*}}_{1}\）,\（\mathcal{H^{*}}_{2}\）定义如下：

$$\begin{aligned}\textstyle\begin}{cases}\mathcal{H^{*}}_{1}（u，v）（t）\\quad=\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（t，s）\phi_{q}（\frac{1}{\sigma}\int_}0}^}s}（s-\tau）{1}（τ，u（τ），{}^{c} D类^{\rho}（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau））），d\tau），ds，\\mathcal{H^{*}}_2}（u，v）（t）\\quad=\int_{0}^{1}\mathcal}G}^{beta}（t，s）\phi_{q}（\frac{1}{\rho}\int_0}^s}（s-\tau）^{\rho-1}\mathcal{F}（F）_{2} （τ）\psi_{2}（τ，{}^{c} D类^{\sigma}（\phi_{p} D类^{β}u（\tau）），v（\tau）），d\tau），ds.\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.8)

定理3.3

假设 \（（\mathbf{高}_{1})\) 到 \（（\mathbf{高}_{3})\) 持有。然后(1.1)至少有一个解决方案。

证明

对于任何\（（u，v）在上划线{（r{2}）}/\varOmega（r{1}），并使用引理3.2，我们有

$$开始{对齐}[b]&\mathcal{H^{*}}_1}（u，v）（t）\\&\quad=\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（t，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\sigma}\int_}0}^}s}（s-\tau）{1}\bigl（τ，u（τ），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^｛\beta｝v（\tau）\bigr）\，d\tau \biggr）\，ds\\&&quad\leq\int _｛0｝^｛1｝\mathcal｛G｝^｛\beta｝（1，s）\phi _｛q｝\biggl（\frac｛1｝｛\sigma｝\int _｛0｝^｛s｝（s-\tau）^｛\sigma-1｝\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\end{对齐}$$

(3.9)

和

$$开始{对齐}[b]&\mathcal{H^{*}}_1}（u，v）（t）\\&\quad=\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（t，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\sigma}\int_}0}^}s}（s-\tau）{1}\bigl（τ，u（τ），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\biger）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\quad\geqt^{\beta-1}\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\\&\qquad{}\times\phi_{q}\biggl{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds.\end{aligned}$$

(3.10)

借助不平等(3.7)和(3.8)，我们有

$$\mathcal｛H^｛*｝｝_｛1｝（u，v）（t）\geq t^｛\beta-1｝\bigl\Vert\mathcal｛H^｛*｝｝_｛1｝（u，v）（t）\bigr\Vert$$

（3.11）

同样，我们可以获得

$$\mathcal{H^{*}}_{2}（u，v）（t）\geqt^{\beta-1}\bigl\Vert\mathcal}H^{**}}_2}（u,v）（t）\bigr\Vert$$

(3.12)

组合(3.11)和(3.12)，我们得到

$$\mathcal{H^{*}}（u，v）（t）\geqt^{\beta-1}\bigl\Vert\mathcal}（u^{*{}}）（t，v）\bigr\Vert$$

因此\（\mathcal{H^{*}}:\上划线{\varOmega（r_{2}）}/\varOmega（r_1}）\rightarrow{\mathbf{B}}\）已关闭。

关于算子的一致有界性\（\mathcal{H^{*}}\），我们认为

$$开始{对齐}和\bigl\Vert\mathcal{H^{*}}（u，v）（u，v）（t）\vert+\sup_{t\in\mathrm{J}}\bigl\vert\mathcal{H^{*}}_2}（u，v）（t）\bigr\vert\\&\quad\leq\sup_}\tin\mathr m{J{}\biggl\vert\int_{0}^{1}\mathcal}G}^{beta}（t，s）\&\qquad\}}\times\phi_{q}\bigl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\biger）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\biggr\vert\\&\qquad{}+\sup_{t\in\mathrm{J}}\biggl\vert\int_{0}^{1}\mathcal{G}{\beta}（t，s）\\&\qquid{}\times\phi_{q}\bigl（\frac{1}{\varGamma（\rho）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\mathcal{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），v（\teau）\biger）\，d\tau\biggr）\，ds\biggr\vert\\&\quad\leq\int_{0}^{1}\bigl\vert\mathcal{G}^{beta}（1，s）\biger\vert\\&\qquad{}\times\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_0}^s}（s-\tau）^{\sigma-1}\bigl\vert\mathcal{F}（F）_{1} （\tau）\bigr\Vert\bigl\Vert\psi_｛1｝\bigl（\tau，u（\tau），｛｝^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\biger）\bigr\Vert\，d\tau\biggr）^{\rho-1}\bigl\Vert\mathcal{F}（F）_{2} （tau）\bigr\Vert\bigl\Vert\psi_{2}\bigl（\tau，{}）^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{β}u（\tau），v（\tao）\biger）\bigr\Vert\，d\tau\biger \\&\qquad{}\times\Vert\mathcal{F}（F）_{1} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{2} \垂直\垂直v\垂直}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\mu'{\psi{1}}\mu{\psi.{2}}\biggr）\\&\qquad{}+\biggl（\frac{1}{\varGamma（\beta+1）}-\frac}{\varGamma四边形{}\times\Vert\mathcal{F}（F）_{2} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{1} \垂直\垂直u\垂直+\mu_{\psi_{2}}\垂直v\Vert}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\mu’_｛\psi _｛1｝｝\mu _｛\psi _｛2｝｝｝\biggr）\\&&quad=\biggl（\frac｛1｝｛\varGamma（\beta+1）｝-\frac｛1｝｛\varGamma（\beta-\delta）\varGamma（\beta）｝\biggr）\biggl[\biggl（\frac｛1｝｛\varGamma（\sigma+1）｝\biggr）^｛q-1｝\\&&\qquad｛｝\times\Vert\mathcal{F}（F）_{1} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{2} \垂直\垂直v\垂直}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\mu'{\psi{1}}\mu_{\psi.{2}}\biggr）\\&\qquad{}+\biggl（\frac{1}{\varGamma（\rho+1）}\bigbr）^{q-1}\Vert\mathcal{F}（F）_{2} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{1} \垂直\垂直u\垂直+\mu'_{\psi_{2}}\垂直v\垂直}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \垂直\mu’{\psi{1}}\mu{\psi{2}}\biggr）\biggr]\\&\quad<\infty。\结束{对齐}$$

