具有四点积分条件的Caputo共形微分方程的存在性和Ulam–Hyers稳定性

摘要

本文应用标准不动点定理，如Banach压缩映射原理、Krasnoselskii不动点理论和Leray–Schauder非线性替代，研究了具有四点积分条件的Caputo环境中保角导数解的存在唯一性。此外，我们使用直接分析方法给出了Ulam–Hyers稳定性结果。研究了不同类型的Ulam稳定性，如Ulam–Hyers稳定性、广义Ulam-Hyers稳定、Ulam-Hyers–Rassias稳定性和广义Ulam-Hyers-Rassias稳定。还提供了支持我们理论结果的示例。

1介绍

分数阶微积分将整数阶微分和积分理论扩展到实数阶或复数阶。近年来，由于分数阶模型比整数阶模型更精确，人们对非整数阶微分方程和包含的研究表现出了极大的兴趣。分数导数为描述具有记忆和遗传特性的系统提供了极好的工具。许多书籍和专著都致力于分数微积分的发展，例如[1,2,三,4,5,6,7,8]以及其中的参考文献。

分数阶微分方程领域最突出的研究领域之一是解的存在性理论，它引起了研究人员的极大关注。对于本主题的理论发展，我们建议读者阅读论文[9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23]以及其中引用的参考文献。另一个重要而有趣的研究领域是经典和分数阶微分方程的稳定性分析，最近受到了研究人员的极大关注。乌拉姆稳定性的概念是由乌拉姆提出的，它可以被视为一种特殊类型的数据依赖[24,25]. Hyers、Aoki、Rassias和Obloza对该领域的发展做出了贡献（参见[26,27,28,29,30]以及其中的参考）。同时，考虑各类分数阶微分方程的Ulam稳定性的工作很少[31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44].

在本文中，我们研究了具有四点积分条件的Caputo环境中保角导数解的存在性、唯一性和Ulam–Hyers稳定性：

$$\textstyle\begin{cases}（{{}_{a}^{C}}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}x）（t）=f（t，x（t）），\quad 1<\alpha\leq 2，a<t<t，\\x（a）=\mu_{1} x（xi）+\mu_{2}，\qquad x（T）=\lambda（{{}_{a}}\mathfrak{I}^{beta，\rho}x）（\sigma），\end{cases}$$

(1.1)

哪里\（｛｛｝_｛a｝^｛C｝｝\mathfrak｛D｝^｛\alpha，\rho｝\）表示Caputo顺序设置中的左共形导数α具有\（\rho\ in（0,1]\）,\（f:[a，T]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\）是一个连续函数，\（a \geq 0），积分\（{（a，T）}中的\xi，\sigma），给定常数\（\mu_{1}，\mu_}2}，\λ\in\mathbb{R}）、和\（｛｝_｛a｝\mathfrak｛I｝^｛\beta，\rho｝\）是左保角积分算子\（β>0\）事实上，我们通过应用标准不动点定理（如Banach压缩映射原理、Krasnoselskii的不动点理论和Leray–Schauder非线性替代）来研究存在唯一性结果。此外，我们还研究了不同类型的Ulam稳定性：问题的Ulam-Hyers稳定性、广义Ulam-Hyers稳定、Ulam–Hyers–Rassias稳定性和广义Ulam-Hyers-Rassias稳定(1.1).

本文组织如下。第节简要回顾了分数微积分理论。 2。在Sect。 三，我们证明了问题解的存在唯一性(1.1). 在教派。 4，我们讨论了Ulam–Hyers稳定性结果。最后，第节给出了示例。 5以说明我们的主要结果的有用性。

2前期工作

在这一节中，我们介绍了分数阶微积分的一些符号和定义，并给出了我们后面证明所需的初步结果。

定义2.1

从一点开始的左共形导数一函数的\（f:[a，\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）订单的\（0<\rho\leq 1）由定义

$$\bigl（{}_{a} D类^{\rho}f\bigr）（t）=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f（t+\epsi隆（t-a）^{1-\rho{）-f（t）}{\epsilon}$$

如果\(({}_{a} D类^{\rho}f）（t）\）存在于\（（a，b）\），然后\(({}_{a} D类^{\rho}f）（a）=\lim_{t\rightarrow a^{+}}（{}_{a} D类^{\rho}f）（t）\）.如果（f）是可微的，那么

$$\bigl（{}_{a} D类^{\rho}f\bigr）（t）=（t-a）^{1-\rho{f'（t）$$

（2.1）

相应的左共形积分定义为

$$ _{a} 我^{\rho}f（x）=\int_{a}^{x} （f）（t） \frac{dt}{（t-a）^{1-\rho}}，\quad 0<\rho\leq 1$$

对于高阶扩展\（\rho>1\），请参阅[45].

定义2.2

([45])

函数的左Riemann–Liouville共形积分\（f:[a，\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）订单的α具有\（0<\rho\leq 1）由定义

$$_{a}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f（x）=\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{a{^{x}\biggl（\frac}（x-a）^{\rho{-（t-a）$$

(2.2)

哪里\（\alpha\in\mathbb｛C｝\）,\（\Re（\alpha）\geq 0）。

定义2.3

([45])

函数的左Riemann–Liouville保角导数\（f:[a，\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）订单的\（\alpha\in\mathbb｛C｝\）,\（\Re（\alpha）\geq 0）具有\（0<\rho\leq 1）由定义

$$\开始{aligned}{}_{a}\mathfrak{D}^{\alpha，\rho}f（x）=&{}{a}^{m} D类^{\rho}\bigl（{}_{a}\mathfrak{I}^{m-\alpha，\rho{\bigr）f（x）\\=&\frac{{}_a}^{m} D类^{\rho}}{\varGamma（m-\alpha）}\int_{a}^{x}\biggl$$

(2.3)

哪里\（m=\lceil\Re（\alpha）\rceil=\min\{m\in\mathbb{Z}|m\geq\Re,\（{}{a}^{m} D类^{\rho}=\下大括号{{}_{a} D类^{\rho}}{{}_{a} D类^{\rho}}\cdots{{}_{a} D类^{\rho}}{{m\text{-次}}}\）、和\({}_{a} D类^{\rho}\）是定义中给出的左共形微分算子2.1。

定义2.4

([45])

函数的左Caputo保角导数\（f:[a，\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）订单的\（\alpha\in\mathbb｛C｝\）,\（\Re（\alpha）\geq 0）具有\（0<\rho\leq 1）由定义

$$开始{aligned}{}_{a}^{C}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}f（x）=&{}{a}\math frak{I}^{m-\alpha^{m} D类^{\rho}f（x）\bigr）\\=&\frac{1}{\varGamma（m-\alpha）}\int_{a}^{x}\biggl（\frac{（x-a）^{\rho}-（t-a）^{m} D类^{\rho}f（t）\，dt}{（t-a）^{1-\rho{}，\end{aligned}$$

