孤子、通气体、块体及其相互作用解($2+1$)-多维非对称Nizhnik–Novikov–Veselov方程

摘要

在这项工作中($2+1$)-研究了一维非对称Nizhnik–Novikov–Veselov方程。Hirota的双线性方法用于确定N个-该方程的孤子解，其中M（M）-当N个是偶数（即。，\（N=2M\）). 然后，服用\（N=5）作为一个例子，我们利用长波极限并从五孤子解中选择特殊的共轭复参数，讨论了一些新的混合集总解和集总-呼吸解。绘制了图以揭示所获得的块状和混合相互作用解的动力学特征。这些结果可能有助于理解非线性局域波的传播现象。

1介绍

非线性演化方程被很好地用来描述自然界中各种重要的非线性现象，它们显示出重要的优点，如孤子解、无穷多守恒律、对称性和哈密顿结构。寻找非线性演化方程的精确解在科学和工程应用中具有重要意义，因为它提供了有关复杂物理现象机理的丰富知识。文献中使用了一组系统方法来获得非线性发展方程的可靠处理方法。到目前为止，研究人员已经建立了几种方法来寻找精确解，包括逆散射变换[1]，Bäcklund变换[2,三,4,5]，达布变换[6,7,8,9,10,11,12,13,14]，黎曼-希尔伯特方法[15,16,17]和Hirota的双线性方法[18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28]、雅可比椭圆函数法和修正tanh函数法[29,30,31,32,33]. 这些方法都有各自的特点，Hirota的双线性方法因其简单和直接而广受欢迎。参考文献。 [34,35]通过符号计算，利用Hirota双线性形式计算了Hirota–Satsuma–Ito方程的一些整体解和相互作用解。参考文献[36]，通过Hirota双线性方法显式地构造了两类集总解。Hirota的双线性方法通常可以用来构造精确的局域波解，如孤子、呼吸器（别名周期孤子）和块。孤子具有非线性和色散效应在介质上的平衡所导致的稳定性[31,32,37]. 呼吸器是在一定方向上具有周期结构的局部局部呼吸波[38,39,40]. Lump是一种在所有空间方向上的有理函数解，在浅水波、等离子体、光学介质和玻色-爱因斯坦凝聚体中有一些物理应用[41,42].

在本文中，我们考虑以下几点($2+1$)-多维非对称Nizhnik–Novikov–Veselov（ANNV）方程：

$$\开始{aligned}u{t}+u{xxx}+3\biggl（u\intu{x}\，\mathrm{d} 年\biggr）{x}=0，\end{aligned}$$

(1)

其中下标分别表示相对于两个标度空间坐标的偏导数\（x，y）和时间t吨,u个是的功能\（x，y），以及t吨，以及u个是物理场。ANNV方程是KdV方程的各向同性Lax可积推广，在现代弦论和生物膜理论中提出。许多论文重点分析了方程的精确解(1). Boiti等人[43]首先导出公式(1)并用逆散射变换求解。Dai等人[44]导出了等式的变量分离解(1)采用扩展的tanh函数方法。瓦兹瓦兹[45]借助Hirota双线性方法的简化形式，研究了广义、非对称和修正NNV方程的多孤子解。风扇[46]研究了方程的准周期波解，并建立了方程的拟周期波解和孤子解之间的关系(1)基于多维黎曼θ函数和Hirota双线性方法。Zhao等人[47]给出了等式的块状条纹解(1)使用双线性形式。据我们所知M（M）-块状解和不同类型的局域波相互作用解，包括块状固溶体和块状固-通气体解，以前还没有报道过。

本文的其余部分安排如下。在Sect。 2，我们首先介绍N个-方程的孤子解(1)使用Hirota的双线性方法。章节三致力于M（M）-利用长波极限到偶数的整体解N个-孤子解。在Sect。 4以奇数五孤子解为例，利用长波极限和选取特殊参数，给出了一些混合集总解和集总-呼吸解。最后一节给出了一些结论。

2这个N个-孤子解($2+1$)-维ANNV方程

进行转换

$$\开始{aligned}u=u{0}+2（\lnf）{xy}，\end{aligned}$$

(2)

方程式(1)转换为以下双线性公式：

$$\begon｛aligned｝\bigl（D_｛y｝D_｛t｝+D_｛x｝^｛3｝D_｛y｝+3u_｛0｝D_｛x｝^｛2｝\bigr）f\cdot f=0，\end｛aligned｝$$

(3)

其中双线性微分算子D类已定义[48]由

$$开始{对齐}D_{x}^{m}D_{y}^{n}D_}t}^{p}（a\cdot b）={}&（\partial_{x{-\partial _{x'}）t'\bigr）|_{x=x'，y=y'，t=t'}，\end{aligned}$$

