第一类修正贝塞尔函数及其相关函数的对数凹性

摘要

本研究证明了第一类修正贝塞尔函数及其相关函数的对数凸性和对数压缩性。使用系数法验证这些特性。我们的一个结果与诺依曼在2007年提出的猜想相矛盾，该猜想认为第一类修正贝塞尔函数\（I_{nu}\）在中是log-concave\（（0，\infty）\）鉴于\（菜单>0）。在某些有界域中，对数压缩成立。还证明了其他结果在Kibble双变量伽马分布中的应用。

1介绍

第一类修正贝塞尔函数（MBF-I），\（I_{nu}\），是一个特殊函数，是修正贝塞尔微分方程的两个解之一，

$$x美元^{2} 年^{\prime\prime}+xy^{\prime}-\bigl（x^{2}+\nu\bigr）y=0$$

MBF-I函数是许多概率分布函数的一部分[1,2]. 在过去的几十年中，已经有许多关于MBF-I和相关函数的对数凹性以及对数凸性的研究。这些结果有助于证明MBF-I的其他特性[三,4]由于凸优化构造得很好，它可能是一些优化统计问题中有用的性质。在本研究中，研究了MBF-I及其相关函数的对数凸性和对数凹性，并证明了结果的应用。

MBF-I没有封闭式表达式。它通常用伽马函数系列表示，Γ:

$$I_{\nu}（t）=（t/2）^{\nu}\sum_{k=0}^{\infty}\bigl[\bigl（t^{2}/4\bigr）^{k}/k！\varGamma（\nu+k+1）\bigr]$$

(1)

MBF-I的另一个表达式是超几何函数的形式，\（\gamma_{nu}（t）\）:

$$I_{\nu}（t）=2^{-\nu}\gamma_{\nu}\bigl（{t^{2}}\bigr）t^{\nu{/\varGamma（\nu+1）$$

(2)

等效地，

$$\gamma _｛\nu｝（t）=2^｛\nu｝\varGamma（\nu+1）t^｛-\nu/2｝I_｛\nu｝（\sqrt｛t｝）$$

(3)

超几何函数\（\gamma_{nu}（t）\）定义为

$$\gamma_{\nu}（t）：=\sum_{k=0}^{infty}{（1/4）^{k}t^{k{}}/（{（\nu+1）_{k}k！）}$$

(4)

哪里\（\nu>-1\）和\（（p）{k}\）表示\（\伽玛（p+k）/\伽玛（p）\）(\（p\notin\{0，-1，-2，\cdots\}\）). 在本研究中，利用导数检验和级数系数重排来证明MBF-I相关函数的对数凸性和对数一致性。因此，综述了超几何函数的导数和其他性质。

$$开始{aligned}和\gamma_{nu}^{（n）}（t）=\sum_{k=0}^{infty}\frac{\varGamma（\nu+1）（1/4）^{k+n}}{\varGamma（\nu+n+k+1）k！}t^{k}，\end{aligned}$$

(5)

$$开始{aligned}&\gamma_{\nu}^{（n）}（0）=\frac{\varGamma（\nu+1）（1/4）^{n}}{\var伽玛（\nu+n+1）}，结束{aligned}$$

(6)

其中，术语\（\gamma_{nu}^{（n）}\）表示订单的导数n个关于吨属于\（\gamma_{\nu}\）.方程式(2)在中找到[5]. 地图吨 \（\mapsto\gamma_{\nu}（t）\）在中是log-concave\（（0，\infty）\）前提是\（\nu>-1\）.地图\（t\mapsto\gamma_{nu}（t^{2}）\）log-convex在\（（0，\infty）\）前提是\（\nu>-{1}/{2}\）MBF-I的研究通常使用不等式和无限乘积展开\（\gamma_{\nu}\）[三,5,6],

$$\马塔尔{我}_{nu}（t）=\gamma_{nu}\bigl（t^{2}\bigr）=\prod_{n\geq1}\bigle（1+t^{2]/j{nu，n}^{2{\biger）$$

(7)

以下引理是简化本文许多部分中提到的MBF-I相关函数表示的基本恒等式。

引理1

$$\begin｛aligned｝t^｛r｝\gamma _｛\nu｝^｛（k）｝（t）\gamma _｛\mu｝^｛（m）｝（t）&=\sum_｛n\geq r｝^｛\infty｝\frac｛n！｝｛（n-r）！｝\binom｛2n-2r+\nu+\mu+k+m｝｛n-r+\nu+k｝\\&&\quad｛｝\cdot\frac｛4^｛-n-k-m+r｝\varGamma（\nu+1）\varGamma（\mu+1）t^｛n｛\varGamma（n+\nu+\mu+k+m-r+1）n！｝，\end｛aligned｝$$

(8)

哪里 \（在\mathbb{r}^{+}\中）;\（k，m\in\mathbb{无}_{0}\),哪里 \（\mathbb{无}_{0}\) 是一组自然数，包括0;和 \（\nu，\mu\in\mathbb｛R｝\）.