(2.4)

如果右侧存在。

引理2.1

([45])

让 \（Re（alpha）>0）,\（\Re（β）>0\）,和 \（\Re（\nu）>0\）。那么以下公式成立以下为：

$$\bigl（{}_{a}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}\bigle（{{a}\mathfrak{I}^{beta，\rho}f\bigr）（x）=\bigl$$

(2.5)

和

$${}_{a}\mathfrak{I}^{\beta，\rho}（t-a）^{\rho（\nu-1）}$$

(2.6)

引理2.2

([45])

让 \（在C_{\alpha中，a}^{n}[a，b]\）,\（\alpha\in\mathbb｛C｝\）。然后

$${}{a}\mathfrak{I}^{\alpha，\rho}\bigl^{k} D类^f（a）（x-a）^{\rhok}}{\rho^{k} k个!}, $$

(2.7)

哪里 n个 是大于或等于的最小整数 α。

引理2.3

对于 \（\alpha>0\）,分数阶微分方程的通解 \（{}_{a}^{C}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}u（t）=0\） 由提供

$$u（t）=c_{0}+c_{1}（t-a）^{\rho}+c_{2}$$

(2.8)

哪里 \（c_{i}\in\mathbb{R}\）,\（i=0,1，\ldot，n-1）,n个 是大于或等于的最小整数 α。

鉴于引理2.3，因此

$${{}{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}\bigl$$

(2.9)

对一些人来说\（c_{i}\in\mathbb{R}\）,\（i=0,1，\ldot，n-1）。

为了方便起见，我们设置了常数

$$\eta_{1}=\frac{\lambda（\sigma-a）^{\rho\beta}}{\rho ^{\beta{\varGamma（\beta+1）}-1，\qquad\eta_2}=\frac{\lambda（\sigma-a）^{\rho（\beta+1）}}{\ rho^{\贝塔}\varGamma（\be塔+2）}-（T-a）^ \rho}$$

(2.10)

引理2.4

让 \（1<\alpha\leq 2\）,\（0<\rho\leq 1）,\（β>0\）,\（在（a，T）中为xi，sigma）,\（\lambda，\mu_{1}，\mu_2}\in\mathbb{R}\）,和 \（y\在C（[a，T]，\mathbb{R}）中\） 和一个常数

$$\mathcal{J}=\eta_{2}（1-\mu_{1}）+\eta_1}\mu_}1}（\xi-a）^{\rho}\ne0$$

然后是问题

$$\开始{aligned}&\bigl（{{}_{a}^{C}}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}x\bigr）（t）=y（t），\四元a<t<t，\结束{aligned}$$

(2.11)

$$\开始{对齐}&x（a）=\mu_{1} x（xi）+\mu_{2}，\qquad x（T）=\lambda\bigl（{{}_{a}}\mathfrak{I}^{{beta，\rho}x\bigr）（\sigma），\end{aligned}$$

(2.12)

有一个独特的解决方案

$$x（t）=｛｛｝_｛a｝｝\mathfrak｛I｝^｛\alpha，\rho｝y（t）+\lambda _｛1｝（t）｛｝_｛a｝｝\mathfrak｛I｝^｛\alpha，\rho｝y（xi）+\lambda _｛2｝（t）｛y（\西格玛）+\λ_｛4｝（t）$$

(2.13)

哪里

$$\begin{aligned}&\lambda_{1}（t）=\frac{\mu{1}}{\mathcal{J}}\bigl\{\eta_{2}-（t-a）^{\rho}\eta_{1}\bigr\}，\qquad\lambda_{2}（t）=\frac{1}{\mathcal{J}}\bigl\{（t-a \bigl\{\mu_{1}（\xi-a）^{\rho}+（1-\mu_}1}）（t-a）^{\ rho}\bigr\}，\qquad\lambda_{4}（t）=\frac{1}{\mathcal{J}}\bigl\{\eta_{2}\mu_{2}-（t-a）^{\rho}\eta{1}\mu{2}\bigr\}。\结束{对齐}$$

证明

使用引理2.3, (2.11)可以表示为等效积分方程

$$x（t）={{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}y（t）+c{0}+c{1}（t-a）^{rho}$$

(2.14)

对于任意常数\（c_{0}，c_{1}\in\mathbb{R}\）。

取左分数阶保角积分算子\（β>0\）的(2.14)，我们有

$${{}_{a}}\mathfrak{I}^{beta，\rho}x（t）={{}_a}\matchfrak{I}^{alpha+\beta，\ rho}y（t）+c{0}\frac{（t-a）}{\rho^{\beta}\varGamma（\beta+2）}$$

（2.15）

从第一个条件(2.12)，因此

$$（1-\mu _｛1｝）c_{0}-\μ{1}（\xi-a）^{\rho}c{1}=\mu{1}{{}{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho{y（\xi）+\mu{2}$$

(2.16)

第二个条件(2.12)和(2.15)暗示

$$\eta美元_{1} c（c）_{0}+\eta_{2} c（c）_{1} ={{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}y（T）-\lambda{{}a}}\mathfrak{I}^{\alpha+\beta，\rho}y（\sigma）$$

(2.17)

发件人(2.16)和(2.17)，我们得到如下两个常数：

$$c_{0}=\frac{1}{\mathcal{J}}\bigl\{\eta_{2}\mu_{1}\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}y（\xi）+\eta_2}\mu_2}+\mu_1}（\xi-a），\rho}y（T）-\lambda\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha+\beta，\rho}y（\sigma）\bigr]\bigr\}$$

和

$$c_{1}=\frac{1}{\mathcal{J}}\bigl\{（1-\mu_1}）\bigl[{{}{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}y（T）-\lambda\，{{}_{a}\mathbrak{I{{{{alpha+\beta，\rho}y（\sigma）\bigr]-\eta{1}\bigr[\mu_1{1}{{}{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}y（\xi）+\mu_{2}\bigr]\bigr\}$$

替换常量\（c_{0}\）和\（c{1}\）到(2.14)，我们获得(2.13). 反过来，直接计算。证明已完成。□

三存在唯一性结果

让\（\mathcal{C}=C（[a，T]，\mathbb{R}）\）表示所有连续函数的Banach空间\（[a，T]\）到\（\mathbb{R}\）被赋予由\（\|x\|=\sup_{t\in[a，t]}|x（t）|\）。为了方便起见，在本文中\（{{}_{a}}\mathfrak{I}^{b，\rho}f（s，x（s））（c）\）方法

$${}_{a}}\mathfrak{I}^{b，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr（s-a）^{1-\rho}}，\quad t\in[a，t]$$