(4)

然后等式(三)等于

$$\开始{aligned}&2f_｛yt｝-2f_{t} f{y}+2f_｛xxxy｝f-2f_{xxx}f_{y} -6f个_{xxy}f_{x} \\&\四{}+6f_{xx}f_{xy}+6u{0}f_{xx}f-6u_{0}f_{x}^{2}=0。\结束{对齐}$$

(5)

基于Hirota的双线性方法N个-方程的孤子解(1)通过替换获得

$$开始{对齐}f={}&1+\sum_{s=1}^{N}\exp_{sj}甲_{sk}甲_{jk}\\&{}\times\exp（\eta_{s}+\ta_{j}+\ta _{k}）+\cdots+\biggl（\prod_{s<j}A_{sj}\biggr）\exp\biggl\{\sum_{s=1}^{N}\eta_{s}\biggr\}\end{alized}$$

(6)

到等式(2)带有

$$\开始{对齐}&\eta_{s}=a_{s2}x+b_{s{y+c_{sneneneep t+\eta_a{0s}，\quad c_{s1}=-\frac{a_s}^{3}b_{s2{+3u_{0}a_{ss}^{2}}{b_{s}}，\tend{aligned}$$

(7)

$$\begin{aligned}&A_{sj}=-\frac{（A_{s} -a个_{j} ）^{3}（b_{s} -b个_{j} ）+3u{0}（a_{s} -a个_{j} ）^{2}+（b_{s} -b个_{j} ）（c）_{s} -c_{j} ）｝｛（a_｛s｝+a_｛j｝）^｛3｝（b_｛s｝+b_｛j｝）+3u_｛0｝（a_｛s｝+a_｛j｝）^｛2｝+（b_｛s｝+b_｛j｝）（c_｛s｝+c_｛j｝）｝，\\\quad s，j=1，2，\ldots，N，\end｛aligned｝$$

(8)

其中参数\（a{s}，b{s}\），以及\（\eta_{0s}\）是与振幅和相位相关的常数N个第个孤子。受到[9,21]，我们有以下定理。

定理1

让 \（b_s}=p_s}a{s}（s=1，\ldots，N），a{j}=l{j}\epsilon，\exp（\eta_{0j}）=-1\（j=1，\tots，2M），p_{N}=p_{N+M}^{*}\（N=1，\t，M）\）,\（a{2M+l}=a{2M+P+l}^{*}\（l=1，\ldots，P）\）,和 \（a{2M+2P+k}\（k=1，\ldot，Q）\） 为实常量.什么时候？ \（\epsilon\rightarrow 0\）,这个 N个-方程的孤立子解. (1)可以简化为 M（M）-块,P（P）-通气孔,和 问-孤子,哪里 \（N=2M+2P+Q\）,在哪儿 \（M、P、Q） 是非负整数，表示块数,通气孔,和孤子,分别地.

接下来，我们将在定理中应用上述结论1给出等式的M-块、混合块-固和块-固-通气溶液(1).

三 M（M）-一次性解决方案

在本节中，我们让\（P=Q=0）（即。，\（N=2M\）)在定理中1，我们可以获得M（M）-等式的整体解(1). 通过选择参数\（b{s}=p_{s} 一个_{s} ，a{s}=l{s}\epsilon\）在等式中(6)根据规定\（\exp（\eta_{0s}）=-1，s=1，2，\ldots，N\）(N个是偶数），然后将长波极限作为\（\epsilon\rightarrow 0\），函数（f）在等式中(6)转化为纯有理函数。因此，一般高阶有理函数的公式(1)可以表示为[49,50]

$$开始{对齐}f_{N}={}&\prod_{s=1}^{N}\omega_{s}+\frac{1}{2}\prod\{s，j}^{N}B_{sj}\sum_{l\neqs，j{N}\omega_{l}+\cdots\\&{}+\frac{1}{M！2^{M}\sum{s，k，\ldots，M，N}^{N}\越界{B_{sj}乙_{kl}\cdots B_{mn}}^{M}\prod_{p\neq s，j，k，l\ldots，M，n}^{n}\omega_{p}+\cdot，\end{aligned}$$

(9)

哪里

$$开始{aligned}{B_{sj}=\frac{2p_{s}p_{j}（p_{s}+p_{j}）}{u_{0}（p_{s} -第页{j}）^{2}}，\qquad\omega_{j}=x+p{j}y-\frac{3u{0}}{p{j{}}t，\quad j=1,2，\ldots，N.}\end{aligned}$$

(10)