证明

术语\（t^{r}\gamma{nu}^{（k）}可以扩展为泰勒级数

$$t^{r}\gamma_{\nu}^{（k）}（t）\gamma_{\mu}^{（m）}，（t）=\sum_{n=0}^{\infty}a{n}t^{n}$$

(9)

哪里\（a{n}:=[t^{r}\gamma{nu}^{（k）}（t）\gamma_{mu}^{m）}.然后

$$开始{对齐}&a_{n}=\Biggl\lbrace\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\bigl（t^{r}\bigr）^{（i）}\bigle[\gamma_{nu}^{$$

(10)

$$\开始{aligned}&\hphantom{a{n}}=\binom{n}{r}r！\bigl[\gamma{\nu}^{（k）}（t）\gamma_{\mu}^{（m）}$$

(11)

$$开始{对齐}&\hphantom{a_{n}}=\frac{n！}{（n-r）！}\Biggl\lbrace\sum_{j=0}^{n-r}\binom{n-r{j}\bigl[\gamma_{nu}^{（k）}（t）\bigr]^{{t=0}\结束{对齐}$$

(12)

$$开始{对齐}&\hphantom{a{n}}=\frac{n！}{（n-r）$$

(13)

$$开始{对齐}&a{n}=\frac{n！}{（n-r）\varGamma（\mu+1）（1/4）^{m+n-r-j}}{\varGamma（\mu+m+n-r-j+1）}\biggr）\end{aligned}$$

(14)

$$开始{对齐}&\hphantom{a{n}}=\frac{n！}{（n-r）j}\binom{n+\nu+\mu+k+m-r}{\nu+k+j}。\结束{对齐}$$

(15)

由朱·范德蒙德（Chu–Vandermonde）于年提出的身份[7]也就是说，

$$\开始{对齐}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{s}{t+k}=&\binom}{n+s}{n＋t}，\end{aligned}$$

(16)

中的系列(15)简化如下：

$$开始{aligned}&\sum_{j=0}^{n-r}\binom{n-r{j}\binom{n+\nu+\mu+k+m-r}{\nu+k+j}\\&\quad=\binom}2n-2r+\nu+\mu+k+m}{n-r+nu+k+k}。\结束{对齐}$$

(17)

相应地，通过替换公式(15)和(17)到(9)，等式(8)已证明。□

引理1简化了闭形式下Cauchy乘积的系数。通过确定函数系数的符号，用类似的方法证明了修正贝塞尔函数的Turán型不等式[8,9]. 本文研究了正实域上函数的凸性和凹性\（（0，\infty）\）可以通过验证相应函数的二阶导数的非负性和非正性来证明。在引理中提到的某些条件下2，系数技术确保函数在\（（0，\infty）\）.

引理2

鉴于 \（f（t）=\sum_{i=0}^{infty}a{k}t^{k}）.如果存在 米 这样的话 \（a{n}>0\）,\（对于所有n>m\） 那么存在一个常数 \（\tau>0\） 这样的话 \（f（t）>0） 在 \（（\tau，\infty））.

证明

假设存在一个整数米这样的话\（a{k}\leq0\）,\（对于所有k\le m\）和\（a{n}>0\）为所有人\（n>m），函数（f）可以分解为具有次数的多项式之和米以及具有正系数的级数，如下所示：

$$f（t）=\sum_{k=0}^{\infty}_{k} t吨^{k} =\sum_{k=0}^{m+1}_{k} t吨^{k} +\sum_{n=m+2}^{\infty}一个_{n} t吨^{n} ●●●●$$

(18)

我们有

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\Biggl（\sum_{i=0}^{m+1}一个_{k} t吨^{k} \Biggr）\大/t^{m+1}=a_{m+1}>0$$

(19)

存在一个常量\（\varepsilon=a{m+1}）和一个常数\（\tau>0\）这样的话

$$\Biggl（\sum_{k=0}^{m+1}_{k} t吨^{k} \Biggr）\Big/t^{m+1}\ in（0，\epsilon）\subseteq（0,2a_{m+1）\substeq（0，\ infty），\quad \ for all t>\tau$$

(20)

多项式与非负级数之和为正\（（\tau，\infty））. □

2主要成果

定理3

地图

$$t\mapsto I_{\mu}/I_{\nu}$$

(21)

是日志-凹入 \（（-\infty，0）\） 和 \（（0，\infty）\） 如果 \（0<\nu<\mu\）.

不平等

$$1（t）}{I{nu}^{2}$$

(22)

保持正确 \（（-\infty，0）\） 和 \（（0，\infty）\）,哪里 \（增量>0）,\（\nu>-1\） 和 \（\nu-\delta+1\英寸（0，\infty）\）.

证明

让\（\mu=\nu+\delta\）对一些人来说\（增量>0）和

$$R{\mu，\nu}（t）：=\ln\biggl[\frac{I{\mu}（t）}{I{\nu}（c）}\biggr]=\ln\figl[\frac{t^{delta}\varGamma$$

(23)

利用引理1，我们有

$$R{\mu，\nu}^{\prime}（t）=\delta（2\nu+\delta）\frac{1}{t}\frac}\sum_{n=0}^{infty}a{n}t^{2n}}{\sum_{n=0.}^{infty}b_{n}t ^{2n}}$$

(24)

哪里

$$开始{对齐}&a{n}=\frac{1}{4^{n}}\frac}\varGamma$$

(25)

$$开始{aligned}&b_{n}=\frac{1}{4^{n}}\frac}\varGamma（nu+\delta+1）\varGamma（nu+1）\varGamma。\结束{对齐}$$

(26)