因此\（\mathcal{H^{*}}\）是一致有界运算符。

现在，我们显示操作符\（\mathcal{H^{*}}\）是连续和紧凑的。因此，我们构造了一个序列\（xi{n}=（u{n}，v{n}）这样的话\（（u{n}，v{n}）\右箭头（u，v）\）作为\（n\rightarrow\infty\）因此，我们有

$$开始{aligned}和\bigl\Vert\bigl（\mathcal{H^{*}}（u_{n}，v_{n{）-\mathcal{H^}（u，v）\bigr bigl（\mathcal{H^{*}}_{1}，\mathcal{H^}}_2}\bigr）（u，v））\bigr\|\\&\quad\leq\bigl\Vert\bigl（u，v）\biger）\bigr\Vert+\bigl\Vert\bigl t，s）\\&\qquad{}\times\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （\tau）\psi_｛1｝\bigl（\tau，u_｛n｝（\tau），｛｝^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v_{n}（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}-\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（t，s）\phi_{q}\biggl{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\biger）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\biggr\vert\\&\qquad{}+\sup_{t\in\mathrm{J}}\biggl\vert\int_{0}^{1}\mathcal{G}{\beta}（t，s）\\&\qquid{}\times\phi_{q}\bigl（\frac{1}{\varGamma（\rho）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\mathcal{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{β}u_{n}（\tau）\bigr），v_{n}（\t au）\ bigr \mathcal公司{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），v（\tau）\biger）\，d\tau\biggr）\，ds\biggr\vert\\&\quad\leq\int_{0}^{1}\bigl\vert\mathcal{G}^{beta}（t，s）\biger\vert\\\&\qquad{}\times\biggl\vert\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\nint_{0}^{s}（s-\tau）^{\sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （\tau）\psi_｛1｝\bigl（\tau，u_｛n｝（\tau），｛｝^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v{n}（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}-\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_{0}^{s}（s-\tau{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\biger）\bigr）\，d\tau\biggr}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\mathcal{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{β}u_{n}（\tau）\bigr），v_{n{（\teau）\biger）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}-\phi_{q}\biggl（\frac{1}{varGamma（\rho）}\int_{0}^{s}（s-\tau{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），v（\tau）\biger）\，d\tau\biggr）\，ds\biggr\Vert\biggr\}\\&\quad\leq（q-1）\varrho^{2}\int_{0}^{1}\bigl\Vert\mathcal{G}（t，s）\biger\Vert\&\qquad{}\times\biggl\frac{1}\varGamma（\sigma）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\sigma-1}\bigl\Vert\mathcal{F}（F）_{1} （\tau）\bigr\Vert\bigl\Vert\psi_{1}\bigr（\tau，u_{n}（\tao），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v{n}（\tau）\biger）^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\biger）\bigr\Vert\，d\tau\bigr）\，ds\\&\qquad{}+\frac{1}{\varGamma（\rho）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\bigl\Vert\mathcal{F}（F）_{2} （tau）\bigr\Vert\bigl\Vert\psi_{2}\bigl（\tau，{}）^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u_{n}（\tau）\bigr），v_{n{（\teau）\biger）\\&\qquad{}-\psi_{2}\bigl（\tao，^{{c}}D^{\sigma}\bigle（\phi_{p} D类^｛\beta｝u（\tau），v（\tau）\bigr）\bigr\Vert\，d\tau\bigr）\，ds\biggr\｝\&&quad\leq（q-1）\varrho^｛2｝\int _｛0｝^｛1｝\bigl\Vert\mathcal｛G｝^｛\beta｝（t，s）\bigr\Vert\biggl\｛\frac｛\mathcal{米}_{\psi_{1}}\垂直\mathcal{F}（F）_{1} \垂直\垂直u_{n} -u个\Vert+\mathcal{M}'_{\psi_{1}}\mathcal{M}'{\psi.{2}}\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \垂直\垂直v_{n} -v型\垂直}{\varGamma（\sigma+1）}\\&\qquad{}+\frac{\mathcal{米}_{\psi_{1}}\mathcal{米}_｛\psi_｛2｝｝\Vert\mathcal｛F｝_｛1｝\Vert\mathcal{F}（F）_{2} \ | \垂直u_{n} -u个\Vert+\mathcal{M}'_{\psi_{2}}\|\mathcal{F}（F）_{2} \ | \垂直v_{n} -v型\Vert}{\varGamma（\rho+1）}\biggr\}\\&\quad\rightarrow 0，\quad_text{作为$n\rightarror\infty$.}\end{aligned}$$

因此，\（\|\mathcal{H^{*}}（u_{n}，v_{n{）-\mathcal{H^}}，（u，v）\|\rightarrow 0\）作为\（n\rightarrow\infty\）.因此\（\mathcal{H^{*}}\）是连续的。