如果我们选择\（p_{n}=p_{n+M}^{*}\（n=1,2，\ldots，M）\）对于\（N=2M\）根据条件\（B_{sj}>0\），我们可以得到一类非奇异的M（M）-一次性解决方案。

（i） 设置\（N=2）在等式中(9)，我们有

$$\开始{aligned}f=\omega_{1}\omega_2}+B_{12}。\结束{对齐}$$

(11)

替换公式(11)转换为等式中的双线性变换(2)，我们可以得到方程(1). 图1显示了一个具有一个波峰和两个波谷的块状物\（t=0）if参数\（u{0}=-1，p{1}=p{2}^{*}=1+i\）在下面，我们总是设置参数\（u{0}=-1\）.

图1

带参数的单泵解决方案\（p_{1}=p_{2}^{*}=1+i\）在\（t=0）（a）一个块的表面（顶部）和密度（底部）图；（b） （a）的对应反图

（ii）设置\（N=4\）在等式中(9)，我们有

$$\开始{对齐}f={}&\omega{1}\omega_2}\omega{3}\omega_4}+B_{34}\omega{1}\ omega{2}+B_24}\ omega_{1}\omega_3}+B_2{23}\omega_1}\omegra_{4}+B{14}\omegan_2}\Ω{3}\&{}+B_13}ω_{12} B类_{34}+B_{13} B类_{24}+B_{14} B类_{23}. \结束{对齐}$$

(12)

替换公式(12)转换为等式中的双线性变换(2)，我们可以得到公式(1). 图2显示了两个块体在不同时间与参数之间的弹性相互作用

$$\开始{对齐}p_{1}=p_{2}^{*}=1+i，\qquad p_{3}=p_a{4}^{**}=\frac{1}{3}+\frac}{2}i.\end{对齐{$$

(13)

从图2，我们可以清楚地看到两个块状物随着时间的增加越来越近，它们在\（t=0）然后再次分离，相互作用后，两个块保持形状和振幅不变，因此相互作用是弹性的。

图2

两个块体之间相互作用的表面（顶部）和密度（底部）图，参数如方程式(13)在不同的时间

（iii）设置\（N=6）在等式中(9)，我们可以得到三ump解。在这种情况下，有许多孤子参数，而且解非常复杂，所以我们省略了它的表达式。图3显示了三个块体在不同时间与参数之间的弹性相互作用

$$\begon｛aligned｝p_｛1｝=p_｛2｝^｛*｝=\frac｛1｝｛4｝+i，\cuad p_｛3｝=p_｛4｝^｛*｝=1+i，\cuad p_｛5｝=p_｛6｝^｛*｝=\frac｛1｝｛2｝+\frac｛3｝｛5｝i。\end｛aligned｝$$

(14)

从图三，我们可以清楚地看到三个集块在\（t=-50\）随着时间的推移，它们之间的相互作用越来越紧密\（t=0），在交互之后，分离并重新排列一个三角形。随着时间的推移，它们越来越远，它们的形状和振幅与以前一样。

图3

三个块体之间相互作用的表面（顶部）和密度（底部）图，参数如方程式(14)在不同的时间

4肿块与孤立子或呼吸子相互作用

在上一节中，我们讨论了M（M）-等式的整体解(1)使用长波极限。在这一节中，我们将通过使用长波极限和选择共轭谱参数来考虑不同局域波的相互作用解，例如块状波与孤子或通气体的相互作用。给，我们拿\（N=5）在等式中(6)作为一个例子。

案例1。一个肿块与孤子或呼吸器相互作用.放置\（b{s}=p_{s} 一个_{s} （s=1,2,3,4,5），a{1}=l{1}\epsilon，a{2}=l}\epsilon，eta{01}=eta{02}^{*}=i\pi\）,\（eta{03}=eta{04}=eta{05}=0\）和采取\（\epsilon\到0\），然后是函数（f）在等式中(6)可以重写为