比率\（1/t\）正在严格减少\（（0，\infty）\）.由于系数的比率\（a{n}\）和\（b{n}\）由提供

$$r_{n}=\frac{a{n}}{b_{n{}=\frac{1}{2n+2\nu+\delta}\longrightarrow0\quad\text{作为}n\longrightarrow\infty$$

(27)

函数\（F（t）：=（sum{n=0}^{infty}a{n}t^{2n}）/正在上减少\（（0，\infty）\）.自\（R_{\mu，\nu}^{\prime}（t）\）是正递减函数的乘积\（1/t\）和\（F（t）\）和常数\（\增量（2\nu+\增量）\）,\（R_{\mu，\nu}^{\prime}（t）\）正在严格减少\（（0，\infty）\）.因此\（R_{\mu，\nu}^{\prime}（t）>0\）、和\（R_{\mu，\nu}^{\prime\prime}（t）<0\）,\（所有t>0\）。此外，\（R_{\mu，\nu}^{\prime}（t）=-\vert R_{\ mu，\nu}^{\ prime}（t）\vert\）哪里\（\vert R_{\mu，\nu}^{\prime}（t）\vert\）正在上增加\（（-\infty，0）\），所以很明显\（R_｛\mu，\nu｝^｛\prime｝（t）\）在负实数域上减小。因此，\（映射到I_{mu}/I_{nu}\）启用了日志压缩\（（-\infty，0）\）和\（（0，\infty）\）。只有当\（\mu\neq\nu\）.

为了证明定理的后一部分，我们声明以下属性：

$$\frac{\varGamma^{2}（n+\nu+1）}{\var伽玛（n+\nu+\delta+1）\varGamma$$

(28)

对于任何整数\（第1页），前提是\（n+\nu-\delta+1>0\）,\（\nu>-1\）,\（增量>0）和\（\nu+1>\delta\）.何时\（n+\nu-\delta+1>0\），我们有\（\varGamma（n+\nu+\delta+1）\varGamma（n+\nu-\delta/1）>0\）因此，以下是正确的：

$$开始{对齐}和\frac{\varGamma^{2}（n+\nu+1）}{\var伽玛（n+\nu+\delta+1）\varGamma（n+-nu-\delta+1）}\\&\quad=\frac}\varGadma^{2{（n+/\nu）}{\ varGamma（n++\delta）\varGamma（n+\nu-\delta^{2}-\增量^{2}}\\&\quad>\frac{\varGamma^{2{（n+\nu）}{\varGamma（n+/\nu+\delta）\varGamma（n+\nu-\delta”）}。\结束{对齐}$$

(29)

通过归纳，方程式(29)暗示

$$开始{aligned}&\frac{\varGamma^{2}（n+\nu+1）}{\var伽玛（n+\nu+\delta+1）\varGamma（n+-nu-\delta/1）}\\&\quad>\frac}\varGarma^{2{$$

(30)

$$\开始{aligned}&\quad>\frac{\varGamma^{2}（\nu+1）}{\var伽玛（\nu+\delta+1）\varGamma（\nu-\delta/1）}，\end{aligned}$$

(31)

对于任何整数\（第1页）.根据引理1，的产品\（I_{\nu+\delta}\）和\（I_｛\nu-\delta｝\）成为

$$开始{对齐}I_{nu+\delta}（t）I_{nu-\delta{（t$$

(32)

$$开始{对齐}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\varGamma\结束{对齐}$$

(33)

$$开始{对齐}&=\sum_{n=0}^{\infty}\biggl（\frac{\varGamma^{2}（n+\nu+1）}{\varGamma（n+/\nu+\delta+1）\varGamma（n+-nu-\delta+1）}\bigr）\\&\quad{}\cdot\frac{\var伽马（2n+2\nu+1 \nu+1）}\分形{t^{2n+2\nu}}{2^{2n-2\nu}n！}。\结束{对齐}$$

(34)

通过应用(28)，我们有

$$开始{对齐}I_{\nu+\delta}（t）I_{\nu-\delta}}\frac{\varGamma（2n+2\nu+1）}{\varGamma（n+2\nu+1）\varGamma^{2}（n+\nu/1）}\frac{t^{2n}}{n！}。\结束{对齐}$$

(35)

自

$$I_{\nu}^{2}（t）=t^{2\nu}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n-2\nu{}\frac{\varGamma（2n+2\nu+1$$

(36)

结果是

$$\frac{I{nu}^{2}（t）}{I{nu+delta}$$

(37)

为了证明\（1），我们需要声明

$$g（\nu，\delta）：=\frac{\varGamma^{2}（n+\nu+1）}{\varGamma（n+/\nu+\delta+1）\varGamma（n+\nu-\delta/1）}<1$$

(38)

通过出租

$$G（\nu，\delta）：=\ln\biggl[\frac{\varGamma^{2}（n+\nu+1）}{\var伽玛（n+\nu+\delta+1）\varGamma（n+-nu-\delta/1）}\biggr]$$

(39)

拿\（｛\partial｝/｛\partial \delta｝\）在\（G（\nu，\delta）\）产量

$$\frac{\partial}{\paratil\delta}G（\nu，\delta）=-\psi（n+\nu+\delta+1）+\psi（n+\nu-\delta/1）$$

(40)