哪里\（b\in\{\alpha，\alpha+\beta\}）和\（c在t，t，xi，sigma中）。

鉴于引理2.4，我们定义了一个运算符\（\mathcal{F}:\mathcal{C}\rightarrow\mathcali{C}\）通过

$$\开始{aligned}（\mathcal{F} x个)（t）=&{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr hfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr）（t）-\lambda_{3}（t）\，{{}_{a}}\mathfrak}I}^{alpha+\beta，\rho}f\ bigl。\结束{对齐}$$

(3.1)

应该注意的是，这个问题(1.1)有解当且仅当操作员\（\mathcal{F}\）具有固定点。在下面的小节中，我们证明了边值问题的存在性以及存在唯一性结果(1.1)通过使用各种不动点定理。此外，我们设置

$$\begin{aligned}和\bigl\vert\lambda_{1}（t）\bigr\vert\le M_1}:=\frac{|\mu_1}|}{|\mathcal{J}|}\bigl\{|\eta_{2}|+（t-a）^{\rho}|\eta{1}|\bigr\}，\end{alinged}$$

(3.2)

$$开始{aligned}和\bigl\vert\lambda{2}（t）\bigr\vert\le M_{2}:=\frac{1}{|\mathcal{J}|}\bigl\{（t-a）^{\rho}\bigle（1+\vert\mu_{1}\vert\bigr）+|\mu_{1\$$

(3.3)

$$\begin{aligned}和\bigl\vert\lambda_{3}（t）\bigr\vert\le M_{3{：=\frac{|\lambda|}{|\mathcal{J}|}\bigl\{|\mu_{1}|（\xi-a）^{\rho}+（t-a）^{\ rho}\bigle（1+\vert\mu_{1\vert\biger）\biger\}，\end{alinged}$$

(3.4)

$$\begin{aligned}和\bigl\vert\lambda_{4}（t）\bigr\vert\le M_{4}:=\frac{1}{|\mathcal{J}|}\bigl\{|\mu_{2}|\bigl$$

(3.5)

和

$$\varPhi=\frac｛（T-a）^｛\rho\alpha｝｝｛\rho^｛\alpha｝\varGamma（\alpha+1）｝+M_｛1｝\frac｛（\si-a）^｛\rho\alpha｝｝｛\rho^｛\alpha｝\varGamma（\alpha+1）｝+M_｛3｝\frac｛（\sigma-a）^｛\rho｛\alpha+\beta）｝｝｛\rho^｛\alpha+\beta｝\varGamma（\alpha+\beta+1）｝$$

(3.6)

3.1基于Banach不动点定理的存在唯一性结果

第一个存在唯一性结果基于巴拿赫压缩映射原理（巴拿赫不动点定理）。

定理3.1

假设 \（f:[a，T]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\） 是一个连续函数，因此

（H）₁):

存在一个常数 \（L>0\） 这样的话 \（|f（t，x）-f（t，y）|\leq L|x-y|\） 对于每个 \（位于[a，t]\中） 和 \（x，y\in\mathbb{R}\）。

如果

$$L\varPhi<1$$

(3.7)

哪里 Φ 由定义(3.6),然后是边值问题(1.1)有独特的解决方案 \（[a，T]\）。

证明

我们转换问题(1.1)变成一个不动点问题，\（x=\mathcal{F} x个\)，其中操作员\（\mathcal{F}\）定义如下(3.1). 观察操作员的固定点\（\mathcal{F}\）是问题的解决方案(1.1). 应用巴拿赫收缩映射原理，我们将表明\（\mathcal{F}\）有一个唯一的固定点。现在，我们让\（\sup_{t\in[a，t]}|f（t，0）|=M<\infty\）并选择一个正常数第页令人满意的

$$r\geq\frac｛\varPhi M+M_｛4｝｝｛1-L\varPhi｝$$

接下来，我们展示一下\（\mathcal{F}B_{r}\子集B_{r}\），其中\（B_{r}={x\在{\mathcal{{C}}}:\|x\|ler\}\中）。对于任何\（x\在B_{r}\中），我们有

$$\开始{aligned}&\bigl\vert（\mathcal{F} x个)（t）\bigr\vert\\&\quad=\bigl\vert{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\biger）（t）+\lambda_{1}（t）\，{{}_{a}\mathbrak{I{{{a}\ alpha{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigrf\bigl（s，x（s）\bigr）（\sigma）+\lambda_{4}（t）\biger\vert\\&\quad\le{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}\bigl\vert f\bigle alpha，\rho}\bigl\vert f\bigl（s，x（s）\bigr^｛\alpha，\rho｝\bigl\vert f\bigl（s，x（s）\bigr）\bigr\vert（T）\\&&\qquad｛｝+\bigl\vert\lambda _｛3｝（T）\bigr\vert\，｛｝_｛a｝｝\mathfrak｛I｝^｛\alpha+\beta，\rho｝\bigl\vert f\bigl（s，x（s）\bigr）\bigr\vert（\sigma）+\bigl\vert\lambda _｛4｝（T）\bigr\vert\\&&\quad le｛｛｝_｛a｝｝\mathfrak｛I｝^｛\alpha，\rho｝\bigl（\bigl\vert f\bigl（s，x（s））\bigr）-f（s，0）\bigr\vert+\bigl\vert f \&\qquad{}+M_{2}\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}\bigl（\bigl\vert f\bigl-（s，x（s）\bigr）-f（s，0）\bigr\vert+\bigl\vert f（s，0）\bigr\ vert\bigr）（T）\\&\qquad{}+M_{3}\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{\alpha+\beta，\rho}\bigl \\&\quad\le（Lr+M）\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{\alpha，\rho}（1）（T）+（Lr＋M）M_{1}\，{}_}a}}\ mathfrak{I}^{\alpha，\ rho}\（1）（xi）+（Lr+M）M_{2}\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}（1）（T）\\&\qquad{}+（Lr+M）M_{3}\，T-a）^{\rho\alpha}}{\rho ^{\alpha{\varGamma^{\rho\alpha}}{\rho ^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}\\&\qquad{}+M_{3}\frac{（\sigma-a）^{\rho（\alfa+\beta）}}{\ rho^{\alpha+\beta}\varGamma$$