对于等连续性，取\（\upsilon_{1}，\upsillon_{2}\in\mathrm{J}\）具有\（\upsilon _｛1｝<\upsilon _｛2｝\），对于任何\（（u，v）\ in \ varOmega（r）\），我们有

$$开始{对齐}和\bigl\Vert\bigl（\mathcal{H^{*}}（u，v）（\upsilon_{1}{H^{*}}_{1}（u，v）（\upsilon_{2}）\biger-\mathcal{H^{*}}_2}（u，v）（\upsilon_{2}）\biger）\bigr\Vert\\&\quad=\sup_{t\in\mathrm{J}}\biggl\Vert\int_{0}^{1}\mathcal{G}{beta}（\upssilon_{1}，s）\phi_{q}\bigl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}-\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{\beta}（\upsilon_{2}，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^｛\beta｝v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\biggr\vert\\&\qquad｛｝+\sup_｛t\in\mathrm｛J｝｝\biggl\vert\int _｛0｝^｛1｝\mathcal｛G｝^｛\beta｝（\tau_｛1｝，s）\\&\qquad｛｝\times\phi｛q｝\biggl（\frac｛1｝｛\varGamma（\rho）｝\int _｛0｝^｛s｝（s-\tau）^｛\rho-1｝\数学{F}（F）_{2} （τ）\psi{1}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau），v（\tao）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}-\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（\upsilon_{2}，s）\phi_{q}\biggl马查尔{F}（F）_{2} （τ）\psi{1}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{β}u（\tau），v（\teau）\bigr）\biger）\，d\tau\biggr gl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\sigma-1}\vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\bigl\Vert\psi_{1}\bigl（\tau，u（\tao），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\biger）\bigr\Vert\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}+\int_{0}^{1}\bigl\Vert\mathcal{G}^{beta}c{1}{\varGamma（\rho）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\Vert\mathcal{F}（F）_{2} \Vert\bigl\Vert\psi_{1}\bigl（\tau，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{β}u（\tau），v（\tao）\biger）\biger\Vert\，d\tau\biggr）\，ds\\&\quad\leq\biggl（\frac{\Vert\upsilon_{1}^{\beta}-\upsilon_{2}^{\ beta}\Vert}{\varGamma（\beta+1）}+\frac}\Vert\opsilon_ \beta-1}\Vert}{\varGamma（\beta-\delta）\varGamma（\beta+1）}\biggr）\biggl[\frac{1}｛\varGamma（\sigma+1）｝\biggr]^｛q-1｝\&&\qquad｛｝\times\Vert\mathcal{F}（F）_{1} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{2} \垂直\垂直v\垂直}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} 垂直\mu'{\psi{1}}\mu{\psi.{2}}\biggr）{\varGamma（\beta-\delta）\varGarma（\beta+1）}\biggr）\biggl[\frac{1}{\var伽玛（\rho+1）}\ biggr]^{q-1}\\&\qquad{}\times\Vert\mathcal{F}（F）_{2} 垂直^{q-1}\biggl{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\mu'{\psi_{1}}\mu_{\psi.{2}}\biggr）。\结束{对齐}$$

这意味着\（\|\mathcal{H^{*}}（u，v）（\upsilon_{1}）-\mathcal{H^}}作为\（\upsilon_{1}\rightarrow\upsillon_{2}\）.因此\（\mathcal{H^{*}}\）相对紧凑。根据Arzelä–Ascolli定理，\（\mathcal{H^{*}}\）是紧凑的，因此是完全连续的算子。

现在让我们定义一个集合

$$\mathrm{W}=\bigl\{（u，v$$

我们将证明W是有界的。相反，假设W是无界的。让\（（u，v）\in\mathrm｛W｝\）这样的话\（\|（u，v）\|=\mathcal{K}\rightarrow\infty\）.但是

$$\begin{aligned}\bigl\Vert（u，v）\bigr\Vert=&\bigl\ Vert\lambda\mathcal{H}（u，v）\biger\Vert\\\leq&\bigle\Vert\mathcal}（u，v）\ bigr\Vert\\\leq&\biggl（\frac{1}{\varGamma（\beta+1）}-\frac}{1}{\varGamma（beta-\delta）\varGamma（\beta）}\big gr）\\&{}\times\biggl[\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma+1）}\biggr）^{q-1}\Vert\mathcal{F}（F）_{1} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{2} \垂直\垂直v\垂直}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\mu'{\psi{1}}\mu_{\psi.{2}}\biggr）\\&{}+\biggl（\frac{1}{\varGamma（\rho+1）}\bigbr）^{q-1}\Vert\mathcal{F}（F）_{2} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{1} \垂直\垂直u\垂直+\mu'_{\psi_{2}}\垂直v\垂直}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\mu'_{\psi_{1}}\mu_{\psi _{2}}}\biggr）\biggr]。\结束{对齐}$$

这意味着

$$开始{aligned}\bigl\Vert（u，v）\bigr\Vert\leq&\biggl（\frac{1}{\varGamma（\beta+1）}-\frac}{\varGamma{F}（F）_{1} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{2} \垂直\垂直v\垂直}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\mu'{\psi{1}}\mu_{\psi.{2}}\biggr）\\&{}+\biggl（\frac{1}{\varGamma（\rho+1）}\bigbr）^{q-1}\Vert\mathcal{F}（F）_{2} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{1} \垂直\垂直u\垂直+\mu'_{\psi_{2}}\垂直v\垂直}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\mu’_｛\psi_｛1｝｝\mu _｛\psi_｛2｝｝｝\biggr）\biggr]，\end｛aligned｝$$