哪里ψ表示digamma函数。它可以展开为Euler–Mascheroni常数之和[10]，即。\（伽马{E}）和谐波级数

$$开始{对齐}\frac{\partial}{\parial\delta}G（\nu，\delta）&=-\Biggl（-\gamma_{E}+\sum_{k=0}^{\infty}\Biggl（\frac}1}{k+1}-\frac[1}{k+n+\nu+\delta+1}\bigr）infty}\Biggl（\frac{1}{k+1}-\frac{1'{k+n+nu-\delta+1}\bigr）\biggr）\\&=-2\sum_{k=0}^{\infty{\biggl（\frac{\delta}{（k+n+\nu+1）^{2}-\delta^{2}}\biggr）<0，\end{对齐}$$

(41)

所以\（g（\nu，\delta）\）正在严格减少\（\增量\ in（0，\ infty）\）鉴于n个和ν.自\（g（\nu，\delta）\longrightarrow 1）作为\（\delta\longrightarrow 0\）,\（g（\nu，\delta）<1），其中\（\增量\ in（0，\ infty）\）从不平等中(37)和(38)，我们得出结论

$$开始{aligned}和I_{nu}^{2}（t）-I_{nu+r}}{varGamma^{2}（n+\nu+\delta+1）}\\&\qquad{}\cdot\biggl\varGamma（n+\nu+2\delta+1）｝\biggr）\biggr]\\&&quad>0。\结束{对齐}$$

(42)

因此，\（1）. □

不平等(42)等于中报告的Turán型不等式[8]. 这种不平等有很多种说法。Thiruvenkatachar等人最初使用系数比较法证明了不等式[9]. 后来，Joshi等人[6]和Baricz[三]利用产品扩展来证明属性，但它们的证明在细节上有所不同。不等式用于证明中发现的其他属性[11,12]. 我们的研究使用了Thiruvenkatachar论文中的级数展开的Cauchy积，但我们改进了该性质以覆盖非整数δ条件。

定理4

鉴于 \（\nu>-{1}/{2}\）,\（t映射到t^{mu}I_{nu}（t）\） 严格来说是日志-凹入 \（（0，\infty）\） 对于

$$\开始{aligned}&\textstyle\begin{cases}\mu>-\nu；&-1/2<\nu<1/2，\\mu>1/2；&\nu\ge 1/2，\end{cases}\displaystyle \\&\textstyle\begin{cases}\mu>-\nu；&-1/2<\nu<1/2，\\mu>1/2；&\nu\geq 1/2，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

严格来说是日志-凸的 \（（0，\infty）\） 对于 \（\mu<-\nu\）.

证明

根据(2)，MBF-I可以根据\（\gamma _｛\nu｝（t^｛2｝）\）作为

$$t^{\mu}I{\nu}（t）=\frac{t^{\ mu+\nu}\gamma_{\nu{（t^{2}）}{2^{\nuneneneep \varGamma（\nu+1）}$$

(43)

然后是

$$\ln t^｛\mu｝I_｛\nu｝（t）=（\mu+\nu）\ln t+\ln\gamma _｛\nu｝\bigl（t^｛2｝\bigr）+\ln 2^｛\nu｝\varGamma（\nu+1）$$

(44)

关于吨描述如下：

$$\begin{aligned}和\frac{d}{dt}\bigl[\ln t^{mu}I{nu}（t）\bigr]=\frac{mu+nu}{t}+2t\frac}\gamma_{nu}^{prime}（t^{2}）}{gamma_}\nu}$$

(45)

$$开始{aligned}和\frac{d^{2}}{dt^{2{}\bigl[\lnt^{mu}I{nu}（t）\bigr]\\&\quad=-\frac}\mu+\nu}{t^{2neneneep}+2\frac[\gamma_{nu}^{prime}\nu}^{\prime\prime}（t^{2}）\gamma_{\nu}$$

(46)

$$\begin{aligned}&\quad=\Biggl\lbrace\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\varGamma^{2}（\nu+1）\varGarma（2n+2\nu-1）}{4^{n}\varGamma（n+2\nu+1）（\varGamm（n+\nu+1））^{2{}\frac{t^{2n}}{n！}\\&\qquad{}\cdot\Biggl[\Biggl（压裂{2\nu^{2}-\nu-n}{1-2\nu-2n}\biggr）-\mu\biggr]\biggr\rbrace\cdot\bigl[t^{2}\gamma_{\nu}^{2{\bigl（t^{2\bigr）\bigr]^{-1}。\结束{对齐}$$

(47)

发件人(46)，我们考虑这个术语

$$S_{n}:=\biggl（\frac{2\nu^{2}-\nu-n}{1-2\nu-2n}\biggr）-\mu$$

(48)

条件\（菜单>1/2）暗示\（1-2\nu-2n\le 1-2\nu<0\）对于\（n\le 0），所以我们有

$$\开始{aligned}&\inf\biggl\{\frac{2\nu^{2}-\nu-n}{1-2\nu-2n}\biggr\}=\textstyle\begin{cases}1/2；&-1/2<\nu<1/2，\\-\nu；&\nu\geq 1/2，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(49)

$$\开始{aligned}&\sup\biggl\{\frac{2\nu^{2}-\nu-n}{1-2\nu-2n}\biggr\}=\textstyle\begin{cases}-\nu；&-1/2<\nu<1/2，\\1/2；&\数字1/2。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(50)