这意味着\（\|{\mathcal{F}}x\|\ler）因此\（\mathcal{F} B类_{r} \子集B_{r}\）。

接下来，我们让\（x，y\ in \ mathcal{C}\）然后，对于\（位于[a，t]\中），我们有

$$\开始｛对齐｝\bigl\vert（\mathcal{F} x个)（t）-（\mathcal）{F} 年)（t）\bigr\vert\le&{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}\bigl\vertf\bigl（s，x（s）\biger）-f\bigl（s，y（s）\ bigr vert f\bigl（s，x（s）\biger}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}\bigl\vert f\bigl（s，x（s）\bigr）-f\bigl（s，y（s）\ bigr \vert（T）\\&{}+\bigl\ vert\lambda_{3}（T）\biger\vert\，{{}_{a}}\mathbrak{I{{{alpha+\beta，\rho}\bigr\vert f \bigl-bigl（s，y（s）\biger）\bigr\vert（\sigma）\\le&L\|x-y\|\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}（1）（T）+L\|x-y\|M_{1}\，{}_}}\mathfrak{I}^{α，\rho}（1）（\xi）（压裂{（T-a）^{\rho\alpha}}{\rho ^{\alpha{\varGamma（\alpha+1）}+M_{1}\frac{（\xi-a）^{\ rho\alpha}}{\rho-^{\阿尔pha}\varGarma（\alpha+1）{+M_2}\压裂{（T-a）^{\rho\alpha}}{\rho ^{\alpha{\varGamma$$

这意味着\（\|\mathcal{F} x个-\马查尔{F} 年\|\leq L\varPhi\|x-y\|\）.作为\（L\varPhi<1）,\（\mathcal{F}\）是收缩运算符。因此，我们通过Banach收缩映射原理推导出\（\mathcal{F}\）有一个不动点，它是问题的唯一解决方案(1.1)上的\（[a，T]\）.证明已完成。□

3.2基于Krasnoselskii不动点定理的存在性结果

下一个存在性定理是基于克拉斯诺塞尔斯基的不动点定理。

引理3.1

（克拉斯诺塞尔斯基的不动点定理[46])

让 M（M） 是一个封闭的,有界的,凸面的,和Banach空间的非空子集 X（X）。让 A类,B类 是这样的操作员（a）\（Ax+By\ in M\） 无论何时 \（x，y\单位：M\）; （b）A类 紧凑且连续; （c）B类 是收缩映射。然后就有了 \（z在M中） 这样的话 \（z=Az+Bz\）。

定理3.2

让 \（f:[a，T]\times{\mathbb{R}}\to\mathbb{R}\） 是满足的连续函数(H（H）₁).此外，我们假设

（H）₂):

\（|f（t，x）|\le\delta（t）\）,\（\对于所有（t，x）\在[a，t]\次{\mathbb{R}}\中）,和 \（δ\在C（[a，T]，｛\mathbb｛R｝｝^｛+｝）\中。

然后是边值问题(1.1)上至少有一个解决方案 \（[a，T]\） 假如

$$M_{1}\frac{（\xi-a）^{\rho\alpha}}{\rho ^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}+M_{2}\frac{（T-a）^{\ rho\alpha}}{\rhoSalpha}\varGamma（\ alpha+1 ma（\alpha+\beta+1）}<1$$

(3.8)

证明

设置\（\sup_{t\in[a，t]}|\delta（t）|=\|\delta\|\）并选择

$$\上一行{r}\geq\|\delta\|\varPhi+M_{4}$$

(3.9)

哪里Φ由定义(3.6)，我们认为\（B_{\overline{r}}=\{x\in\mathcal{C}:\|x\|\leq\overline{r}\}\）。让我们定义操作符\（\mathcal{F}（F）_{1}\)和\（\mathcal{F}（F）_{2} \）在\（B_{\上划线{r}}\）通过

$$\开始{aligned}&\mathcal{F}（F）_{1} x（t） ={{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr（t），\quad t\in[a，t]，\\&\begin{aligned}\mathcal{F}（F）_{2} x（t） &=\lambda _｛1｝（t）\，｛｛｝_｛a｝｝\mathfrak｛I｝^｛\alpha，\rho｝f\bigl（s，x（s）\bigr）（\xi）+\lambda _｛2｝β，\ rho｝f\ bigl（s，x（s）\ bigr）（\西格玛）+\λ_｛4｝（t），\ quad t\ in[a，t]。\end{aligned}\end{alinged}$$

对于任何\（x，y\在B_{\上划线{r}}\中），我们有

$$\开始｛对齐｝\|\mathcal{F}（F）_{1} x+\马查尔{F}（F）_{2} 年\|\le&\sup_{t\in[a，t]}\bigl\{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}\bigle\vertf\bigl（s，x（s）\bigr）\biger\vert（t）+\bigl\ vert\lambda_{1}s）\biger）\bigr\vert（\xi）\&{}+\bigl\vert\lambda_{2}（t）\biger\vert\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}\bigl\vert f\bigl（s，y（s）\bigr |\delta\|\biggl[M_{1}\frac{（\xi-a）^{\rho\alpha}}{\rho ^{\alpha{\varGamma（\alpha+1）}+M_{2}\压裂{（T-a）^{\rho\alpha}}{\rho ^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}+M_{3}\frac{（\sigma-a）^}\rho（\alfa+\beta）}}{\ rho^{\alpha+\beta}\varGamma（\ alpha+\beta+1）}\biggr]+M__{4}\\=&|\delta\varPhi+M_5}\le{\overline{r}}}。\结束{对齐}$$

这表明\（\mathcal{F}（F）_{1} x+\马查尔{F}（F）_{2} 年\位于B_{上划线{r}}\）满足引理条件（a）3.1。易于查看、使用(3.8)，那个\（\mathcal{F}（F）_{2} \）是收缩映射，也是引理的条件（c）3.1持有。

为了证明引理的条件（b）3.1满足时，我们应用函数的连续性（f），这导致操作员\（\mathcal{F}（F）_{1}\)是连续的。此外，这套\（\mathcal{F}（F）_{1} B _｛\overline｛r｝｝）一致边界为

$$\|\mathcal美元{F}（F）_{1} x射线{（T-a）^{\rho\alpha}}{\rho ^{\alpha{\varGamma（\alpha+1）}$$

接下来，我们证明了算子的紧性\（\mathcal{F}（F）_{1}\)通过设置\（\sup_{（t，x）\in[a，t]\times B_{\overline{r}}|f（t，x）|=\overline{f}<\infty\）然后，对于\（t _{1}t _{2}t），我们有

$$\开始{aligned}&\bigl\vert\mathcal{F}（F）_{1} x（t{2}）-\mathcal{F}（F）_{1} x（t_{1}）\bigr\vert\\&\quad=\bigl\vert{{}{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\biger）（t_{2}）-{{}_a}}\mathbrak{I{{{a}，\rro}f\ bigl \frac{1}{\varGamma（\alpha）}\biggl[\int_{a}^{t{1}}\bigl（\frac}（t_{2} -a个)^{\rho}-（s-a）^{\rho}}{\rhoS}\biggr）^{\α-1}-\int_{a}^{t{1}}\bigl（\frac{（t_{1} -a个)^{\rho}-（s-a）^{\rho}}{\rhoS}\biggr）^{\α-1}\bigr]\\&\qquad{}\times\frac{f（s，x（s））\，ds}{（s-a_{2} -a个)^{\rho}-（s-a）^{\rho}}{\rhoS}\biggr）^{\α-1}\frac{f（s，x（s））\，ds}{（s-a_{2} -a个)^{\rho\alpha}-（t_{1} -a个)^{\rho\alpha}\bigr\vert+\bigl\vert（t_{2} -a个)^{\rho\alpha}-（t_{1} -a个)^{\rho\alpha}\bigr\vert\bigr]，\end{对齐}$$