$$\begin｛aligned｝f＝｛｝&（B_｛12｝+\ω_｛1｝\ω_｛2｝）l_｛1｝l_｛2｝\ε^｛2｝+（\ω_｛1｝\ω_｛2｝+B_｛23｝\ω_｛1｝+B_｛13｝\ω_｛2｝+B_｛12｝+B_{13} B类_{23}）\exp（\eta{3}）\\&{}\乘以l{1}l{2}\epsilon^2}+（ω{1}\ω{2}+B{24}\omega{1}+B_14}\omega{2}+B_12}+B_{14} B类_{24}）\exp（\eta_{4}）l_1}l_2}\epsilon^{2}\\&{}+B_{34}\bigl[\omega_{1}\omega_2}+（B_{23}+B_24}\次（B_{23}+B_{24}）\大]\exp（\eta_{3}+\ta_{4}）l_{1}l_{2}\epsilon^{2}+（\omega_1}\omega_2}+B_25}\omega _1}+B_15}\omega_2}_{15} B类_{25}）\exp（\eta_{5}）l_1}l_2}\epsilon^{2}+B_{35}\bigl[\omega_{1}\omega_2}+（B_{23}+B_25}+B_{25}）\bigr]\exp（\eta_3}+\eta_{5}）l_1}l_2}\epsilon^{2}+B_}45}\bigl[\omega_1}\omega_2}\\&{}+（B_24}+B_25}+（B_{14}+B_{15}）_｛34｝B_｛35｝B{45}\bigl[\omega_1}\omega_2}+（B_23}+B_24}+B_{25}1）\bigr]\exp（\eta_{3}+\eta_3}+\eta_{5}）l_{1}l_{2}\epsilon^{2}+O\bigl（\epsiron^{3}\bigr），\end{aligned}$$

(15)

哪里

$$\开始{aligned}&B_{12}=\frac{2p_{1} 第页_{2} （p{1}+p{2}）}{u{0}（p_{1} -第页_{2} ）^{2}}，\qquad\omega_{j}=x+p{j}y-\frac{3u{0}}{p{j{}}t，\quad j=1,2，\end{aligned}$$

(16)

$$\begin{aligned}&B_{sj}=\frac{2p_{s}a{j}p_{j}（p_{s}+p_{j}）}{u_{0}（p_{s} -第页_{j} ）^{2} -第页{s}p{j}^{2} 一个_{j} ^{2}}\四元（s=1,2，j=3,4,5），\结束{对齐}$$

(17)

和

$$\begin{aligned}B_{sj}=\frac{u_{0}（p_{s} -第页_{j} ）^{2}-p{s}p{j}（a_{s} -a个_{j} ）（p{s}a_{s} -第页_{j} a{j}）}{u{0}（p_{s} -第页_{j} ）^{2} -第页_{s} p{j}（a{s}+a{j}）（p{s}a{s{+p{j}a{j{）}，\quad（3\leqs<j\leq5）。\结束{对齐}$$

(18)

解决方案u个由等式给出(15)给出了块状孤子与呼吸孤子或线孤子的相互作用解。在这里，我们将讨论两个案例：

（i） 何时\（M=1，P=0，Q=3\）在定理中1，我们可以导出一个孤子和三个孤子之间的相互作用解。考虑

$$\begin{aligned}p_{1}=p_{2}^{*}=1+i，\qquad a_{3}=a_{4}=\frac{2}{3}，\qquid p_{3{=1，\quad p_}4}=2，\quid a_{5}=\frac{2{3}，\qqquad p_a{5}=\frac}{2}}{3{，\end{alinged}$$

(19)

什么时候\（\epsilon\rightarrow 0\），解决方案u个由等式给出(15)表示一块孤子和三个孤子之间的弹性相互作用，如图所示4.

图4

单孤子和三孤子之间混合集总-固相互作用的表面（顶部）和密度（底部）图，参数如方程式(19)在不同的时间

（ii）何时\（M=P=Q=1\）在定理中1，我们可以导出一个块体、一个通气体和一个孤子之间的相互作用解。拿

$$\开始{对齐}p_{1}=p_{2}^{*}=1+2i，\qquad a_{3}=a_{4}=\frac{2}{3}，\qquid p_{3{=p_}4}^{**}=1+i，\quad a{5}=\frac{2{3}，\qqquad p_}=1，\end{aligned}$$

（20）

什么时候\（\epsilon\rightarrow 0\），解决方案u个由等式给出(15)表示一个块体、一个呼吸器和一个孤子之间的弹性相互作用，如图所示5.

图5

一个块状物、一个呼吸器和一个孤子在不同时间和参数下的混合块状固体-呼吸器相互作用的表面（顶部）和密度（底部）图(20)