对于\（\mu>\sup\{（2\nu^{2}-\nu-n）/（1-2\nu-2n）\}\），这意味着\（S_{n}<0\），和中非正系数系列的乘积(47)和积极作用\（[t\gamma_{nu}（t^{2}）]^{-2}\）为非负。因此，\（（{d^{2}}/{dt^{2{}}）（lnt^{mu}I{nu}（t））<0\）这使得\（t^{\mu}I_{\nu}\）log-concave打开\（（0，\infty）\）注意，除非\（\mu=\nu=1/2\）,\（S_{n}<0\）对一些人来说\（n\in\mathbb{n}\）这意味着\（（{d^{2}}/{dt^{2{}}）（lnt^{mu}I{nu}（t））严格来说是否定的。因此，\（t映射到t^{mu}I_{nu}（t）\）严格为log-convave on\（（0，\infty）\）.

对于对数-凸函数\（\mu<\inf\｛（2\nu^{2}-\nu-n）/（1-2\nu-2n）\}\）,\（S_{n}>0\），这意味着在条件\（\nu>-{1}/{2}\）,\（\mu>{1}/{2}\）因此，我们看到\（（{d^{2}}/{dt^{2{}}）（lnt^{mu}I{nu}（t））是负系数级数和非负函数的乘积\（[t\gamma_{\nu}^{2}（t^{2{）]^{-2}\）因此，\（t^{\mu}I_{\nu}\）启用了日志压缩\（（0，\infty）\）. □

定理4给出了另一种证明映射的对数压缩性的方法\（u\mapsto\sqrt{u} 我_{\nu}（u）\）在里面\（（0，\infty）\）已在中报告[13]. 什么时候？\（\mu+\nu=0\），术语\（-（\mu+\nu）/t^{2}\gamma_{\nu}^{2{（t^{2neneneep）\）消失了。然后\（D^{2}（\t^{mu}I_{nu}（t））对所有人都存在\（t>0），因此我们可以将对数凸性的域扩展到\（\mathbb{R}^{+}\）结果产生了另一种方法来证明\（t\mapsto\gamma_{nu}（t^{2}）=2^{nu}\varGamma（\nu+1）t^{-\nu}I_{nu{（t）\）在\（\mathbb｛R｝^｛+｝\）由Neumann演示[三,5]. 在本文中，我们将对数压缩条件推广到\（单位：（-1/2,1/2））。根据(46), (49)和(50)，人们可以看到\（t映射到t^{1/2}I_{nu}（t）\）,\（t映射到t^{-\nu}I_{\nu}（t）\）,\（菜单>1/2），似乎分别是对数凸性和对数凸性的最佳条件，形式如下\（t ^｛\mu｝I_｛\nu｝（t）\）.

定理5

地图 \（（x，y）\mapsto（xy）^{\mu}\gamma_{\nu}（xy）\） 是日志-凹进 \（\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R}^{+{） 前提是 \（\mu=\nu+{1}/{2}\）,\（菜单>1/2）.等效,

$$（x，y）\mapsto（xy）^{\nu/2+1/2}I_{\nu}（\sqrt{xy}）$$

(51)

是日志-第一象限内的凹面，前提是 \（菜单>1/2）.

证明

对于\（l（x，y）=-\ln[（xy）^{mu}\gamma_{nu}（xy，其导数表示如下：

$$\开始{aligned}&\frac{\partial l}{\partic x}=-\frac}\mu}{x} -年\压裂{\gamma{\nu}^{\prime}（xy）}{\gama{\nu{（xy）}，\end{aligned}$$

(52)

$$\开始{aligned}&\frac{\partial^{2} 我}{\partial x^{2}}=\frac{\mu}{x^{2}}-y^{2{压裂{\gamma_{nu}^{\prime\prime}$$

(53)

$$\开始{aligned}&\frac{\partial^{2} 我}{\partial y^{2}}=\frac{\mu}{y^{2}}-x^{2{压裂{\gamma_{nu}^{\prime\prime}$$

(54)

$$\开始{aligned}&\frac{\partial^{2} 我}{\partial xy}=-\frac{\gamma_{\nu}^{\prime}（xy）}{\gama_{\nu}（xy）}-xy\frac}\gamma_{\nu}^{\ prime\prime{（xy）\gamma{\nu{（xy）-[\gamma_a{\nuneneneep ^{\prime}。\结束{对齐}$$

(55)

然后是的Hessian矩阵\（l（x，y）\）是

$$\开始{bmatrix}\frac{\mu}{x^{2}}-y^{2} 克_{nu}^{prime\prime}（xy）&-g{nu}^{prime}^{2} 克_{\nu}^{\prime\prime}（xy）\end{bmatrix}$$

(56)

哪里

$$\begin｛aligned｝&g_｛\nu｝（t）=\ln\gamma｛\nu｝（t），\\&g_｛\nu｝^｛\prime｝（t）=\gamma｛\nu｝^｛\prime｝（t）>0，\\&g_｛\nu｝^｛\prime｝（t）=\gamma｛\nu｝^｛\prime｝（t）/\gamma｛\nu｝（t）-\bigl（\gamma｛\nu｝^｛\prime｝（t）/\gamma _｛\nu｝（t）\bigr）^｛2｝<0。\结束{对齐}$$