独立于x个并趋于零\（t{2}到t{1}）因此，集合\（\mathcal{F}（F）_{1} B_{\上划线{r}}\）是等连续的。所以这套\（\mathcal{F}（F）_{1} B_{\上划线{r}}\）相对紧凑。因此，根据Arzelá–Ascoli定理\（\mathcal{F}（F）_{1}\)是紧凑的\（B_{\上划线{r}}\）因此，引理的所有假设3.1都很满意。所以，引理的结论3.1意味着边值问题(1.1)上至少有一个解决方案\（[a，T]\）.证明已完成。□

3.3通过Leray–Schauder的非线性替代方案得到的存在结果

通过使用Leray–Schauder的非线性替代方案，我们在本小节中给出了最后一个存在性定理。

引理3.2

（单值映射的非线性替代[47])

让 E类 成为巴拿赫空间,C类 是一个封闭的,凸子集 E类,X（X） 是的开放子集 C类,和 \（X\中的0\）。假设 \（F:\上一行{X}\到C\） 是连续的,契约(那就是,\（F（\overline｛X｝）\） 是相对紧凑的 C类)地图。然后要么

• （i） 如果 在中有一个固定点 X̅,或

• （ii） 有 \（x\在\部分x\中）(的边界 X（X） 在里面 C类)和 \（lambda\ in（0,1）\） 具有 \（x=λF（x））。

定理3.3

假设以下为：

（H）_三):

存在一个连续的非递减函数 \（\psi:[0，\infty）\到（0，\infcy）\） 和一个函数 \（在C（[a，T]，\mathbb{R}^{+}）中为p\） 这样的话

$$\bigl\vert f（t，x）\bigr\vert\le p（t）\psi\bigl（\vert x\vert\bigr）\quad\textit{对于每个}（t，x）\in[a，t]\times\mathbb{R}$$

（H）₄):

存在一个常数 \（N>0） 这样的话

$$\frac{N}{\|p\|psi（N）\varPhi+M_{4}}>1$$

哪里 Φ 由定义(3.6).

然后是边值问题(1.1)上至少有一个解决方案 \（[a，T]\）。

证明

让操作员\（\mathcal{F}\）由定义(3.1). 首先，我们要证明\（\mathcal{F}\） 将有界集（球）映射为中的有界集 \（\mathcal{C}\）。对于数字\（R>0），让\（B_｛R｝=\｛x\in\mathcal｛C｝：\ | x \ | \ le R \｝\）成为界内球\（\mathcal{C}\）然后，对于\（位于[a，t]\中），我们有

$$\开始{aligned}&\bigl\vert（\mathcal{F} x个)（t）\bigr\vert\\&\quad\le{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}\bigl\vertf\bigl（s，x（s）\biger）\biger\vert（t）+\bigl\ vert\lambda_{1}（t）\ bigr\ vert\，{{}_{a}\math frak{I}^{alpha，\ rho}\bigl\f bigl r\vert（\xi）+\bigl\vert\lambda_{2}（t）\bigr\vert\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{\alpha，\rho}\bigl\ vertf\bigl（s，x（s）\bigr）\bigr\vert（T）\\&\qquad{}+\bigl\vert\lambda_{3}\vert x \vert\biger）\frac{（T-a）^{\rho\alpha}}{\rho ^{\alpha{\varGamma（\alpha+1）}+\Vert p\Vert\psi\bigl（\Vert x\Vert\bigr）M_{1}\frac{+1）}+\Vert p\Vert\psi\bigl（\Vert x\Vert\bigr）M_{3}\frac{（\sigma-a）^{\rho（\alpha+\beta）}}{\rho^{\alpha+\beta}\varGamma（\alpha+/beta+1）}+M_{4}，\end{aligned}$$

这将导致

$$\开始｛对齐｝\|\mathcal{F} x个\|\le&\|p\|psi（R）\biggl\{\frac{（T-a）^{\rho\alpha}}{\rho ^{\alpha{\varGamma（\alpha+1）}+M_{1}\frac}（\xi-a）ma（\alpha+1）}\&{}+M_{3}\frac{（\sigma-a）^{\rho（\alfa+\beta）}}{\rho^{\alpha+\beta}\varGamma（\alpha+\beta+1）}\biggr\}+M_{4}\\：=&K.\end{aligned}$$

其次，我们证明了这一点 \（\mathcal{F}\） 将有界集映射为等连续集 \（\mathcal{C}\）.让\（[a，T]\中的v_{1}，v_{2}\）具有\（v{1}<v{2}\）和\（x\在B_{R}\中）.那么我们有

$$\开始{aligned}&\bigl\vert（\mathcal{F} x个)（v{2}）-（\mathcal{F} x个)（v{1}）\bigr\vert\\&\quad=\bigl\vert{}{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\biger）（v{2}）+\lambda{1}（v{2]{2}（v_2}）\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr）（T）\\&\qquad{}-\lambda_{3}^{\alpha+\beta，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr）（\sigma）+\lambda_{4}}^{\alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr）（\xi）-\lambda_{2}（v_{1}）（v_｛1｝）\，｛｛｝_｛a｝｝\mathfrak｛I｝^｛\alpha+\beta，\rho｝f\bigl（s，x（s）\bigr）（\sigma）-\lambda _｛4｝（v_｛1｝）\bigr\vert\\&&quad\le\frac｛\|p\|\psi（R）｝_{2} -a个)^{\rho}-（s-a）^{\rho}}{\rho2}\biggr）^{\alpha-1}-\biggl（\frac{（v_{1} -a个)^{\rho}-（s-a）^{\rho}}{\rhoS}\biggr）^{阿尔法-1}\bigr]\frac{ds}{（s-a_{2} -a个)^{\rho}-（s-a）^{\rho}}{\rhoS}\biggr）^{α-1}\frac{ds}{（s-a（v{2}）-\lambda{1}（v{1}）\bigr\vert\\&\qquad{}+\frac{（T-a）^{\rho\alpha}{\rho ^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}\bigl\vert\lambda_{2}（v_2}）-\lambda_2}\\&\qquad{}+\bigl\vert\lambda_{4}（v{2}）-\lambda_{4}（v{1}）\bigr\vert\&\quad\le\frac{\|p\|\psi（R）}{\rho^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}\bigl[2\bigl\vert（t_{2} -a个)^{\rho\alpha}-（t_{1} -a个)^{\rho\alpha}\bigr\vert+\bigl\vert（t_{2} -a个)^{\rho\alpha}-（t_{1} -a个)^{\rho\alpha}\bigr\vert\bigr]\\&\qquad{}+\|p\|\psi \rho\alpha}}{\rho^{alpha}\varGamma（\alpha+1）}\bigl\vert\lambda{2}\bigr\vert+\frac{（\sigma-a）^{\rho（\alpha+\beta）}}{\rho^{\alpha+/\beta}\varGamma}（v{1}）\bigr\vert。\结束{对齐}$$