同等地

$$开始{对齐}1\leq&\frac{1}{\Vert（u，v）\Vert}\biggl（\frac{1'{\varGamma（\beta+1）}-\frac{1}}{\varGamma（\ beta-\delta）\varGamma（\beta盐酸{F}（F）_{1} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{2} \垂直\垂直v\垂直}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\mu'{\psi{1}}\mu_{\psi.{2}}\biggr）\\&{}+\biggl（\frac{1}{\varGamma（\rho+1）}\bigbr）^{q-1}\Vert\mathcal{F}（F）_{2} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{1} \垂直\垂直u\垂直+\mu'_{\psi_{2}}\垂直v\垂直}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\mu'{\psi{1}}\mu_{\psi.{2}}\biggr）\biggr]\\=&\frac{1}{\mathcal{K}}\biggl{\varGamma（\sigma+1）}\biggr）^{q-1}\Vert\mathcal{F}（F）_{1} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{2} \垂直\垂直v\垂直}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\mu'{\psi{1}}\mu_{\psi.{2}}\biggr）\\&{}+\biggl（\frac{1}{\varGamma（\rho+1）}\bigbr）^{q-1}\Vert\mathcal{F}（F）_{2} 垂直^{q-1}\biggl（压裂{F}（F）_{1} \垂直\垂直u\垂直+\mu'_{\psi_{2}}\垂直v\垂直}{1-\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\mu'_{\psi_{1}}\mu_{\psi _{2}}\biggr）\biggr]\\rightarrow&0\quad\text{as}\mathcal{K}\rightarror\infty。\结束{对齐}$$

这是一个矛盾。最终W是有界的，因此由引理2.7操作员\（\mathcal{H}\）中至少有一个固定点\（\varOmega（r_{2}）/\varOmega（r_1}）\），这是耦合系统的解决方案(1.1).

因此，通过引理2.9, (1.1)至少有一种解决方案。□

控制非线性函数的增长界\（磅/平方英寸{1}）,\（psi{2}）然后继续下一个结果，我们需要以下高度函数。让

$$\begin｛aligned｝\textstyle\begin｛cases｝\Im _｛\max _｛t\in\mathrm｛J｝，x>0｝｝｝（t，x）=\ max\｛\｛\psi _｛1｝，\ psi _｛2｝\｝：t^｛\beta-1｝x\ leq（u，v）\ leq x\｝，\\\Im _｛\mamin _｛t\in\mathrm｛J｝，x>0｝｝｝（t，x）=\ min\｛\｛\psi _｛1｝，\ psi _｛2｝\｝：t^｛\beta-1｝x\leq（u，v）\leq x\｝。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.13)

定理3.4

假设 \（（\mathbf{高}_{1})\) 到 \（（\mathbf{高}_{3})\) 持有,并且存在 \（r^{*}，\hbar\in \mathcal{r}^{+}\） 满足以下条件之一以下为：

\（（\我{1}）\）以下为：

$$\hbar\leq\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{varGamma（\sigma）}\int_}0}^}s}（s-\tau）^{sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\Im_{\min}\bigl（τ，\hbar，{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds<\infty^{+}$$

和

$$\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\phi_{q}\biggl{F}（F）_{1} （\tau）\Im _｛\max｝\bigl（\tau，r^｛*｝，｛｝^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\leqr^{*}$$

\（（Im _｛2｝）\）以下为：

$$\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\phi_{q}\biggl{F}（F）_{1} （τ）\Im_{max}\bigl（τ，hbar，{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds<\hbar$$

和

$$r^｛*｝\leq\int _｛0｝^｛1｝\mathcal｛G｝^｛\beta｝（1，s）\phi _｛q｝\biggl（\frac｛1｝｛\varGamma（\sigma）｝\int _｛0｝^｛s｝（s-\tau）^｛\sigma-1｝\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\Im_{\min}\bigl（τ，r^{*}，{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds<\infty^{+}$$

\（（\我{3}）\）以下为：

$$\hbar\leq\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{varGamma（\sigma）}\int_}0}^}s}（s-\tau）^{sigma-1}\mathcal{F}（F）_{2} （τ）\Im_{min}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^｛\beta｝u（\tau），\hbar\bigr）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds<\infty^｛+｝$$

和

$$\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\phi_{q}\biggl{F}（F）_{2} （τ）\Im_{max}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），r^{*}\biger）\，d\tau\biggr）\，ds\leqr^{*}$$

\（（\Im_{4}）\）以下为：

$$\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\phi_{q}\biggl{F}（F）_{2} （τ）\Im_{max}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），\hbar\biger）\，d\tau\biggr）\，ds<\hbar$$

和

$$r^｛*｝\leq\int _｛0｝^｛1｝\mathcal｛G｝^｛\beta｝（1，s）\phi _｛q｝\biggl（\frac｛1｝｛\varGamma（\sigma）｝\int _｛0｝^｛s｝（s-\tau）^｛\sigma-1｝\mathcal{F}（F）_{2} （τ）\Im_{min}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），r^{*}\biger）\，d\tau\biggr）\，ds<\infty^{+}$$

然后是问题(1.1)具有非负解 \（（u^{*}，v^{*{）在\mathcal中{乙}_{r} \times\mathcal时间{乙}_{r} \）,以便 \（\hbar\leq\|（u^{}，v^{*}）\|\leqr^{*{}）。