二阶导数为负\（t\mapsto\gamma_{\nu}\）在中是log-concave\（（0，\infty）\）前提是\（\nu>-1\）.我们必须证明Hessian矩阵是正定的，方法是

$$\begin｛aligned｝E&=\begin｛bmatrix｝u\\v\end｛bmatrix｝^｛T｝\bbegin｛bmatrix｝\frac｛\mu｝｛x^｛2｝｝-y^{2} 克_{\nu}^{\prime\prime}（xy）&-g{\nu{^{\prime}^{2} 克_{\nu}^{\prime\prime}（xy）\end{bmatrix}\begin{bmatricx}u\\v\end{bmatrix}\\&=\biggl（\frac{u^{2} 年^{2} +伏^{2} x个^{2} }{x^{2} 年^{2} }\biggr）\mu-（uy+vx）^{2} 克_{\nu}^{\prime\prime}（xy）-2uvg{\nu}^{\trime}。\结束{对齐}$$

(57)

案例1：\（紫外线<0）很明显

$$\开始{aligned}E（u，v）&=\biggl（\frac{u^{2} 年^{2} +伏^{2} x个^{2} }{x^{2} 年^{2} }\biggr）q-（uy+vx）^{2}g{nu}^{prime\prime}。\结束{对齐}$$

(58)

案例2：\（紫外线>0）.

$$\开始{aligned}E（u，v）&=\biggl（\frac{u^{2} 年^{2} +伏^{2} x个^{2} }{x^{2} 年^{2} }\biggr）\mu-（uy+vx）^{2} 克_{\nu}^{\prime\prime}（xy）-2uvg_{\nu{^{质数}（xy）\\&=\frac{（uy-vx）^{2}}{x^{2} 年^{2} ｝\mu-（uy-vx）^{2} 克_{\nu}^{\prime\prime}（xy）\\&\quad{}+\frac{2uv}{xy}\mu-4uvxyg{\nu}^{\ prime\prime}uv}{xy\gamma{nu}（xy（xy）-4x^{2} 年^{2} \gamma_{nu}^{prime\prime}（xy）^{2} 年^{2} \bigl[\gamma_{\nu}^{\prime}（xy）\bigr]^{2} -2倍\gamma_{\nu}^{\prime}（xy）\gamma_}\nu}（xy）\biger）\\&=\frac{uvH（xy$$

(59)

哪里

$$\begin{aligned}&H（xy）=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\varGamma^{2}（\nu+1）\varGamma（2n+2\nu-1）}{4^{n}\varGamm（n+2\nu+1）\varGamma^}（n+\nu+1$$

(60)

$$\begin｛aligned｝&Q（n，\nu，\mu）=2（n+\nu）\bigl（n+2n\nu+4\nu^{2}-2\较大）。\结束{对齐}$$

(61)

接下来，我们找到了隐含的条件\（Q（n，\nu，\mu）>0）.如果\（n+\nu>0\）为所有人\（n \geq 0），我们有\（\nu>0\）.通过考虑\（n+2n\nu+4^{2}-2>0\)，我们有\（\nu<-1/2\）或\（菜单>1/2-n/4）。对于\（菜单>1/2-n/4），我们有\（第1/2页>第1/2页至第4页）为所有人\（n \geq 0）因此，\（Q（n，\nu，\mu）>0）什么时候\（第1/2页）.

那么我们假设\（\mu=\nu+{1}/{2}\）,\（菜单>1/2）根据定义\（-\ln（xy）^{\mu}\gamma_{\nu}（xy））是正定矩阵。映射\（（x，y）\mapsto（xy）^{\mu}\gamma_{\nu}（xy）\）在以下条件下为对数曲线\（\mu=\nu+{1}/{2}\）哪里\（菜单>1/2）此外，

$$开始{对齐}（xy）^{\mu}\gamma_{\nu}（xy）&=2^{\nuneneneep \varGamma（\nu+1）（xy$$

(62)

意味着\（（x，y）\mapsto（xy）^{\nu/2+1/2}I_{\nu}（\sqrt{xy}）\）为原木凹面。□

定理5可以应用于统计学，因为它证明了Kibble双变量γ分布的对数似然函数的对数相合性[14,15,16]其概率密度函数为

$$\begin｛aligned｝f（x，y|\nu，\lambda｛1｝，\lambda｛2｝，\rho）&=\frac｛（\lambda｛1｝\lambda｛2｝）^｛\nu｝｛（1-\rho）\varGamma（\nu）｝\biggl（\frac｛xy｝_{1} x个+\λ_{2} 年}{1-\rho}\biggr）I_{\nu-1}\bigl（\frac{2\sqrt{\rho\lambda_{1}\lambda_{2} xy公司}}{1-\rho}\biggr）。\结束{对齐}$$

(63)

在自由度ν和形状参数ρ给出了分布的极大似然估计，并将其归结为凸优化问题。证明详情如下：

$$开始{对齐}f（x，y|\nu，\lambda_{1}，\λ_2}，\ρ）&=\frac{\varGamma（\nu）}\\&\quad{}\cdot\exp\biggl（-\frac{\lambda_{1} x个+\λ_{2} 年}{1-\rho}\biggr）I_{\nu-1}\bigl（\frac{2\sqrt{\rho\lambda_{1}\lambda_{2} xy公司}}{1-\rho}\biggr）\end{对齐}$$