显然，上述不等式趋于零独立于\（x\在B_{R}\中）作为\（v{2}\到v{1}\）因此，根据Arzelá–Ascoli定理\（\mathcal{F}:\mathcal{C}\to\mathcali{C}\）是完全连续的。

最后，我们证明了存在一个开集 \（X\子结构\数学{C}\） 具有 \（x\ne\theta\mathcal{F}（x）\） 对于 \（θ在（0,1）中） 和 \（x\在\部分x\中）。

让\（x\in\mathcal{C}\）是…的解决方案\（x=θ{F} x个\)对于\（[0,1]\中的θ）然后，对于\（位于[a，t]\中），我们有

$$\开始{aligned}\bigl\vert x（t）\bigr\vert=&\bigl\ vert\nu（\mathcal{F} x个)（t）\bigr\vert\\\le&\|p\|\psi\bigl（\vert x\vert\bigr）\biggl\{\frac{（t-a）^{\rho\alpha}{\rho ^{\alpha{\varGamma（\alpha+1）}+M_{1}\frac}（\xi-a）\rho\α}}{\rho^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}\\&{}+M_{3}\frac{（\sigma-a）^{\rho（\alfa+\beta）}}{\rho^{\alpha+\beta}\varGamma（\alpha+/\beta+1）}\biggr\}+M_{4}\\=&\|p\|\psi\bigl（\Vert x\Vert\bigr）\varPhi+M_}4}，\end{aligned}$$

这一点，以规范为基础\（t\在[a，t]\中），意味着

$$\|x\|\le\|p\|\psi\bigl（\Vert x\Vert\bigr）\varPhi+M_{4}$$

因此，我们

$$\frac{\|x\|}{\|p\|psi（\Vertx\Vert）\varPhi+M_{4}}\leq 1$$

鉴于（H₄)，存在N个这样的话\（\|x\|\nN\）.让我们设置

$$X=\bigl\{X\in\mathcal{C}:\Vert X\Vert<N\bigr\}\quad\text{和}\quad Y=X\cap B_{R}$$

注意操作员\（\mathcal{F}:\上划线{Y}\rightarrow\mathcal{C}\）是连续的和完全连续的。从选择Y（Y），没有\（x\in\部分Y\）这样的话\（x=θ{F} x个\)对一些人来说\（θ在（0,1）中）因此，通过Leray–Schauder型的非线性替代（引理3.2)，我们推断\（\mathcal{F}\）有一个固定点\（x\in\overline｛Y｝\）这是边值问题的解(1.1). 这就完成了证明。□

4Ulam–Hyers稳定性分析

在本节中，我们研究了问题的Ulam–Hyers、广义Ulam-Hyers和广义Ulam-Hyers–Rassias稳定性(1.1).

定义4.1

问题(1.1)如果存在实际常数，乌拉姆-海尔斯稳定吗\（\kappa>0\）这样，对于\（\varepsilon>0\）以及每个解决方案\（y\in\mathcal{C}\）关于不平等

$$\bigl\vert{{}_{a}^{C}}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}y（t）-f\bigl（t，y（t$$

(4.1)

有一个解决方案\（x\in\mathcal{C}\）问题的(1.1)带有

$$\bigl\vert y（t）-x（t）\bigr\vert\le\kappa\varepsilon，\quad t\in[a，t]$$

定义4.2

问题(1.1)广义Ulam–Hyers稳定，如果存在\（C中的\varPsi_{f}\（\mathbb{R}^{+}，\mathbb{R}^{+{）\）和\（\varPsi_{f}（0）=0\）这样，对于每个解决方案\（y\in\mathcal{C}\）不平等(4.1)有一个解决方案\（x\in\mathcal{C}\）问题的(1.1)其满足以下不等式：

$$\bigl\vert y（t）-x（t）\bigr\vert\le\varPsi_{f}（\varepsilon），\quad t\in[a，t]$$

定义4.3

问题(1.1)乌拉姆-海尔斯-拉西亚斯在以下方面是否稳定\（\varphi:[a，T]\to\mathbb{R}^{+}\）如果存在一个真正的常数\（\kappa{\varphi}>0\）这样，对于\（\varepsilon>0\）以及每个解决方案\（y\in\mathcal{C}\）关于不平等

$$\bigl\vert{{}_{a}^{C}}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}y（t）-f\bigl（t，y（t$$

(4.2)

有一个解决方案\（x\in\mathcal{C}\）问题的(1.1)带有

$$\bigl\vert y（t）-x（t）\bigr\vert\le\kappa_{\varphi}\varepsilon\varphi（t），\quad t\in[a，t]$$

定义4.4

问题(1.1)广义Ulam–Hyers–Rassias相对于\（\varphi:[a，T]\to\mathbb{R}^{+}\）如果存在一个真正的常数\（\kappa{\varphi}>0\）这样，对于\（\varepsilon>0\）以及每个解决方案\（y\in\mathcal{C}\）关于不平等

$$\bigl\vert{{}_{a}^{C}}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}y（t）-f\bigl（t，y（t$$

(4.3)

有一个解决方案\（x\in\mathcal{C}\）问题的(1.1)带有

$$\bigl\vert y（t）-x（t）\bigr\vert\le\kappa_{\varphi}\varphi（t），\quad t\in[a，t]$$

备注4.1

A函数\（y\in\mathcal{C}\）是不平等的解决方案(4.1)当且仅当存在函数\（g \ in \ mathcal{C}\）（取决于年)这样的话

• （i） \（|g（t）|<\varepsilon\）,\（位于[a，t]\中）,

• （ii） \（{{}_{a}^{C}}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}y（t）=f（t，y（t,\（位于[a，t]\中）。

按备注4.1方程的解

$${{}_{a}^{C}}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}y（t）=f\bigl（t，y（t$$