证明

在不失一般性的情况下，我们只采取\（（\我{1}）\）和\（（Im _｛2｝）\）.如果\（（u，v）\ in \ partial \ varOmega（\hbar）\），然后\（\|（u，v）\|=\hbar\）和\（t^{\beta-1}\hbar\leq（u，v）\leq\hbar\）,\（在数学中{J}）.签署人(3.13)我们有

$$\begin｛aligned｝&&bigl\Vert\mathcal｛H｝^｛*｝（u，v）（t）\bigr\Vert\\&&quad=\bigl\Vert\bigl（\mathcal｛H｝^｛*｝_｛1｝，\mathcal｛H｝^｛*｝_｛2｝\bigr）（u，v）（t）\bigr\Vert\\&&quad=\sup_｛t\in\mathrm｛J｝｝\int _｛0｝^｛1｝\mathcal｛G｝^｛\beta｝（t，s）\phil｛q｝\biggl（\frac｛1｝｛\varGamma（\sigma）｝\int_｛0｝^｛s｝（s-\tau）^｛\sigma-1｝\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}+\sup_{t\in\mathrm{J}}\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（t，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\rho）}\int_0}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\mathcal公司{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），v（\tao）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\quad\geq t^{\beta-1}\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\phi_{q}\biggl盐酸{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\biger）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}+t^{\beta-1}\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\\&\q quad{{}\ times\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\rho）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\马塔尔{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），v（\tau）\biger）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\quad\geq\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_0}^s}（s-\tau{F}（F）_{1} （τ）\Im_{min_{t\in\mathrm{J}}}\bigl（τ，hbar，{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\bigr]\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}+\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{\beta}（1，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\rho）}\int_}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\bigl[\mathcal{F}（F）_{2} （τ）\Im_{min_{t\in\mathrm{J}}}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），\hbar\biger）\biger]\，d\tau\biggr）\，ds\\&\quad\geq\frac{\hbar}{2}+\frac}\hbar{2}=\hbar=\bigl\Vert（u，v）\bighr\Vert。\结束{对齐}$$

因此

$$\bigl\Vert\mathcal{H}^{*}（u，v）（t）\bigr\Vert\geq\hbar=\bigl\ Vert（u，v）\biger\Vert$$

什么时候？\（（u，v）\ in \ partial \ varOmega（r^{*}）\），然后\（\ |（u，v）\ |=r^{*}\），和依据(3.13),\（t^{\beta-1}r^{*}\leq（u，v）\leqr^{**}\），我们有\（\Im_{max_{t\in\mathrm{J}}}\geq\{psi{1}，\psi{2}），因此

$$开始{对齐}和\bigl\Vert\mathcal{H}^{*}（u，v）数学{G}^{beta}（t，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^｛\beta｝v（\tau）\bigr）\，d\tau \biggr）\，ds\\&&\qquad｛｝+\max_｛t\in\mathrm｛J｝｝\int _｛0｝^｛1｝\mathcal｛G｝^｛\beta｝（t，s）\\&&\qquad｛｝\times\phi｛q｝\biggl（\frac｛1｝｛\varGamma（\rho）｝\int _｛0｝^｛s｝（s-\tau）^｛\rho-1｝\mathcal{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），v（\tao）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\quad\leq t^{\beta-1}\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\phi_{q}\biggl盐酸{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\biger）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}+t^{\beta-1}\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\\&\q quad{{}\ times\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\rho）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\马塔尔{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），v（\tau）\biger）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\quad\leq\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（1，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_0}^s}（s-\tau{F}（F）_{1} （τ）\Im_{max_{t\in\mathrm{J}}}\bigl（τ，r^{*}，{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\biger）\bigr]\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}+\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{\beta}（1，s）\\&\quad{{}\times\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\rho）}\int_}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\bigl[\mathcal公司{F}（F）_{2} （τ）\Im_{max_{t\in\mathrm{J}}}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（\tau）\bigr），r^{*}\biger）\biger]\，d\tau\biggr。\结束{对齐}$$

因此

$$\bigl\Vert\mathcal{H}^{*}（u，v）（t）\bigr\Vert\geq\hbar=\bigl\ Vert（u，v）\biger\Vert$$

结合这些不平等，我们说\（{\mathcal{H}^{*}}\）间隔中有一个固定点\（[\hbar，r^{*}]\），说吧\（（u^{*}，v^{*{）在\上划线{\varOmega（r^{*neneneep）}/\varOmega（\hbar）\中，因此\（\hbar\leq\|（u^{}，v^{*}）\|\leqr^{*{}）。接下来我们将展示\（（u^{*}，v^{*{）\）是的非负解\（在数学中{J}）作为

$$\开始{aligned}u^{*}（t）=&\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（t，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_}0}^s}（s-\tau）^{\sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （\tau）\psi_｛1｝\bigl（\tau，u^｛*｝（\tau），｛｝^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v^{*}（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\geq&t^{\beta-1}\max_{t\in\mathrm{J}}\int_{0}^{1}\mathcal{G}（1，s）\\&{}\ times\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_{0}s}（s-\tau）^{\sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （tau）\psi{1}\bigl（\tau，u^{*}（\tao），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v^{*}（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\end{aligned}$$

暗示

$$u^{*}（t）\geq t^{\beta-1}\bigl\Vert u^{*.}\bigr\Vert\geq\frac{\hbar}{2}t^{\beta-1-}>0$$

类似地，我们得到

$$v^｛*｝（t）\geq t^｛\beta-1｝\bigl\Vert v^｛*｝\bigr\Vert\geq\frac｛\hbar｝｛2｝t^｛\beta-1｝>0$$