案例2。两个团块与一个孤立子相互作用.何时\（M=2，P=0，Q=1）在定理中1，我们可以导出两个集总和一个孤子之间的相互作用解。放\（b{j}=p_{j} 一个_{j} ，a{j}=l{j}\epsilon\（j=1,2,3,4），b{5}=p_{5} 一个_{5} ，\ta{01}=\ta{02}^{*}=\ta{03}=\ta-{04}^{**}=i\pi\）,\（eta_{05}=0\）和采取\（\epsilon\到0\），然后是函数（f）在等式中(6)可以重写为

$$\开始{对齐}f={}&（\omega{1}\omega_2}\omega{3}\omega_{4}+B_{34}\omega_2}\omega_2}+B_24}\omega_1}\omegea_3}+B_3}\omega{23}\ omega_1{4}+B_14}\ omega_2{3}{2}ω{4}_{12} B类_{34}+B_{13} B类_{24}+B_{14} B类_{23}}ω{1}_{35}乙_{45}\\&{}+B_{34}）\omega_2}+（B_{25}乙_{45}+B_{24}）\omega_{3}+（B_{25}乙_{35}+B_{23}）\omega_{4}\bigr]+\omega_2}\bigl[（B_{15} B类_｛45｝\\&｛｝+B_｛14｝）\ω_｛3｝+（B_{15} B类_{35}+B_{13}）\omega_{4}\bigr]+（B_{15} B类_{25}+B{12}）\omega{3}\omega_{4}+omega{1}\bigl[（B_{25}乙_{35}\\&{}+B_{23}）B_{45}+B_{24}乙_{35}+B_{25}乙_｛34｝\bigr]+\ω_｛2｝\bigl[（B_{15} B类_{35}+B_{13}）B_{45}+B_{14} B类_{35}\\&{}+B_{15} B类_{34}\bigr]+\omega_{3}\bigl[（B_{15} B类_{25}+B_{12}）B_{45}+B_{14} B类_{25}+B_{15} B类_{24}\bigr]+\omega_{4}\\&{}\times\bigl[（B_{15} B类_{25}+B_{12}）B_{35}+B_{13} B类_{25}+B_{15} B类_{23}\bigr]+B_{13} B类_{24}+B_{23}乙_{14} \\&{}+B_{34}（B_{15} B类_{25}+B_{12}）+B_{35}（B_{14} B类_{25}+B_{15} B类_｛24｝）+B_｛45｝\bigl[（B_{15} B类_{25}\\&{}+B_{12}）B_{35}+B_{13} B类_{25}+B_{15} B类_{23}\bigr]\bigr\}\exp（\eta_{5}）l_1}l_2}l_3}l_{4}\epsilon^{4}+O\bigl（\epsiron^{5}\biger），\end{aligned}$$

(21)

哪里

$$\开始{对齐}&\ω{j}=x+p_{j}y-\frac{3u{0}}{p_{j}}t，\quad j=1,2,3,4，\end{aligned}$$

(22)

$$\begin{aligned}&B_{sj}=\frac{2p_{s}p_{j}（p_{s}+p_{j}）}{u_{0}（p_{s} -第页_{j} ）^｛2｝｝\ quad（1\leq s＜j\leq 4），\结束｛对齐｝$$

(23)

$$开始{aligned}&B_{s5}=\frac{2p_{s}a{5}p_{5}（p_{s}+p_{5}）}{u_{0}（p_{s} -第页_{5})^{2} -第页{s}p{5}^{2} 一个_{5} ^{2}}\quad（s=1，2，3，4）。\结束{对齐}$$

(24)

拿

$$\开始{对齐}p_{1}=p_{2}^{*}=\frac{1}{2}+\frac}1}{2} 我，\cuad p_｛3｝=p_｛4｝^｛*｝=\frac｛1｝｛3｝+\frac｛1｝{2} 我，\qquad a{5}=1，\qqquad p_{5}=1，\end{aligned}$$

(25)

解决方案u个由等式给出(21)表示一个孤子和两个块体之间的弹性相互作用，如图所示6.

图6

方程中的单线孤子与两个集总在不同时间和参数下的相互作用解(25)

5结论

本文基于Hirota的双线性方法，我们得到了N个-方程的孤子解(1). 通过使用长波极限和选择特殊参数N个-孤子解，我们给出了获得混合集总-粒子-固体相互作用解的一般结论。特别是，通过使用长波极限到偶数N个-孤子(\（N=2M\）)特殊参数下的解，M（M）-图中给出并讨论了集总及其动态特性1–三此外，我们选择案例\（N=5）作为一个例子。混合集总-固相互作用解包括一个集总和三个孤子（见图4)，混合团块-孤子-呼吸器相互作用解决方案，包括一个团块、一个呼吸器和一个孤子（见图5)，以及包括两个团块和一个孤子的混合团块-孤子相互作用解决方案（见图6)通过使用长波极限和选择特殊的共轭复数参数导出。表1显示了从方程的五孤子解中获得集总解和集总呼吸解的一些数学特征(1)如何选择合适的参数。本文给出的结果表明，长波极限是一种直接而有力的数学工具，可以用来构造非线性发展方程的各种局域波的混合相互作用解，它可以用于研究数学和物理中的其他非线性模型。

表1五孤子的混合相互作用解