可以通过

$$\开始{对齐}y（t）=&{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，y（s）\bigr \mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，y（s）\bigr）（t）\\&{}-\lambda_{3}（t）\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha+\beta，\rho}f\ bigl+\lambda_{4}（t）+{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}g（t）+\lambda_{1}（t）\，{{}_{a}\ mathfrak{I}^{alha，\rho}g（\xi）\lambda_{3}（t）\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha+\beta，\rho}g（\sigma）。\结束{对齐}$$

那么我们有以下的估计。

备注4.2

让\（y\in\mathcal{C}\）是不等式的解决方案(4.1). 然后年是以下积分不等式的解：

$$开始{对齐}和\bigl\vert y（t）-{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，y（s）\bigr）（t）-\lambda_{1}（t）{a}}\mathfrak{I}^{\alpha，\rho}f\bigl（s，y（s）\bigr）（t）\\&\qquad{}+\lambda_{3}（t）\，{{}_{a}{\bigr）（\sigma）-\lambda_{4}（t）\bigr\vert\\&\quad=\bigl\vert{}{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}g（t）+\lambda{1}（t）{I}^{α，\rho}g（t）-\lambda_{3}（t），{{}_{a}}\mathfrak{I}α+\beta，\rho}g（\sigma）\bigr\vert\\&\quad\le\varepsilon\biggl[\frac{（T-a）^{\rho\alpha}}{\rho ^{\alpha{\varGamma \varGamma（\alpha+1）}+M_{3}\frac{（\sigma-a）^{\rho（\alfa+\beta）}}{\rho^{\alpha+\beta}\varGamma（\alpha+\beta+1）｝\biggr]\\&&quad=\varepsilon\varPhi。\结束{对齐}$$

现在，我们准备宣布乌拉姆-海尔斯稳定结果。

定理4.1

假设 \（f:[a，T]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\） 是一个连续函数，并且（H）₁)与保持 \（L<\varPhi^{-1}\）。然后是问题(1.1)乌勒姆-海尔斯是否稳定 \（[a，T]\） 从而推广了Ulam–Hyers稳定。

证明

让\（y\in\mathcal{C}\）是不等式的解(4.1)然后让\（x\in\mathcal{C}\）是唯一的解决方案

$$\textstyle\begin{cases}（{{}_{a}^{C}}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}x）（t）=f（t，x（t）），\quad 1<\alpha\leq 2，a<t<t，\\x（a）=\mu_{1} x（xi）+\mu_{2}，\qquad x（T）=\lambda（{{}_{a}}\mathfrak{I}^{beta，\rho}x）（\sigma），\quad xi，\sigma\ in{（a，T）}。\结束{cases}$$

然后考虑

$$开始{对齐}和\bigl\vert y（t）-x（t）\bigr\vert\\&\quad=\bigl\ vert y r）（xi）-\lambda_{2}（t），{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr）（t）\\&\qquad{}+\lambda{3}（t）\，{{{}{a}}\mathfrak{I}^{\alpha+\beta，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr）（\sigma）-\lambda_{4}（t）\biger\vert\\&\quad=\bigl\verty y（t）-{{}_{a}}\mathfrak{I}（s hfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，y（s）\bigr）（\xi）-\lambda_{2}（t）\，{{}_{a}}\mathfrak{I}，\alpha\\&\qquad{}+\lambda_{3}（t）\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{\alpha+\beta，\rho}f\bigl \，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，y（s）\bigrf\bigl（s，y（s）\biger）（T）-\lambda_{3}（T）\qquad{}-\lambda_{1}（T）\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\biglf\bigl（s，x（s）\bigr）r\vert，\end{对齐}$$

这就产生了

$$\bigl\vert y（t）-x（t）\bigr\vert\le\frac{\varepsilon\varPhi}{1-L\varPhi}$$

(4.4)

为简单起见

$$\kappa=\frac{\varPhi}{1-L\varPhi}$$

这样的话\（L\varPhi<1），然后(4.4)成为

$$\bigl\vert y（t）-x（t）\bigr\vert\le\kappa\varepsilon，\quad t\in[a，t]$$

因此问题(1.1)乌勒姆-海尔斯稳定。此外，使用\（\varPsi_{f}（\varepsilon）=\kappa\varepsilon\）,\（\varPsi_{f}（0）=0\）意味着(1.1)广义Ulam–Hyers稳定。这就完成了证明。□

备注4.3

A函数\（y\在{\mathcal{C}}\中）是不平等的解决方案(4.2)当且仅当存在函数\（h\在{\mathcal{C}}\中）（取决于年)这样的话

• （i） \（|h（t）|<\varepsilon\varphi（t））,\（位于[a，t]\中）,

• （ii） \（{{}_{a}^{C}}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}y（t）=f（t，y（t,\（位于[a，t]\中）。

按备注4.3方程的解

$${{}_{a}^{C}}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}y（t）=f\bigl（t，y（t$$

可以通过

$$\开始{对齐}y（t）=&{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，y（s）\bigr \mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，y（s）\bigr）（t）\\&{}-\lambda_{3}（t）\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha+\beta，\rho}f\ bigl+\lambda_{4}（t）+{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}h（t）+\lambda_{1}（t）\，{{}{a}\ mathfrak{I}^{alha，\rho}h（\xi）\&{}+\lambda{2}\lambda_{3}（t）\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha+\beta，\rho}h（\sigma）。\结束{对齐}$$

那么我们有以下的估计。

备注4.4

让\（y\在{\mathcal{C}}\中）是不等式的解决方案(4.2). 然后年是以下积分不等式的解：

$$开始{对齐}和\bigl\vert y（t）-{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，y（s）\bigr）（t）-\lambda_{1}（t）{a}}\mathfrak{I}^{\alpha，\rho}f\bigl（s，y（s）\bigr）（t）\\&\qquad{}+\lambda_{3}（t）\，{{}_{a}{\bigr）（\sigma）-\lambda_{4}（t）\bigr\vert\\&\quad=\bigl\vert{}{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}h（t）+\lambda{1}（t）{I}^{\alpha，\rho}h（t）-\lambda_{3}（t），{{}_{a}}\mathfrak{I}，\alpha+\beta，\rho}h（\sigma）\bigr\vert\\&\quad\le\varepsilon\varphi（t）\biggl[\frac{（t-a ^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}+M_{3}\frac{（\sigma-a）^{\rho（\alfa+\beta）}}{\rho^{\alpha+\beta}\varGamma（\alpha+\beta+1）}\biggr]\\&\quad\le\varepsilon\varphi（t）\varphi。\结束{对齐}$$