借助引理3.2和\（（\mathcal）{P}（P）_{3})\)，解决方案\（（u^{*}，v^{*{）\）不会减少\（在数学中{J}）. □

定理3.5

让假设 \（（\mathbf{高}_{1})\) 到 \（（\mathbf{高}_{3})\) 对…说实话 \（\Delta=\max\{\Delta_{1}，\Delta_2}\}<1\）,哪里

$$\开始{aligned}&\Delta_{1}=\frac{（q-1）\varrho^{q-1}（2\beta-\Delta）\mathcal{米}_{\psi_{1}}\垂直\mathcal{F}（F）_{1} \Vert}{（\beta-\delta）\varGamma（\beta+1）}\biggl[\frac{1}{\varGarma（\sigma+1）}+\frac}\mathcal{米}_{\psi_{2}}\垂直\mathcal{F}（F）_{2} \Vert}{\varGamma（\rho+1）}\biggr]，\\&\Delta{2}=\frac{（q-1）\varrho^{q-1}（2\beta-\Delta）\mathcal{M'}{\psi{2}}\Vert\mathcal{F}（F）_{2} \Vert}{（\beta-\delta）\varGamma（\beta+1）}\biggl[\frac{\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\mathcal{M'}_{\psi{1}}}{\varGamma（\sigma+1）}+\frac{1}{\valGamma[\rho+1）}\biggr]。\结束{对齐}$$

然后(1.1)有独特的解决方案。

证明

定义运算符\（\varPhi=（\varPhi_{1}，\varPhi_{2}）：\overline{\varOmega（r）}/\varOmega（r）\rightarrow{\mathbf{B}}\）通过

$$\varPhi（u，v）（t）=\bigl（\varPhi _｛1｝（u，v），\varPhi _｛2｝（u，v）\bigr）（t），\quad t\in\mathrm｛J｝$$

哪里

$$开始{对齐}[b]&\varPhi_{1}（u，v）（t）\\&\quad=\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{\beta}（t，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_}^{s}（s-\tau）^{\sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\end{对齐}$$

和

$$开始{对齐}[b]&\varPhi_{2}（u，v）（t）\\&\quad=\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{\beta}（t，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_}^{s}（s-\tau）^{\sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds.\end{aligned}$$

现在，对于任何人\（（u，v），（\bar{u}，\bar{v}，我们有

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\varPhi（u，v）-\varPhi（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\biger）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}-\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （tau）\psi{1}\bigl（\tau，\bar{u}（\tao），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}\bar{v}（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr gl（\frac{1}{\varGamma（\rho）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\mathcal{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{β}u（\tau）\bigr），v（\teau）\biger）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}-\phi_{q}\biggl（\frac{1}{\varGamma（\rho）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\mathcal{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}\bar{u}（\tau）\bigr），\bar{v}（\tau）\biger）\，d\tau\biggr）\，ds\biggl|\biggr\}\\&\quad\leq\frac{（q-1）\varrho^{q-1}（2\beta-\delta）}{（\beta-\ delta）\varGamma（\beta+1）}\biggl[\frac}\mathcal{米}_{\psi_{1}}\垂直\mathcal{F}（F）_{1} \垂直\垂直u-\bar{u}\垂直+\mathcal{M}'{\psi_{1}}\mathcal{M}'{\psi.{2}}\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\Vert v-\bar{v}\Vert}{\varGamma（\sigma+1）}\\&\qquad{}+\frac{\mathcal{米}_{\psi_{1}}\mathcal{米}_｛\psi_｛2｝｝\Vert\mathcal｛F｝_｛1｝\Vert\mathcal{F}（F）_{2} 垂直u-\bar{u}\Vert+\mathcal{M}'{\psi_{2}}\|\mathcal{F}（F）_{2} 垂直v-\bar{v}\Vert}{\varGamma（\rho+1）}\biggr]\\&\quad\leq\frac{（q-1）\varrho^{q-1}（2\beta-\delta）\mathcal{米}_{\psi_{1}}\垂直\mathcal{F}（F）_{1} \Vert}{（\beta-\delta）\varGamma（\beta+1）}\biggl[\frac{1}{\varGarma（\sigma+1）}+\frac}\mathcal{米}_{\psi_{2}}\|\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert}{\varGamma（\rho+1）}\biggr]\Vert u-\bar{u}\Vert\\&\qquad{}+\frac{（q-1）\varrho^{q-1}（2\beta-\delta）\mathcal{M'}_{\psi_{2}}\Vert\mathcal{F}（F）_{2} \Vert}{（\beta-\delta）\varGamma（\beta+1）}\biggl[\frac{\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\mathcal{M'}_{\psi_{1}}}{\varGamma（\sigma+1）}+\frac{1}{\valGamma）-（v，\bar{v}）\bigr\Vert。\结束{对齐}$$

因此

$$\bigl\Vert\varPhi（u，v）-\varPhi$$

因此，假设\（增量<1）意味着操作员Φ是一种收缩。因此，根据定理2.9, (1.1)具有唯一的固定点。□

4稳定性分析

在本节中，我们分析了提议问题的Hyers–Ulam稳定性。

定理4.1

假设 \（（\mathbf{高}_{1})\)–\（（\mathbf{高}_{3})\) 具有 \（增量<1） 持有,以及光谱半径 \（\mathcal{Q}\） 小于一。然后是(1.1)海尔斯-乌拉姆稳定吗。