(64)

$$\begin{aligned}&=\biggl[\frac{（xy/\rho）^{\frac}\nu-1}{2}}{（1-\rho_{1} x个+\λ_{2} 年}{1-\rho}\biggr）\biggr]\\&\quad{}\cdot\biggl[（\lambda_{1}\lambda{2}）_{2} xy公司}}{1-\rho}\biggr）\biggr]。\结束{对齐}$$

(65)

让\（κ=2\sqrt｛\rho-xy｝/（1-\rho）\）我们证明了在域的仿射变换下，对数压缩是守恒的。因此，以下情况是等效的：

$$开始{aligned}&（\lambda_{1}，\lambda _{2}）\mapsto（\lampda_{1\lambda_2}）^{\frac{\nu+1}{2}}I{\nu-1}$$

(66)

$$\begin{aligned}和\bigl（\kappa^{2}\lambda_{1}，\lambda{2}\bigr）\mapsto\bigle（\kappa^}\lampda{1}\lambeda{2{\biger）^{\frac{\nu+1}{2}}I{\nu-1}}$$

(67)

$$开始{对齐}&（\lambda_{1}，\lambda _{2}）\mapsto\bigl（\kappa^{2}\lambada_{1{，\lambda_2}\bigr）\\&\hphantom{（\lampda_{1'，\lampda _{2]）}\mapsto\ bigl{nu-1}（\kappa\sqrt{\lambda{1}\lambda{2}}）\quad\text{是log-concave}，\end{aligned}$$

(68)

$$\begin{aligned}&（\lambda_{1}，\lambda{2}）\mapsto（\lampda_{1\lambda_2}）^{\frac{\nu+1}{2}}I{\nu-1}（\kappa\sqrt{\lambada_{1{\lampda{2{}）\squad\text{islog-concave}。\结束{对齐}$$

(69)

通过考虑以下领域\（λ{1}）和\（λ{2}）,\（f（\lambda _｛1｝，\lambda _｛2｝）\）是由3个组件组成的产品：

$$\开始{对齐}和（xy）^{\frac{\nu-1}{2}}/\bigl[\rho^{\frac{\nu-1-}{2{}}（1-\rho）\varGamma（\nu）\bigr]\quad\text{（常量）}，\end{aligned}$$

(70)

$$\开始{aligned}&\exp\bigl[-（\lambda_{1} x个+\λ_{2} 年）/（1-\rho）\bigr]\quad\text{（对数线性函数）}，\end{aligned}$$

(71)

$$\begin{aligned}&（\lambda_{1}\lambda{2}）^{\frac{\nu+1}{2}}I_{\nu-1}（\kappa\sqrt{\lambd_{1}\ lambda_2}}）\quad\text{（log-concave函数）}。\结束{对齐}$$

(72)

因此，地图\（（\lambda{1}，\lambda{2}）\mapstof）原木凹入\（\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R}^{+{）.

定理6

如果 \（-1/2<\nu<0\）,\（I_{nu}\） 是日志-凸的 \（（0，\infty）\） 如果 \（菜单>0）,\（I_{nu}\） 是日志-凹函数开

$$\bigle（0，\bigl（16\nu^{4}-16\努^{3}-24\nu^{2}+4\nu+5\biger）^{1/2}/2\biger$$

2007年，诺依曼推测[4]第一类修正贝塞尔函数在\（（0，\infty）\）据我们所知，这似乎仍是一个悬而未决的问题[13]. 在我们的研究中，该函数仅在由参数确定的特定区间上是对数压缩的ν.

证明

的二阶导数\（在I_{nu}\中）关于吨是\（-\t^{2}+2\gamma{2}）/\gamma_{nu}（t^{2{）+4t^{2]（\gamma{nu}^{prime\prime}{2}）\）。该术语可以简化为\（\varOmega（t）\）/\（[t\gamma_{nu}（t^{2}）]^{2{）哪里\（\varOmega（t）=-\nu\gamma_{nu}（t^{2}）\gamma_2}_{\nu}^{\素数}（t^{2}）\gamma_{\nu}^{\prime}（t ^{2{）\）.的二阶导数的符号\（在I_{nu}\中）取决于\（\varOmega（t）\）因为分母是非负的。通过采用(8),\（\varOmega（t）\）以系列的形式重写

$$\varOmega（t）=\sum_{n=0}^{\infty}a{n}\frac{t^{2n}}{n！}$$

(73)

哪里

$$a_{n}=\frac{\varGamma^{2}（\nu+1）\varGarma（2n+2\nu-1）}{4^{n}\varGamma（n+2\nu+1）\varGamma^}（n+\nu+1$$

(74)

然后我们考虑

$$\varOmega（t）=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\frac{t^{2n}}{n！}=-\nu+\sum_{n=1}^{infty{a_{n}\frac{t^[2n}}}{n！}$$

(75)