现在，我们准备宣布乌拉姆-海尔斯-拉西亚斯的稳定结果。

定理4.2

假设 \（f:[a，T]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\） 连续函数是否满足（H）_三).如果（H）₄)保持并存在一个函数 \（h（t）\） 令人满意的备注 4.3 具有 \（2N\leq h（t））,\（位于[a，t]\中）,然后是问题(1.1)乌拉姆-海尔斯-拉西亚斯稳定吗？因此，广义乌拉姆–海尔斯-拉西亚斯是否稳定。

证明

让\（y\in\mathcal{C}\）是不等式的解(4.2)和\（x\in\mathcal{C}\）是…的解决方案

$$\textstyle\begin{cases}（{{}_{a}^{C}}\mathfrak{D}^{alpha，\rho}x）（t）=f（t，x（t）），\quad 1<\alpha\leq 2，a<t<t，\\x（a）=\mu_{1} x（xi）+\mu_{2}，\qquad x（T）=\lambda（{{}_{a}}\mathfrak{I}^{beta，\rho}x）（\sigma），\quad xi，\sigma\ in{（a，T）}。\结束{cases}$$

然后我们考虑

$$开始{对齐}和\bigl\vert y（t）-x（t）\bigr\vert\\&\quad=\bigl\ vert y r）（xi）-\lambda_{2}（t），{{}_{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr）（t）\\&\qquad{}+\lambda{3}（t）\，{{{}{a}}\mathfrak{I}^{\alpha+\beta，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr）（\sigma）-\lambda_{4}（t）\biger\vert\\&\quad\le\bigl\vert y（t）-{{}_{a}}\mathfrak矩阵{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，y（s）\bigr）（\xi）-\lambda_{2}（t）\\&\qquad{}+\lambda_{3}（t）\，{{}_{a}}\mathfrak{I}^{\alpha+\beta，\rho}f\bigl（t）+\lambda_{1}（t）^{\alpha，\rho}f\bigl（s，y（s）\bigr rak{I}^{\alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr）（T）+\lambda_{1}（T）+\λ{2}（t）\，{{}{a}}\mathfrak{I}^{alpha，\rho}f\bigl（s，x（s）\bigr bigr\vert\\&\quad\le\varepsilon\varphi（t）\varphi+\|p\|\psi\bigl\varPhi+2M_{4}\\&\quad\le\varepsilon\varPhi$$

这就产生了

$$\bigl\vert y（t）-x（t）\bigr\vert\le\varepsilon（1+\varPhi）\varPhi（t）$$

(4.5)

为简单起见\（\kappa_{\varphi}=（1+\varphi）\），然后(4.5)成为

$$\bigl\vert y（t）-x（t）\bigr\vert\le\kappa_{\varphi}\varepsilon\varphi（t），\quad t\in[a，t]$$

因此问题(1.1)Ulam–Hyers–Rassias是否稳定。此外，以同样的方式，可以显示该问题(1.1)广义Ulam–Hyers–Rassias稳定。□

5示例

在本节中，我们将提供示例来说明我们的结果。

例5.1

考虑以下四点积分边值问题：

$$\textstyle\begin{cases}（{{}_{0}^{C}}\mathfrak{D}^{\frac{3}{2}，1}x）（t）=f（t，x（t）），\quad 0<t<1，\\x（0）=\frac{1}{2} x（压裂{1}{2}）+压裂{3}{4}，四元x（1）=109（{{}_{0}}\mathfrak{I}^{压裂{1{3}，1}x）（压裂{1,3}）。\结束{cases}$$

(5.1)

在这里\（α=3/2）,\（\rho=1\）,\（a=0\）,\（T=1\）,\（mu{1}=1/2\）,\（mu{2}=3/4\）,\（xi=1/2）,\（λ=109）,\（σ=1/3）,\（β=1/3）。根据信息，我们可以发现\（\mathcal{J}=30.98772937\neq 0）和

$$开始{aligned}\varPhi&=\frac{（T-a）^{\rho\alpha}}{\rho ^{\alpha}\varGamma（\alpha+1）}+M_{1}\frac}（\xi-a）^{\rho\ alpha}{\hro^{\alpha}\varGamma（\ alpha+1 1）}+M_{3}\frac{（\sigma-a）^{\rho（\alpha+\beta）}}{\rho^{\alpha+/\beta}\varGamma（\alfa+\beta+1）} \\ &= 1.71645006. \结束{对齐}$$

（i） 如果

$$f（t，x）=\压裂{2}{57}\sin\bigl（（t+1）^{2}\bigr）\biggl（\压裂{x|}{1+|x|}+\压裂{1}{2+|x|}\biggr）|x|$$

然后\（|f（t，x）-f（t，y）|\leq 2/57|x-y|\），因此（H₁)对…感到满意\（L=2/57）.因此\（L\varPhi=0.06022632<1）因此，根据定理3.1，问题(5.1)有独特的解决方案$[0,1]$。

此外，我们可以发现\（\kappa=\varPhi/（1-L\varPhi）=1.82645044>0）因此，根据定理4.1，问题(5.1)是Ulam–Hyers稳定的，也是广义Ulam–Hyers稳定的。

（ii）如果

$$f（t，x）=\压裂{1}{19}（t-1）^{2}\biggl（\压裂{x^{2{1+|x|}+\压裂{|x|+2}{3+|x|{\biggr）$$

由此可见

$$\bigl\vert f（t，x）\bigr\vert\leq\frac{1}{19}（t-1）^{2}\bigl（\vert x\vert+1\biger）$$

选择\（p（t）=（1/19）（t-1）^｛2｝\）和\（\psi（|x|）=|x|+1\），我们可以证明

$$\frac{N}{\|p\|psi（N）\varPhi+M_{4}}>1$$

意味着\（编号>2.860892580）因此，根据定理3.3，问题(5.1)上至少有一个解决方案$[0,1]$。

此外，通过选择\（h（t）=7e^{（t+1）^{2}}\）和\（N=3\），那么我们有\（2N\leq h（t））为所有人\（在[0,1]\中）。现在我们设置\（\varphi（t）=e^{（t+1）^{2}}\）我们发现\（\kappa_{\varphi}=（1+\varphi）=2.71645006>0）因此，根据定理4.2，问题(5.1)乌拉姆-海尔斯-拉西亚斯稳定吗？广义乌拉姆–海尔斯-拉西亚斯也稳定吗$[0,1]$。

6结论

研究了具有四点积分条件的Caputo环境下保角导数解的存在唯一性。利用Krasnoselskii不动点定理和Leray–Schauder非线性替代证明了该结果的存在性，并应用Banach压缩映射原理得到了唯一性结果。此外，还介绍了不同类型的Ulam稳定性，如Ulam–Hyers稳定性、广义Ulam-Hyers稳定、Ulam•Hyers–Rassias稳定性和广义Ulam-Hyers-Rassias稳定。还包括说明所获得的结果的示例。