证明

让\（（u，v）\）准确无误\（（\bar{u}，\bar{v}）是所考虑问题的近似解(1.1)，那么根据定理3.5我们有

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\varPhi（u，v）（t）-\varPhi{2}（\bar{u}，\bar{v}）（t）\biger）\bigr\Vert\\&\quad\leq\bigl\Vert\varPhi_{1}（u，v）（t\bigr\Vert+\bigl\Vert\varPhi _｛2｝（u，v）（t）-\varPhi _｛2｝（\bar｛u｝，\bar｛v｝）\bigr\Vert\\&&quad=\sup_｛t\in\mathrm｛J｝｝｝\bigl\Vert\varPhi _｛1｝（u，v）（t）-\varPhi _｛1｝（\bar｛u｝，\bar｛v｝）（t）\bigr\Vert+\sup_｛t\in\mathrm｛J｝｝｝\bigl\Vert varPhi _｛2｝（u，v）（t）-\varPhi _｛2｝（\bar｛u｝，\bar｛v｝）（t）\bigr\Vert\\\quad=\sup_｛t\in\mathrm｛J｝}\biggl\vert\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（t，s）\phi_{q}\biggl（\frac{1}{varGamma（\sigma）}\int_{0}^{s}（s-\tau）^{sigma-1}\mathcal{F}（F）_{1} （τ）\psi{1}\bigl（τ，u（\tau），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}-\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{\beta}（t，s）\phi_{q}\biggl{F}（F）_{1} （tau）\psi{1}\bigl（\tau，\bar{u}（\tao），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}\bar{v}（\tau）\bigr）\，d\tau\biggr int_{0}^{s}（s-\tau）^{\rho-1}\mathcal{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{β}u（\tau）\bigr），v（\teau）\biger）\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}-\int_{0}^{1}\mathcal{G}^{beta}（t，s）\phi_{q}\biggl{F}（F）_{2} （τ）\psi{2}\bigl（τ，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}\bar{u}（\tau）\biger），\bar{v}（\t au）\ biger）\，d\tau\biggr）\，ds\bigg|\\&\quad\leq（q-1）\varrho^{q-2}\int_{0}^{1}\bigl\vert\mathcal{G}^{\beta}（t，s）\bigr\vert\biggl\{\biggl（\frac{1}{\varGamma（\sigma）}\int _{0}^{s}（s-\tau）^{\sigma-1}\vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\bigl\Vert\psi_{1}\bigl（\tau，u（\tao），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（\tau）\bigr）\&\qquad{}-\psi_{1}\bigl（\tau，\bar{u}（\tao），{}^{c} D类^{\rho}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}\bar{v}（\tau）\bigr）\biger\Vert\，d\tau\biggr）\，ds\\&\qquad{}+\frac{1}{\varGamma（\rho）}\int_{0}^{s}（s-\tau{F}（F）_{2} \Vert\bigl\Vert\psi_{2}\bigl（\tau，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{β}u（τ），v（τ^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}\bar{u}（\tau），\bar{v}（\t au）\bigr）\bigr\Vert\，d\tau\，ds\biggr\}\\&\quad\leq\frac{（q-1）\varrho^{q-1}（2\beta-\delta）}{（\beta-\ delta）\varGamma（\beta+1）}\biggl[\frac}\mathcal{米}_{\psi_{1}}\垂直\mathcal{F}（F）_{1} \垂直\垂直u-\bar{u}\垂直+\mathcal{M}'{\psi_{1}}\mathcal{M}'{\psi.{2}}\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert\Vert v-\bar{v}\Vert}{\varGamma（\sigma+1）}\\&\qquad{}+\frac{\mathcal{米}_{\psi_{1}}\mathcal{米}_｛\psi_｛2｝｝\Vert\mathcal｛F｝_｛1｝\Vert\mathcal{F}（F）_{2} 垂直u-\bar{u}\Vert+\mathcal{M}'{\psi_{2}}\|\mathcal{F}（F）_{2} 垂直v-\bar{v}\Vert}{\varGamma（\rho+1）}\biggr]\\&\quad\leq\frac{（q-1）\varrho^{q-1}（2\beta-\delta）\mathcal{米}_{\psi_{1}}\垂直\mathcal{F}（F）_{1} \Vert}{（\beta-\delta）\varGamma（\beta+1）\varGamma（\sigma+1）}\Vert u-\bar{u}\Vert\\&\qquad{}+\frac{（q-1）\varrho^{q-1}{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert}{（\beta-\delta）\varGamma（\beta+1）\varGamma（\sigma+1）}\Vertv-\bar{v}\Vert\\&\qquad{}+\frac{（q-1）\varrho^{q-1}（2\beta-\ delta）\ mathcal{米}_{\psi_{1}}\mathcal公司{米}_{\psi_{2}}\垂直\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert｝｛（β-\delta）\varGamma（β+1）\varGamma（西格玛+1）｝\Vert u-\bar｛u｝\Vert\\&&\qquad｛｝+\frac｛（q-1）\varrho^｛q-1｝（2\β-\delta）\mathcal｛M'｝_｛\psi _｛1｝｝\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert}{（\beta-\delta）\varGamma（\beta+1）\varGamma（\sigma+1）}\Vertv-\bar{v}\Vert\\&\quad\leq\bigl\Vert（u，v）-（\bar{u}，\bar{v}）\bigr\Vert\mathcal{Q}，\ end{aligned}$$