条款\（\varGamma^｛2｝（\nu+1）\）,\（\varGamma（2n+2\nu-1））,\（\varGamma（n+2\nu+1））,\（\varGamma（n+\nu+1）\）、和\（n+\nu\）属于\（{a{n}）是积极的\（\nu>-1/2\）和\（第1页）因此\（{a{n}）仅由确定\（n-2\nu^{2}+\nu\）.给定\（-1/2<\nu<0\）,\（n-2\nu^{2}+\nu\）是积极的，所以我们得出结论\（a{n}\）对任何情况都是积极的\（n \geq 0）.任意\（第0页）,\（\varOmega（t）\）是一个正函数，因此\（ln I_｛\nu｝\）是积极的。这证明了\（I_{nu}\）在第一个条件下。对于以下情况\（\nu>0\）,\（a{n}<0\）等于\（n-2\nu^｛2｝+\nu<0\）和\（n<2个^{2}-\数字\），因此我们可以推断存在\（n_{0}\）这样的话\（a{m}\leq0）对于任何\（m\leqn_{0}\）和\（a_｛n｝>0\）对于任何\（n>n{0}\）.通过引理2，我们的结论是\（t>0）这样的话

$$开始{对齐}\varOmega（t）&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\varGamma^{2}（nu+1）\varGamma（2n+2\nu-1）}{4^{n}\varGamm（n+2\nu+1）\valGamma^}（n+\nu+1）}\\&\quad{}\cdot\bigl[2（n+/nu）\bigl（n-\nu（2\nu-1）\bigr）\bigr]\frac{t^{2n}}{n！}\\&=\sum_{n=0}^{infty}\frac}\varGamma^{2}（nu+1）\varGamma（2n+2\nu+1）}{4^{n}\varGamma（n+2\nu+1）\varGamma^{2}（n+\nu+1）}\\&\quad{}\cdot\biggl（\frac{1}{2}-\压裂{（\nu-\frac{1}{2}）（\nu+\frac}{2{）}{n+\nu-\压裂{1}}}\biggr）\压裂{t^{2n}}{n！}。\结束{对齐}$$

(76)

按引理1，我们有

$$开始{对齐}\varOmega（t）&=\frac{1}{2}\gamma_{nu}\bigl=0}^{\infty}\frac{\varGamma（\nu+1）\varGamma（\nu+2）\varGamma（2n+2\nu+2）}{4^{n}\varGamm（n+2）\varGamma（n+\nu+2）\varGamma（n+\nu+1）}\\&\quad{}\cdot\frac{。\结束{对齐}$$

(77)

自\（适用于所有n in mathbb{无}_{0}\)和\（\nu>{1}/{2}\），我们有

$$\开始{对齐}&（n+\nu）^{2}+（\nu+2）（n+\nu）+（\nu+1）>（n+\tu）^{2}-\压裂{1}{4}，结束{对齐}$$

(78)

$$开始{aligned}&\frac{（n+\nu+1）（n+2\nu+1。\结束{对齐}$$

(79)

因此，我们有了不等式

$$开始{aligned}\varOmega（t）&<\frac{1}{2}\gamma_{nu}\bigl（t^{2}\bigr）\gamma_2}\bigle（tqu{2}\figr）-\Biggl\lbrace\frac{n=0}^{infty}\frac{\varGamma（nu+1）\varGarma（nu+2）}{4^{n}\varGamma（n+2\nu+2）{\varGamma（n+\nu+1）\varGamma（n+\nu+2）}\frac{t^{2n}}{n！}\Biggr]\Biggr\rbrace\&=\fracc{1}{2}\gamma_{nu}\bigl c{1}{2}）}{（\nu+1）}\frac{\gamma{\nu+1}（t^{2}）}{\gama{\nu}\bigr）\gamma_{\nu}\bigl（t^{2}\biger）\biggl[1-2\biggl。\结束{对齐}$$

(80)

由于Kokologiannaki的工作[17]，我们可以利用不等式

$$-\frac{\nu+1}{t^{2}}+\sqrt{\frac}$$

(81)

不平等(80)成为

$$\varOmega（t）<\压裂{1}{2}\gamma_{nu}\bigl{F}（F）_{\nu}（t）$$

(82)

哪里

$$\开始{aligned}\mathcal{F}（F）_{纽}（t）&=1-2\biggl（纽-\frac{1}{2}\biggr）\biggl（纽+\frac}1}{2\biggr}\\&\quad{}-2\biggl（\nu-\frac{1}{2}\biggr）\biggl（\nu+\frac}{1}}{2{biggr（\nu+1）^{2}}{t^{4}}+\frac{1}{t^}}}}。\结束{对齐}$$

(83)

自\（\gamma_{\nu}>0\），函数\（\varOmega（t）<0）当且仅当\（\mathcal{F}（\nu，t）\leq 0\）因此，在区间上保证了第一类修正贝塞尔函数的对数压缩性\（（0，（{16\nu^{4}-16\努^{3}-24\nu^｛2｝+4\nu+5｝）^｛1/2｝/2）\）. □

根据证明，MBF-I不应在\（\mathbb{R}^{+}\）正如人们猜测的那样。然而，我们怀疑确保MBF-I的对数压缩性的区间的实际上界至少应该是\（2\nu^{2}\）.

三结论

本研究证明了MBF-I及其相关函数的对数凹性和对数凸性。证明涵盖了二元函数的情况。在我们的技术中，我们简化了系数并利用Chu–Vandermonde恒等式来证明这些属性。这些结果可能有助于解决单变量和多变量概率模型中的优化问题。定理的结果6表明映射的对数压缩性\（t映射到I_{nu+1}（t））在上为true\（（0，（{16\nu^{4}-16\nu个^{3}-24\nu^{2}+4\nu+5}）^{1/2}/2）\）但还没有完全打开\（\mathbb{R}^{+}\）正如诺伊曼推测的那样。