哪里$\mathcal{<trans\; data-src="Q">问</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{cc}{\mathcal{<trans\; data-src="C">C类</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}& {\mathcal{<trans\; data-src="C">C类</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\\ {\mathcal{<trans\; data-src="C">C类</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}& {\mathcal{<trans\; data-src="C">C类</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="4">4</trans>}}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans>$.由于光谱半径\（\mathcal{Q}\）小于1，因此所考虑系统的解(1.1)Hyers–Ulam稳定。在这里

$$\开始{aligned}&\mathcal｛C｝_{1} =\压裂{（q-1）\varrho^{q-1}（2\beta-\delta）\mathcal{M}_{psi{1}}\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert}{（\beta-\delta）\varGamma（\beta+1）\varGamma（\sigma+1）}，\\&\mathcal｛C｝_{2} =\frac{（q-1）\varrho^{q-1}（2\beta-\delta）\mathcal{M'}{\psi{1}}\mathcal{M'{\psi.{2}}\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert}{（\beta-\delta）\varGamma（\beta+1）\varGamma（\sigma+1）}，\\&\mathcal｛C｝_{3} =\压裂{（q-1）\varrho^{q-1}（2\β-\δ）\mathcal{米}_{\psi_{1}}\mathcal{米}_{\psi_{2}}\垂直\mathcal{F}（F）_{1} \Vert\Vert\mathcal（垂直）{F}（F）_{2} \Vert}{（\beta-\delta）\varGamma（\beta+1）\varGamma（\sigma+1）}，\\&\mathcal｛C｝_{4} =\压裂{（q-1）\varrho^{q-1}（2\beta-\delta）\mathcal{M'}_{psi{1}}\Vert\mathcal{F}（F）_{1} \Vert}{（\beta-\delta）\varGamma（\beta+1）\varGamma（\sigma+1）}。\结束{对齐}$$

 □

可以采用相同的方法来获得关于广义Hyers–Ulam、Hyers–Ulam–Rassias和广义Hyers–Ulam–Rassias稳定性的结果。

5一个示例

为了支持我们的理论结果，这里给出了一个示例。

例5.1

对应于(1.1)，我们考虑分数阶微分方程组第页-拉普拉斯算子\（φ{p}）如下：

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}{}^{c} D类^{\sigma}（\phi_{p} D类^{\beta}u（t））+\frac{t}{\sqrt{1-t}}\frac{u^{2}（t）+1+{}^{c} D类^{\sigma}（\phi_{p} D类^{β}v（t））}{10e^{t^{2}}+1}=0，[0,1）=\mathrm{J}，\\{}^{c} D类^{\sigma}（\phi_{p} D类^{\beta}v（t））+\frac{1}{\sqrt{4-4t^{2}}}^{c} D类^{\sigma}（\phi_{p} D类^{\beta}u（t））}{20+t^{3}}=0，\\（[\phi_{p} D类^{\beta}u（0）]）^{（j）}=0，\quad j=0,1,2,3，\dots，m-1，\\（[\phi_{p} D类^{β}v（0）]）^{（j）}=0，\\I^{k-\β}（u（0）。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(5.1)

设置

$$\psi_{1}\bigl（t，u（t），{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}v（t）\bigr）\biger）=\frac{u^{2}（t）+1+{}^{c} D类^{\sigma}（\phi_{p} D类^｛\beta｝u（t））｝｛10e^｛t^｛2｝｝｝+1｝$$

和

$$\psi_{2}\bigl（t，{}^{c} D类^{\sigma}\bigl（\phi_{p} D类^{\beta}u（t）\bigr），v（t）\ bigr^{c} D类^{\sigma}（\phi_{p} D类^{\beta}u（t））}{20+t^{3}}$$

现在，对于任何人\（u，v，\bar{u}，\bar}\in\mathcal{X}\），我们有

$$\bigl\vert\psi{1}\bigl（t，u（t），v（t）\bigr）-\psi{1\bigl$$

和

$$\bigl\vert\psi_{2}\bigl（t，u（t），v（t）\bigr）-\psi_2}\bigle（t、\bar{u}（t）、\bar{v}（t）\biger）\vert\leq\frac{1}{20}\vert u-\bar{u}\vert+\frac{1}{20}\ vert v-\bar{v}\vert$$

在这里，\（\mathcal{米}_｛\psi_｛1｝｝＝\数学｛M'｝_｛\psi_｛1｝｝＝\压裂｛1｝｛10e^｛2｝｝）,\（\mathcal{米}_{\psi{2}}=\mathcal{M'}{\psi.{2}{=\frac{1}{20}）.接受\（q=\压裂{5}{2}\）,\（β=3）,\（\rho=\sigma=\frac{7}{2}\）,\（δ=\压裂{3}{2}\）,\（\varrho=1\），然后\（p=\压裂{5}{3}\）经过计算，我们得出\（增量=0.000192<1），所以系统(5.1)有一个独特的解决方案。此外，

$$\begin{aligned}\mathcal{H^{*}}=\begin{pmatrix}0.00002&0.00001 \\0.00001&0.00002\end{pmatricx}\end}对齐}$$

如果\（ω{1}）和\（ω{2}）是特征值，那么\（ω{1}=0.00001）和\（ω{2}=0.00003）.由于光谱半径\（\mathcal{H^{*}}\）小于1，因此系统(5.1)Hyers–Ulam稳定。

6结论

本文利用Arzelä–Ascoli定理、Banach压缩原理和Schauder不动点定理，建立了非线性耦合隐式切换奇异分数阶微分系统解的存在唯一性准则(1.1). 此外，在一些特定的假设和条件下，我们已经证明了所述问题的解在Ulam意义上的稳定性结果。我们认为用于证明主要结果的方法是强大、有效的，并且适用于研究非线性分数阶微分方程解的不同定性性质。